111 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班戊組《材料力學（D）》

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第 1 題20 分

(20 Points) The spherical pressure vessel has an inner diameter of 2 m and a thickness of 10 mm. A strain gage having a length of 20 mm is attached to it, and it is observed to increase in length by 0.012 mm when the vessel is pressurized. Determine the pressure causing this deformation, and find the maximum in-plane shear stress, and the absolute maximum shear stress at a point on the outer surface of the vessel. The material is steel with Young's modulus of 200 GPa and Poisson's ratio of 0.3.

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核心觀念

薄壁球形壓力容器受內壓時，表面兩個互相垂直的切向主應力相等，且外表面的徑向應力近似為零：

σ1=σ2=pr2t,σ3≈0\sigma_1=\sigma_2=\frac{pr}{2t},\qquad \sigma_3\approx 0

由廣義虎克定律，兩個切向應變相同：

ε1=ε2=σ1−νσ2E=1−νEσ1\varepsilon_1=\varepsilon_2 =\frac{\sigma_1-\nu\sigma_2}{E} =\frac{1-\nu}{E}\sigma_1

解題方法

應變規長 20 mm20\ \text{mm}，受壓後伸長 0.012 mm0.012\ \text{mm}，所以量得的切向應變為

ε=ΔLL=0.01220=0.0006\varepsilon=\frac{\Delta L}{L} =\frac{0.012}{20} =0.0006

代入 E=200 GPaE=200\ \text{GPa}、ν=0.3\nu=0.3，求得切向主應力：

σ1=σ2=Eε1−ν=(200 GPa)(0.0006)0.7=171.43 MPa\sigma_1=\sigma_2 =\frac{E\varepsilon}{1-\nu} =\frac{(200\ \text{GPa})(0.0006)}{0.7} =171.43\ \text{MPa}

題目給內徑 2 m2\ \text{m}，故內半徑 r=1 mr=1\ \text{m}；壁厚 t=10 mm=0.01 mt=10\ \text{mm}=0.01\ \text{m}。

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第 2 題20 分

(20 Points) The rubber block is confined in the U-shape smooth rigid block. If the rubber has a modulus of elasticity EE and Poisson's ratio ν\nu, determine the effective modulus of elasticity of the rubber under the confined condition.

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核心觀念

橡膠受垂直壓縮時，原本會向側面膨脹。U 形剛體的側壁限制橡膠在一個水平方向的變形；光滑接觸表示側壁不施加切向力。橡膠沿另一個水平方向仍可自由變形，因此該方向的正向應力為零。

解題方法

令 zz 軸為受壓方向，xx 軸為受側壁拘束方向，yy 軸為未受拘束的水平方向。採用三維線彈性虎克定律：

εx=σx−ν(σy+σz)E,εz=σz−ν(σx+σy)E.\varepsilon_x=\frac{\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)}{E}, \qquad \varepsilon_z=\frac{\sigma_z-\nu(\sigma_x+\sigma_y)}{E}.

側壁拘束使 εx=0\varepsilon_x=0；未受拘束方向沒有正向應力，故 σy=0\sigma_y=0。代入第一式：

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第 3 題20 分

(20 Points) The bearing pin supports the load of 3.5 kN. Determine the stress state in the support member at point BB. The support is 12 mm thick.

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核心觀念

在斜置桿件上取截面，先將外力分解為軸力與剪力，再由截面與載重作用線的偏心距求彎矩。截面上的正應力由軸力與彎矩共同造成；橫向剪力造成的剪應力則沿截面高度分布，在最外側纖維為零。

解題方法

圖示中，支承上端固定，50 mm 斜段與鉛直方向夾 30∘30^\circ；下方承載銷受向下 3.5 kN3.5\text{ kN} 載重，作用線在下方鉛直桿軸右側 32 mm。AA、BB 所在截面位於斜段頂端，截面尺寸為 18 mm 寬、12 mm 厚。

取 AA、BB 截面以下部分作受力分析。相對於斜桿軸線，載重分解為軸力與剪力：

N=3.5cos⁡30∘=3.03 kN(拉力)N=3.5\cos30^\circ=3.03\text{ kN}\quad(\text{拉力}) V=3.5sin⁡30∘=1.75 kNV=3.5\sin30^\circ=1.75\text{ kN}

截面中心相對下方鉛直桿軸的水平位移，是斜段的水平投影：

50sin⁡30∘=25 mm50\sin30^\circ=25\text{ mm}

因此載重作用線至截面中心的偏心距為：

e=32−25=7 mme=32-25=7\text{ mm}

截面彎矩大小為：

M=3.5 kN×7 mm=24.5 kN⋅mm=24 500 N⋅mmM=3.5\text{ kN}\times7\text{ mm} =24.5\text{ kN}\cdot\text{mm} =24\,500\text{ N}\cdot\text{mm}

截面面積、對中性軸的二次面積矩及最外側距離為：

A=18(12)=216 mm2,I=12(18)312=5832 mm4,c=182=9 mmA=18(12)=216\text{ mm}^2,\qquad I=\frac{12(18)^3}{12}=5832\text{ mm}^4,\qquad c=\frac{18}{2}=9\text{ mm}

軸力造成均勻拉應力：

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第 4 題20 分

(20 Points) Determine the displacement at pully BB. The steel shaft with Young's modulus of 200 GPa has a diameter of 30 mm.

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核心觀念

本題將軸視為兩端簡支的圓截面梁，以小變形梁理論計算皮帶輪 BB 的垂直位移。梁在材料線彈性範圍內時，可用疊加原理：分別求各集中力在 BB 點造成的撓度，再相加。

圓軸的截面二次矩與彎曲剛度為

I=πd464,EI=EII=\frac{\pi d^4}{64},\qquad EI=E I

解題方法

由圖讀取：軸在 A、CA、C 兩處簡支，跨距為 L=0.4+0.4+0.3+0.3=1.4 mL=0.4+0.4+0.3+0.3=1.4\ \text{m}。4 kN4\ \text{kN} 向下載重位於距 AA 點 0.4 m0.4\ \text{m} 處；BB 點位於距 AA 點 x=0.8 mx=0.8\ \text{m} 處，皮帶兩側各有 1 kN1\ \text{kN} 向下的力，合力為 2 kN2\ \text{kN} 向下；另有 3 kN3\ \text{kN} 向下載重位於距 AA 點 1.1 m1.1\ \text{m} 處。軸徑為 30 mm30\ \text{mm}，材料的楊氏模數為 200 GPa200\ \text{GPa}。

簡支梁跨距為 LL，集中力 PP 作用於距左支承 aa 處時，在距左支承 xx 處的向下撓度可由彎矩方程積分求得：

δ(x)={Px(L−a)(2La−a2−x2)6LEI,x≤aPa(L−x)(2Lx−x2−a2)6LEI,x≥a\delta(x)= \begin{cases} \dfrac{P x(L-a)\left(2La-a^2-x^2\right)}{6LEI}, & x\le a\\[8pt] \dfrac{P a(L-x)\left(2Lx-x^2-a^2\right)}{6LEI}, & x\ge a \end{cases}

先計算軸的彎曲剛度。以公尺為長度單位：

I=π(0.03)464=3.9761×10−8 m4I=\frac{\pi(0.03)^4}{64} =3.9761\times10^{-8}\ \text{m}^4 EI=(200×109)(3.9761×10−8)=7952.2 N⋅m2EI=(200\times10^9)(3.9761\times10^{-8}) =7952.2\ \text{N}\cdot\text{m}^2

各載重對 BB 點的撓度如下。

**（1）4 kN4\ \text{kN} 載重：**其作用位置 a=0.4 m<xa=0.4\ \text{m}<x，使用 x≥ax\ge a 的式子。

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第 5 題20 分

(20 Points) The T-beam is nailed together as shown. If the nails can each support a shear force of 4.5 N, determine the maximum shear force VV that the beam can support and the corresponding maximum nail spacing ss to the nearest multiples of 5 mm. The allowable shear stress for the wood is 3 MPa.

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核心觀念

本題用兩個關係求解：

  • 梁的橫向剪應力：τ=VQIt\tau=\dfrac{VQ}{It}，以木材容許剪應力求最大剪力 VV。
  • 翼板與腹板接合面的剪流：q=VQIq=\dfrac{VQ}{I}。每根釘承受的剪力為 qsqs，據此求釘距 ss。

解題方法

將 T 梁視為翼板與腹板組成的截面。依圖取翼板寬 300 mm300\text{ mm}、厚 50 mm50\text{ mm}，腹板寬 50 mm50\text{ mm}、高 300 mm300\text{ mm}。

截面上下對稱性不足，先由面積矩求中性軸位置。以翼板頂面為基準：

yˉ=(300)(50)(25)+(50)(300)(200)(300)(50)+(50)(300)=112.5 mm\bar y = \frac{(300)(50)(25)+(50)(300)(200)} {(300)(50)+(50)(300)} =112.5\text{ mm}

截面慣性矩為：

I=300(50)312+15000(87.5)2+50(300)312+15000(87.5)2=345.3125×106 mm4I = \frac{300(50)^3}{12}+15000(87.5)^2 +\frac{50(300)^3}{12}+15000(87.5)^2 =345.3125\times10^6\text{ mm}^4

中性軸位於腹板內。計算中性軸以上部分對中性軸的面積一階矩：

QNA=(15000)(87.5)+(50)(62.5)(31.25)=1.41016×106 mm3Q_{\mathrm{NA}} =(15000)(87.5)+(50)(62.5)(31.25) =1.41016\times10^6\text{ mm}^3

令中性軸處剪應力等於木材容許值 3 MPa=3 N/mm23\text{ MPa}=3\text{ N/mm}^2，且該處截面厚度 t=50 mmt=50\text{ mm}：

3=V(1.41016×106)(345.3125×106)(50)3=\frac{V(1.41016\times10^6)} {(345.3125\times10^6)(50)}
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