113 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班丙組《單元操作與輸送現象》

核心觀念

本題考查兩固定平行板間的充分發展層流。流體不可壓縮、為牛頓流體，速度只有流向分量 $u(y)$；因此 Navier–Stokes 方程可簡化為壓力梯度與黏性剪應力的平衡。接著由速度分布積分求平均速度與流量，再使用壁面剪應力、雷諾數及能量方程分析摩擦因子。

以下令板間距為 $2h$、中線為 $y=0$，板面位於 $y=\pm h$。流體沿 $+x$ 方向流動，因此壓力沿流向下降，$\partial p/\partial x<0$。

（a）推導速度分布 $u(y)$

充分發展、穩態且僅有流向速度時，

$$u=u(y),\qquad v=w=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}=0$$

流向動量方程只剩下壓力梯度與黏性項：

$$0=-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\frac{d^2u}{dy^2}$$

所以

$$\frac{d^2u}{dy^2} =\frac{1}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x}$$

對 $y$ 積分兩次：

$$u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}y^2+C_1y+C_2$$

兩板固定且無滑動，因此邊界條件為 $u(h)=u(-h)=0$。代入可得 $C_1=0$、$C_2=-\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}h^2$，故

$$u(y)=\frac{1}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x}(y^2-h^2)$$

由於 $\partial p/\partial x<0$ 且 $y^2-h^2\leq 0$，流速在兩板間為非負，並在中線 $y=0$ 達最大值。

（b）證明固定流量與壓降梯度時 $\mu\propto h^3$

令兩板的寬度為 $b$，截面平均速度為 $V$。將速度分布對截面積分：

$$q=b\int_{-h}^{h}u(y)\,dy$$

代入 $u(y)$：

$$q=\frac{b}{2\mu}\frac{\partial p}{\partial x} \int_{-h}^{h}(y^2-h^2)\,dy =-\frac{2bh^3}{3\mu}\frac{\partial p}{\partial x}$$

令壓力降大小為 $\Delta p$、流動長度為 $L$，則 $-\partial p/\partial x=\Delta p/L$，因此

$$q=\frac{2bh^3}{3\mu}\frac{\Delta p}{L}$$

在 $q$、$\Delta p/L$ 與板寬 $b$ 固定時，可整理為

$$\mu=\frac{2bh^3}{3q}\frac{\Delta p}{L} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mu\propto h^3}$$

若以單位板寬流量 $q'=q/b$ 表示，推導結果相同，只需將 $q$ 換成 $q'$。

（c）板面剪應力與黏度的關係

由牛頓流體的剪應力定義，

$$\tau_{xy}=\mu\frac{du}{dy}$$

將速度分布微分：

$$\frac{du}{dy}=\frac{1}{\mu}\frac{\partial p}{\partial x}y$$

核心觀念

本題考查一維非穩態熱傳導、三種表面邊界條件、半無限固體的誤差函數解，以及對流與固體導熱串聯時的總熱阻。金屬固體內部熱傳導方程式為

$$\rho_m c_{p,m}\frac{\partial T}{\partial t} = k_m\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

或寫成

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha_m\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad \alpha_m=\frac{k_m}{\rho_m c_{p,m}}$$

其中 $\alpha_m$ 為金屬的熱擴散率。

---

(a) 控制偏微分方程

考慮金屬固體內部沒有內部熱源，且熱物性質為常數。對 $x>0$ 的半無限固體：

$$\boxed{ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha_m\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} }$$

初始條件通常為均勻溫度：

$$T(x,0)=T_i, \qquad x>0$$

半無限固體深處尚未受到表面熱傳影響，因此

$$T(x,t)\rightarrow T_i \qquad \text{當 }x\rightarrow\infty$$

---

(b) $x=0$ 表面的邊界條件

以下約定熱量由表面沿正 $x$ 方向傳入金屬固體，因此導熱熱通量為

$$q_x''=-k_m\frac{\partial T}{\partial x}$$

Case (i)：固定表面溫度 $T_s$

$$\boxed{ T(0,t)=T_s }$$

這是第一類邊界條件，也稱為 Dirichlet boundary condition。

Case (ii)：固定熱通量 $q_0''$

$$\boxed{ -k_m\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} = q_0'' }$$

這是第二類邊界條件，也稱為 Neumann boundary condition。

Case (iii)：流體對流

流體溫度為 $T_\infty$，對流係數為 $h$。由表面對流傳入固體的熱通量為

$$q_{\text{conv}}''=h\left[T_\infty-T(0,t)\right]$$

因此邊界條件為

$$\boxed{ -k_m\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} = h\left[T_\infty-T(0,t)\right] }$$

這是第三類邊界條件，也稱為 Robin boundary condition。

---

(c) Case (i) 的溫度分布

已知：

$$T(0,t)=T_s, \qquad T(x,0)=T_i, \qquad T(\infty,t)=T_i$$

定義無因次溫度：

$$\theta=\frac{T-T_s}{T_i-T_s}$$

則控制方程式仍為

$$\frac{\partial \theta}{\partial t} = \alpha_m\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}$$

由於這是半無限固體的非穩態問題，溫度分布可用相似變數

$$\eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}}$$

表示。其解為

$$\theta=\operatorname{erf}(\eta)$$

代回無因次溫度定義：

$$\frac{T-T_s}{T_i-T_s} = \operatorname{erf} \left( \frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}} \right)$$

因此溫度分布為

$$\boxed{ T(x,t) = T_s+(T_i-T_s) \operatorname{erf} \left( \frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}} \right) }$$

亦可寫成等價形式：

$$\boxed{ T(x,t) = T_i+(T_s-T_i) \operatorname{erfc} \left( \frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}} \right) }$$

其中

核心觀念

本題考查二元混合物中的：

• 總莫耳通量與擴散通量的分解
• 莫耳分率、總濃度與平均莫耳速度的關係
• 微分莫耳衡算
• 擴散與對流同時存在時的一維反應—傳遞方程
• 高對流速率下的一階反應濃度分布

定義總濃度與總莫耳通量為

$$C=C_A+C_B$$ $$N=W_A+W_B$$

平均莫耳速度 $\mathbf V$ 滿足

$$N=C\mathbf V$$

因此

$$\mathbf V=\frac{W_A+W_B}{C}$$

---

(a) 通量方程的推導

解題方法

物種 $A$ 的總莫耳通量由兩部分組成：

$$\mathbf W_A=\mathbf J_A+C_A\mathbf V$$

其中：

• $\mathbf J_A$：相對於混合物平均運動的分子擴散通量
• $C_A\mathbf V$：隨流體整體運動所造成的對流通量

對二元混合物，採用 Fick 定律：

$$\mathbf J_A=-D_{AB}\nabla C_A$$

所以

$$\mathbf W_A=-D_{AB}\nabla C_A+C_A\mathbf V$$

又因為

$$C_A=y_A C$$

且

$$C\mathbf V=W_A+W_B$$

故

$$C_A\mathbf V=y_A C\mathbf V =y_A(W_A+W_B)$$

因此

$$\boxed{ \mathbf W_A = -D_{AB}\nabla C_A+C_A\mathbf V = -D_{AB}\nabla C_A+y_A(W_A+W_B) }$$

在總濃度 $C$ 為常數時，

$$\nabla C_A=\nabla(y_A C)=C\nabla y_A$$

所以也可寫成

$$\boxed{ \mathbf W_A = -D_{AB}C\nabla y_A +y_A(W_A+W_B) }$$

題目式的符號說明

題目所列式子中的 $W_A$ 左側多出一項，且最後一項的擴散通量應包含總濃度 $C$；依物理定義，正確形式是上列方程。其量綱也可驗證：$D_{AB}\nabla y_A$ 的量綱為速度，必須乘上 $C$ 才能成為莫耳通量。

---

(b) $W_A=J_A$ 的三種實驗條件

由通量分解式

$$W_A=J_A+C_A V$$

要使

$$W_A=J_A$$

必須滿足

$$C_A V=0$$

三種不同條件如下。

1. 混合物整體靜止

當流體沒有整體運動時，

$$V=0$$

因此

$$W_A=J_A$$

這是典型的靜止介質內擴散實驗。

2. 等莫耳反向擴散

當 $A$ 與 $B$ 以相等莫耳流率反向擴散時，

$$W_A=-W_B$$

所以總莫耳通量為

$$W_A+W_B=0$$

由

$$W_A+W_B=C V$$

可得

$$V=0$$

因此

$$W_A=J_A$$

3. 物種 $A$ 不存在或其濃度為零

當

$$C_A=0$$

則對流通量

$$C_A V=0$$

故

$$W_A=J_A$$

此條件屬於局部濃度為零或無 $A$ 物種的極限情形。

---

(c) 物種 $A$ 的微分莫耳衡算

解題方法

取一個尺寸為 $dx\,dy\,dz$ 的微小控制體。

對物種 $A$ 進行衡算：

$$\text{累積量} = \text{流入量} - \text{流出量} + \text{反應生成量}$$

沿 $x$ 方向，流入與流出的淨差為

$$W_{Ax}\,dy\,dz - \left(W_{Ax} +\frac{\partial W_{Ax}}{\partial x}dx\right)dy\,dz = -\frac{\partial W_{Ax}}{\partial x}dV$$

同理，沿 $y$、$z$ 方向分別為

$$-\frac{\partial W_{Ay}}{\partial y}dV$$

與

$$-\frac{\partial W_{Az}}{\partial z}dV$$

若 $r_A$ 表示物種 $A$ 的淨生成速率，則標準物種衡算為

$$\frac{\partial C_A}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf W_A+r_A$$

即

本題考驗學生對傳熱與傳質相似性、無因次數的應用、以及計算題的解題能力。

核心觀念：
無因次數 (Nu, Re, Pr, Sh, Sc)，相似準則，邊界層理論，傳熱係數，傳質係數，質量通量。

(a) Nu 和 Pr 的項與物理意義

解題思路：
此題要求解釋 Nusselt 數 (Nu) 和 Prandtl 數 (Pr) 的定義式中的各項物理意義，並闡述它們各自的物理意義。

步驟：

(i) 各項的定義：

• Nu (Nusselt number)：
  $Nu = \frac{h d_p}{k_t}$

  • $h$: 對流換熱係數 (convective heat transfer coefficient)。單位：$W/(m^2 \cdot K)$。表示單位面積、單位溫差下的對流熱傳速率。
  • $d_p$: 球體直徑 (diameter of sphere)。單位：$m$。是系統的特徵長度。
  • $k_t$: 流體的導熱係數 (thermal conductivity of the fluid)。單位：$W/(m \cdot K)$。表示流體導熱的性能。

• Pr (Prandtl number)：
  $Pr = \frac{c_p \mu}{k_t}$

  • $c_p$: 流體的定壓比熱 (specific heat at constant pressure)。單位：$J/(kg \cdot K)$。表示單位質量升高單位溫度所需的熱量。
  • $\mu$: 流體的動力黏度 (dynamic viscosity)。單位：$Pa \cdot s$ 或 $kg/(m \cdot s)$。表示流體的內摩擦力，阻礙流動的能力。
  • $k_t$: 流體的導熱係數 (thermal conductivity of the fluid)。單位：$W/(m \cdot K)$。

(ii) 物理意義：

• Nu (Nusselt number)：
  Nusselt 數是無因次參數，表示固體表面與流體之間的對流換熱與固體內部（或流體本身）導熱換熱的相對重要性。
  $Nu = \frac{h d_p}{k_t}$ 可以理解為：
  $h d_p$ 代表了對流換熱的「強度」（單位面積的熱傳速率乘以特徵長度）。
  $k_t$ 代表了流體導熱的「強度」。
  因此，Nu 衡量了對流換熱相對於導熱換熱的相對效率。

  • $Nu \approx 1$ 表示導熱是主要的傳熱方式。
  • $Nu > 1$ 表示對流換熱比導熱更重要。
  • 在強制對流中，Nu 通常隨 Re 和 Pr 的增加而增加。

• Pr (Prandtl number)：
  Prandtl 數是無因次參數，是動量擴散率 ($\nu = \mu/\rho$) 與熱量擴散率 ($\alpha = k_t/(\rho c_p)$) 的比值：
  $Pr = \frac{\mu/\rho}{k_t/(\rho c_p)} = \frac{\mu c_p}{k_t}$
  Prandtl 數衡量了動量傳輸（黏滯性）和熱量傳輸（導熱性）在流體中的相對擴散速率。

  • $Pr \approx 1$：動量和熱量的擴散速率相似。例如，大多數氣體。
  • $Pr \gg 1$：動量擴散比熱擴散快得多（黏滯性大於導熱性）。例如，重油。
  • $Pr \ll 1$：熱量擴散比動量擴散快得多（導熱性大於黏滯性）。例如，液態金屬。
    Prandtl 數反映了流體本身的物性特徵，它決定了速度邊界層和熱量邊界層的相對厚度。

【答案】
(i) 各項定義：

• $Nu = \frac{h d_p}{k_t}$: $h$ (對流換熱係數), $d_p$ (球體直徑), $k_t$ (流體導熱係數)。
• $Pr = \frac{c_p \mu}{k_t}$: $c_p$ (流體定壓比熱), $\mu$ (流體動力黏度), $k_t$ (流體導熱係數)。

(ii) 物理意義：

• $Nu$: 衡量對流換熱相對於導熱換熱的相對效率。
• $Pr$: 衡量流體動量擴散率與熱量擴散率的相對比值，反映了速度邊界層與熱量邊界層的相對厚度。

(b) 評論 $Re$ 數變化對熱通量的影響

解題思路：
此題要求分析在層流邊界層條件下，從低 Re 到高 Re，熱通量 $q''$ 如何變化。這需要將 Nu 的定義與給定的 Nu-Re-Pr 相關式結合。

步驟：

1. 熱通量 $q''$ 的表達式：
   表面熱通量 $q''$ 由牛頓冷卻定律給出：
   $q'' = h (T_s - T_{bulk})$
   其中 $T_s$ 是表面溫度，$T_{bulk}$ 是主流體溫度。
   我們可以將 $h$ 用 Nu 的定義式來表示：$h = Nu \cdot k_t / d_p$。
   $q'' = \frac{Nu \cdot k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$

2. Nu 與 Re 的關係：
   給定的相關式為：$Nu = 2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$。
   在分析 $q''$ 如何隨 $Re$ 變化時，我們假設 $T_s$, $T_{bulk}$, $d_p$, $k_t$, $Pr$, $\rho$, $\mu$ 都是常數，只有 $Re$ 改變。
   從 Nu 的表達式可以看出，當 $Re$ 較小時，常數項 $2$ 可能占主導地位；當 $Re$ 較大時，流體動力學相關的項 $0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$ 占主導地位。

3. 分析 $q''$ 在不同 Re 範圍的變化：

   • 非常低的 Re 數：
     在非常低的 Re 數下，$Re^{1/2}$ 趨近於零。此時，$Nu \approx 2$。
     這對應於一種特殊的傳熱機制，稱為「純導熱」或「邊界層非常薄」的情況。對於球體，Nu=2 是沒有對流時的導熱傳熱（或者說，邊界層非常厚，以至於流體本身導熱佔主導）。
     此時，熱通量 $q'' \approx \frac{2 k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$。
     在非常低的 Re 數下，熱通量基本是一個常數（假設溫度差和物性常數）。

   • 較低的 Re 數到中等 Re 數：
     當 Re 數開始增加時，$Re^{1/2}$ 項開始變得顯著。
     $Nu = 2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$。
     $q'' = \frac{k_t}{d_p} (2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}) (T_s - T_{bulk})$。
     隨著 $Re$ 的增加，$Re^{1/2}$ 增加，因此 $Nu$ 增加，導致 $q''$ 增加。
     這表明，隨著流速的增加（Re 增加），對流換熱效率提高，熱通量增大。

   • 高的 Re 數（但邊界層保持層流）：
     在層流邊界層的範圍內，$Re^{1/2}$ 的增長趨勢仍然存在。
     $q'' \propto Nu \propto Re^{1/2}$。
     因此，隨著 $Re$ 的增加，熱通量 $q''$ 持續增加，且增長率與 $Re^{1/2}$ 成正比。

   總結：
   從非常低的 Re 數（Nu ≈ 2）到較高的 Re 數（Re 數的增加使得 $Re^{1/2}$ 項顯著），熱通量 $q''$ 逐漸增大。
   在 Re 數非常低時，熱通量接近於常數（對應於 Nu≈2）。
   隨著 Re 數的增加，Nu 數中的 $Re^{1/2}$ 項開始主導，Nu 數增大，因此熱通量 $q''$ 也隨之增大，且與 $Re^{1/2}$ 的增加率大致成正比。

   【答案】
   熱通量 $q''$ 可以表示為 $q'' = \frac{Nu \cdot k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$。
   根據相關式 $Nu = 2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$：

   • 在非常低的 Re 數下： $Re^{1/2}$ 項很小，$Nu \approx 2$。此時，$q'' \approx \frac{2 k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$，熱通量接近於一個常數。
   • 隨著 Re 數的增加（但仍保持層流邊界層）： $Re^{1/2}$ 項變得越來越重要。$Nu$ 數隨 $Re^{1/2}$ 的增加而增大。因此，熱通量 $q''$ 也隨之增大，且其增長趨勢大致與 $Re^{1/2}$ 的增加相關。
     總體而言，從非常低的 Re 數到較高的 Re 數（在層流範圍內），熱通量 $q''$ 是逐漸增大的。

(c) 解釋 Sh 和 Sc 的物理意義

解題思路：
此題要求解釋 Sherwood 數 (Sh) 和 Schmidt 數 (Sc) 的物理意義。它們是傳質現象中的無因次參數，與傳熱中的 Nu 和 Pr 類似。

步驟：

• Sh (Sherwood number)：
  $Sh = \frac{k_c d_p}{D_{AB}}$
  • $k_c$: 對流傳質係數 (convective mass transfer coefficient)。單位：$m/s$。表示單位面積、單位濃度差下的傳質速率。
  • $d_p$: 球體直徑 (diameter of sphere)。單位：$m$。是系統的特徵長度。

核心觀念

本題考查一維非穩態熱傳導、三種表面邊界條件、半無限固體的誤差函數解，以及對流與固體導熱串聯時的總熱阻。金屬固體內部熱傳導方程式為

$$\rho_m c_{p,m}\frac{\partial T}{\partial t} = k_m\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$

或寫成

$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha_m\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \qquad \alpha_m=\frac{k_m}{\rho_m c_{p,m}}$$

其中 $\alpha_m$ 為金屬的熱擴散率。

---

(a) 控制偏微分方程

考慮金屬固體內部沒有內部熱源，且熱物性質為常數。對 $x>0$ 的半無限固體：

$$\boxed{ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha_m\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} }$$

初始條件通常為均勻溫度：

$$T(x,0)=T_i, \qquad x>0$$

半無限固體深處尚未受到表面熱傳影響，因此

$$T(x,t)\rightarrow T_i \qquad \text{當 }x\rightarrow\infty$$

---

(b) $x=0$ 表面的邊界條件

以下約定熱量由表面沿正 $x$ 方向傳入金屬固體，因此導熱熱通量為

$$q_x''=-k_m\frac{\partial T}{\partial x}$$

Case (i)：固定表面溫度 $T_s$

$$\boxed{ T(0,t)=T_s }$$

這是第一類邊界條件，也稱為 Dirichlet boundary condition。

Case (ii)：固定熱通量 $q_0''$

$$\boxed{ -k_m\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} = q_0'' }$$

這是第二類邊界條件，也稱為 Neumann boundary condition。

Case (iii)：流體對流

流體溫度為 $T_\infty$，對流係數為 $h$。由表面對流傳入固體的熱通量為

$$q_{\text{conv}}''=h\left[T_\infty-T(0,t)\right]$$

因此邊界條件為

$$\boxed{ -k_m\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0} = h\left[T_\infty-T(0,t)\right] }$$

這是第三類邊界條件，也稱為 Robin boundary condition。

---

(c) Case (i) 的溫度分布

已知：

$$T(0,t)=T_s, \qquad T(x,0)=T_i, \qquad T(\infty,t)=T_i$$

定義無因次溫度：

$$\theta=\frac{T-T_s}{T_i-T_s}$$

則控制方程式仍為

$$\frac{\partial \theta}{\partial t} = \alpha_m\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}$$

由於這是半無限固體的非穩態問題，溫度分布可用相似變數

$$\eta=\frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}}$$

表示。其解為

$$\theta=\operatorname{erf}(\eta)$$

代回無因次溫度定義：

$$\frac{T-T_s}{T_i-T_s} = \operatorname{erf} \left( \frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}} \right)$$

因此溫度分布為

$$\boxed{ T(x,t) = T_s+(T_i-T_s) \operatorname{erf} \left( \frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}} \right) }$$

亦可寫成等價形式：

$$\boxed{ T(x,t) = T_i+(T_s-T_i) \operatorname{erfc} \left( \frac{x}{2\sqrt{\alpha_m t}} \right) }$$

其中

核心觀念

本題考查二元混合物中的：

• 總莫耳通量與擴散通量的分解
• 莫耳分率、總濃度與平均莫耳速度的關係
• 微分莫耳衡算
• 擴散與對流同時存在時的一維反應—傳遞方程
• 高對流速率下的一階反應濃度分布

定義總濃度與總莫耳通量為

$$C=C_A+C_B$$ $$N=W_A+W_B$$

平均莫耳速度 $\mathbf V$ 滿足

$$N=C\mathbf V$$

因此

$$\mathbf V=\frac{W_A+W_B}{C}$$

---

(a) 通量方程的推導

解題方法

物種 $A$ 的總莫耳通量由兩部分組成：

$$\mathbf W_A=\mathbf J_A+C_A\mathbf V$$

其中：

• $\mathbf J_A$：相對於混合物平均運動的分子擴散通量
• $C_A\mathbf V$：隨流體整體運動所造成的對流通量

對二元混合物，採用 Fick 定律：

$$\mathbf J_A=-D_{AB}\nabla C_A$$

所以

$$\mathbf W_A=-D_{AB}\nabla C_A+C_A\mathbf V$$

又因為

$$C_A=y_A C$$

且

$$C\mathbf V=W_A+W_B$$

故

$$C_A\mathbf V=y_A C\mathbf V =y_A(W_A+W_B)$$

因此

$$\boxed{ \mathbf W_A = -D_{AB}\nabla C_A+C_A\mathbf V = -D_{AB}\nabla C_A+y_A(W_A+W_B) }$$

在總濃度 $C$ 為常數時，

$$\nabla C_A=\nabla(y_A C)=C\nabla y_A$$

所以也可寫成

$$\boxed{ \mathbf W_A = -D_{AB}C\nabla y_A +y_A(W_A+W_B) }$$

題目式的符號說明

題目所列式子中的 $W_A$ 左側多出一項，且最後一項的擴散通量應包含總濃度 $C$；依物理定義，正確形式是上列方程。其量綱也可驗證：$D_{AB}\nabla y_A$ 的量綱為速度，必須乘上 $C$ 才能成為莫耳通量。

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(b) $W_A=J_A$ 的三種實驗條件

由通量分解式

$$W_A=J_A+C_A V$$

要使

$$W_A=J_A$$

必須滿足

$$C_A V=0$$

三種不同條件如下。

1. 混合物整體靜止

當流體沒有整體運動時，

$$V=0$$

因此

$$W_A=J_A$$

這是典型的靜止介質內擴散實驗。

2. 等莫耳反向擴散

當 $A$ 與 $B$ 以相等莫耳流率反向擴散時，

$$W_A=-W_B$$

所以總莫耳通量為

$$W_A+W_B=0$$

由

$$W_A+W_B=C V$$

可得

$$V=0$$

因此

$$W_A=J_A$$

3. 物種 $A$ 不存在或其濃度為零

當

$$C_A=0$$

則對流通量

$$C_A V=0$$

故

$$W_A=J_A$$

此條件屬於局部濃度為零或無 $A$ 物種的極限情形。

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(c) 物種 $A$ 的微分莫耳衡算

解題方法

取一個尺寸為 $dx\,dy\,dz$ 的微小控制體。

對物種 $A$ 進行衡算：

$$\text{累積量} = \text{流入量} - \text{流出量} + \text{反應生成量}$$

沿 $x$ 方向，流入與流出的淨差為

$$W_{Ax}\,dy\,dz - \left(W_{Ax} +\frac{\partial W_{Ax}}{\partial x}dx\right)dy\,dz = -\frac{\partial W_{Ax}}{\partial x}dV$$

同理，沿 $y$、$z$ 方向分別為

$$-\frac{\partial W_{Ay}}{\partial y}dV$$

與

$$-\frac{\partial W_{Az}}{\partial z}dV$$

若 $r_A$ 表示物種 $A$ 的淨生成速率，則標準物種衡算為

$$\frac{\partial C_A}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf W_A+r_A$$

即

本題考驗學生對傳熱與傳質相似性、無因次數的應用、以及計算題的解題能力。

核心觀念：
無因次數 (Nu, Re, Pr, Sh, Sc)，相似準則，邊界層理論，傳熱係數，傳質係數，質量通量。

(a) Nu 和 Pr 的項與物理意義

解題思路：
此題要求解釋 Nusselt 數 (Nu) 和 Prandtl 數 (Pr) 的定義式中的各項物理意義，並闡述它們各自的物理意義。

步驟：

(i) 各項的定義：

• Nu (Nusselt number)：
  $Nu = \frac{h d_p}{k_t}$

  • $h$: 對流換熱係數 (convective heat transfer coefficient)。單位：$W/(m^2 \cdot K)$。表示單位面積、單位溫差下的對流熱傳速率。
  • $d_p$: 球體直徑 (diameter of sphere)。單位：$m$。是系統的特徵長度。
  • $k_t$: 流體的導熱係數 (thermal conductivity of the fluid)。單位：$W/(m \cdot K)$。表示流體導熱的性能。

• Pr (Prandtl number)：
  $Pr = \frac{c_p \mu}{k_t}$

  • $c_p$: 流體的定壓比熱 (specific heat at constant pressure)。單位：$J/(kg \cdot K)$。表示單位質量升高單位溫度所需的熱量。
  • $\mu$: 流體的動力黏度 (dynamic viscosity)。單位：$Pa \cdot s$ 或 $kg/(m \cdot s)$。表示流體的內摩擦力，阻礙流動的能力。
  • $k_t$: 流體的導熱係數 (thermal conductivity of the fluid)。單位：$W/(m \cdot K)$。

(ii) 物理意義：

• Nu (Nusselt number)：
  Nusselt 數是無因次參數，表示固體表面與流體之間的對流換熱與固體內部（或流體本身）導熱換熱的相對重要性。
  $Nu = \frac{h d_p}{k_t}$ 可以理解為：
  $h d_p$ 代表了對流換熱的「強度」（單位面積的熱傳速率乘以特徵長度）。
  $k_t$ 代表了流體導熱的「強度」。
  因此，Nu 衡量了對流換熱相對於導熱換熱的相對效率。

  • $Nu \approx 1$ 表示導熱是主要的傳熱方式。
  • $Nu > 1$ 表示對流換熱比導熱更重要。
  • 在強制對流中，Nu 通常隨 Re 和 Pr 的增加而增加。

• Pr (Prandtl number)：
  Prandtl 數是無因次參數，是動量擴散率 ($\nu = \mu/\rho$) 與熱量擴散率 ($\alpha = k_t/(\rho c_p)$) 的比值：
  $Pr = \frac{\mu/\rho}{k_t/(\rho c_p)} = \frac{\mu c_p}{k_t}$
  Prandtl 數衡量了動量傳輸（黏滯性）和熱量傳輸（導熱性）在流體中的相對擴散速率。

  • $Pr \approx 1$：動量和熱量的擴散速率相似。例如，大多數氣體。
  • $Pr \gg 1$：動量擴散比熱擴散快得多（黏滯性大於導熱性）。例如，重油。
  • $Pr \ll 1$：熱量擴散比動量擴散快得多（導熱性大於黏滯性）。例如，液態金屬。
    Prandtl 數反映了流體本身的物性特徵，它決定了速度邊界層和熱量邊界層的相對厚度。

【答案】
(i) 各項定義：

• $Nu = \frac{h d_p}{k_t}$: $h$ (對流換熱係數), $d_p$ (球體直徑), $k_t$ (流體導熱係數)。
• $Pr = \frac{c_p \mu}{k_t}$: $c_p$ (流體定壓比熱), $\mu$ (流體動力黏度), $k_t$ (流體導熱係數)。

(ii) 物理意義：

• $Nu$: 衡量對流換熱相對於導熱換熱的相對效率。
• $Pr$: 衡量流體動量擴散率與熱量擴散率的相對比值，反映了速度邊界層與熱量邊界層的相對厚度。

(b) 評論 $Re$ 數變化對熱通量的影響

解題思路：
此題要求分析在層流邊界層條件下，從低 Re 到高 Re，熱通量 $q''$ 如何變化。這需要將 Nu 的定義與給定的 Nu-Re-Pr 相關式結合。

步驟：

1. 熱通量 $q''$ 的表達式：
   表面熱通量 $q''$ 由牛頓冷卻定律給出：
   $q'' = h (T_s - T_{bulk})$
   其中 $T_s$ 是表面溫度，$T_{bulk}$ 是主流體溫度。
   我們可以將 $h$ 用 Nu 的定義式來表示：$h = Nu \cdot k_t / d_p$。
   $q'' = \frac{Nu \cdot k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$

2. Nu 與 Re 的關係：
   給定的相關式為：$Nu = 2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$。
   在分析 $q''$ 如何隨 $Re$ 變化時，我們假設 $T_s$, $T_{bulk}$, $d_p$, $k_t$, $Pr$, $\rho$, $\mu$ 都是常數，只有 $Re$ 改變。
   從 Nu 的表達式可以看出，當 $Re$ 較小時，常數項 $2$ 可能占主導地位；當 $Re$ 較大時，流體動力學相關的項 $0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$ 占主導地位。

3. 分析 $q''$ 在不同 Re 範圍的變化：

   • 非常低的 Re 數：
     在非常低的 Re 數下，$Re^{1/2}$ 趨近於零。此時，$Nu \approx 2$。
     這對應於一種特殊的傳熱機制，稱為「純導熱」或「邊界層非常薄」的情況。對於球體，Nu=2 是沒有對流時的導熱傳熱（或者說，邊界層非常厚，以至於流體本身導熱占主導）。
     此時，熱通量 $q'' \approx \frac{2 k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$。
     在非常低的 Re 數下，熱通量基本是一個常數（假設溫度差和物性常數）。

   • 較低的 Re 數到中等 Re 數：
     當 Re 數開始增加時，$Re^{1/2}$ 項開始變得顯著。
     $Nu = 2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$。
     $q'' = \frac{k_t}{d_p} (2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}) (T_s - T_{bulk})$。
     隨著 $Re$ 的增加，$Re^{1/2}$ 增加，因此 $Nu$ 增加，導致 $q''$ 增加。
     這表明，隨著流速的增加（Re 增加），對流換熱效率提高，熱通量增大。

   • 高的 Re 數（但邊界層保持層流）：
     在層流邊界層的範圍內，$Re^{1/2}$ 的增長趨勢仍然存在。
     $q'' \propto Nu \propto Re^{1/2}$。
     因此，隨著 $Re$ 的增加，熱通量 $q''$ 持續增加，且增長率與 $Re^{1/2}$ 的增加率大致成正比。

   總結：
   從非常低的 Re 數（Nu ≈ 2）到較高的 Re 數（Re 數的增加使得 $Re^{1/2}$ 項顯著），熱通量 $q''$ 逐漸增大。
   在 Re 數非常低時，熱通量接近於常數（對應於 Nu≈2）。
   隨著 Re 數的增加，Nu 數中的 $Re^{1/2}$ 項開始主導，Nu 數增大，因此熱通量 $q''$ 也隨之增大，且與 $Re^{1/2}$ 的增加率大致成正比。

   【答案】
   熱通量 $q''$ 可以表示為 $q'' = \frac{Nu \cdot k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$。
   根據相關式 $Nu = 2 + 0.6Re^{1/2} Pr^{1/3}$：

   • 在非常低的 Re 數下： $Re^{1/2}$ 項很小，$Nu \approx 2$。此時，$q'' \approx \frac{2 k_t}{d_p} (T_s - T_{bulk})$，熱通量接近於一個常數。
   • 隨著 Re 數的增加（但仍保持層流邊界層）： $Re^{1/2}$ 項變得越來越重要。$Nu$ 數隨 $Re^{1/2}$ 的增加而增大。因此，熱通量 $q''$ 也隨之增大，且其增長趨勢大致與 $Re^{1/2}$ 的增加相關。
     總體而言，從非常低的 Re 數到較高的 Re 數（在層流範圍內），熱通量 $q''$ 是逐漸增大的。

(c) 解釋 Sh 和 Sc 的物理意義

解題思路：
此題要求解釋 Sherwood 數 (Sh) 和 Schmidt 數 (Sc) 的物理意義。它們是傳質現象中的無因次參數，與傳熱中的 Nu 和 Pr 類似。

步驟：

• Sh (Sherwood number)：
  $Sh = \frac{k_c d_p}{D_{AB}}$
  • $k_c$: 對流傳質係數 (convective mass transfer coefficient)。單位：$m/s$。表示單位面積、單位濃度差下的傳質速率。
  • $d_p$: 球體直徑 (diameter of sphere)。單位：$m$。是系統的特徵長度。