113 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班乙組《材料力學（D）》

本題考查薄壁圓筒受內壓作用時，應變規量測應變與內壓的關係。

核心觀念：薄壁圓筒理論、應變與應力關係、應變規原理。

詳解：
對於一個受內壓 $p$ 的薄壁圓筒，其圓周方向（hoop）應力 $\sigma_h$ 和軸向（axial）應力 $\sigma_a$ 分別為：
$\sigma_h = \frac{pr}{t}$
$\sigma_a = \frac{pr}{2t}$
其中 $p$ 為內壓， $r$ 為圓筒內半徑， $t$ 為壁厚。

題目給定：
內徑 $d = 36$ inch，所以半徑 $r = \frac{36}{2} = 18$ inch。
壁厚 $t = 0.375$ inch。
楊氏係數 $E = 29 \times 10^6$ psi。
蒲松比 $\nu = 0.30$。
應變規讀數 $\epsilon_{gage} = 220 \times 10^{-6}$ inch/inch。
應變規與垂直方向（軸向）的夾角 $\beta = 30^\circ$。

應變規所量測的應變 $\epsilon_{gage}$ 是應變規方向的總應變，可以由圓周應變 $\epsilon_h$ 和軸向應變 $\epsilon_a$ 表示：
$\epsilon_{gage} = \epsilon_h \cos^2\beta + \epsilon_a \sin^2\beta$

由虎克定律，圓周應變 $\epsilon_h$ 和軸向應變 $\epsilon_a$ 與應力 $\sigma_h$ 和 $\sigma_a$ 的關係為：
$\epsilon_h = \frac{1}{E}(\sigma_h - \nu\sigma_a)$
$\epsilon_a = \frac{1}{E}(\sigma_a - \nu\sigma_h)$

將 $\sigma_h$ 和 $\sigma_a$ 代入：
$\epsilon_h = \frac{1}{E}\left(\frac{pr}{t} - \nu\frac{pr}{2t}\right) = \frac{pr}{Et}\left(1 - \frac{\nu}{2}\right)$
$\epsilon_a = \frac{1}{E}\left(\frac{pr}{2t} - \nu\frac{pr}{t}\right) = \frac{pr}{Et}\left(\frac{1}{2} - \nu\right)$

現在將 $\epsilon_h$ 和 $\epsilon_a$ 代入 $\epsilon_{gage}$ 的公式：
$\epsilon_{gage} = \frac{pr}{Et}\left(1 - \frac{\nu}{2}\right) \cos^2\beta + \frac{pr}{Et}\left(\frac{1}{2} - \nu\right) \sin^2\beta$

核心觀念

此題考查圓軸的扭轉與彎曲組合應力。截面 $H$ 位於實心圓軸表面，因此需先求出：

• 垂直力造成的彎矩 $M_H$
• 垂直力對軸線 $z$ 造成的扭矩 $T_H$
• 彎曲正應力 $\sigma$
• 扭轉剪應力 $\tau$

再利用平面應力狀態求主應力與最大剪應力。

---

一、截面 $H$ 的內力

由圖，$B$ 到 $H$ 的軸向距離為 $125\ \text{mm}$，故垂直力 $P$ 造成的彎矩為

$$M_H=P(125) =250(125) =31\,250\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

曲柄端點相對於軸線的水平力臂為

$$r=200\sin 60^\circ+25 =198.205\ \text{mm}$$

因此軸內的扭矩為

$$T_H=Pr =250(198.205) =49\,551\ \text{N}\cdot\text{mm}$$

---

二、彎曲正應力

軸徑為

$$d=18\ \text{mm},\qquad c=\frac d2=9\ \text{mm}$$

實心圓截面的慣性矩為

$$I=\frac{\pi d^4}{64}$$

截面最外緣的彎曲正應力為

$$\sigma_H=\frac{M_Hc}{I} =\frac{32M_H}{\pi d^3}$$

代入數值：

$$\sigma_H =\frac{32(31\,250)}{\pi(18)^3} =54.6\ \text{MPa}$$

---

三、扭轉剪應力

實心圓軸的極慣性矩為

$$J=\frac{\pi d^4}{32}$$

外表面的扭轉剪應力為

$$\tau_H=\frac{T_Hc}{J} =\frac{16T_H}{\pi d^3}$$

因此

$$\tau_H =\frac{16(49\,551)}{\pi(18)^3} =43.3\ \text{MPa}$$

截面 $H$ 的應力狀態為

核心觀念

本題考查：

• 懸臂樑集中力造成的撓度
• 支承尚未接觸與接觸後的分段分析
• 撓度相容條件
• 疊加原理

樑截面為 $60\text{ mm}\times 60\text{ mm}$，因此

$$I=\frac{bh^3}{12} =\frac{60(60)^3}{12} =1.08\times10^6\text{ mm}^4$$ $$EI=(200\times10^3)(1.08\times10^6) =2.16\times10^{11}\text{ N}\cdot\text{mm}^2$$

由圖得：

$$AB=a=500\text{ mm},\qquad AC=L=700\text{ mm}$$

且

$$\delta_0=0.5\text{ mm},\qquad \delta_C=1\text{ mm}$$

---

解題方法

1. 支承尚未接觸時

若只有端點 $C$ 的集中力 $P$，則位置 $x$ 處的撓度為

$$\delta(x)=\frac{Px^2(3L-x)}{6EI}$$

因此 $B$ 點撓度為

$$\delta_B^{(P)} =\frac{Pa^2(3L-a)}{6EI}$$

代入數值：

$$\delta_B^{(P)} =\frac{P(500)^2(3\times700-500)} {6(2.16\times10^{11})} =0.000308642P\text{ mm}$$

支承開始接觸時，$\delta_B=0.5\text{ mm}$，故接觸臨界載重為

$$P_{\text{接觸}} =\frac{0.5}{0.000308642} \approx 1620\text{ N}$$

在此載重下，$C$ 點撓度為

$$\delta_C =\frac{PL^3}{3EI} \approx 0.857\text{ mm}<1\text{ mm}$$

所以當 $\delta_C=1\text{ mm}$ 時，支承 $B$ 已經接觸，必須考慮支承反力。

---

2. 支承接觸後的撓度方程

令支承 $B$ 的反力為 $R_B$，方向向上。

端點載重 $P$ 造成 $B$ 點向下撓度：

核心觀念

鋁條與厚鋼板黏結後，鋁條沿長度方向必須與鋼板具有相同的總應變。由於題目提示忽略鋼板中的小應力，可視為鋼板自由熱膨脹，因此鋁條的總應變為

$$\varepsilon=\alpha_s\Delta T$$

鋁條若自由膨脹，應變應為 $\alpha_a\Delta T$，故鋁條的機械應變為

$$\varepsilon_m=(\alpha_s-\alpha_a)\Delta T$$

因為 $\alpha_a>\alpha_s$，鋁條受壓縮。鋁條採彈塑性、降伏應力為 $\sigma_y=100\ \text{MPa}$。

令

$$\Delta T=T_2-T_1$$

且

$$\alpha_a-\alpha_s =(23.6-11.7)\times10^{-6} =11.9\times10^{-6}/^\circ\text{C}$$

---

解題方法

（a）冷卻後不產生殘餘應力的最高溫度

若加熱過程中鋁條始終保持彈性，冷卻回 $T_1$ 時，熱應變完全恢復，因此不會留下塑性變形與殘餘應力。

最高無殘餘應力溫度對應於鋁條剛好達到降伏：

$$\sigma_y =E(\alpha_a-\alpha_s)\Delta T$$

代入

$$100\times10^6 = 70\times10^9(11.9\times10^{-6})\Delta T$$

因此

$$\Delta T = \frac{100\times10^6} {70\times10^9(11.9\times10^{-6})} \approx120.05^\circ\text{C}$$

初始溫度為 $T_1=20^\circ\text{C}$，所以

$$T_2=20+120.05 \approx140.05^\circ\text{C}$$

---

（b）冷卻後鋁條殘餘應力為 $100\ \text{MPa}$

加熱到超過降伏溫度後，鋁條應力維持在壓縮降伏應力

$$\sigma=-\sigma_y=-100\ \text{MPa}$$

在最高溫度 $T_2$ 時，鋁條的塑性應變為

$$\varepsilon_p =(\alpha_s-\alpha_a)\Delta T -\varepsilon_e$$

而