108 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班戊組《材料力學》

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第 1 題20 分

  1. (20 Points) Multiple-choice questions (每小題答對得4分,未作答得0分,答錯倒扣2分)

(1) A thin wall spherical tank of diameter 0.75 m has internal pressure of 20 MPa. The yield stress in tension is 920 MPa, the yield stress in shear is 475 MPa, and the factor of safety is 2.5. The modulus of elasticity is 210 GPa, Poisson's ratio is 0.28, and maximum normal strain is 1220 × 10⁻⁶. The minimum permissible thickness of the tank is approximately:
(A) 8.6 mm
(B) 9.9 mm
(C) 10.5 mm
(D) 11.1 mm

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 1 (1)

(2) The pressure relief valve is opened on a thin wall cylindrical tank, with radius to wall thickness ratio of 128, thereby decreasing the longitudinal strain by 150 × 10⁻⁶. Assume that the modulus of elasticity is 73 GPa and Poisson's ratio is 0.33. The original internal pressure in the tank was approximately:
(A) 370 kPa
(B) 450 kPa
(C) 500 kPa
(D) 590 kPa

(3) A cylindrical tank is assembled by welding steel sections circumferentially. Tank diameter is 1.5 m, thickness is 20 mm, and internal pressure is 2.0 MPa. The maximum shear stress in the cylindrical part of the tank is approximately:
(A) 17 MPa
(B) 26 MPa
(C) 34 MPa
(D) 38 MPa

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 1 (3)

(4) A cylindrical tank is assembled by welding steel sections in a helical pattern with angle α=50∘\alpha = 50^\circ. Tank diameter is 1.6 m, thickness is 20 mm, and internal pressure is 2.75 MPa. Young's Modulus is 210 GPa and Poisson's ratio is 0.28. The circumferential strain in the wall of the tank is approximately:
(A) 1.9×10−41.9 \times 10^{-4}
(B) 3.2×10−43.2 \times 10^{-4}
(C) 3.9×10−43.9 \times 10^{-4}
(D) 4.5×10−44.5 \times 10^{-4}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 1 (4), (5)

(5) A cylindrical tank is assembled by welding steel sections in a helical pattern with angle α=50∘\alpha = 50^\circ. Tank diameter is 1.6 m, thickness is 20 mm, and internal pressure is 2.75 MPa. Young's Modulus is 210 GPa and Poisson's ratio is 0.28. The longitudinal strain in the wall of the tank is approximately:
(A) 1.2×10−41.2 \times 10^{-4}
(B) 2.4×10−42.4 \times 10^{-4}
(C) 3.1×10−43.1 \times 10^{-4}
(D) 4.3×10−44.3 \times 10^{-4}

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這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查薄壁壓力容器的膜應力、最大剪應力及平面應力下的應變關係。

薄壁球形容器：

σ=pr2t=pD4t\sigma=\frac{pr}{2t}=\frac{pD}{4t}

薄壁圓筒：

σθ=prt=pD2t,σz=pr2t=pD4t\sigma_\theta=\frac{pr}{t}=\frac{pD}{2t},\qquad \sigma_z=\frac{pr}{2t}=\frac{pD}{4t}

其中 σθ\sigma_\theta 為環向應力，σz\sigma_z 為縱向應力。

平面應力下的應變為：

εθ=σθ−νσzE\varepsilon_\theta=\frac{\sigma_\theta-\nu\sigma_z}{E} εz=σz−νσθE\varepsilon_z=\frac{\sigma_z-\nu\sigma_\theta}{E}

(1) 薄壁球形儲槽最小厚度

已知：

D=0.75 m,p=20 MPaD=0.75\ \text{m},\quad p=20\ \text{MPa}

球形容器的膜應力為：

σ=pD4t\sigma=\frac{pD}{4t}

可用應力必須同時符合三項限制。

由拉伸降伏強度限制

σallow,T=9202.5=368 MPa\sigma_{\text{allow},T} =\frac{920}{2.5} =368\ \text{MPa}

由剪切降伏強度限制

球形容器為雙軸等值應力，最大剪應力為：

τmax⁡=σ2\tau_{\max}=\frac{\sigma}{2}

因此：

σ2≤4752.5\frac{\sigma}{2}\leq \frac{475}{2.5} σ≤380 MPa\sigma\leq 380\ \text{MPa}

由最大正常應變限制

球形容器中 σ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigma，所以：

εmax⁡=σ−νσE=(1−ν)σE\varepsilon_{\max} =\frac{\sigma-\nu\sigma}{E} =\frac{(1-\nu)\sigma}{E}

因此：

σ≤Eεmax⁡1−ν\sigma\leq \frac{E\varepsilon_{\max}}{1-\nu}

代入：

σ≤(210×103)(1220×10−6)1−0.28=355.8 MPa\sigma\leq \frac{(210\times10^3)(1220\times10^{-6})}{1-0.28} =355.8\ \text{MPa}

三項限制中，最小允許應力為：

σallow=355.8 MPa\sigma_{\text{allow}}=355.8\ \text{MPa}

故所需最小厚度：

t=pD4σallow=(20)(0.75)4(355.8)=0.01054 mt=\frac{pD}{4\sigma_{\text{allow}}} =\frac{(20)(0.75)}{4(355.8)} =0.01054\ \text{m} t≈10.5 mmt\approx 10.5\ \text{mm}

選項分析

  • (A) 8.6 mm：錯誤。 對應的容許應力過高，未受最大正常應變限制控制。
  • (B) 9.9 mm：錯誤。 厚度仍不足以使正常應變降至 1220×10−61220\times10^{-6} 以下。
  • (C) 10.5 mm：正確。 同時滿足拉伸、剪切及正常應變限制。
  • (D) 11.1 mm：錯誤。 雖然安全，但不是「最小允許厚度」。

【答案】(C) 10.5 mm

(2) 開啟洩壓閥前的內壓

已知：

rt=128,E=73 GPa,ν=0.33\frac{r}{t}=128,\qquad E=73\ \text{GPa},\qquad \nu=0.33

洩壓閥開啟後，內壓降為零，縱向應變減少：

Δεz=150×10−6\Delta\varepsilon_z=150\times10^{-6}

因此原先縱向應變為：

εz=150×10−6\varepsilon_z=150\times10^{-6}

圓筒的應力為：

σθ=prt=128p\sigma_\theta=\frac{pr}{t}=128p σz=pr2t=64p\sigma_z=\frac{pr}{2t}=64p

縱向應變：

εz=σz−νσθE\varepsilon_z =\frac{\sigma_z-\nu\sigma_\theta}{E}

代入應力關係：

150×10−6=64p−0.33(128p)73×103150\times10^{-6} = \frac{64p-0.33(128p)}{73\times10^3} 150×10−6=128(0.5−0.33)p73×103150\times10^{-6} = \frac{128(0.5-0.33)p}{73\times10^3}

所以：

p=(150×10−6)(73×103)128(0.17)p= \frac{(150\times10^{-6})(73\times10^3)} {128(0.17)} p≈0.503 MPa=503 kPap\approx 0.503\ \text{MPa} =503\ \text{kPa}

選項分析

  • (A) 370 kPa：錯誤。 代入縱向應變公式所得應變小於 150×10−6150\times10^{-6}。
  • (B) 450 kPa：錯誤。 仍不足以造成題目給定的縱向應變變化。
  • (C) 500 kPa：正確。 計算值約為 503 kPa503\ \text{kPa}。
  • (D) 590 kPa：錯誤。 會導致縱向應變大於題目給定值。

【答案】(C) 500 kPa

(3) 圓周焊接圓筒的最大剪應力

已知：

D=1.5 m,t=20 mm=0.020 m,p=2.0 MPaD=1.5\ \text{m},\quad t=20\ \text{mm}=0.020\ \text{m},\quad p=2.0\ \text{MPa}
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第 2 題20 分

  1. (20 Points) The beam is constructed from three boards as shown. If each nail can support a shear force of 225 N, determine the maximum spacing of the nails, s, s', s", for regions AB, BC, and CD, respectively.

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核心觀念

本題考查：

  1. 簡支梁支承反力與各區段內力剪力 VV。
  2. 組合梁中，利用釘子連接翼板與腹板時的剪流：
    q=VQIq=\frac{VQ}{I}
  3. 釘距 ss 與單支釘承受剪力的關係：
    Fnail=qs≤225 NF_{\text{nail}}=qs\le 225\ \text{N}

因此最大釘距為：

smax⁡=225q=225IVQs_{\max}=\frac{225}{q}=\frac{225I}{VQ}

一、求支承反力

由圖可知，梁在 BB、DD 兩點支承，且：

  • AB=BC=CD=1.5 mAB=BC=CD=1.5\ \text{m}
  • AA 點向下集中力為 3600 N3600\ \text{N}
  • CC 點向下集中力為 5400 N5400\ \text{N}

對 BB 點取力矩：

3600(1.5)−5400(1.5)+RD(3)=03600(1.5)-5400(1.5)+R_D(3)=0

因此：

RD=900 NR_D=900\ \text{N}

再由垂直方向力平衡：

RB+RD−3600−5400=0R_B+R_D-3600-5400=0 RB=8100 NR_B=8100\ \text{N}

二、求各區段剪力

取剪力的絕對值：

區段 ABAB

VAB=3600 NV_{AB}=3600\ \text{N}

區段 BCBC

通過 BB 點後，剪力增加 8100 N8100\ \text{N}：

VBC=8100−3600=4500 NV_{BC}=8100-3600=4500\ \text{N}

區段 CDCD

通過 CC 點後：

VCD=4500−5400=−900 NV_{CD}=4500-5400=-900\ \text{N}

故：

∣VCD∣=900 N|V_{CD}|=900\ \text{N}

三、求組合梁截面的 II 與 QQ

截面由三塊木板組成：

  • 上、下翼板：200 mm×25 mm200\ \text{mm}\times25\ \text{mm}
  • 中央腹板：25 mm×100 mm25\ \text{mm}\times100\ \text{mm}
  • 總高度：150 mm150\ \text{mm}

截面上下對稱，因此中性軸位於高度中央。

慣性矩 II

兩塊翼板：

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第 3 題20 分

  1. (20 Points) The A-36 steel post is subjected to the forces shown. If the strain gauges a and b at point A give readings of ϵa=300×10−6\epsilon_a = 300 \times 10^{-6} and ϵb=175×10−6\epsilon_b = 175 \times 10^{-6}, determine the magnitudes of P1P_1 and P2P_2.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 3

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核心觀念

本題利用應變計讀值反求材料表面的應力，再由截面內力關係求 P1P_1 與 P2P_2。

A-36 鋼材參數取

E=200 GPa,ν=0.30E=200\ \text{GPa},\qquad \nu=0.30

剪力模數為

G=E2(1+ν)=2002(1.3)=76.92 GPaG=\frac{E}{2(1+\nu)} =\frac{200}{2(1.3)} =76.92\ \text{GPa}

截面尺寸為 100 mm×50 mm100\text{ mm}\times 50\text{ mm}，因此

A=100(50)=5000 mm2A=100(50)=5000\ \text{mm}^2

由圖可知，應變計 bb 沿柱軸方向，應變計 aa 與柱軸成 45∘45^\circ。

解題方法

應變計 bb 直接量得軸向應變：

εy=εb=175×10−6\varepsilon_y=\varepsilon_b =175\times10^{-6}

因此軸向正應力為

σy=Eεy=(200×103)(175×10−6)=35.0 MPa\sigma_y=E\varepsilon_y =(200\times10^3)(175\times10^{-6}) =35.0\ \text{MPa}

因為 A 點位於自由表面，橫向應力 σx=0\sigma_x=0，所以由平面應力關係：

εx=−νεy=−0.30(175×10−6)=−52.5×10−6\varepsilon_x=-\nu\varepsilon_y =-0.30(175\times10^{-6}) =-52.5\times10^{-6}

45∘45^\circ 應變計的應變轉換式為

εa=εx+εy2+γxy2\varepsilon_a =\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} +\frac{\gamma_{xy}}{2}

代入 εa=300×10−6\varepsilon_a=300\times10^{-6}：

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第 4 題20 分

  1. (20 Points) The center rod CD of the assembly is heated from T₁ = 30°C to T₂ = 180°C using electrical resistance heating. At the lower temperature T₁, the gap between C and the rigid bar is 0.7 mm. Determine the force in rods AB and EF caused by the increase in temperature. Rods AB and EF are made of steel, and each has a cross-sectional area of 125 mm². CD is made of aluminum and has a cross-sectional area of 375 mm². E_steel = 200 GPa, E_al = 70 GPa, and αal=23×10−6/°C\alpha_{al} = 23 \times 10^{-6}/°C.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 4

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核心觀念

本題考查：

  • 熱應變：εT=αΔT\varepsilon_T=\alpha\Delta T
  • 軸向熱膨脹：δT=αΔTL\delta_T=\alpha\Delta T L
  • 軸向變形：δ=PLAE\delta=\dfrac{PL}{AE}
  • 剛性桿的平衡條件
  • 溫度變化造成的「間隙先閉合、再產生內力」

由圖得：

  • AB、EFAB、EF 長度：Ls=300 mmL_s=300\ \text{mm}
  • CDCD 長度：Lal=240 mmL_{al}=240\ \text{mm}
  • 間隙：g=0.7 mmg=0.7\ \text{mm}
  • 溫差：ΔT=180−30=150∘C\Delta T=180-30=150^\circ\text{C}

解題方法

結構左右對稱，因此兩根鋼桿受力相同，設每根鋼桿的拉力為 PsP_s。中心鋁桿受壓力為 PalP_{al}。

由剛性桿的垂直力平衡：

Pal=2PsP_{al}=2P_s

鋁桿的自由熱膨脹量為：

δT=αalΔTLal\delta_T=\alpha_{al}\Delta T L_{al} δT=(23×10−6)(150)(240)=0.828 mm\delta_T =(23\times10^{-6})(150)(240) =0.828\ \text{mm}

先用掉間隙 0.7 mm0.7\ \text{mm}，因此剩餘膨脹量為：

δT−g=0.828−0.7=0.128 mm\delta_T-g=0.828-0.7=0.128\ \text{mm}

這 0.128 mm0.128\ \text{mm} 會造成鋼桿伸長及鋁桿受壓縮短。鋼桿伸長量為：

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第 5 題20 分

  1. (20 Points) For the beam and loading shown, determine the spring constant k for which the force in the spring is equal to one-third of the total load on the beam.

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核心觀念

梁 ACAC 為兩端簡支梁，總長度為 2L2L，全跨承受均布載重 ww，中央 BB 設有彈簧。要求彈簧力等於梁總載重的三分之一。

梁的總載重為

W=w(2L)=2wLW=w(2L)=2wL

因此彈簧力大小為

Ps=W3=2wL3P_s=\frac{W}{3}=\frac{2wL}{3}

使用中央撓度相容條件：

Ps=kδBP_s=k\delta_B

其中 δB\delta_B 為均布載重造成的向下撓度，扣除彈簧向上作用力所抵銷的撓度。

解題方法

均布載重 ww 作用於全長 2L2L 的簡支梁，中央撓度為

δw=5w(2L)4384EI=5wL424EI\delta_w=\frac{5w(2L)^4}{384EI} =\frac{5wL^4}{24EI}

中央集中力 PsP_s 作用於簡支梁時，中央撓度為

δs=Ps(2L)348EI=PsL36EI\delta_s=\frac{P_s(2L)^3}{48EI} =\frac{P_sL^3}{6EI}

彈簧力方向向上，因此實際中央向下撓度為

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第 一 題

  1. (20 Points) Multiple-choice questions (每小題答對得4分,未作答得0分,答錯倒扣2分)

(1) A thin wall spherical tank of diameter 0.75 m has internal pressure of 20 MPa. The yield stress in tension is 920 MPa, the yield stress in shear is 475 MPa, and the factor of safety is 2.5. The modulus of elasticity is 210 GPa, Poisson's ratio is 0.28, and maximum normal strain is 1220 × 10⁻⁶. The minimum permissible thickness of the tank is approximately:
(A) 8.6 mm
(B) 9.9 mm
(C) 10.5 mm
(D) 11.1 mm

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 1 (1)

(2) The pressure relief valve is opened on a thin wall cylindrical tank, with radius to wall thickness ratio of 128, thereby decreasing the longitudinal strain by 150 × 10⁻⁶. Assume that the modulus of elasticity is 73 GPa and Poisson's ratio is 0.33. The original internal pressure in the tank was approximately:
(A) 370 kPa
(B) 450 kPa
(C) 500 kPa
(D) 590 kPa

(3) A cylindrical tank is assembled by welding steel sections circumferentially. Tank diameter is 1.5 m, thickness is 20 mm, and internal pressure is 2.0 MPa. The maximum shear stress in the cylindrical part of the tank is approximately:
(A) 17 MPa
(B) 26 MPa
(C) 34 MPa
(D) 38 MPa

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 1 (3)

(4) A cylindrical tank is assembled by welding steel sections in a helical pattern with angle α=50∘\alpha = 50^\circ. Tank diameter is 1.6 m, thickness is 20 mm, and internal pressure is 2.75 MPa. Young's Modulus is 210 GPa and Poisson's ratio is 0.28. The circumferential strain in the wall of the tank is approximately:
(A) 1.9×10−41.9 \times 10^{-4}
(B) 3.2×10−43.2 \times 10^{-4}
(C) 3.9×10−43.9 \times 10^{-4}
(D) 4.5×10−44.5 \times 10^{-4}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 1 (4), (5)

(5) A cylindrical tank is assembled by welding steel sections in a helical pattern with angle α=50∘\alpha = 50^\circ. Tank diameter is 1.6 m, thickness is 20 mm, and internal pressure is 2.75 MPa. Young's Modulus is 210 GPa and Poisson's ratio is 0.28. The longitudinal strain in the wall of the tank is approximately:
(A) 1.2×10−41.2 \times 10^{-4}
(B) 2.4×10−42.4 \times 10^{-4}
(C) 3.1×10−43.1 \times 10^{-4}
(D) 4.3×10−44.3 \times 10^{-4}

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核心觀念

本題考查薄壁壓力容器的膜應力、最大剪應力及平面應力下的應變關係。

薄壁球形容器：

σ=pr2t=pD4t\sigma=\frac{pr}{2t}=\frac{pD}{4t}

薄壁圓筒：

σθ=prt=pD2t,σz=pr2t=pD4t\sigma_\theta=\frac{pr}{t}=\frac{pD}{2t},\qquad \sigma_z=\frac{pr}{2t}=\frac{pD}{4t}

其中 σθ\sigma_\theta 為環向應力，σz\sigma_z 為縱向應力。

平面應力下的應變為：

εθ=σθ−νσzE\varepsilon_\theta=\frac{\sigma_\theta-\nu\sigma_z}{E} εz=σz−νσθE\varepsilon_z=\frac{\sigma_z-\nu\sigma_\theta}{E}

(1) 薄壁球形儲槽最小厚度

已知：

D=0.75 m,p=20 MPaD=0.75\ \text{m},\quad p=20\ \text{MPa}

球形容器的膜應力為：

σ=pD4t\sigma=\frac{pD}{4t}

可用應力必須同時符合三項限制。

由拉伸降伏強度限制

σallow,T=9202.5=368 MPa\sigma_{\text{allow},T} =\frac{920}{2.5} =368\ \text{MPa}

由剪切降伏強度限制

球形容器為雙軸等值應力，最大剪應力為：

τmax⁡=σ2\tau_{\max}=\frac{\sigma}{2}

因此：

σ2≤4752.5\frac{\sigma}{2}\leq \frac{475}{2.5} σ≤380 MPa\sigma\leq 380\ \text{MPa}

由最大正常應變限制

球形容器中 σ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigma，所以：

εmax⁡=σ−νσE=(1−ν)σE\varepsilon_{\max} =\frac{\sigma-\nu\sigma}{E} =\frac{(1-\nu)\sigma}{E}

因此：

σ≤Eεmax⁡1−ν\sigma\leq \frac{E\varepsilon_{\max}}{1-\nu}

代入：

σ≤(210×103)(1220×10−6)1−0.28=355.8 MPa\sigma\leq \frac{(210\times10^3)(1220\times10^{-6})}{1-0.28} =355.8\ \text{MPa}

三項限制中，最小允許應力為：

σallow=355.8 MPa\sigma_{\text{allow}}=355.8\ \text{MPa}

故所需最小厚度：

t=pD4σallow=(20)(0.75)4(355.8)=0.01054 mt=\frac{pD}{4\sigma_{\text{allow}}} =\frac{(20)(0.75)}{4(355.8)} =0.01054\ \text{m} t≈10.5 mmt\approx 10.5\ \text{mm}

選項分析

  • (A) 8.6 mm：錯誤。 對應的容許應力過高，未受最大正常應變限制控制。
  • (B) 9.9 mm：錯誤。 厚度仍不足以使正常應變降至 1220×10−61220\times10^{-6} 以下。
  • (C) 10.5 mm：正確。 同時滿足拉伸、剪切及正常應變限制。
  • (D) 11.1 mm：錯誤。 雖然安全，但不是「最小允許厚度」。

【答案】(C) 10.5 mm

(2) 開啟洩壓閥前的內壓

已知：

rt=128,E=73 GPa,ν=0.33\frac{r}{t}=128,\qquad E=73\ \text{GPa},\qquad \nu=0.33

洩壓閥開啟後，內壓降為零，縱向應變減少：

Δεz=150×10−6\Delta\varepsilon_z=150\times10^{-6}

因此原先縱向應變為：

εz=150×10−6\varepsilon_z=150\times10^{-6}

圓筒的應力為：

σθ=prt=128p\sigma_\theta=\frac{pr}{t}=128p σz=pr2t=64p\sigma_z=\frac{pr}{2t}=64p

縱向應變：

εz=σz−νσθE\varepsilon_z =\frac{\sigma_z-\nu\sigma_\theta}{E}

代入應力關係：

150×10−6=64p−0.33(128p)73×103150\times10^{-6} = \frac{64p-0.33(128p)}{73\times10^3} 150×10−6=128(0.5−0.33)p73×103150\times10^{-6} = \frac{128(0.5-0.33)p}{73\times10^3}

所以：

p=(150×10−6)(73×103)128(0.17)p= \frac{(150\times10^{-6})(73\times10^3)} {128(0.17)} p≈0.503 MPa=503 kPap\approx 0.503\ \text{MPa} =503\ \text{kPa}

選項分析

  • (A) 370 kPa：錯誤。 代入縱向應變公式所得應變小於 150×10−6150\times10^{-6}。
  • (B) 450 kPa：錯誤。 仍不足以造成題目給定的縱向應變變化。
  • (C) 500 kPa：正確。 計算值約為 503 kPa503\ \text{kPa}。
  • (D) 590 kPa：錯誤。 會導致縱向應變大於題目給定值。

【答案】(C) 500 kPa

(3) 圓周焊接圓筒的最大剪應力

已知：

D=1.5 m,t=20 mm=0.020 m,p=2.0 MPaD=1.5\ \text{m},\quad t=20\ \text{mm}=0.020\ \text{m},\quad p=2.0\ \text{MPa}
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第 2 題20 分

  1. (20 Points) The beam is constructed from three boards as shown. If each nail can support a shear force of 225 N, determine the maximum spacing of the nails, s, s', s", for regions AB, BC, and CD, respectively.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 2

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核心觀念

本題考查：

  1. 簡支梁支承反力與各區段內力剪力 VV。
  2. 組合梁中，利用釘子連接翼板與腹板時的剪流：
    q=VQIq=\frac{VQ}{I}
  3. 釘距 ss 與單支釘承受剪力的關係：
    Fnail=qs≤225 NF_{\text{nail}}=qs\le 225\ \text{N}

因此最大釘距為：

smax⁡=225q=225IVQs_{\max}=\frac{225}{q}=\frac{225I}{VQ}

一、求支承反力

由圖可知，梁在 BB、DD 兩點支承，且：

  • AB=BC=CD=1.5 mAB=BC=CD=1.5\ \text{m}
  • AA 點向下集中力為 3600 N3600\ \text{N}
  • CC 點向下集中力為 5400 N5400\ \text{N}

對 BB 點取力矩：

3600(1.5)−5400(1.5)+RD(3)=03600(1.5)-5400(1.5)+R_D(3)=0

因此：

RD=900 NR_D=900\ \text{N}

再由垂直方向力平衡：

RB+RD−3600−5400=0R_B+R_D-3600-5400=0 RB=8100 NR_B=8100\ \text{N}

二、求各區段剪力

取剪力的絕對值：

區段 ABAB

VAB=3600 NV_{AB}=3600\ \text{N}

區段 BCBC

通過 BB 點後，剪力增加 8100 N8100\ \text{N}：

VBC=8100−3600=4500 NV_{BC}=8100-3600=4500\ \text{N}

區段 CDCD

通過 CC 點後：

VCD=4500−5400=−900 NV_{CD}=4500-5400=-900\ \text{N}

故：

∣VCD∣=900 N|V_{CD}|=900\ \text{N}

三、求組合梁截面的 II 與 QQ

截面由三塊木板組成：

  • 上、下翼板：200 mm×25 mm200\ \text{mm}\times25\ \text{mm}
  • 中央腹板：25 mm×100 mm25\ \text{mm}\times100\ \text{mm}
  • 總高度：150 mm150\ \text{mm}

截面上下對稱，因此中性軸位於高度中央。

慣性矩 II

兩塊翼板：

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第 3 題20 分

  1. (20 Points) The A-36 steel post is subjected to the forces shown. If the strain gauges a and b at point A give readings of ϵa=300×10−6\epsilon_a = 300 \times 10^{-6} and ϵb=175×10−6\epsilon_b = 175 \times 10^{-6}, determine the magnitudes of P1P_1 and P2P_2.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 3

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核心觀念

本題利用應變計讀值反求材料表面的應力，再由截面內力關係求 P1P_1 與 P2P_2。

A-36 鋼材參數取

E=200 GPa,ν=0.30E=200\ \text{GPa},\qquad \nu=0.30

剪力模數為

G=E2(1+ν)=2002(1.3)=76.92 GPaG=\frac{E}{2(1+\nu)} =\frac{200}{2(1.3)} =76.92\ \text{GPa}

截面尺寸為 100 mm×50 mm100\text{ mm}\times 50\text{ mm}，因此

A=100(50)=5000 mm2A=100(50)=5000\ \text{mm}^2

由圖可知，應變計 bb 沿柱軸方向，應變計 aa 與柱軸成 45∘45^\circ。

解題方法

應變計 bb 直接量得軸向應變：

εy=εb=175×10−6\varepsilon_y=\varepsilon_b =175\times10^{-6}

因此軸向正應力為

σy=Eεy=(200×103)(175×10−6)=35.0 MPa\sigma_y=E\varepsilon_y =(200\times10^3)(175\times10^{-6}) =35.0\ \text{MPa}

因為 A 點位於自由表面，橫向應力 σx=0\sigma_x=0，所以由平面應力關係：

εx=−νεy=−0.30(175×10−6)=−52.5×10−6\varepsilon_x=-\nu\varepsilon_y =-0.30(175\times10^{-6}) =-52.5\times10^{-6}

45∘45^\circ 應變計的應變轉換式為

εa=εx+εy2+γxy2\varepsilon_a =\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} +\frac{\gamma_{xy}}{2}

代入 εa=300×10−6\varepsilon_a=300\times10^{-6}：

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第 4 題20 分

  1. (20 Points) The center rod CD of the assembly is heated from T₁ = 30°C to T₂ = 180°C using electrical resistance heating. At the lower temperature T₁, the gap between C and the rigid bar is 0.7 mm. Determine the force in rods AB and EF caused by the increase in temperature. Rods AB and EF are made of steel, and each has a cross-sectional area of 125 mm². CD is made of aluminum and has a cross-sectional area of 375 mm². E_steel = 200 GPa, E_al = 70 GPa, and αal=23×10−6/°C\alpha_{al} = 23 \times 10^{-6}/°C.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】Problem 4

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核心觀念

本題考查：

  • 熱應變：εT=αΔT\varepsilon_T=\alpha\Delta T
  • 軸向熱膨脹：δT=αΔTL\delta_T=\alpha\Delta T L
  • 軸向變形：δ=PLAE\delta=\dfrac{PL}{AE}
  • 剛性桿的平衡條件
  • 溫度變化造成的「間隙先閉合、再產生內力」

由圖得：

  • AB、EFAB、EF 長度：Ls=300 mmL_s=300\ \text{mm}
  • CDCD 長度：Lal=240 mmL_{al}=240\ \text{mm}
  • 間隙：g=0.7 mmg=0.7\ \text{mm}
  • 溫差：ΔT=180−30=150∘C\Delta T=180-30=150^\circ\text{C}

解題方法

結構左右對稱，因此兩根鋼桿受力相同，設每根鋼桿的拉力為 PsP_s。中心鋁桿受壓力為 PalP_{al}。

由剛性桿的垂直力平衡：

Pal=2PsP_{al}=2P_s

鋁桿的自由熱膨脹量為：

δT=αalΔTLal\delta_T=\alpha_{al}\Delta T L_{al} δT=(23×10−6)(150)(240)=0.828 mm\delta_T =(23\times10^{-6})(150)(240) =0.828\ \text{mm}

先用掉間隙 0.7 mm0.7\ \text{mm}，因此剩餘膨脹量為：

δT−g=0.828−0.7=0.128 mm\delta_T-g=0.828-0.7=0.128\ \text{mm}

這 0.128 mm0.128\ \text{mm} 會造成鋼桿伸長及鋁桿受壓縮短。鋼桿伸長量為：

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第 5 題20 分

  1. (20 Points) For the beam and loading shown, determine the spring constant k for which the force in the spring is equal to one-third of the total load on the beam.

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核心觀念

梁 ACAC 為兩端簡支梁，總長度為 2L2L，全跨承受均布載重 ww，中央 BB 設有彈簧。要求彈簧力等於梁總載重的三分之一。

梁的總載重為

W=w(2L)=2wLW=w(2L)=2wL

因此彈簧力大小為

Ps=W3=2wL3P_s=\frac{W}{3}=\frac{2wL}{3}

使用中央撓度相容條件：

Ps=kδBP_s=k\delta_B

其中 δB\delta_B 為均布載重造成的向下撓度，扣除彈簧向上作用力所抵銷的撓度。

解題方法

均布載重 ww 作用於全長 2L2L 的簡支梁，中央撓度為

δw=5w(2L)4384EI=5wL424EI\delta_w=\frac{5w(2L)^4}{384EI} =\frac{5wL^4}{24EI}

中央集中力 PsP_s 作用於簡支梁時，中央撓度為

δs=Ps(2L)348EI=PsL36EI\delta_s=\frac{P_s(2L)^3}{48EI} =\frac{P_sL^3}{6EI}

彈簧力方向向上，因此實際中央向下撓度為

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