109 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班戊組《熱力學（D）》

核心觀念

本題考查活塞汽缸的準靜態邊界功，以及線性彈簧的力與位移關係。

• 活塞上升造成體積變化：

  $\Delta V=V_2-V_1$

• 活塞位移與體積變化的關係：

  $\Delta x=\frac{\Delta V}{A}$

• 線性彈簧的彈力：

  $F_s=kx$

• 彈簧對氣體造成的壓力增加量：

  $\Delta P_s=\frac{F_s}{A}=\frac{kx}{A}$

• 準靜態過程中，氣體對外所做的總功為：

  $W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$

由於彈簧力隨位移線性增加，因此氣體壓力也隨體積線性增加，$P$-$V$ 圖為一直線，功等於梯形面積。

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已知資料

$V_1=0.03\ \text{m}^3$

$P_1=120\ \text{kPa}$

$V_2=2V_1=0.06\ \text{m}^3$

$A=0.3\ \text{m}^2$

$k=120\ \text{kN/m}$

體積變化為：

$\Delta V=0.06-0.03=0.03\ \text{m}^3$

活塞上升距離：

$$x=\frac{\Delta V}{A} =\frac{0.03}{0.3} =0.10\ \text{m}$$

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(1) 最終壓力

初始狀態中，彈簧雖然接觸活塞，但尚未變形，因此彈簧對活塞沒有作用力。

活塞上升 $x=0.10\ \text{m}$ 後，彈簧力為：

$F_s=kx$

$$F_s=(120\ \text{kN/m})(0.10\ \text{m}) =12\ \text{kN}$$

彈簧所增加的壓力為：

$$\Delta P_s=\frac{F_s}{A} =\frac{12\ \text{kN}}{0.3\ \text{m}^2} =40\ \text{kPa}$$

因此最終壓力為：

$P_2=P_1+\Delta P_s$

$P_2=120+40=160\ \text{kPa}$

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(2) 氣體所做的總功

因為彈簧為線性彈簧，壓力從 $120\ \text{kPa}$ 線性增加至 $160\ \text{kPa}$，故邊界功為 $P$-$V$ 圖下的梯形面積：

核心觀念

本題考查濕空氣性質線圖（psychrometric chart）中各狀態量的關係：

• 相對濕度：$\phi=\dfrac{p_v}{p_{ws}(T_{db})}$
• 露點溫度 $T_{dp}$：當空氣冷卻至此溫度時開始凝結，因此
  $p_v=p_{ws}(T_{dp})$
• 含濕量（圖中標示為 moisture content）：
  $w=0.622\frac{p_v}{P-p_v}$

以下採標準大氣壓 $P=101.325\ \text{kPa}$。

解題方法

露點溫度為 $25^\circ\text{C}$，故水蒸氣分壓為 $25^\circ\text{C}$ 的飽和蒸氣壓：

$p_v=p_{ws}(25^\circ\text{C})\approx3.17\ \text{kPa}$

（1）乾球溫度

已知相對濕度為 $40\%$：

$\phi=\frac{p_v}{p_{ws}(T_{db})}=0.40$

因此

$p_{ws}(T_{db})=\frac{3.17}{0.40}\approx7.93\ \text{kPa}$

由飽和蒸氣壓表或濕空氣線圖查得：

$T_{db}\approx41.5^\circ\text{C}\approx42^\circ\text{C}$

（2）濕球溫度

在濕空氣線圖上，先由：

• 乾球溫度約 $42^\circ\text{C}$
• 相對濕度 $40\%$

的交點定位，再沿該狀態點的濕球溫度線讀值，可得：

核心觀念

本題考查飽和水與水蒸氣性質表的查用，以及：

• 等壓汽化熱：$h_{fg}=h_g-h_f$

• 相對濕度：$\phi=p_v/p_{sat}$

• 飽和混合物的品質：

  $x=\frac{v-v_f}{v_{fg}}=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}$

• 飽和混合物的比內能：

  $u=u_f+xu_{fg}$

以下採用 50°C 飽和水表資料：

$$p_{sat}=12.35\ \text{kPa}$$ $$v_f=0.001012\ \text{m}^3/\text{kg},\qquad v_g=12.03\ \text{m}^3/\text{kg}$$ $$h_f=209.3\ \text{kJ/kg},\qquad h_{fg}=2382.7\ \text{kJ/kg}$$

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（1）50°C 水的汽化熱

在定壓汽化過程中，水由飽和液體變成飽和蒸氣，所吸收的熱量等於焓差：

$$q_p=\Delta h=h_g-h_f=h_{fg}$$

由 50°C 飽和水表：

$$\boxed{h_{fg}=2382.7\ \text{kJ/kg}}$$

因此，50°C 水的單位質量汽化熱約為：

$$\boxed{2.383\times 10^3\ \text{kJ/kg}}$$

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（2）相對濕度

相對濕度定義為實際水蒸氣分壓與同溫度下飽和壓力的比值：

$$\phi=\frac{p_v}{p_{sat}}\times 100\%$$

題目給定：

$$p_v=2.5\ \text{kPa}$$

50°C 時：

$$p_{sat}=12.35\ \text{kPa}$$

代入：

$$\phi=\frac{2.5}{12.35}\times100\%$$ $$\phi=20.24\%$$

所以：

$$\boxed{\phi\approx20.2\%}$$

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（3）空間膨脹兩倍後的性質

解題方法與基本假設

將系統視為封閉系統，水的質量不變；空間維持在 50°C，且體積由 $V_1$ 增加為 $V_2=2V_1$。

初始狀態為 50°C 的飽和液體，因此：

$$v_1=v_f$$

由於質量固定：

$$v=\frac{V}{m}$$

所以體積加倍後，比體積也加倍：

$$v_2=\frac{V_2}{m} =\frac{2V_1}{m} =2v_1 =2v_f$$

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① 最終比體積

$$v_2=2(0.001012)$$ $$\boxed{v_2=0.002024\ \text{m}^3/\text{kg}}$$

因為：

$$v_f<v_2<v_g$$

故膨脹後狀態位於飽和兩相區，是飽和液體與飽和蒸氣的混合物。

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② 最終品質

兩相混合物的比體積關係為：

此題為關於空調系統 (冷氣機) 與熱泵的效率計算題。

核心觀念：

1. 性能係數 (Coefficient of Performance, COP)：衡量熱力學循環效率的指標。
   • 對於冷氣機 (Chiller)，COP (cooling) 定義為：$COP_R = \frac{\text{Desired Output (Cooling Load)}}{\text{Required Input (Work Input)}}$。
   • 對於熱泵 (Heat Pump)，COP (heating) 定義為：$COP_H = \frac{\text{Desired Output (Heating Load)}}{\text{Required Input (Work Input)}}$。
2. 理想循環 (Ideal Cycle)：通常指卡諾循環 (Carnot cycle)，在給定溫度範圍內具有最高效率。
3. 卡諾 COP 計算：
   • 理想冷氣機的 COP：$COP_{R, ideal} = \frac{T_L}{T_H - T_L}$ (其中 $T_L$ 是低溫熱源溫度，$T_H$ 是高溫熱源溫度，單位為絕對溫度 K)。
   • 理想熱泵的 COP：$COP_{H, ideal} = \frac{T_H}{T_H - T_L}$ (單位為絕對溫度 K)。

已知條件：

• 空調 (chiller) 的 COP = 4。
• 冷氣機的冷卻能力 (Cooling Capacity) = 6 kW。
• 熱泵的 COP = 4 (假設與冷氣機的 COP 相同)。
• 熱泵工作在 27 °C 和 7 °C 之間。

解題步驟：

(1) 空調消耗的電功率 (Electrical power to consume)

已知空調的 COP (COP_R) 和冷卻能力 (Cooling Load)。
$COP_R = \frac{\text{Cooling Load}}{\text{Work Input}}$
$4 = \frac{6 \, \text{kW}}{\text{Work Input}}$
Work Input = $\frac{6 \, \text{kW}}{4} = 1.5 \, \text{kW}$。
這裡的 Work Input 就是消耗的電功率。