109 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班戊組《材料力學（F）》

核心觀念

本題關鍵在於判斷結構是否為靜定結構。剛性桿由 A、C 兩根鋼棒支承，外力只有兩根鋼棒的軸力，因此可直接由剛性桿的平衡方程式求得兩棒內力。

溫度變化會造成鋼棒的熱膨脹或熱收縮，其總變形為

$$\delta_i=\frac{N_iL_i}{A_iE}+\alpha\Delta T L_i$$

但在此結構中，兩根鋼棒的軸力已由靜力平衡唯一決定，因此 $\Delta T$ 只會改變剛性桿的位置與轉角，不會改變兩棒的軸力與應力。

---

解題方法

設 A、C 兩根鋼棒的軸力分別為 $N_A$、$N_C$，外加載重為

$$P=160\ \text{kN}$$

令載重作用線到 A 點的水平距離為 $x_P$，A、C 兩點間距離為 $L$。

對剛性桿列平衡方程式：

$$\sum M_A=0$$

因此

$$N_C L-Px_P=0$$

得到

$$N_C=\frac{Px_P}{L}$$

再由垂直力平衡：

$$\sum F_y=0$$ $$N_A+N_C-P=0$$

故

$$N_A=P-N_C =P\left(1-\frac{x_P}{L}\right) =P\frac{L-x_P}{L}$$

兩根鋼棒的應力分別為

$$\sigma_A=\frac{N_A}{A_A}, \qquad \sigma_C=\frac{N_C}{A_C}$$

要求兩棒應力相等：

$$\sigma_A=\sigma_C$$

因此必須滿足

$$\frac{N_A}{A_A}=\frac{N_C}{A_C}$$

代入上式可得

$$\frac{P(L-x_P)}{LA_A} = \frac{Px_P}{LA_C}$$

約去 $P/L$：

$$\frac{L-x_P}{A_A} = \frac{x_P}{A_C}$$

或寫成

$$\boxed{\frac{A_A}{A_C}=\frac{L-x_P}{x_P}}$$

此條件完全由載重位置與鋼棒截面積決定，式中沒有 $\Delta T$。

---

溫度變化的影響

兩根鋼棒的變形可寫為

核心觀念

薄壁圓筒承受內壓時，筒壁主要產生兩個方向的正應力：

• 環向應力：
  $\sigma_\theta=\frac{pD}{2t}$
• 軸向應力：
  $\sigma_z=\frac{pD}{4t}$

其中 $p$ 為表壓、$D=600\ \text{mm}$ 為筒身直徑、$t=8\ \text{mm}$ 為板厚。

焊縫與水平環向方向夾角為 $\beta=30^\circ$，要求的是「垂直於焊縫方向」的正應力。

解題方法

取垂直於螺旋焊縫的方向進行應力轉換。由於筒壁只有環向應力與軸向應力，且無剪應力，因此焊縫法向應力為

$$\sigma_n=\sigma_\theta\sin^2\beta+\sigma_z\cos^2\beta$$

代入薄壁圓筒應力公式：

$$\sigma_n = \frac{pD}{2t}\sin^2\beta + \frac{pD}{4t}\cos^2\beta$$

整理得

$$\sigma_n = \frac{pD}{4t} \left(2\sin^2\beta+\cos^2\beta\right)$$

本題考驗扭轉桿件的強度分析，特別是應用最大剪應力準則來判斷材料是否發生屈服。

核心觀念：

1. 扭矩與剪應力： 在圓形斷面的桿件中，承受扭矩 $T$ 會產生剪應力 $\tau$。在桿件的表面（距離軸心最遠處），剪應力達到最大值，其大小與扭矩 $T$ 和桿件的極慣性矩 $J$ 有關，即 $\tau_{max} = \frac{Tr}{J}$，其中 $r$ 是桿件的半徑。
2. 最大剪應力準則 (Tresca Criterion)： 該準則認為，當材料中的最大剪應力 $\tau_{max}$ 達到某一臨界值時，材料就會發生屈服。對於單軸拉伸，臨界剪應力與屈服強度 $\sigma_y$ 的關係為 $\tau_{crit} = \frac{\sigma_y}{2}$。
3. 應力集中與組合應力： 在此題中，桿件 AB 除了承受扭矩 $T$ 外，還受到軸向力 $P$ 的作用。軸向力會產生軸向應力 $\sigma = P/A$，而扭矩會產生剪應力 $\tau$。這兩種應力會疊加，形成一個組合應力狀態。我們需要計算出這個組合應力狀態下的最大剪應力，並將其與材料的臨界剪應力進行比較。

解題步驟：

1. 計算桿件的幾何參數：

   • 桿件直徑 $d = 38 \text{ mm}$，所以半徑 $r = d/2 = 19 \text{ mm} = 0.019 \text{ m}$。
   • 桿件截面積 $A = \pi r^2 = \pi (0.019 \text{ m})^2$。
   • 桿件的極慣性矩 $J = \frac{\pi}{2} r^4 = \frac{\pi}{2} (0.019 \text{ m})^4$。

2. 計算由軸向力 $P$ 產生的軸向應力 $\sigma$：
   $P = 240 \text{ kN} = 240 \times 10^3 \text{ N}$。
   $A = \pi (0.019)^2 \text{ m}^2 \approx 1.134 \times 10^{-3} \text{ m}^2$。
   $\sigma = \frac{P}{A} = \frac{240 \times 10^3 \text{ N}}{1.134 \times 10^{-3} \text{ m}^2} \approx 211.6 \times 10^6 \text{ Pa} = 211.6 \text{ MPa}$。
   這個軸向應力是均勻分佈在整個截面上的。

3. 計算由扭矩 $T$ 產生的最大剪應力 $\tau_{max}$：
   $\tau_{max} = \frac{Tr}{J}$。
   $J = \frac{\pi}{2} r^4 = \frac{\pi}{2} (0.019 \text{ m})^4 \approx 6.51 \times 10^{-8} \text{ m}^4$。
   $\tau_{max} = \frac{T (0.019 \text{ m})}{6.51 \times 10^{-8} \text{ m}^4} \approx 2.919 \times 10^5 T \text{ (Pa/Nm)}$。

4. 應用最大剪應力準則：
   材料的屈服強度 $\sigma_y = 250 \text{ MPa}$。
   根據最大剪應力準則，材料發生屈服時的最大剪應力為：
   $\tau_{crit} = \frac{\sigma_y}{2} = \frac{250 \text{ MPa}}{2} = 125 \text{ MPa} = 125 \times 10^6 \text{ Pa}$。

5. 考慮組合應力狀態下的最大剪應力：
   在桿件 AB 的表面，我們同時承受軸向應力 $\sigma$ 和最大剪應力 $\tau_{max}$。
   這形成了一個平面應力狀態（相對於桿件表面的某個切向平面）。
   對於平面應力狀態，其最大剪應力 $\tau_{max, comb}$ 可以通過計算應力圓來得到。
   考慮應力張量：
   $\begin{pmatrix} \sigma & \tau_{max} \\ \tau_{max} & 0 \end{pmatrix}$
   其中 $\sigma = 211.6 \text{ MPa}$ 是平均應力（來自軸向力），$\tau_{max}$ 是由扭矩產生的剪應力。

   根據莫爾圓，最大剪應力 $\tau_{max, comb}$ 為：
   $\tau_{max, comb} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_{avg}}{2}\right)^2 + \tau^2}$
   在這裡，$\sigma_{avg}$ 是平均正向應力，也就是由軸向力引起的 $\sigma$。
   $\sigma_{avg} = \sigma = 211.6 \text{ MPa}$。
   $\tau = \tau_{max} = \frac{Tr}{J}$。

本題考驗扭轉桿件的功率傳輸與許用應力計算。我們需要根據傳輸的功率和轉速，計算出桿件內的扭矩，然後結合許用剪應力，來確定桿件所需的最小直徑。

核心觀念：

1. 功率與扭矩的關係： 轉軸傳輸的功率 $P$ 與其轉速 $\omega$ (角速度) 和扭矩 $T$ 之間的關係為 $P = T\omega$。在工程上，功率常用千瓦 (kW) 表示，轉速常用轉/分 (rpm) 表示，扭矩常用牛頓-米 (Nm) 表示。
   • 將轉速 $N$ (rpm) 轉換為角速度 $\omega$ (rad/s)：$\omega = \frac{2\pi N}{60}$。
   • 功率 $P$ (W) 與扭矩 $T$ (Nm) 和轉速 $N$ (rpm) 的關係為：$P = T \cdot \frac{2\pi N}{60}$。
   • 或者，如果 $P$ 是千瓦 (kW)，則 $P \times 1000 = T \times \frac{2\pi N}{60}$。
   • 從而，扭矩 $T = \frac{P \times 1000 \times 60}{2\pi N}$。
2. 扭矩傳遞： 桿件 AB 從馬達 M 接收總功率，並將功率傳遞給連接在 F 和 G 處的齒輪。總功率是傳遞到 F 和 G 的功率之和。
3. 扭矩與剪應力的關係： 桿件內的扭矩 $T$ 會在桿件的橫截面上產生剪應力 $\tau$。在實心圓桿中，最大剪應力發生在桿件的外表面，其大小為 $\tau_{max} = \frac{Tr}{J}$，其中 $r$ 是桿件半徑，$J$ 是極慣性矩。對於實心圓桿，$J = \frac{\pi}{2} r^4 = \frac{\pi}{32} d^4$，其中 $d$ 是直徑。
   因此，$\tau_{max} = \frac{T (d/2)}{\pi d^4 / 32} = \frac{16T}{\pi d^3}$。

解題步驟：

1. 計算總功率與總扭矩：
   馬達 M 傳輸的總功率是傳遞給 F 和 G 的功率之和。
   總功率 $P_{total} = 8 \text{ kW} + 12 \text{ kW} = 20 \text{ kW}$。
   題目也直接給出了總功率為 20 kW。

   桿件 AB 的轉速 $N = 450 \text{ rpm}$。
   我們需要計算桿件 AB 上的總扭矩 $T$。
   使用公式 $T = \frac{P \times 1000 \times 60}{2\pi N}$：
   $T = \frac{20 \text{ kW} \times 1000 \times 60}{2\pi \times 450 \text{ rpm}}$。
   $T = \frac{20000 \times 60}{2\pi \times 450} = \frac{1200000}{900\pi} = \frac{12000}{9\pi} = \frac{4000}{3\pi} \text{ Nm}$。
   $T \approx \frac{4000}{3 \times 3.14159} \approx \frac{4000}{9.42477} \approx 424.41 \text{ Nm}$。

2. 應用許用剪應力條件：
   題目給定的許用剪應力 $\tau_{all} = 55 \text{ MPa} = 55 \times 10^6 \text{ Pa}$。
   對於實心圓桿，最大剪應力為 $\tau_{max} = \frac{16T}{\pi d^3}$。
   我們要求 $\tau_{max} \le \tau_{all}$。
   $\frac{16T}{\pi d^3} \le \tau_{all}$。

本題考驗對平面應力 (plane stress) 和平面應變 (plane strain) 條件下材料行為的理解，以及彈性力學中應力-應變關係矩陣的推導。

(a) 平面應力與平面應變條件下的材料行為差異

核心觀念：

• 平面應力條件 (Plane Stress)： 指在一個平面內，應力分量不為零，但在垂直於該平面的方向上的應力分量均為零。常見於薄板承受面內載荷的結構，如薄殼、薄梁等。在此條件下，垂直於應力平面的應力為零 ($\sigma_3 = 0$)，但應變 $\epsilon_3$ 通常不為零。
• 平面應變條件 (Plane Strain)： 指在一個平面內，應變分量不為零，但在垂直於該平面的方向上的應變分量均為零。常見於承受載荷的長條狀結構，其長度遠大於寬度或厚度，且載荷沿長度方向均勻分佈，如長隧道、大壩、長形基礎等。在此條件下，垂直於應力平面的應變為零 ($\epsilon_3 = 0$)，但應力 $\sigma_3$ 通常不為零。

理由說明：
在線性彈性材料的應力-應變關係中，我們通常使用廣義虎克定律。廣義虎克定律將一個方向上的應力與其他方向上的應變聯繫起來。

• 平面應力條件下的廣義虎克定律：
  考慮 1-2 平面為應力平面，$\sigma_3 = 0$。
  $\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \sigma_3)] = \frac{1}{E} (\sigma_1 - \nu \sigma_2)$
  $\epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu(\sigma_1 + \sigma_3)] = \frac{1}{E} (\sigma_2 - \nu \sigma_1)$
  $\epsilon_3 = \frac{1}{E} [\sigma_3 - \nu(\sigma_1 + \sigma_2)] = -\frac{\nu}{E} (\sigma_1 + \sigma_2)$
  $\gamma_{12} = \frac{\tau_{12}}{G}$

  在這個條件下，$\epsilon_3$ 並不為零，它由平面內的應力 $\sigma_1, \sigma_2$ 決定。

• 平面應變條件下的廣義虎克定律：
  考慮 1-2 平面為應變平面，$\epsilon_3 = 0$。
  $\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \sigma_3)]$
  $\epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu(\sigma_1 + \sigma_3)]$
  $\epsilon_3 = \frac{1}{E} [\sigma_3 - \nu(\sigma_1 + \sigma_2)] = 0 \implies \sigma_3 = \nu (\sigma_1 + \sigma_2)$
  $\gamma_{12} = \frac{\tau_{12}}{G}$

  在這個條件下，雖然 $\epsilon_3 = 0$，但會產生一個垂直於 1-2 平面的應力 $\sigma_3$。

結論：
線性彈性材料在平面應力條件下的應力-應變關係，是基於 $\sigma_3 = 0$ 的假設。然而，在平面應變條件下，垂直方向的應變被約束為零 ($\epsilon_3 = 0$)，這會導致產生一個非零的應力 $\sigma_3 = \nu (\sigma_1 + \sigma_2)$。由於材料的應力-應變關係是基於應力或應變的約束條件來定義的，因此平面應力條件下的應力-應變關係（其中 $\sigma_3=0$）無法直接適用於平面應變條件（其中 $\epsilon_3=0$ 且 $\sigma_3 \neq 0$）。

換句話說，即使材料本身是相同的線性彈性材料，但由於外部約束條件（平面應力 vs. 平面應變）不同，它們的宏觀應力-應變行為也會不同。這體現在它們的應力-應變關係矩陣係數會不同。

(b) 推導平面應變條件下的應力-應變關係矩陣 C

核心觀念：

1. 廣義虎克定律： 描述線性彈性材料在三維空間中的應力與應變關係。
2. 平面應變約束： $\epsilon_3 = 0$。
3. 應力-應變矩陣： 將應力向量與應變向量聯繫起來的係數矩陣。

推導過程：

我們從三維線性彈性材料的廣義虎克定律開始：
$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \sigma_3)]$
$\epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu(\sigma_1 + \sigma_3)]$
$\epsilon_3 = \frac{1}{E} [\sigma_3 - \nu(\sigma_1 + \sigma_2)]$
$\gamma_{12} = \frac{\tau_{12}}{G}$
$\gamma_{23} = \frac{\tau_{23}}{G}$
$\gamma_{31} = \frac{\tau_{31}}{G}$

在平面應變條件下，我們考慮 1-2 平面。約束條件是 $\epsilon_3 = 0$。
$\epsilon_3 = \frac{1}{E} [\sigma_3 - \nu(\sigma_1 + \sigma_2)] = 0$
由此，我們可以得到 $\sigma_3$ 與 $\sigma_1, \sigma_2$ 的關係：
$\sigma_3 = \nu (\sigma_1 + \sigma_2)$

現在，我們將此 $\sigma_3$ 代入 $\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$ 的方程式中：
$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \sigma_3)]$
$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \nu (\sigma_1 + \sigma_2))]$
$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu \sigma_2 - \nu^2 \sigma_1 - \nu^2 \sigma_2]$
$\epsilon_1 = \frac{1}{E} [(1 - \nu^2) \sigma_1 - \nu(1 + \nu) \sigma_2]$

$\epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu(\sigma_1 + \sigma_3)]$
$\epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu(\sigma_1 + \nu (\sigma_1 + \sigma_2))]$
$\epsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu \sigma_1 - \nu^2 \sigma_1 - \nu^2 \sigma_2]$
$\epsilon_2 = \frac{1}{E} [-\nu(1 + \nu) \sigma_1 + (1 - \nu^2) \sigma_2]$

剪應變 $\gamma_{12}$ 與 $\tau_{12}$ 的關係不受影響：
$\gamma_{12} = \frac{\tau_{12}}{G}$

我們需要將應力表示為應變的函數，以便寫出矩陣 C。
從上述 $\epsilon_1$ 和 $\epsilon_2$ 的關係，我們可以寫成矩陣形式：

$$\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 - \nu^2 & -\nu(1 + \nu) \\ -\nu(1 + \nu) & 1 - \nu^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \end{bmatrix}$$

這個矩陣是應變矩陣，它是應力矩陣的逆矩陣。我們需要的是應力矩陣。
我們知道 $\tau_{12} = G \gamma_{12}$。

現在，我們需要解出 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 作為 $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3$ 的函數。
已知 $\epsilon_3 = 0$ 且 $\sigma_3 = \nu (\sigma_1 + \sigma_2)$。

考慮平面應變條件下的彈性矩陣 C。
我們有：
$\sigma_1 = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [(1-\nu)\epsilon_1 + \nu\epsilon_2 + \nu\epsilon_3]$
$\sigma_2 = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [\nu\epsilon_1 + (1-\nu)\epsilon_2 + \nu\epsilon_3]$
$\sigma_3 = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} [\nu\epsilon_1 + \nu\epsilon_2 + (1-\nu)\epsilon_3]$
$\tau_{12} = 2G \gamma_{12} = E \frac{\gamma_{12}}{1+\nu}$

核心觀念

半圓形桿件承受端部扭矩時，各截面的切線方向不同，因此端部力偶會同時產生局部扭矩與彎矩。端點沿施加力偶方向的轉角，必須同時計入扭轉與彎曲變形。

採用卡氏第二定理：

$$\phi_B=\frac{\partial U}{\partial T_0}, \qquad \delta_{B,v}=\left.\frac{\partial U}{\partial Q}\right|_{Q=0},$$

其中 $Q$ 為加在 $B$ 點、沿欲求位移方向的虛擬力。彎曲與扭轉應變能為

$$U=\int_0^{\pi R} \left(\frac{M^2}{2EI}+\frac{T^2}{2GJ}\right)\,ds.$$

$I$ 為截面彎曲慣性矩，$J$ 為極慣性矩；圓截面滿足 $J=2I$。

解題方法

圖中 $AB$ 為半徑 $R$ 的半圓形桿，$A$ 端固定、$B$ 端自由，$B$ 端施加沿該處切線方向的扭矩 $T_0$；所求垂直位移為垂直於半圓所在平面的位移。原頁其餘尺寸與荷重屬於其他題目，不代入本題。

設桿件均勻、材料線彈性，採用細長桿的小變形彎曲與扭轉理論。

（一）建立截面內力

取半圓位於 $x$–$y$ 平面，設定

$$B=(R,0,0),\qquad A=(-R,0,0),$$

並令 $T_0$ 沿 $+y$ 方向。由 $B$ 向 $A$ 量取圓心角 $\theta$，則

$$\boldsymbol r(\theta) =(R\cos\theta,R\sin\theta,0), \qquad 0\leq\theta\leq\pi, \qquad ds=R\,d\theta.$$

沿桿切線與面內法線的單位向量分別取為

$$\boldsymbol t=(-\sin\theta,\cos\theta,0), \qquad \boldsymbol n=(\cos\theta,\sin\theta,0).$$

將端部力偶 $T_0\boldsymbol e_y$ 投影至這兩個方向，得到截面扭矩與彎矩：

$$T=T_0\cos\theta, \qquad M=T_0\sin\theta.$$

（二）求 $B$ 端轉角

代入應變能：

$$U= \frac{T_0^2R}{2} \int_0^\pi \left( \frac{\sin^2\theta}{EI} +\frac{\cos^2\theta}{GJ} \right)d\theta.$$

利用

$$\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta = \int_0^\pi\cos^2\theta\,d\theta =\frac{\pi}{2},$$

可得

$$U=\frac{\pi T_0^2R}{4} \left(\frac{1}{EI}+\frac{1}{GJ}\right).$$

因此，$B$ 端沿 $T_0$ 軸向的轉角為

$$\boxed{ \phi_B= \frac{\pi T_0R}{2} \left(\frac{1}{EI}+\frac{1}{GJ}\right) }.$$

（三）求 $B$ 端垂直位移

在 $B$ 點施加沿 $-z$ 方向的虛擬力 $Q$。此力對截面產生的力矩為

核心觀念

本題結合：

• 剛性桿的力矩平衡；
• 剛性桿繞鉸支承 $B$ 轉動時的位移相容條件；
• 杆件的熱彈性變形：

$$\delta=L\left(\frac{\sigma}{E}+\alpha\Delta T\right)$$

其中第一項為機械應變造成的變形，第二項為熱膨脹變形。

由圖可知：

• $AB=2\,\text{m}$；
• $BC=1\,\text{m}$；
• $AD$ 上的載重為 $160\,\text{kN}$；
• $A$ 杆長 $L_A=2\,\text{m}$、截面積 $A_A=675\,\text{mm}^2$；
• $C$ 杆長 $L_C=1.5\,\text{m}$、截面積 $A_C=450\,\text{mm}^2$。

---

解題方法

由剛性桿繞 $B$ 轉動，$A$ 與 $C$ 的垂直位移方向相反。下端固定的 $A$ 杆受拉，上端固定的 $C$ 杆受壓，因此兩杆的應力大小相等時，應取

$$\sigma_A=+\sigma,\qquad \sigma_C=-\sigma$$

1. 對 $B$ 點取力矩

令兩杆的軸力皆以拉力為正，則桿件平衡為

$$2F_A+F_C-(160)(2)=0$$

又因兩杆應力大小相等，

$$\frac{F_A}{675}=-\frac{F_C}{450}$$

因此

$$F_A=-\frac{675}{450}F_C=-1.5F_C$$

代入力矩方程式：

$$2(-1.5F_C)+F_C=320$$ $$-2F_C=320$$ $$F_C=-160\,\text{kN}$$

所以

$$F_A=240\,\text{kN}$$

兩杆應力為

$$\sigma_A=\frac{240\times10^3}{675} =355.56\,\text{MPa}$$ $$\sigma_C=\frac{-160\times10^3}{450} =-355.56\,\text{MPa}$$

核心觀念

薄壁圓筒受內壓時，筒壁承受兩個互相垂直的膜應力：

• 環向應力：
  $\sigma_\theta=\frac{pr}{t}$
• 軸向應力：
  $\sigma_z=\frac{pr}{2t}$

其中 $p$ 為表壓、$r$ 為圓筒半徑、$t$ 為壁厚。

焊縫與水平方向（環向方向）夾角為 $\beta=30^\circ$。焊縫法線方向同時具有環向與軸向分量，因此焊縫法線上的正應力為

$$\sigma_n=\sigma_\theta\sin^2\beta+\sigma_z\cos^2\beta$$

題目要求此應力不得超過焊縫法線方向的容許應力 $75\ \text{MPa}$。

解題方法

由圖得：

$$D=600\ \text{mm},\qquad r=300\ \text{mm}$$ $$t=8\ \text{mm},\qquad \beta=30^\circ$$

代入薄壁圓筒應力公式：

$$\sigma_n = \frac{pr}{t}\sin^2\beta + \frac{pr}{2t}\cos^2\beta$$

整理得：

核心觀念

本題考查實心圓軸同時承受軸向力 $P$ 與扭矩 $T$ 時的組合應力，並以最大剪應力準則（Tresca 準則）判斷初降伏。

軸向力造成正向應力，扭矩造成圓軸表面的剪應力：

$$\sigma=\frac{P}{A},\qquad \tau_{\max}=\frac{Tc}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}$$

其中 $A=\pi d^2/4$、$J=\pi d^4/32$。在軸表面，最大剪應力為

$$\tau_{\text{Tresca}} =\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2+\tau_{\max}^2}$$

開始降伏時，Tresca 準則要求 $\tau_{\text{Tresca}}=\sigma_Y/2$。

解題方法

先由軸向力求正向應力。題目給定 $P=240\ \text{kN}$、$d=38\ \text{mm}$：

$$A=\frac{\pi(38\ \text{mm})^2}{4} =1134.1\ \text{mm}^2$$

核心觀念

旋轉軸的功率、扭矩與角速度關係為 $P=T\omega$。實心圓軸承受扭矩時，外表面的最大剪應力為

$$\tau_{\max}=\frac{Tc}{J}=\frac{16T}{\pi d^3}$$

軸徑由各段中最大的內部扭矩決定，因此先依功率流向判斷各段扭矩，再以容許剪應力求直徑。

解題方法

馬達輸入 $20\ \text{kW}$，其中齒輪 $F$ 取走 $8\ \text{kW}$，齒輪 $G$ 取走 $12\ \text{kW}$。由圖中馬達經中間齒輪輸入軸功率，功率分別往 $F$、$G$ 傳遞，因此兩側軸段分別傳遞 $8\ \text{kW}$ 與 $12\ \text{kW}$。最大扭矩對應 $12\ \text{kW}$。

轉速換算為角速度：

$$\omega=450\left(\frac{2\pi}{60}\right)=15\pi\ \text{rad/s}$$

最大扭矩為

核心觀念

本題考查圓形桿件的聖維南扭轉，以及卡氏第二定理求端點位移。

圓形實心桿的極慣性矩為

$$J=\frac{\pi d^4}{32}$$

扭轉基本關係式為

$$\frac{d\phi}{ds}=\frac{T}{GJ}$$

其中 $T$ 為內部扭矩、$G$ 為剪切模數、$J$ 為極慣性矩。

以下採題目常用理想化：$T_0$ 沿桿件局部切線傳遞，忽略彎曲與剪切變形；半圓弧位於水平面，所求垂直位移為垂直於弧面的位移。

---

(a) B 點的扭轉角

半圓弧長為

$$L=\pi R$$

桿內扭矩大小為常數 $T_0$，因此

$$\phi_B =\int_A^B \frac{T_0}{GJ}\,ds =\frac{T_0}{GJ}\int_A^B ds$$

代入弧長：

$$\boxed{\phi_B=\frac{\pi R T_0}{GJ}}$$

若為實心圓桿，則

$$\boxed{\phi_B=\frac{32RT_0}{Gd^4}}$$

扭轉方向依 $T_0$ 的方向判定。

---

(b) B 點的垂直位移

在 B 點施加一個虛擬垂直力 $P$，利用卡氏定理：

$$\delta_B=\left.\frac{\partial U}{\partial P}\right|_{P=0}$$

扭轉應變能為

$$U=\int_A^B \frac{T^2}{2GJ}\,ds$$

令半圓弧以角度 $\theta$ 參數化，則

$$ds=R\,d\theta,\qquad 0\leq\theta\leq\pi$$