112 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班乙組《熱力學》

核心觀念

本題考查活塞—汽缸系統的邊界功，以及線性彈簧的受力與彈簧功。

使用公式：

• 活塞位移與體積變化：

  $\Delta V=A x$

• 彈簧力：

  $F_s=kx$

• 活塞平衡時，彈簧造成的壓力增加量：

  $\Delta P_s=\frac{F_s}{A}$

• 氣體總功：

  $W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV$

由於彈簧力隨位移線性增加，因此壓力也隨體積線性增加，可用平均壓力計算功。

解題方法

已知：

$V_1=0.03\ \text{m}^3$

$P_1=120\ \text{kPa}$

$k=120\ \text{kN/m}=120000\ \text{N/m}$

$A=0.3\ \text{m}^2$

體積增加至原來的三倍：

$V_2=3V_1=0.09\ \text{m}^3$

因此：

$\Delta V=V_2-V_1=0.06\ \text{m}^3$

(a) 最終壓力

活塞上升距離為：

$$x=\frac{\Delta V}{A} =\frac{0.06}{0.3} =0.2\ \text{m}$$

彈簧最終受力：

$$F_s=kx =120000(0.2) =24000\ \text{N} =24\ \text{kN}$$

彈簧造成的壓力增加量：

$$\Delta P_s=\frac{F_s}{A} =\frac{24000}{0.3} =80000\ \text{Pa} =80\ \text{kPa}$$

所以最終壓力為：

$$P_2=P_1+\Delta P_s =120+80 =\boxed{200\ \text{kPa}}$$

(b) 氣體所做的總功

壓力由 $120\ \text{kPa}$ 線性增加至 $200\ \text{kPa}$，平均壓力為：

本題主要考驗對濕空氣的性質分析，包含絕對濕度、焓、露點溫度以及蒸發冷卻的應用，主要利用濕度圖 (Psychrometric Chart) 來求解。

核心觀念：

1. 濕空氣性質：乾球溫度 (Dry-bulb Temperature, DBT)、相對濕度 (Relative Humidity, RH)、絕對濕度 (Absolute Humidity, $\omega$)、焓 (Enthalpy, $h$)、露點溫度 (Dew Point Temperature, Tdp)、濕球溫度 (Wet-bulb Temperature, WBT)。
2. 濕度圖 (Psychrometric Chart)：這是一個以乾球溫度為橫座標，絕對濕度或比濕度為縱座標，並標示有相對濕度線、濕球溫度線、焓線、比濕度線等的圖表。
3. 蒸發冷卻 (Evaporative Cooling)：一種利用水蒸發過程吸收熱量來降低空氣溫度的過程。在直接蒸發冷卻中，空氣與水直接接觸，空氣的焓保持不變 (或略有增加，考慮到水蒸氣的加入)，但溫度降低。

已知條件：

• 乾球溫度 $T_{db} = 23.5^\circ\text{C}$
• 相對濕度 $RH = 80\%$
• 總壓力 $P = 1 \, \text{atm}$ (由濕度圖標示得知)

解題步驟：

(a) 絕對濕度 $\omega$ 和焓 $h$

由濕度圖可知：

1. 找到乾球溫度 $23.5^\circ\text{C}$ 的縱線。
2. 找到相對濕度 $80\%$ 的曲線。
3. 這兩條線的交點即為空氣的狀態點。

從圖上，找到 $T_{db} = 23.5^\circ\text{C}$ (介於 $20^\circ\text{C}$ 和 $25^\circ\text{C}$ 之間，約略在 $23.5$ 的位置)。
找到 $RH = 80\%$ 的曲線。
從交點：

• 絕對濕度 $\omega$：沿著交點向左讀取縱座標 (Specific humidity, grams moisture / kilogram dry air)。
  在 $T_{db} = 23.5^\circ\text{C}$ 和 $RH = 80\%$ 的交點，讀取絕對濕度。
  觀察 $RH=80\%$ 曲線，在 $T_{db}=20^\circ\text{C}$ 時，$\omega \approx 11.5 \, \text{g/kg}$。在 $T_{db}=25^\circ\text{C}$ 時，$\omega \approx 16 \, \text{g/kg}$。
  在 $T_{db}=23.5^\circ\text{C}$ 時，$\omega$ 會介於這兩個值之間。
  具體讀值：當 $T_{db}=23.5^\circ\text{C}$ 時，沿著 $RH=80\%$ 的曲線，讀取縱座標。大約是 $14.5 \, \text{g/kg}$。
  $\omega \approx 14.5 \, \text{g/kg} = 0.0145 \, \text{kg}_w/\text{kg}_{da}$。

• 焓 $h$：沿著交點向下或向左上方讀取焓線 (Enthalpy, kJ/kg dry air)。
  焓線是從圖的左下方斜向右上延伸的直線。
  在 $T_{db} = 23.5^\circ\text{C}$ 和 $RH = 80\%$ 的交點，讀取焓值。
  觀察圖上的焓線：$h=60 \, \text{kJ/kg}$ 的線通過 $T_{db} \approx 20^\circ\text{C}, RH \approx 26\%$。$h=70 \, \text{kJ/kg}$ 的線通過 $T_{db} \approx 26^\circ\text{C}, RH \approx 24\%$。
  我們的狀態點在 $T_{db}=23.5^\circ\text{C}$ 且 $RH=80\%$。
  在 $T_{db} = 23.5^\circ\text{C}$ 這條線上，$RH=100\%$ 時，焓值約為 $70 \, \text{kJ/kg}$。
  沿著 $T_{db}=23.5^\circ\text{C}$ 的線，當 $RH=80\%$ 時，焓值大約在 $65 \, \text{kJ/kg}$ 左右。
  更精確的讀值：在 $T_{db} = 23.5^\circ\text{C}$，沿著 $RH=80\%$ 的曲線，讀取焓值。

本題主要考驗對空調 (冷氣機) 和熱泵的性能係數 (COP) 的理解與計算。

核心觀念：

1. 冷氣機 (Chiller/Air Conditioner) 的性能係數 (COP_cooling)：
   $COP_{\text{cooling}} = \frac{\text{Desired Output}}{\text{Required Input}} = \frac{\text{Cooling Capacity (Heat removed from cold reservoir)}}{\text{Work Input}}$
   $COP_C = \frac{Q_L}{W_{in}}$
   其中 $Q_L$ 是從低溫端移走的熱量 (冷卻量)，$W_{in}$ 是消耗的功。

2. 熱泵 (Heat Pump) 的性能係數 (COP_heating)：
   $COP_{\text{heating}} = \frac{\text{Desired Output}}{\text{Required Input}} = \frac{\text{Heating Capacity (Heat delivered to hot reservoir)}}{\text{Work Input}}$
   $COP_H = \frac{Q_H}{W_{in}}$
   其中 $Q_H$ 是向高溫端輸出的熱量 (加熱量)，$W_{in}$ 是消耗的功。

3. 熱力學第一定律應用於循環：對於一個穩態循環，系統吸收或放出的淨熱量等於系統對外做的淨功。
   $W_{in} = Q_H - Q_L$ (其中 $Q_H$ 和 $Q_L$ 是指絕對值)。

4. 卡諾定理 (Carnot's Theorem)：任何工作於兩個溫度熱源之間的熱機，其效率不可能超過工作於相同兩個熱源之間的卡諾熱機的效率。對於熱泵和冷氣機，這意味著在給定溫度下，理想熱泵/冷氣機 (卡諾循環) 具有最大的 COP。

   • 理想冷氣機 COP: $COP_{C, ideal} = \frac{T_L}{T_H - T_L}$
   • 理想熱泵 COP: $COP_{H, ideal} = \frac{T_H}{T_H - T_L}$
     其中 $T_H$ 和 $T_L$ 是絕對溫度 (Kelvin)。
     注意：$COP_{H, ideal} = COP_{C, ideal} + 1$。

解題步驟：

(a) 冷氣機消耗的電功率

已知：

• $COP_C = 5$
• 冷卻能力 (Cooling Capacity) $Q_L = 8 \, \text{kW}$ (這是從低溫區移走的熱量)

根據冷氣機 COP 的定義：
$COP_C = \frac{Q_L}{W_{in}}$
$5 = \frac{8 \, \text{kW}}{W_{in}}$

計算輸入的功 (電功率)：
$W_{in} = \frac{8 \, \text{kW}}{5} = 1.6 \, \text{kW}$。

本題主要考驗對水蒸氣性質、相變過程、以及氣體與蒸氣區別的理解。部分題目需要查閱水蒸氣性質表。

核心觀念：

1. 等壓過程中的蒸發熱：在等壓過程中，物質從液態轉變為氣態 (蒸發) 所需的熱量，即為焓變 $h_{fg}$。
2. 飽和蒸汽壓與相對濕度：相對濕度定義為實際水蒸氣分壓與該溫度下飽和水蒸氣壓之比。
3. 飽和液體與蒸汽的性質：在飽和狀態下，液體和蒸汽共存。特定溫度下的飽和液體比容 ($v_f$)、飽和蒸汽比容 ($v_g$)、飽和液體內能 ($u_f$)、飽和蒸汽內能 ($u_g$)，以及蒸發焓 ($h_{fg}$) 可查表獲得。品質 (Quality, $x$) 定義為蒸汽的質量佔總質量的比例。
4. 比容、品質與內能的關係：
   • 比容 $v = v_f + x(v_g - v_f)$
   • 內能 $u = u_f + x(u_g - u_f)$
5. 蒸氣 (Vapor) 與氣體 (Gas) 的區別：主要在於其接近或遠離臨界點的狀態，以及其可壓縮性。

已知條件與數據：

• 水蒸氣性質表 (Saturated water-Temperature table)

解題步驟：

(a) 在 70°C 等壓過程中的蒸發熱

題目問的是「熱量」，但更精確地說，等壓過程中的「汽化潛熱」或「蒸發焓」。
查閱給定的 "Saturated water-Temperature table"，找到溫度 $T = 70^\circ\text{C}$。
在該列中，找到 "Evap., vapor" 的 "Enthalpy" ($h_{fg}$) 值。
$T = 70^\circ\text{C}$
$h_{fg} = 2626.1 \, \text{kJ/kg}$。

請注意，題目問的是「熱量」，但通常在熱力學中，我們指的是「單位質量」的蒸發焓。如果題目意指一個具體質量的蒸發熱，則需要知道質量。假設題目問的是單位質量的蒸發焓。

【答案】(a) $2626.1 \, \text{kJ/kg}$ (單位質量的蒸發焓)

(b) 在 70°C 且水蒸氣分壓為 12 kPa 時的相對濕度

相對濕度 (RH) 的定義為：
$RH = \frac{P_v}{P_{sat}(T)} \times 100\%$
其中：

• $P_v$ 是水蒸氣的實際分壓 (Actual vapor pressure)。
• $P_{sat}(T)$ 是在該溫度 $T$ 下的飽和水蒸氣壓 (Saturation vapor pressure)。

已知：

• 溫度 $T = 70^\circ\text{C}$
• 水蒸氣分壓 $P_v = 12 \, \text{kPa}$

查閱水蒸氣性質表，找到溫度 $T = 70^\circ\text{C}$ 時的飽和壓力 $P_{sat}$。
在 $T = 70^\circ\text{C}$ 這一列，找到 "Sat. press."，其值為 $31.202 \, \text{kPa}$。
所以，$P_{sat}(70^\circ\text{C}) = 31.202 \, \text{kPa}$。

計算相對濕度：
$RH = \frac{12 \, \text{kPa}}{31.202 \, \text{kPa}} \times 100\%$
$RH \approx 0.38458 \times 100\% \approx 38.5\%$。

【答案】(b) 約 $38.5\%$

(c) 填充飽和液體並維持在 50°C 的空間，體積膨脹至原來的 105%，求比容、品質和內能

已知：

• 初始狀態：飽和液體，溫度 $T = 50^\circ\text{C}$。
• 過程：體積膨脹至原來的 $105\%$。

首先，查閱水蒸氣性質表，找到 $T = 50^\circ\text{C}$ 時的飽和液體性質：

• 飽和壓力 $P_{sat} = 15.763 \, \text{kPa}$
• 飽和液體比容 $v_f = 0.001015 \, \text{m}^3/\text{kg}$
• 飽和蒸汽比容 $v_g = 9.5639 \, \text{m}^3/\text{kg}$
• 飽和液體內能 $u_f = 230.24 \, \text{kJ/kg}$
• 飽和蒸汽內能 $u_g = 2219.1 \, \text{kJ/kg}$
• 蒸發焓 $h_{fg} = 2449.3 \, \text{kJ/kg}$ (此處用不到)

1. 初始狀態的體積和質量
題目未給定質量，但要求比容、品質和內能，這通常是指單位質量的性質。
假設我們有 $1 \, \text{kg}$ 的物質。
初始體積 $V_1 = m \times v_f = 1 \, \text{kg} \times 0.001015 \, \text{m}^3/\text{kg} = 0.001015 \, \text{m}^3$ (因為是飽和液體，品質