114 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班丙組《單元操作與輸送現象》

本題主要考驗學生對於單元操作中基本輸送現象參數的定義與應用。

(a) 雷諾數 (Reynolds Number, Re) 是無因次參數，用來判斷流體流動的狀態，是慣性力與黏滯力之比。對於管內流動，其定義為：
$\text{Re} = \frac{\rho v_m D_h}{\mu}$
其中，$\rho$ 為流體密度， $v_m$ 為平均流速， $D_h$ 為水力直徑， $\mu$ 為流體動力黏度。對於圓形管，水力直徑 $D_h$ 等於管徑 $D = 2R$。
因此，管內流動的雷諾數可寫為：
$\text{Re} = \frac{\rho v_m (2R)}{\mu}$
判斷準則如下：

• 當 $\text{Re} < 2100$ (或有時取 2300) 時，流動為層流 (laminar flow)。此時流體質點沿著平行的流線運動，無顯著的混合。
  -當 $2100 < \text{Re} < 4000$ (或有時取 4000) 時，流動處於過渡區 (transitional flow)，可能呈現層流與亂流的混合狀態。
  -當 $\text{Re} > 4000$ (或有時取 4000) 時，流動為亂流 (turbulent flow)。此時流體質點運動混亂，有顯著的三維混合。

(b) 普朗特數 (Prandtl Number, Pr) 是無因次參數，用來描述動量擴散率 (動黏度) 與熱擴散率之比，表示動量邊界層與熱邊界層的相對厚度。其定義為：
$\text{Pr} = \frac{\mu/\rho}{\alpha} = \frac{\nu}{\alpha}$
其中，$\nu = \mu/\rho$ 為流體動力黏度， $\alpha$ 為熱擴散率。
普朗特數在對流傳熱中非常重要，它連結了流體力學行為與熱傳遞行為。
應用示意圖：
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
圖中顯示了速度邊界層 (velocity boundary layer) 和熱邊界層 (thermal boundary layer)。

• 當 $\text{Pr} = 1$ 時，動量擴散與熱擴散的速率相同，速度邊界層和溫度邊界層的厚度大致相同。
• 當 $\text{Pr} < 1$ 時 (例如氣體)，熱擴散比動量擴散快，溫度邊界層比速度邊界層厚。
• 當 $\text{Pr} > 1$ 時 (例如水、油)，動量擴散比熱擴散快，速度邊界層比溫度邊界層厚。
  在對流傳熱的應用中，普朗特數直接影響了努塞爾數 (Nu) 的關聯式，進而影響對流傳熱係數 $h$ 的計算。

(c) 熱擴散率 ($\alpha$) 是描述物質導熱能力的參數，表示物質內部熱量傳遞的速度。其定義為：
$\alpha = \frac{k}{\rho c_p}$
其中，$k$ 為導熱係數 (thermal conductivity)，$\rho$ 為密度， $c_p$ 為定壓比熱。
熱擴散率的 SI 單位是 $\text{m}^2/\text{s}$。
質量擴散係數 ($D$) 是描述物質透過擴散混合的速率，表示單位濃度梯度下單位面積的質量通量。其 SI 單位也是 $\text{m}^2/\text{s}$。
比較：

• 熱擴散率 ($\alpha$) 描述熱量在物質中擴散的速度。
• 質量擴散係數 ($D$) 描述物質粒子在混合物中擴散的速度。
  兩者的單位相同，都是 $\text{m}^2/\text{s}$，但代表的物理意義不同。

(d) 費克第一定律 (Fick's 1st Law) 描述穩態擴散的通量與濃度梯度之間的關係：
$J = -D \frac{dC}{dx} \quad (\text{for 1D steady state})$
其中，$J$ 為質量通量 (mass flux)，$D$ 為質量擴散係數，$\frac{dC}{dx}$ 為濃度梯度。
費克第二定律 (Fick's 2nd Law) 描述非穩態擴散的濃度隨時間的變化：

本題考驗學生對層流在圓管中流動的 Poiseuille 流動模型及其與 Navier-Stokes 方程式的連結。

首先，我們分析問題的條件：

1. 血液在血管中流動，視為層流 (laminar flow)。
2. 血管為圓形管，半徑為 $R$。
3. 重力效應可忽略 ($\rho g_r = \rho g_\theta = \rho g_z = 0$)。
4. 流動是穩態的 (steady state)，即所有對時間的偏導數為零。
5. 流動是軸對稱的 (axisymmetric)，且無渦流 (no swirl)，因此 $v_r = 0$, $v_\theta = 0$, 且 $\frac{\partial}{\partial \theta}$ 相關項為零。
6. 流動主要沿 z 方向，因此 $v_z$ 是主要的流速分量，且 $v_z$ 僅是 $r$ 的函數，即 $v_z = v_z(r)$。

基於上述假設，Navier-Stokes 方程式可以簡化。

(a) 坡度 $\langle v_z \rangle$ 對 $\Delta p / L$ 的關係：
Poiseuille 方程式給出了體積流量 $Q$ 與壓力降 $\Delta p$ 的關係：
$Q = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8 \mu L}$
平均速度 $\langle v_z \rangle$ 與體積流量 $Q$ 的關係為：
$Q = \langle v_z \rangle A = \langle v_z \rangle (\pi R^2)$
將此代入 Poiseuille 方程式：
$\langle v_z \rangle (\pi R^2) = \frac{\pi R^4 \Delta p}{8 \mu L}$
整理得到平均速度 $\langle v_z \rangle$：
$\langle v_z \rangle = \frac{R^2}{8 \mu} \frac{\Delta p}{L}$
若將 $\langle v_z \rangle$ 繪製在 y 軸，$\Delta p / L$ 繪製在 x 軸，則此圖的坡度 (slope) 為：
$\text{Slope} = \frac{\langle v_z \rangle}{\Delta p / L} = \frac{R^2}{8 \mu}$
因此，坡度為 $\frac{R^2}{8 \mu}$。

(b) 證明 $v_z$ 的速度剖面：
我們使用簡化的 Navier-Stokes 方程式的 z 方向分量。
假設：穩態 ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$)，無重力 ($g_z = 0$)，軸對稱 ($\frac{\partial}{\partial \theta} = 0$)，無渦流 ($v_\theta = 0$)，主要流動為 z 方向 ($v_r = 0$)。
則 z 方向的 Navier-Stokes 方程式簡化為：
$\rho (0 + 0 + 0 + v_z \cdot 0) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial v_z}{\partial r} \right) + 0 + 0 \right)$
$0 = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{dv_z}{dr} \right)$
其中，我們將偏導數改為全導數，因為 $v_z$ 僅是 $r$ 的函數，且壓力 $p$ 僅是 $z$ 的函數 (或可視為沿著 $z$ 方向壓力梯度是常數)。
$\frac{dp}{dz} = \mu \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{dv_z}{dr} \right)$
由於左側僅是 $z$ 的函數，右側僅是 $r$ 的函數，因此兩者必須等於一個常數。我們稱此常數為 $C_1$。
$\frac{dp}{dz} = C_1$
$\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( r \frac{dv_z}{dr} \right) = \frac{C_1}{\mu}$
積分一次：
$r \frac{dv_z}{dr} = \int \frac{C_1}{\mu} r dr = \frac{C_1}{2\mu} r^2 + C_2$
$\frac{dv_z}{dr} = \frac{C_1}{2\mu} r + \frac{C_2}{r}$
積分第二次：
$v_z = \int \left( \frac{C_1}{2\mu} r + \frac{C_2}{r} \right) dr = \frac{C_1}{4\mu} r^2 + C_2 \ln(r) + C_3$
現在考慮邊界條件：

1. 在管中心 ($r=0$)，速度必須是有限的，因此 $C_2$ 必須為 0 (否則 $C_2 \ln(r)$ 在 $r \to 0$ 時趨於無窮大)。
2. 在管壁 ($r=R$)，速度為零 (無滑動條件, no-slip condition)，即 $v_z(R) = 0$。
   從 $C_2=0$ 得到：
   $v_z = \frac{C_1}{4\mu} r^2 + C_3$
   應用 $v_z(R)=0$：
   $0 = \frac{C_1}{4\mu} R^2 + C_3 \implies C_3 = -\frac{C_1 R^2}{4\mu}$
   代入 $v_z$ 的表達式：
   $v_z(r) = \frac{C_1}{4\mu} r^2 - \frac{C_1 R^2}{4\mu} = \frac{C_1}{4\mu} (r^2 - R^2)$
   $v_z(r) = -\frac{C_1}{4\mu} (R^2 - r^2) = -\frac{C_1}{4\mu} R^2 \left[ 1 - \left(\frac{r}{R}\right)^2 \right]$
   我們知道壓力梯度 $\frac{dp}{dz} = C_1$。對於從 z=0 到 z=L 的壓力降 $\Delta p = p(L) - p(0)$，則 $\frac{dp}{dz} = \frac{\Delta p}{L}$。

本題考驗學生對填充床反應器中流體流動、壓降、摩擦損失以及無因次參數 (如摩擦係數、阻力係數、雷諾數) 的理解。

(a) 典型的 $f$ vs. log Re 圖和 $C_D$ vs. log Re 圖 (光滑表面)：
此處的 $f$ 通常指達西摩擦係數 (Darcy friction factor)，在填充床中常使用 J-factor 或 Ergun 方程式中的無因次摩擦項。然而，題目描述的是 PFR 內填充的球形催化劑，這通常會與流體通過球體或填充床的阻力係數 (drag coefficient, $C_D$) 或填充床的無因次壓降相關。
題目中的 Ergun 方程式描述了填充床的壓降，其中包含與雷諾數倒數和雷諾數本身相關的項。
如果 $f$ 指的是填充床的無因次壓降參數，而 $C_D$ 指的是單顆球體的阻力係數。

情況一：若 $f$ 指的是填充床的無因次壓降參數 (類似於 Ergun 方程式的表現)
Ergun 方程式可寫成：
$\frac{\Delta p}{L} = \frac{150 \eta_0 \mu (1 - \epsilon)^2}{ \Phi_s^2 d_p^2 \epsilon^3} U + \frac{1.75 \rho U^2 (1 - \epsilon)}{\Phi_s d_p \epsilon^3}$
為了與雷諾數關聯，我們需要定義填充床的雷諾數。通常定義為：
$\text{Re}_p = \frac{\rho U d_p}{\mu (1-\epsilon)}$
或
$\text{Re}_p = \frac{\rho U d_p}{\mu}$
這裡我們使用後者，並假設 $\Phi_s = 1$ (球體)。
$\frac{\Delta p}{L} = \left( \frac{150 \mu (1 - \epsilon)^2}{ d_p^2 \epsilon^3} \right) \frac{U}{\rho U^2} \rho U + \left( \frac{1.75 \rho (1 - \epsilon)}{ d_p \epsilon^3} \right)$
$\frac{\Delta P}{L} \frac{d_p}{\rho U^2} = \frac{150 (1-\epsilon)^2}{\text{Re}_p \epsilon^3} + \frac{1.75 (1-\epsilon)}{\epsilon^3}$
左側的 $\frac{\Delta P}{L} \frac{d_p}{\rho U^2}$ 可以看作是填充床的無因次壓降，類似於摩擦係數 $f$。

• 低雷諾數區 (黏滯區, Re$_p < 10$): 第一項 (黏滯項) 佔主導地位。無因次壓降 $\propto 1/\text{Re}_p$。
• 高雷諾數區 (慣性區, Re$_p > 1000$): 第二項 (慣性項) 佔主導地位。無因次壓降趨於常數。
• 過渡區: 兩項都重要。

圖 (i) $f$ vs. log Re plot (填充床無因次壓降)

• 在低 Re 區，曲線急劇下降 (斜率約為 -1)。
• 在過渡區，曲線逐漸趨於平緩。
• 在高 Re 區，曲線趨於一水平線 (常數)。

情況二：若 $f$ 指的是單顆球體的阻力係數 $C_D$
單顆球體在流體中的阻力係數 $C_D$ 與雷諾數 $\text{Re}_p = \frac{\rho U d}{\mu}$ 的關係圖：

• 低 Re (Re < 1, 斯托克斯區): $C_D \approx \frac{24}{\text{Re}_p}$。$C_D$ 隨 $\text{Re}_p$ 減小而急劇增大。
• 中 Re (1 < Re < 1000): $C_D$ 隨 $\text{Re}_p$ 增加而逐漸減小。
• 高 Re (Re > 1000, 流線分離區): $C_D$ 變得相對穩定，約為 0.44，然後在 Re 達到約 $2 \times 10^5$ (臨界區) 時突然下降 (阻力危機)，之後又回升。
  題目說 "smooth surface case"，這在球體阻力係數圖中通常指的是 Re > 1000 的穩定平台區。

圖 (ii) $C_D$ vs. log Re plot (單顆球體阻力係數)

• 在低 Re 區，曲線急劇下降。
• 在中 Re 區，曲線下降趨於平緩。
• 在高 Re 區 (約 Re > 1000)，曲線趨於一水平線 (約 0.44)。

由於題目提到了 Ergun 方程式，且計算 Re 是基於催化劑直徑 $d$ (即 $d_p$)，因此更傾向於討論填充床的行為。但 Ergun 方程式本身就是基於單顆球體阻力係數的推導。
這裡我們假設題目問的是單顆球體的阻力係數 $C_D$，因為這在流動阻力中有更標準的圖示。

(i) $f$ vs. log Re plot (假設 $f$ 是填充床的無因次壓降)
低 Re: 類似 $1/\text{Re}$ 趨勢，急劇下降。
高 Re: 類似常數，水平線。
過渡區: 兩者結合。

(ii) $C_D$ vs. log Re plot (單顆球體阻力係數)
低 Re (Stokes): $C_D \propto 1/\text{Re}$，急劇下降。
中 Re: 緩慢下降。
高 Re (約 1000 以上): $C_D \approx 0.44$，水平線。
繪圖說明：

• 橫軸：log Re (對數尺度)
• 縱軸：$f$ 或 $C_D$ (線性尺度)
• 低 Re 區域 (左側)：曲線從高處急劇下降。
• 高 Re 區域 (右側)：曲線趨於一水平線。

(b) 流速 $U$ 對反應器管路摩擦損失的影響：
摩擦損失主要由流體通過填充床的壓力降 $\Delta p$ 引起。Ergun 方程式清楚地顯示了摩擦損失與 $U$ 的關係：
$\frac{\Delta p}{L} = \underbrace{\frac{150 \eta_0 \mu (1 - \epsilon)^2}{ \Phi_s^2 d_p^2 \epsilon^3} U}_{\text{黏滯損失項}} + \underbrace{\frac{1.75 \rho U^2 (1 - \epsilon)}{\Phi_s d_p \epsilon^3}}_{\text{慣性損失項}}$

• 黏滯損失項: 與 $U$ 成正比。在低雷諾數 (低流速) 區域佔主導地位。
• 慣性損失項: 與 $U^2$ 成正比。在高雷諾數 (高流速) 區域佔主導地位。
  因此，流體流速 $U$ 的增加會導致摩擦損失增加。在低流速時，損失與 $U$ 成線性關係；在高流速時，損失與 $U^2$ 成平方關係。總體而言，流速越高，摩擦損失越大。

核心觀念

本題考查：

1. 鰭片微分能量平衡與 Fin equation。
2. 無限長鰭片的溫度分布與熱傳率。
3. 鰭片效率 $\eta$ 的定義與推導。
4. 以 Nusselt number $Nu$ 評估與設計高效率散熱器。

令

$$\theta(x)=T(x)-T_\infty$$

其中 $T_\infty$ 為周圍流體溫度，$T_b$ 為鰭片基部溫度。

---

(a) Fin equation 的意義與推導

題目給出的方程式為

$$\frac{d^2T}{dx^2} -\frac{hp}{kA_c}(T-T_\infty)=0$$

其中：

• $T(x)$：鰭片在位置 $x$ 的局部溫度。
• $T_\infty$：周圍流體溫度。
• $h$：鰭片表面與流體間的對流熱傳係數。
• $p$：鰭片截面的周長，即單位長度鰭片所暴露的換熱周長。
• $k$：鰭片材料的熱傳導係數。
• $A_c$：鰭片的導熱截面積。
• $x$：沿鰭片長度方向的位置。

取長度為 $dx$ 的微小鰭片元素。穩態下能量平衡為

$$\text{流入導熱量} -\text{流出導熱量} +\text{表面对流散熱量}=0$$

沿 $x$ 方向的導熱量為

$$q_x=-kA_c\frac{dT}{dx}$$

因此微小元素的導熱淨流入量為

$$q_x(x)-q_x(x+dx) = \frac{d}{dx} \left(kA_c\frac{dT}{dx}\right)dx$$

若 $k$ 與 $A_c$ 為常數，則為

$$kA_c\frac{d^2T}{dx^2}dx$$

微小元素表面積為 $p\,dx$，對流散熱量為

$$h p\,dx\,(T-T_\infty)$$

能量平衡得

$$kA_c\frac{d^2T}{dx^2}dx -hp\,dx\,(T-T_\infty)=0$$

除以 $kA_cdx$：

$$\boxed{ \frac{d^2T}{dx^2} -\frac{hp}{kA_c}(T-T_\infty)=0 }$$

此式表示：鰭片內部沿長度方向的導熱，必須平衡鰭片表面向流體的對流散熱。

---

(b) 無限長鰭片的總熱傳率

題目給定

$$\frac{T(x)-T_\infty}{T_b-T_\infty} =e^{-mx}$$

其中

$$m=\sqrt{\frac{hp}{kA_c}}$$

令

$$\theta_b=T_b-T_\infty$$

則溫度分布為

$$T(x)-T_\infty=\theta_b e^{-mx}$$

對 $x$ 微分：

$$\frac{dT}{dx} =-m\theta_b e^{-mx}$$

鰭片基部 $x=0$ 的導熱熱流率為

$$q_f=-kA_c\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}$$

代入 $\dfrac{dT}{dx}$：

$$q_f =-kA_c(-m\theta_b)$$

因此

$$q_f=kA_cm(T_b-T_\infty)$$

再代入 $m$：

$$\boxed{ q_f = \sqrt{hpkA_c}\,(T_b-T_\infty) }$$

也可寫成

$$\boxed{ q_f = \frac{hp}{m}(T_b-T_\infty) }$$

此熱量即為無限長鰭片由基部傳入、最後經由整支鰭片表面對流散出的穩態總熱傳率。

---

(c) 證明無限長鰭片效率

鰭片效率定義為

$$\eta_f = \frac{\text{實際鰭片熱傳率}} {\text{整片鰭片皆維持基部溫度時的理想熱傳率}}$$

實際熱傳率

由 (b)：

$$q_{\text{actual}} = kA_cm(T_b-T_\infty)$$

理想熱傳率

核心觀念

本題考查：

• Fick 第二定律的初始條件與邊界條件。
• 平面電極擴散控制下的暫態電流。
• 旋轉圓盤電極的 Levich 方程式。
• 對流—擴散方程式各項的物理意義。

其中電極反應為：

$$\mathrm{O}+ne^- \rightarrow \mathrm{R}$$

負電位下為擴散控制，電極表面之 $O$ 被快速消耗，因此表面濃度可視為零。

---

（a）初始條件與邊界條件

濃度分布為：

$$C_O(x,t)=C_O^*\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{D_Ot}}\right)$$

平面電極位於 $x=0$，電解液延伸至 $x\rightarrow\infty$。

初始條件

題目說明一開始沒有 $R$，且電解液中 $O$ 均勻分布，因此：

$$C_O(x,0)=C_O^*,\qquad x>0$$

邊界條件

在電極表面 $x=0$，$O$ 被快速還原消耗：

$$C_O(0,t)=0,\qquad t>0$$

在遠離電極處，溶液仍維持本體濃度：

$$C_O(\infty,t)=C_O^*,\qquad t>0$$

因此完整條件為：

$$C_O(x,0)=C_O^*$$ $$C_O(0,t)=0$$ $$C_O(\infty,t)=C_O^*$$

這些條件正好導出題目給出的誤差函數解。

---

（b）暫態電流 $i(t)$

由濃度分布：

$$C_O(x,t)=C_O^*\operatorname{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{D_Ot}}\right)$$

令：

$$u=\frac{x}{2\sqrt{D_Ot}}$$

由於：

$$\frac{d}{du}\operatorname{erf}(u)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-u^2}$$

所以：

$$\frac{\partial C_O}{\partial x} = C_O^* \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-u^2} \frac{1}{2\sqrt{D_Ot}}$$

整理得：

$$\frac{\partial C_O}{\partial x} = \frac{C_O^*}{\sqrt{\pi D_Ot}} \exp\left(-\frac{x^2}{4D_Ot}\right)$$

在電極表面 $x=0$：

$$\left.\frac{\partial C_O}{\partial x}\right|_{x=0} = \frac{C_O^*}{\sqrt{\pi D_Ot}}$$

依照原卷中的 Faraday 定律與擴散通量關係：

$$\frac{i(t)}{nFA} = D_O \left.\frac{\partial C_O}{\partial x}\right|_{x=0}$$

因此：

$$i(t) = nFA D_O \frac{C_O^*}{\sqrt{\pi D_Ot}}$$

故暫態電流為：

$$\boxed{ i(t)=nFA C_O^* \sqrt{\frac{D_O}{\pi t}} }$$

物理意義

電流與 $t^{-1/2}$ 成正比：

$$i(t)\propto t^{-1/2}$$

隨時間增加，電極附近的擴散層變厚，濃度梯度降低，因此電流逐漸衰減。這就是 Cottrell 行為。

---

（c）旋轉圓盤電極

Levich 方程式為：

$$i_L=0.62nFAD_O^{2/3}\omega^{1/2}C_O^*\nu^{-1/6}$$

膜理論中的穩態極限電流為：

$$i_L=nFAk_mC_O^*$$

其中 $k_m$ 為質傳係數。

（i）質傳係數

將兩式比較：

$$nFAk_mC_O^* = 0.62nFAD_O^{2/3}\omega^{1/2}C_O^*\nu^{-1/6}$$

約去 $nFA C_O^*$，得到：

$$\boxed{ k_m=0.62D_O^{2/3}\omega^{1/2}\nu^{-1/6} }$$

（ii）擴散層厚度

膜理論定義：

$$k_m=\frac{D_O}{\delta}$$

因此：

$$\delta=\frac{D_O}{k_m}$$

代入 $k_m$：

$$\delta = \frac{D_O} {0.62D_O^{2/3}\omega^{1/2}\nu^{-1/6}}$$

整理得：