112 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班乙組《材料力學（D）》

核心觀念

本題考查橡膠套筒的剪應力—剪應變關係：

$$\tau=G\gamma$$

其中 $G$ 為橡膠剪切模數。鋼軸受軸向力 $P$ 後，軸與橡膠內壁產生相對軸向位移 $\delta$，使橡膠主要承受剪切變形。

因為 $t\ll D$，可將橡膠套筒視為厚度很薄的圓柱薄層，剪應變可近似為

$$\gamma \simeq \frac{\delta}{t}.$$

解題方法

取鋼軸與橡膠套筒的接觸界面。鋼軸所受的軸向力 $P$，由橡膠沿界面產生的剪力抵抗。

接觸界面的側面積為

$$A_s=\pi D L.$$

因此橡膠界面的平均剪應力為

$$\tau=\frac{P}{A_s} =\frac{P}{\pi D L}.$$

另一方面，由橡膠的剪切本構關係，

$$\tau=G\gamma =G\frac{\delta}{t}.$$

令兩式相等：

核心觀念

本題考查圓軸在「彎矩與扭矩同時作用」下的最大主應力。由於軸為實心圓軸，並忽略橫向剪力造成的剪應力，因此考慮：

• 彎曲正應力
  $\sigma=\frac{Mc}{I}=\frac{32M}{\pi d^3}$
• 扭轉剪應力
  $\tau=\frac{Tc}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}$
• 最大主應力
  $\sigma_1=\frac{\sigma}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2+\tau^2}$

其中 $d=2r$。

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解題方法

圖中 $A$、$D$ 為軸承支承，$B$ 為橫向載重作用處。軸向距離為

$AB=360\ \text{mm},\qquad BD=720\ \text{mm}$

兩個垂直力的合力為

$F=600+450=1050\ \text{N}$

對 $A$ 點取力矩：

$R_D(1080)-1050(360)=0$

因此

$R_D=350\ \text{N}$

由垂直力平衡：

$R_A+R_D-1050=0$

$R_A=700\ \text{N}$

最大彎矩發生在 $B$ 截面：

$M_{\max}=R_A(360)=700(360)$

$\boxed{M_{\max}=252000\ \text{N}\cdot\text{mm}}$

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橫桿兩側的力所產生之淨扭矩為

$T=(600-450)(240)$

$\boxed{T=36000\ \text{N}\cdot\text{mm}}$

此扭矩與 $D$ 端所示的 $36000\ \text{N}\cdot\text{mm}$ 外加扭矩方向相反，故軸在 $B$ 至 $D$ 間承受的內部扭矩大小為

$\boxed{T=36000\ \text{N}\cdot\text{mm}}$

核心觀念

本題考查平面應力下的：

1. 胡克定律：

$$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E},\qquad \varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}$$

2. 任意方向的應變轉換公式。由於題目僅施加 $\sigma_x,\sigma_y$，故 $\tau_{xy}=0$：

$$\varepsilon_\phi =\varepsilon_x\cos^2\phi+\varepsilon_y\sin^2\phi$$

3. 平面內最大剪應力與最大工程剪應變：

$$\left(\tau_{\max}\right)_{xy} =\frac{|\sigma_x-\sigma_y|}{2}$$ $$\left(\gamma_{\max}\right)_{xy} =|\varepsilon_x-\varepsilon_y| =\frac{1+\nu}{E}|\sigma_x-\sigma_y|$$

其中應變計方向 $\phi=35^\circ$ 是相對於 $x$ 軸的角度。

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解題方法

已知：

$E=110\text{ GPa}=110000\text{ MPa}$

$\nu=0.34,\qquad \sigma_x=74\text{ MPa}$

$\phi=35^\circ,\qquad \varepsilon_\phi=390\times10^{-6}$

由胡克定律：

$\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}$

$\varepsilon_y=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}$

代入應變轉換式：

$$\varepsilon_\phi =\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{E}\cos^2\phi +\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{E}\sin^2\phi$$

整理為：

$$E\varepsilon_\phi =\sigma_x\left(\cos^2\phi-\nu\sin^2\phi\right) +\sigma_y\left(\sin^2\phi-\nu\cos^2\phi\right)$$

由

$$\cos^2 35^\circ=0.67101,\qquad \sin^2 35^\circ=0.32899$$

且

$$E\varepsilon_\phi =110000(390\times10^{-6}) =42.9\text{ MPa}$$

因此：

核心觀念

本題利用懸臂梁的「疊加原理」與「單位荷重法」：

• 集中力 $P$ 造成 A 點向上位移。
• 均佈載重 $w=600\ \text{N/m}$ 造成 A 點向下位移。
• 要使 A 點位移為零，兩者位移大小必須相等。

梁長為

$$AC=8\ \text{m},\qquad AB=4\ \text{m}$$

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解題方法

取 $x$ 自 A 點向右量至 C 點，$0\le x\le 8$。

1. 集中力 $P$ 造成的位移

A 點施加向上集中力 $P$，懸臂梁自由端位移為

$$\delta_P=\frac{PL^3}{3EI}$$

其中 $L=8\ \text{m}$，因此

$$\delta_P=\frac{P(8)^3}{3EI} =\frac{512P}{3EI}$$

方向向上。

2. 均佈載重造成的位移

在 A 至 B 的 4 m 範圍內施加均佈載重

$$w=600\ \text{N/m}$$

以 A 點向下的單位荷重作為虛擬荷重，該單位荷重在距 A 點 $x$ 處造成的彎矩大小為

$$m(x)=8-x$$

實際均佈載重對截面的彎矩，在 $0\le x\le4$ 時為

$$M(x)=\frac{w(4-x)^2}{2}$$