111 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班乙組《熱力學（D）》

📄 試題原卷　免費註冊後即可對照原始考卷 PDF免費註冊

第 1 題

A mass of 2 kg water is contained in a piston-cylinder device at 100 kPa. Initially, the piston rests on the lower stop such that the volume occupied by the water is 1.2 m³. Heat is transferred to the water and the piston starts moving. A pressure of 200 kPa is required to support the piston, and the volume enclosed by the upper stop is 1.6 m³. Heat is added to the water until the water exists as a saturated vapor.
(a) Sketch each step on a p-v diagram. (4%)
(b) How much net work does the water do on the piston during whole process? (6%)
(c) What are the final pressure and temperature? (10%)

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 1 頁

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查活塞汽缸中水的分段加熱過程，以及 pp–vv 圖與邊界功：

  1. 活塞受到下止擋限制時，體積保持不變。
  2. 活塞開始移動後，需以固定壓力 200 kPa200\ \text{kPa} 支撐，因此為定壓膨脹。
  3. 活塞碰到上止擋後，體積再次固定。
  4. 邊界功為
Wb=∫p dVW_b=\int p\,dV

只有活塞移動的定壓階段有功，定容階段皆無功。

解題方法

總質量為 m=2 kgm=2\ \text{kg}。各狀態的比體積為

v1=V1m=1.22=0.6 m3/kgv_1=\frac{V_1}{m}=\frac{1.2}{2}=0.6\ \text{m}^3/\text{kg}

上止擋對應的比體積為

v3=v4=1.62=0.8 m3/kgv_3=v_4=\frac{1.6}{2}=0.8\ \text{m}^3/\text{kg}

過程可分為三段：

  • 1→21\to2：活塞在下止擋，定容加熱
    V=1.2 m3V=1.2\ \text{m}^3，直到壓力升至 200 kPa200\ \text{kPa}。
  • 2→32\to3：活塞移動，定壓膨脹
    P=200 kPaP=200\ \text{kPa}，直到 V=1.6 m3V=1.6\ \text{m}^3。
  • 3→43\to4：活塞在上止擋，定容加熱
    V=1.6 m3V=1.6\ \text{m}^3，直到水成為飽和蒸氣。

(a) pp–vv 圖

以比體積 vv 為橫軸、壓力 pp 為縱軸：

  • 狀態 1：(v1,p1)=(0.6 m3/kg,100 kPa)(v_1,p_1)=(0.6\ \text{m}^3/\text{kg},100\ \text{kPa})
  • 1→21\to2：定容線，垂直向上至 p2=200 kPap_2=200\ \text{kPa}
  • 2→32\to3：定壓線，水平向右至 v3=0.8 m3/kgv_3=0.8\ \text{m}^3/\text{kg}
  • 3→43\to4：定容線，垂直向上，直到狀態 4 位於飽和蒸氣線上

示意如下：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 2 題20 分

A balloon initially contains 10 m310\text{ m}^3 of helium gas at atmospheric conditions of 100 kPa100\text{ kPa} and 17∘C17^\circ\text{C}. The balloon is connected by a valve to a large reservoir that supplies helium gas at 125 kPa125\text{ kPa} and 25∘C25^\circ\text{C}. Now the valve is opened, and helium is allowed to enter the balloon until pressure equilibrium with the helium at the supply line is reached. The material of the balloon is such that its volume increases linearly with pressure. If no heat transfer takes place during this process, determine
(a) the work done by the balloon (10%) and
(b) the final mass and temperature in the balloon (10%). (Cp=5.1926 kJ/kg⋅KC_p = 5.1926\text{ kJ/kg}\cdot\text{K}, Cv=3.1156 kJ/kg⋅KC_v = 3.1156\text{ kJ/kg}\cdot\text{K} for helium)

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

這題考查可變容器的非定常充填，以及絕熱開放系統的質量與能量平衡。

  • 氦氣視為理想氣體，使用 PV=mRTPV=mRT，其中 R=Cp−CvR=C_p-C_v。
  • 充填過程中，入口帶入的能量以入口焓 minhinm_{\text{in}}h_{\text{in}} 計算。
  • 氣球膨脹時對外作邊界功 Wb=∫P dVW_b=\int P\,dV。
  • 題目未提供一般線性關係 V=a+bPV=a+bP 的斜率；以下依考題慣例，將「體積隨壓力線性增加」解讀為 V∝PV\propto P。

解題方法

1. 求末態體積與氣球作功

已知體積與壓力成正比，因此

V2V1=P2P1\frac{V_2}{V_1}=\frac{P_2}{P_1} V2=10(125100)=12.5 m3V_2=10\left(\frac{125}{100}\right)=12.5\ \mathrm{m^3}

壓力隨體積線性變化，故邊界功可用平均壓力乘以體積變化：

Wb=∫V1V2P dV=P1+P22(V2−V1)W_b=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV =\frac{P_1+P_2}{2}(V_2-V_1) Wb=100+1252(12.5−10)=281.25 kJW_b=\frac{100+125}{2}(12.5-10) =281.25\ \mathrm{kJ}

此處 1 kPa⋅m3=1 kJ1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\ \mathrm{kJ}，所以氣球對外作功為 281.25 kJ281.25\ \mathrm{kJ}。

2. 建立絕熱充填能量平衡

取氣球為控制體。過程中無熱傳，且沒有氣體流出，忽略動能與位能變化。能量平衡為

U2−U1=minhin−WbU_2-U_1=m_{\text{in}}h_{\text{in}}-W_b

其中 min=m2−m1m_{\text{in}}=m_2-m_1，入口氦氣的焓為 hin=CpTsh_{\text{in}}=C_pT_s。整理得

m2CvT2−m1CvT1=(m2−m1)CpTs−Wbm_2C_vT_2-m_1C_vT_1 =(m_2-m_1)C_pT_s-W_b

理想氣體關係 mRT=PVmRT=PV 可將內能項改寫為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 3 題20 分

Air at 600 kPa600\text{ kPa}, 500 K500\text{ K} and a mass flow of 200 kg/h200\text{ kg/h} enters a pipe. At the pipe exit, the pressure and temperature of the air are 550 kPa550\text{ kPa} and 400 K400\text{ K}, respectively. Assuming air is ideal gas and kinetic and potential energy effects can be ignored. Heat transfer between the pipe and its surroundings occurs at an average outer surface temperature of 380 K380\text{ K}. At steady state, please determine the following. (Please state all of your assumptions.)
(a) the rate of heat transfer, in kW\text{kW}, for a control volume comprising the pipe and its contents (8%) and
(b) the rate of entropy production, in kW/K\text{kW/K}. (12%)

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題使用穩定流控制體的能量平衡與熵平衡。能量平衡求熱傳率；熵平衡則以流體的熵變及穿越控制體邊界的熱傳熵流，求熵產生率。

以下以熱量傳入控制體為正。空氣視為定比熱理想氣體，取 cp=1.005 kJ/(kg⋅K)c_p=1.005\ \text{kJ/(kg·K)}、R=0.287 kJ/(kg⋅K)R=0.287\ \text{kJ/(kg·K)}。

假設與已知量

  • 穩定狀態，控制體內無能量或熵的累積。
  • 控制體包含管子及其內部空氣，沒有軸功或其他功輸入、輸出。
  • 動能與位能變化忽略。
  • 空氣為理想氣體，且以定比熱計算焓與熵變。
  • 熱量只在管子與周遭環境之間傳遞，熱傳邊界的平均溫度為 380 K380\ \text{K}。

質量流率換算為

m˙=200 kg/h3600 s/h=0.05556 kg/s\dot m=\frac{200\ \text{kg/h}}{3600\ \text{s/h}} =0.05556\ \text{kg/s}

(a) 熱傳率

穩定流能量平衡為

Q˙−W˙=m˙[(h2−h1)+V22−V122+g(z2−z1)]\dot Q-\dot W = \dot m\left[ (h_2-h_1)+\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(z_2-z_1) \right]

依假設，功、動能與位能項皆為零，因此

Q˙=m˙(h2−h1)\dot Q=\dot m(h_2-h_1)

定比熱理想氣體的焓差為

h2−h1=cp(T2−T1)=1.005(400−500)=−100.5 kJ/kgh_2-h_1=c_p(T_2-T_1) =1.005(400-500) =-100.5\ \text{kJ/kg}

故

Q˙=0.05556(−100.5)=−5.58 kW\dot Q =0.05556(-100.5) =-5.58\ \text{kW}

負號表示熱量由控制體傳出；熱損失率的大小為 5.58 kW5.58\ \text{kW}。

(b) 熵產生率

穩定流熵平衡為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 4 題20 分

The equation of state for a certain substance over a certain range of temperatures and pressures.
V=RTP−cT3V = \frac{RT}{P} - \frac{c}{T^3}
where cc is a constant.

For an isothermal process of this substance, derive a simple expression for
(a) the change of enthalpy. (10%)
(b) the change of entropy. (10%)

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

題目給定狀態方程

V=RTP−cT3V=\frac{RT}{P}-\frac{c}{T^3}

要求等溫過程的焓變與熵變。關鍵是使用以 T、PT、P 為變數的熱力學關係：

dH=CP dT+[V−T(∂V∂T)P]dPdH=C_P\,dT+\left[V-T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\right]dP dS=CPT dT−(∂V∂T)PdPdS=\frac{C_P}{T}\,dT-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P dP

這兩式分別來自焓的基本關係與 Maxwell 關係。等溫過程中 dT=0dT=0，因此不需要知道熱容量 CPC_P。

解題方法與推導

令過程在固定溫度 TT 下，由壓力 P1P_1 變到 P2P_2。先由狀態方程求定壓溫度偏導數：

(∂V∂T)P=RP+3cT4\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P =\frac{R}{P}+\frac{3c}{T^4}

(a) 焓變

等溫時 dT=0dT=0，所以

dH=[V−T(∂V∂T)P]dPdH=\left[V-T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\right]dP

代入 VV 與偏導數：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 5 題20 分

Air at 30∘C30^\circ\text{C}, 1 atm1\text{ atm}, and 70%70\% relative humidity enters a dehumidifier operating at steady state with a mass flow rate of 1 kg/s1\text{ kg/s}. Saturated moist air and condensate exit in separate streams, each at 10∘C10^\circ\text{C}. Neglecting kinetic and potential energy effects, determine
(a) the rate of heat transfer from the moist air, in kJ/s\text{kJ/s}, (10%)
(b) the rate water is condensed, in kg/s\text{kg/s}. (10%)

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

濕空氣可視為乾空氣與水蒸氣的混合物。穩態下，乾空氣不凝結，因此可用乾空氣質量守恆求出凝結水量；能量平衡則須同時計入出口飽和濕空氣與液態凝結水的焓。

含濕量定義為每公斤乾空氣所含的水蒸氣質量：

ω=0.622pvP−pv\omega=0.622\frac{p_v}{P-p_v}

濕空氣焓以每公斤乾空氣為基準：

h=1.005T+ω(2500+1.88T)[kJkg乾空氣]h=1.005T+\omega(2500+1.88T) \quad \left[\frac{\text{kJ}}{\text{kg乾空氣}}\right]

其中 TT 以攝氏度表示，pvp_v 為水蒸氣分壓。液態水焓採 0∘C0^\circ\text{C} 為基準，近似為 hf=4.18Th_f=4.18T。

解題方法

題目未明確指出 1 kg/s1\text{ kg/s} 是總濕空氣流率或乾空氣流率；以下依題目字面，將它視為入口總濕空氣流率。取控制體包住除濕器，並以「熱量由濕空氣傳出」為正值。

在 30∘C30^\circ\text{C}，水的飽和蒸氣壓約為 4.246 kPa4.246\text{ kPa}，所以入口水蒸氣分壓為

pv,1=ϕpg,1=0.70(4.246)=2.972 kPap_{v,1}=\phi p_{g,1} =0.70(4.246)=2.972\text{ kPa}

入口含濕量為

ω1=0.6222.972101.325−2.972=0.01879kg水蒸氣kg乾空氣\omega_1 =0.622\frac{2.972}{101.325-2.972} =0.01879\frac{\text{kg水蒸氣}}{\text{kg乾空氣}}

出口濕空氣為 10∘C10^\circ\text{C} 飽和狀態。取 10∘C10^\circ\text{C} 的飽和蒸氣壓 pg,2=1.228 kPap_{g,2}=1.228\text{ kPa}：

ω2=0.6221.228101.325−1.228=0.007631kg水蒸氣kg乾空氣\omega_2 =0.622\frac{1.228}{101.325-1.228} =0.007631\frac{\text{kg水蒸氣}}{\text{kg乾空氣}}

依乾空氣質量守恆，凝結水量等於入口與出口水蒸氣量之差：

m˙condm˙da=ω1−ω2=0.01116kg凝結水kg乾空氣\frac{\dot m_{\text{cond}}}{\dot m_{da}} =\omega_1-\omega_2 =0.01116\frac{\text{kg凝結水}}{\text{kg乾空氣}}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享三天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

其他學校的生物生化系考古題

成功大學204中正大學10中山大學26臺灣海洋大學1