111 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班丁組《單元操作與輸送現象》

本題主要考查牛頓流體在平行板間層流運動的動量平衡與速度分佈。

(a) 動量平衡解釋
給定的方程式是 x 方向的 Navier-Stokes 方程式。此方程式代表一個微小流體質點在 x 方向上的動量守恆。
方程式的左側 $\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right)$ 代表了單位體積流體動量的時變率 (accumulation) 以及對流項 (convection)，即動量的隨時間變化和因流體運動被帶走或帶入的動量。
方程式的右側則代表了作用在單位體積流體上的所有外力：

• $-\frac{\partial p}{\partial x}$: 壓力梯度力，即壓力在 x 方向上的變化所產生的力。
• $\rho g_x$: 重力在 x 方向上的分量。
• $\mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$: 黏滯力，由流體內部的剪應力梯度引起，代表黏滯耗散的動量傳遞。
  因此，整個方程式表達了：(動量的時變率 + 對流) = (壓力梯度力 + 重力 + 黏滯力)。這正是牛頓第二運動定律 (F=ma) 在流體力學中的體現，即單位體積流體所受淨外力等於其單位體積的動量變化率。

(b) 速度分佈證明
對於「全展開層流」(fully developed laminar flow)，速度不隨 x 方向變化，即 $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$。同時，由於是平行板間的流動，且流體沿 x 方向流動，我們假設 $v=0$ 且 $w=0$。此外，題目給定的是 x 方向的 Navier-Stokes 方程式，且流動是沿 x 方向，故我們也假設重力在 x 方向的分量 $g_x = 0$（除非題目另有說明，一般此類問題會假設重力垂直於流動方向）。
因此，x 方向的 Navier-Stokes 方程式簡化為：
$0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right)$
這意味著 $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$。
由於流動是全展開的，壓力梯度 $\frac{\partial p}{\partial x}$ 是一個常數。我們令 $C_1 = \frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$。
$\frac{d^2 u}{d y^2} = C_1$
對上式積分一次，得到速度梯度：
$\frac{du}{dy} = C_1 y + C_2$
其中 $C_2$ 是積分常數。
再積分一次，得到速度分佈：
$u(y) = \frac{1}{2} C_1 y^2 + C_2 y + C_3$
$u(y) = \frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) y^2 + C_2 y + C_3$
現在需要利用邊界條件來確定常數 $C_2$ 和 $C_3$。
對於平行板間的流動，流體在板壁處的速度為零 (無滑動邊界條件)。板的間隙高度為 $2h$，且通常以兩板的中心線為 y=0。因此，邊界條件為：

1. $u(h) = 0$
2. $u(-h) = 0$
   將邊界條件代入速度分佈方程式：
   $u(h) = \frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) h^2 + C_2 h + C_3 = 0$
   $u(-h) = \frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) (-h)^2 + C_2 (-h) + C_3 = 0$
   $u(-h) = \frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) h^2 - C_2 h + C_3 = 0$
   將兩式相減：
   $(C_2 h) - (-C_2 h) = 0 \implies 2 C_2 h = 0 \implies C_2 = 0$。
   將 $C_2 = 0$ 代回第一個邊界條件方程式：
   $\frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) h^2 + C_3 = 0 \implies C_3 = -\frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) h^2$。
   將 $C_1$ 和 $C_3$ 代回速度分佈方程式：
   $u(y) = \frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) y^2 - \frac{1}{2\mu} \left( \frac{\partial p}{\partial x} \right) h^2$

本題主要考查流體在管路中的摩擦損失、連續性方程式、以及摩擦係數的定義與應用。

(a) 白努利方程式與流體摩擦損失
白努利方程式 (Bernoulli's equation) 是描述理想不可壓縮流體在穩態、無黏滯、無外力作用下，沿流線的能量守恆方程式。其形式為：
$\frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{constant}$
或以能量形式表示：
$p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z = \text{constant}$
這個方程式代表了壓力能、動能和位能的總和在流線上的總和是恆定的。

然而，在實際的流體流動中，流體並非理想的，存在黏滯性 (viscosity)。黏滯性會導致流體內部產生剪應力，進而產生摩擦阻力，這會將機械能轉化為熱能，造成能量損失。白努利方程式並沒有考慮這種能量損失。

為了在白努利方程式中納入摩擦損失，我們需要對其進行修正，通常稱之為修正白努利方程式 (Modified Bernoulli Equation) 或工程白努利方程式：
$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_L$
其中 $h_L$ 代表總水頭損失 (total head loss)，它包含了因摩擦 (major losses) 和局部阻礙物 (minor losses, 如閥門、彎頭等) 所造成的能量損失。
因此，流體摩擦損失就是指在流體通過管路時，由於流體黏滯性與管壁的摩擦，以及流體內部質點間的摩擦，導致的機械能損失。這些損失使得流體在出口處的總能量低於入口處，表現為壓力下降或流速減慢。在修正的白努利方程式中，$h_L$ 項即代表了這些摩擦損失。

(b) Fanning 摩擦係數的物理意義與單位
Fanning 摩擦係數 $f$ 的定義為：
$f = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2} \rho v^2}$
其中：

• $\tau_w$ 是作用在管壁上的剪應力 (shear stress)。
• $\rho$ 是流體的密度。
• $v$ 是流體的平均速度 (通常是截面平均速度)。

物理意義：
Fanning 摩擦係數 $f$ 代表了單位壁面剪應力與流體動壓 ($\frac{1}{2} \rho v^2$) 的比值。它是一個無因次參數，用來量化流體在管壁處的摩擦阻力大小。
更具體地說，它表示了管壁剪應力相對於流體動壓的相對大小。較大的 $f$ 值意味著較大的摩擦阻力。
$\frac{1}{2} \rho v^2$ 是流體的動壓，它代表了流體運動的動能密度。而 $\tau_w$ 則是抵抗這種運動的力，是黏滯性在壁面造成的效應。因此，$f$ 衡量了抵抗動能的剪應力與動能本身的比例。

單位：

• $\tau_w$ 的單位是 壓力單位，例如 Pa (N/m²) 或 psi (lb/in²)。
• $\rho$ 的單位是 kg/m³ 或 lb/ft³。
• $v^2$ 的單位是 (m/s)² 或 (ft/s)²。
• $\frac{1}{2} \rho v^2$ 的單位是 $\text{kg/m} \cdot \text{s}^{-2}$ (Pa) 或 $\text{lb/ft} \cdot \text{s}^{-2}$ (psi)。

由於 $\tau_w$ 和 $\frac{1}{2} \rho v^2$ 的單位相同（都是壓力或應力單位），因此 $f$ 的比值是無因次 (dimensionless) 的。它沒有單位。

(c) 層流管路摩擦壓降公式證明
對於圓管中的穩態、層流、不可壓縮流體，我們考慮長度為 $L$、直徑為 $D$ 的一段管路。
取一段長度為 $L$ 的流體作為控制體。假設流動是全展開的，速度分佈只與徑向距離 $r$ 有關，且不隨 $x$ (流動方向) 變化。
在穩態下，作用在控制體上的淨力等於零。作用在控制體上的力包括：

1. 入口處的壓力 $p_1$ 作用在截面上，力為 $p_1 \frac{\pi D^2}{4}$。
2. 出口處的壓力 $p_2$ 作用在截面上，力為 $p_2 \frac{\pi D^2}{4}$。
3. 管壁剪應力 $\tau_w$ 作用在流體表面上，方向與流動方向相反，總力為 $\tau_w \times (\text{壁面面積}) = \tau_w \times (\pi D L)$。

由於流動是全展開的，壓力梯度是恆定的，即 $\frac{dp}{dx} = \frac{p_2 - p_1}{L}$。
在 x 方向上，合力為零：
$p_1 \frac{\pi D^2}{4} - p_2 \frac{\pi D^2}{4} - \tau_w \pi D L = 0$
$(p_1 - p_2) \frac{\pi D^2}{4} = \tau_w \pi D L$
令壓力降 $\Delta p_s = p_1 - p_2$ (注意這裡的 $\Delta p_s$ 是正值，代表壓力損失)。
$\Delta p_s \frac{\pi D^2}{4} = \tau_w \pi D L$
將 $\pi D$ 消去：

本題考查半無限大固體在恆定表面溫度下的瞬態熱傳導問題，以及熱擴散率、熱傳導方程式、溫度分佈和熱通量的概念。

(a) $\alpha$ 的物理意義與 SI 單位
在瞬態熱傳導方程式中，$\alpha$ 被稱為熱擴散率 (Thermal Diffusivity)。

物理意義：
熱擴散率 $\alpha$ 是衡量物質在溫度變化時，熱量在其中傳播速度快慢的參數。它描述了由於導熱 (conduction) 而引起的溫度變化的傳播速率，相對於由於儲存熱量 (heat capacity) 而引起的溫度變化的速率。
熱擴散率由以下公式給出：
$\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$
其中：

• $k$ 是熱導率 (thermal conductivity)，單位是 W/(m·K)。它表示材料導熱的能力。
• $\rho$ 是密度 (density)，單位是 kg/m³。
• $c_p$ 是定壓比熱容 (specific heat capacity at constant pressure)，單位是 J/(kg·K)。它表示單位質量物質溫度升高 1 K 所需的熱量。

因此，熱擴散率 $\alpha$ 結合了材料的導熱能力 ($k$) 和其儲存熱量的能力 ($\rho c_p$)。

• 熱導率 $k$ 高的材料，熱量傳播快，$\alpha$ 大。
• 密度 $\rho$ 和比熱容 $c_p$ 高的材料，需要更多熱量才能使其溫度升高，熱量傳播相對較慢，$\alpha$ 小。
  所以，$\alpha$ 大的材料，其溫度變化能更快地傳播到材料內部。

SI 單位：
從 $\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$ 可以推導單位：
$\alpha \text{單位} = \frac{\text{W/(m·K)}}{\text{(kg/m³)} \cdot \text{J/(kg·K)}} = \frac{\text{W/(m·K)}}{\text{J/(m³·K)}}$
我們知道 W = J/s，所以：
$\alpha \text{單位} = \frac{\text{J/(s·m·K)}}{\text{J/(m³·K)}} = \frac{\text{J}}{\text{s·m·K}} \times \frac{\text{m³·K}}{\text{J}} = \frac{\text{m²}}{\text{s}}$
因此，熱擴散率 $\alpha$ 的 SI 單位是 m²/s。

(b) 偏微分方程式與初始/邊界條件
這個溫度分佈模型是基於一維瞬態熱傳導方程式 (One-dimensional Transient Heat Conduction Equation)，適用於半無限大固體。

偏微分方程式：
對於均質、各向同性的固體，不考慮內部熱源，一維瞬態熱傳導方程式為：
$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$
其中：

• $T(x, t)$ 是溫度，是位置 $x$ 和時間 $t$ 的函數。
• $\alpha$ 是熱擴散率。

初始條件 (Initial Condition, IC)：
在開始加熱之前 ($t=0$)，整個牛排處於均勻的室溫 $T_0$。
$T(x, 0) = T_0 \quad \text{for } 0 \le x < \infty$
其中 $x=0$ 代表牛排的表面（與熱盤接觸的面），$x$ 軸垂直向內。

邊界條件 (Boundary Conditions, BC)：

1. 表面溫度條件 (Surface Temperature Condition)：在加熱開始後，牛排的表面溫度被恆定在熱盤的溫度 $T_s$。
   $T(0, t) = T_s \quad \text{for } t > 0$
2. 遠處溫度條件 (Far-field Condition)：由於牛排足夠厚，可以視為半無限大，在遠離表面的地方 ($x \to \infty$)，溫度保持初始溫度 $T_0$。
   $T(\infty, t) = T_0 \quad \text{for } t > 0$

這個模型是求解上述熱傳導方程式及其初始和邊界條件的解析解。題目給出的公式是這個解析解經過無因次化後的結果。

(c) 溫度分佈 $T(x)$ 的示意圖比較
題目給出的無因次溫度分佈為：
$\frac{T(x, t) - T_0}{T_s - T_0} = \text{erfc} \left( \frac{x}{\sqrt{4\alpha t}} \right) = \text{erfc} \left( \frac{x}{2\sqrt{\alpha t}} \right)$
其中 $\text{erfc}(z)$ 是互補誤差函數 (complementary error function)，其特性是：

• $\text{erfc}(0) = 1$
• $\text{erfc}(\infty) = 0$
• $\text{erfc}(z)$ 隨 $z$ 增加而單調遞減。

我們將 $\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}$ 稱為無因次位置 $x'$。

• 當 $t$ 很小時，$2\sqrt{\alpha t}$ 較小，因此 $x'$ 較大。$\text{erfc}(x')$ 的值會快速下降到接近 0。這意味著只有非常靠近表面的區域 ($x$ 很小) 的溫度才會顯著升高。
  -當 $t$ 很大時，$2\sqrt{\alpha t}$ 較大，因此 $x'$ 較小。$\text{erfc}(x')$ 的值會維持在較高水平，表示溫度升高效應傳播到更遠的距離。

示意圖：
畫一個坐標系，橫軸為 $x$ (位置，從 0 到 $\infty$)，縱軸為 $T(x)$。
我們畫出三個不同時間 $t$ 下的溫度剖面：$t_{small}$, $t_{middle}$, $t_{large}$。

• $t_{small}$ (小時間)：

本題考查擴散定律，包括 Fick's 第一和第二定律的推導，以及擴散方程式在具體問題中的應用，包括平均平方位移的計算和通量計算。

(a) Fick's 第二定律從 Fick's 第一定律推導
Fick's 第一定律描述了擴散通量與濃度梯度的關係：
$J = -D \frac{\partial c}{\partial x}$
其中：

• $J$ 是擴散通量 (flux)，表示單位時間單位面積通過的物質的量（例如 mol/(m²·s)）。
• $D$ 是擴散係數 (diffusion coefficient)，單位是 m²/s。
• $\frac{\partial c}{\partial x}$ 是濃度梯度 (concentration gradient)，表示濃度隨位置 $x$ 的變化率。
• 負號表示擴散是從高濃度區域向低濃度區域進行的，即順著濃度梯度的反方向。

Fick's 第二定律則描述了在沒有化學反應或產生/消失的情況下，濃度隨時間的變化率。它是一個類似於熱傳導方程式的擴散方程式。
我們可以通過考慮一個任意形狀的控制體積 $V$ 來推導 Fick's 第二定律。根據質量守恆定律，單位時間內控制體積內物質的淨生成率等於流入該體積的淨通量。
$\frac{d}{dt} \int_V c \, dV = -\oint_S J \cdot \mathbf{n} \, dS$
其中 $S$ 是控制體積 $V$ 的表面，$J$ 是通量向量，$\mathbf{n}$ 是外法線向量。

利用散度定理 (Divergence Theorem)，我們可以將表面積分轉換為體積分：
$\oint_S J \cdot \mathbf{n} \, dS = \int_V (\nabla \cdot J) \, dV$
所以，
$\frac{d}{dt} \int_V c \, dV = -\int_V (\nabla \cdot J) \, dV$
由於積分範圍 $V$ 是任意的，被積函數必須為零：
$\frac{\partial c}{\partial t} = -\nabla \cdot J$
這是一個更一般的形式，表示濃度隨時間的變化率等於通量散度的負值。

在一維情況下，通量 $J$ 只有 $x$ 分量，且 $J_x = -D \frac{\partial c}{\partial x}$。
$\frac{\partial c}{\partial t} = -\frac{\partial J_x}{\partial x}$
將 Fick's 第一定律代入：
$\frac{\partial c}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x} \left( -D \frac{\partial c}{\partial x} \right)$
如果擴散係數 $D$ 是常數（這是一個常見的假設），則可以移到微分號外面：
$\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$
這就是一維的 Fick's 第二定律。
在三維情況下，如果 $D$ 是常數，則是：
$\frac{\partial c}{\partial t} = D \left( \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 c}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 c}{\partial z^2} \right) = D \nabla^2 c$
其中 $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子。

(b) Einstein 擴散方程式與平均平方位移
題目給出的 Einstein 擴散方程式是描述一維擴散中濃度分佈的結果：
$c(x, t) = \frac{c_0}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp \left( -\frac{x^2}{4Dt} \right)$
這裡 $c_0$ 是初始時在 $x=0$ 處的濃度，或者是一個歸一化常數，使得總物質量守恆。這個方程式是 Fick's 第二定律在特定初始和邊界條件下的解析解。

我們要證明一維擴散中，分子的平均平方位移 $\langle x^2 \rangle$ 是 $2Dt$。
平均平方位移的定義是：
$\langle x^2 \rangle = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} x^2 c(x, t) dx}{\int_{-\infty}^{\infty} c(x, t) dx}$
首先，我們需要計算分母，即在時間 $t$ 時，所有位置的總濃度。這個積分實際上代表了在時間 $t$ 時，由於擴散作用，初始集中在 $x=0$ 的物質的總量。如果 $c_0$ 是初始在 $x=0$ 的濃度，並且假設總質量守恆，那麼分母應該等於初始總質量。
$\int_{-\infty}^{\infty} c(x, t) dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{c_0}{\sqrt{4\pi Dt}} \exp \left( -\frac{x^2}{4Dt} \right) dx$
令 $a = \frac{1}{4Dt}$，則上式變為：
$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{c_0}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-ax^2} dx = \frac{c_0}{\sqrt{4\pi Dt}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx$
利用給定的積分公式 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$：

本題考查化學反應工程中的反應器模型，特別是 PFR (Plug Flow Reactor) 的質量平衡、轉化率與反應器參數的關係，以及與 Packed-Bed Reactor (PBR) 的比較。題目背景是利用微流體晶片模擬腎臟清除肌酸酐 (creatinine) 的過程。

(a) PFR 模擬腎臟晶片示意圖
PFR (Plug Flow Reactor) 的特點是流體以「塞狀」方式流動，即流體質點進入反應器後，在軸向方向上不混合，只在徑向方向上可能有有限的混合。在微流體晶片中，這可以透過細長的通道來實現。腎臟細胞文化塗佈在通道內壁，作為催化劑或反應介質，用於清除血液中的肌酸酐。

示意圖描述：

1. 入口 (Inlet)：標示為 "Artificial Blood Stream with Creatinine ($C_{A0}$)"，具有體積流量 $v_0$。
2. 微流體通道 (Microfluidic Channel)：畫一個細長、長方形或圓柱形的通道，代表 PFR。通道長度為 $L$，橫截面積為 $S$。
3. 腎臟細胞塗層 (Kidney Cell Culture Coating)：在通道內壁標示出塗層，可以畫成內壁有一層細胞。
4. 反應 (Reaction)：在通道內，肌酸酐 (A) 被細胞清除，濃度降低。
5. 出口 (Outlet)：標示為 "Effluent with Creatinine ($C_A$) (Conversion X)"，表示流出物中肌酸酐濃度降低，並有轉化率 $X$。
6. 方向箭頭：指示流動方向從入口到出口。

圖中可強調「Plug Flow」的特徵，例如畫幾條垂直於流動方向的線，代表進入通道的流體塞，在通過通道時保持相對獨立。

(b) PFR 質量平衡與轉化率 $X$
對於一個 PFR，我們進行穩態質量平衡。考慮一個微小的反應器段 $\Delta V = S \Delta L$，其中 $\Delta L$ 是長度，$S$ 是橫截面積。
流入此微小段的物質 A 的摩爾速率 (molar flow rate) 為 $F_A(L)$。
流出此微小段的物質 A 的摩爾速率為 $F_A(L+\Delta L)$。
物質 A 的消耗速率 (rate of generation of A, $r_A$) 為負值，因為 A 是被消耗的反應物。
對於一級反應，肌酸酐的消耗速率為 $r_A = -k' C_A$，其中 $k'$ 是反應速率常數。
在 PFR 中，我們假設流體是 plug flow，即在任何給定的位置 $L$，流體濃度 $C_A$ 是恆定的，並且沿著流動方向 $L$ 變化。

質量平衡方程式為：
$F_A(L) - F_A(L+\Delta L) + (\text{Rate of generation of A within } \Delta V) = 0$
$F_A(L) - F_A(L+\Delta L) + r_A \Delta V = 0$
$F_A(L) - F_A(L+\Delta L) + (-k' C_A) S \Delta L = 0$
將 $F_A(L+\Delta L) - F_A(L)$ 表示為 $\Delta F_A$：
$-\Delta F_A - k' C_A S \Delta L = 0$
$\frac{\Delta F_A}{\Delta L} = -k' C_A S$
當 $\Delta L \to 0$ 時，上式變為微分形式：
$\frac{dF_A}{dL} = -k' C_A S$

對於恆定流量 $v_0$ 和橫截面積 $S$，體積流量 $v_0$ 是恆定的。
摩爾流量 $F_A$ 與濃度 $C_A$ 的關係為 $F_A = C_A v_0$。
代入上式：
$\frac{d(C_A v_0)}{dL} = -k' C_A S$
由於 $v_0$ 是恆定的：
$v_0 \frac{dC_A}{dL} = -k' C_A S$
$\frac{dC_A}{dL} = -\frac{k' S}{v_0} C_A$
這是一個關於 $C_A$ 和 $L$ 的微分方程式。

現在引入轉化率 $X$。轉化率定義為反應物被轉化的比例。
$X = \frac{\text{進料量} - \text{出料量}}{\text{進料量}}$
對於摩爾流量 $F_{A0}$ (入口) 和 $F_A$ (出口)：
$X = \frac{F_{A0} - F_A}{F_{A0}} = 1 - \frac{F_A}{F_{A0}}$
由於 $F_A = C_A v_0$ 且 $F_{A0} = C_{A0} v_0$ (假設 $v_0$ 恆定)：
$X = 1 - \frac{C_A v_0}{C_{A0} v_0} = 1 - \frac{C_A}{C_{A0}}$
$C_A = C_{A0} (1-X)$
將 $C_A$ 代入微分方程式：
$v_0 \frac{d(C_{A0}(1-X))}{dL} = -k' C_{A0}(1-X) S$
$v_0 C_{A0} \frac{d(1-X)}{dL} = -k' C_{A0}(1-X) S$
$v_0 \frac{d(-X)}{dL} = -k' (1-X) S$
$-v_0 \frac{dX}{dL} = -k' S (1-X)$
$\frac{dX}{dL} = \frac{k' S}{v_0} (1-X)$
這個方程式將轉化率 $X$ 的變化率與位置 $L$ 聯繫起來。

為了得到反應器體積 (或長度) 與轉化率的關係，我們需要積分上式。
$\frac{dL}{dX} = \frac{v_0}{k' S (1-X)}$
$dL = \frac{v_0}{k' S} \frac{dX}{1-X}$
對整個反應器進行積分，從入口 ($L=0, X=0$) 到出口 ($L=L_{total}, X=X$)：
$\int_0^{L_{total}} dL = \int_0^{X} \frac{v_0}{k' S} \frac{dX}{1-X}$
$L_{total} = \frac{v_0}{k' S} \int_0^{X} \frac{dX}{1-X}$
$L_{total} = \frac{v_0}{k' S} [-\ln(1-X)]_0^X$