109 年 國立臺灣大學生物機電系碩士班丁組《單元操作與輸送現象》

本題考驗對流體黏滯性、牛頓流體及圓柱型黏滯計的理解，並能推導相關的力矩計算式。

核心觀念：牛頓流體黏滯力矩計算、剪應力與速度梯度關係。

(a) 動黏滯係數 (dynamic viscosity, $\mu$) 的 SI 單位是帕斯卡．秒（Pa·s）或牛頓．秒/平方公尺（N·s/m²）。運動黏滯係數 (kinematic viscosity, $\nu$) 的 SI 單位是平方公尺/秒（m²/s）。
「Poise (P)」是 CGS 單位制中的動黏滯係數單位，1 P = 0.1 Pa·s。因此，「poise」是動黏滯係數的單位。

【答案】
動黏滯係數 SI 單位：Pa·s 或 N·s/m²
運動黏滯係數 SI 單位：m²/s
Poise (p) 是動黏滯係數的單位。

(b) 假設內外圓柱體半徑分別為 $R_i$ 和 $R_o$。題目圖示中，內圓柱體旋轉，外圓柱體靜止。圓柱間隙寬度為 $a$，內圓柱體高度為 $H$。
內圓柱體以角速度 $\omega$ 旋轉。
在圓柱間隙中，速度分布假設為線性，即 $v_\theta(r) = \omega \frac{r - R_o}{R_i - R_o}$。
這裡的間隙寬度為 $a = R_i - R_o$。
剪應力 $\tau$ 的定義為 $\tau = \mu \frac{dv}{dn}$。在圓柱座標下，對於旋轉的圓柱體，速度梯度為 $\frac{dv_\theta}{dr}$。
$\tau_{\theta r} = \mu r \frac{d}{dr} (\frac{v_\theta}{r})$
對於線性速度分布 $v_\theta(r) = \omega r$ (假設 $R_i \approx R_o = R$)，則 $\tau = \mu \frac{r \omega}{a}$。
若考慮內外半徑不同，則速度梯度為 $\frac{dv_\theta}{dr}$。
對於旋轉的內圓柱體，速度 $v_\theta(r)$ 的變化由內圓柱體表面 ($r=R_i$) 的 $\omega R_i$ 到外圓柱體表面 ($r=R_o$) 的 0。
速度分布為 $v_\theta(r) = \omega R_i \frac{R_o - r}{R_o - R_i}$。
剪應力為 $\tau_{r\theta} = \mu r \frac{d}{dr}(\frac{v_\theta}{r}) = \mu r \frac{d}{dr} (\frac{\omega R_i}{r} \frac{R_o - r}{R_o - R_i}) = \mu r \omega R_i \frac{R_o - R_i - (R_o - r)}{(R_o - R_i)r^2} = \mu \omega R_i \frac{r - R_o}{(R_o - R_i)r}$
這裡的 $r$ 應該是指外半徑 $R_o$。
若假設 $R_i \approx R_o = R$，則間隙寬度 $a = R_i - R_o$。
速度分布為 $v_\theta(r) = \omega \frac{r - R_o}{a}$。
剪應力為 $\tau_{r\theta} = \mu \frac{dv_\theta}{dr} = \mu \frac{\omega}{a}$。
此剪應力作用在半徑為 $r$ 的表面上。
力矩 $T$ 為 $T = \int_A r (\tau dA)$。
對於圓柱間隙，作用面積為 $A = 2\pi r H$。
這裡的 $r$ 應為平均半徑 $R$。
$T_{annulus} = \int_{R_o}^{R_i} r (\mu \frac{v_\theta}{a}) (2\pi r H) dr$ 這是錯誤的積分方式。
正確的力矩計算是作用在圓柱表面上的剪應力乘以該表面的力臂 (半徑) 和面積。
內圓柱體表面上的剪應力：$\tau_{i} = \mu \frac{v_\theta(R_i)}{a} = \mu \frac{\omega R_i}{a}$。
作用在內圓柱體表面的力矩：$T_{annulus} = \tau_i \times (2\pi R_i H) \times R_i = \mu \frac{\omega R_i}{a} (2\pi R_i H) R_i = \frac{2\pi \mu \omega H R_i^3}{a}$。
如果題目圖示中的 $R$ 是指內圓柱體半徑，則：
$T_{annulus} = \frac{2\pi \mu \omega H R^3}{a}$。

【答案】
$T_{annulus} = \frac{2\pi \mu \omega H R^3}{a}$

(c) 底部間隙高度為 $b$。內圓柱體底部半徑為 $R$。
此處為圓盤與平面之間的黏滯力。
速度分布假設為線性：$v_\theta(z) = \omega \frac{z}{b}$，其中 $z$ 是從外圓盤表面到內圓盤表面的距離。
剪應力為 $\tau_{r\theta} = \mu \frac{dv_\theta}{dz} = \mu \frac{\omega}{b}$。
此剪應力作用在半徑為 $r$ 的圓盤表面上。
作用面積為 $dA = 2\pi r dr$。
力矩 $T_{bottom}$ 為：
$T_{bottom} = \int_0^R r (\tau_{r\theta}) (2\pi r dr) = \int_0^R r (\mu \frac{\omega}{b}) (2\pi r dr) = \frac{2\pi \mu \omega}{b} \int_0^R r^2 dr$
$T_{bottom} = \frac{2\pi \mu \omega}{b} [\frac{r^3}{3}]_0^R = \frac{2\pi \mu \omega R^3}{3b}$。

核心觀念

Grashof number（$Gr$）是自然對流中的重要無因次數，表示「浮力效應」與「黏滯阻力效應」的相對大小：

$$Gr=\frac{D^3\rho^2\beta g\Delta T}{\mu^2} =\frac{g\beta\Delta T D^3}{\nu^2}$$

其中

$$\nu=\frac{\mu}{\rho}$$

為動黏度。

題目中的「$b$」應是公式中的希臘字母 $\beta$，代表流體的體膨脹係數。

解題方法

將公式改寫成動黏度形式：

$$Gr=\frac{D^3\rho^2\beta g\Delta T}{\mu^2} =\frac{g\beta\Delta T D^3}{(\mu/\rho)^2} =\frac{g\beta\Delta T D^3}{\nu^2}$$

自然對流中，溫度差造成密度差，密度差在重力場中產生浮力；而流體的黏性會抵抗流動。因此，$Gr$ 可視為：

$$Gr\sim\frac{\text{浮力效應}}{\text{黏滯阻力效應}}$$

當 $Gr$ 越大，代表浮力相對越強，自然對流越明顯；當 $Gr$ 越小，代表黏滯作用占優勢，流體流動較弱。

（a）Grashof number 的物理意義

$$\boxed{Gr=\frac{\text{浮力}}{\text{黏滯力的相對量級}}}$$

它在自然對流中所扮演的角色，類似強制對流中的 Reynolds number：用來衡量流動是否容易受到浮力驅動，以及自然對流的強弱。

• $Gr\ll 1$：黏滯作用 dominant，自然對流很弱。
• $Gr\gg 1$：浮力作用 dominant，自然對流顯著。
• $Gr$ 增大時，流動通常更容易由層流發展為較不穩定甚至紊流。

（b）$\beta$ 的物理意義與量綱

流體體膨脹係數定義為：

$$\beta =-\frac{1}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_p$$

它表示在定壓下，溫度改變所造成的流體密度相對變化率。

對小溫差而言：

本題考驗對熱輻射傳遞的計算能力，特別是物體與周圍環境之間的淨輻射傳熱。

核心觀念：淨輻射傳熱、史蒂芬-波茲曼定律。

題目假設麵包體積相較於烤箱體積很小，且忽略自然對流，因此麵包與烤箱之間的熱傳遞主要為輻射。

給定條件：
麵包表面溫度 $T_s = 353$ K
烤箱壁溫度 $T_{oven} = 487$ K
麵包的放射率 $\epsilon = 0.86$
麵包尺寸：高 $H = 120$ mm = 0.12 m，寬 $W = 120$ mm = 0.12 m，長 $L = 350$ mm = 0.35 m
史蒂芬-波茲曼常數 $\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2\text{K}^4$

計算麵包吸收的淨輻射熱傳遞率 $Q_{net}$。
淨輻射熱傳遞率等於麵包吸收的輻射減去麵包發出的輻射。

1. 計算麵包的表面積 (A_s)：
   麵包為長方體，其表面積為：
   $A_s = 2(HW + HL + WL)$
   $A_s = 2(0.12 \text{ m} \times 0.12 \text{ m} + 0.12 \text{ m} \times 0.35 \text{ m} + 0.12 \text{ m} \times 0.35 \text{ m})$
   $A_s = 2(0.0144 + 0.042 + 0.042) \text{ m}^2$
   $A_s = 2(0.0984) \text{ m}^2 = 0.1968 \text{ m}^2$

2. 計算麵包吸收的輻射熱 ($Q_{abs}$)：
   由於烤箱被視為一個大的黑體（或熱源），麵包吸收的輻射來自烤箱的表面。
   烤箱表面發出的輻射通量（假設為黑體輻射）為 $\sigma T_{oven}^4$。
   麵包吸收的輻射通量為：$q_{abs} = \alpha \sigma T_{oven}^4$，其中 $\alpha$ 是麵包的吸收率。
   根據克希荷夫輻射定律，對於不透明物體，吸收率 $\alpha$ 等於放射率 $\epsilon$（在相同溫度和波長下）。
   因此，$\alpha = \epsilon = 0.86$。
   麵包吸收的總輻射熱為：$Q_{abs} = A_s \times \alpha \times \sigma T_{oven}^4$
   $Q_{abs} = 0.1968 \text{ m}^2 \times 0.86 \times (5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2\text{K}^4) \times (487 \text{ K})^4$
   $(487)^4 \approx 5.61 \times 10^{10} \text{ K}^4$
   $Q_{abs} \approx 0.1968 \times 0.86 \times 5.67 \times 10^{-8} \times 5.61 \times 10^{10}$ W

核心觀念

本題結合三個觀念：

1. 彎月面因表面張力產生的 Young–Laplace 壓差。
2. 矩形微流道在 $h\ll w$ 下，可近似為兩平行平板間流動，使用 Hagen–Poiseuille 方程式。
3. 液體體積流率與液柱前進速度的關係：

$$Q=wh\frac{dL}{dt}$$

其中 $L(t)$ 為液體前端位置，$\gamma$ 為表面張力，$\eta$ 為黏度，$\theta$ 為液體與壁面的接觸角。

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解題方法

由於 $h\ll w$，流道的主要流動阻力來自上下兩平板之間的間隙 $h$，寬度方向的側壁效應可忽略。因此可將流道視為寬度為 $w$、高度為 $h$、長度為 $L$ 的平行平板流道。

設入口與彎月面之間的外加壓差為 $\Delta p$。

（a）彎月面兩側的壓差

矩形流道中，因 $h\ll w$，彎月面在寬度方向的曲率可忽略，主要曲率來自高度 $h$ 方向。

依 Young–Laplace 方程式：

$$\Delta p_m=\gamma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$

其中主要曲率半徑為

$$R_1=\frac{h}{2\cos\theta}$$

另一方向曲率近似為零，因此

$$\Delta p_m = \gamma\frac{2\cos\theta}{h}$$

故彎月面壓差為

$$\boxed{\Delta p_m=\frac{2\gamma\cos\theta}{h}}$$

對可潤濕壁面而言，$\theta<90^\circ$，液體前方的毛細壓力能夠提供推進作用。

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（b）體積流率

真正用來克服流動阻力的壓差，必須扣除彎月面所消耗的壓差：

$$\Delta p_{\text{flow}} = \Delta p-\Delta p_m = \Delta p-\frac{2\gamma\cos\theta}{h}$$

平行平板流動的速度分布為拋物線型，積分後得到體積流率：

$$Q = \frac{wh^3}{12\eta L} \Delta p_{\text{flow}}$$

代入毛細壓差：

$$\boxed{ Q= \frac{wh^3}{12\eta L} \left( \Delta p-\frac{2\gamma\cos\theta}{h} \right) }$$

此結果成立的條件為

$$\Delta p>\frac{2\gamma\cos\theta}{h}$$

若外加壓差未超過毛細壓差，則不會有向前的穩定推進流動。

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（c）平均速度與液體前進距離

流道截面積為

$$A=wh$$

因此液體平均速度為

$$\bar{u}=\frac{Q}{wh}$$

代入上式：

$$\bar{u} = \frac{h^2}{12\eta L} \left( \Delta p-\frac{2\gamma\cos\theta}{h} \right)$$

由於彎月面位置為 $L(t)$，其前進速度等於液體平均速度：

核心觀念

本題考查心臟對血液所做的流動功率。對於穩定流動、不可壓縮的血液，若忽略速度與高度變化，泵浦功率為

$$\dot W = Q\Delta P$$

其中：

• $\dot W$：心臟對血液所做的功率，單位為 W
• $Q$：血液體積流率
• $\Delta P$：心臟兩端的壓力升高

心臟可視為兩個串接於不同循環中的泵浦：

1. 右心室將血液送入肺動脈；
2. 左心室將血液送入主動脈。

肺部本身造成壓力損失，但這部分不是心臟直接做的功，不能列入心臟泵浦功率。

解題方法

血液流量為

$$Q=6\ \mathrm{L\,min^{-1}}$$

換算為 SI 單位：

$$Q=6\times 10^{-3}\ \mathrm{m^3\,min^{-1}} =\frac{6\times10^{-3}}{60} =1.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}$$

右心側的壓力由 $0\ \mathrm{mmHg}$ 升至肺動脈的 $11\ \mathrm{mmHg}$，因此右心所做的單位體積流動功為

$$\Delta P_R=11-0=11\ \mathrm{mmHg}$$

血液通過肺部後，壓力由 $11\ \mathrm{mmHg}$ 降至肺靜脈的 $8\ \mathrm{mmHg}$，這是肺循環的壓力損失：

$$\Delta P_{\text{lung}}=11-8=3\ \mathrm{mmHg}$$

左心側則將血液由肺靜脈的 $8\ \mathrm{mmHg}$ 升壓至主動脈的 $90\ \mathrm{mmHg}$：

$$\Delta P_L=90-8=82\ \mathrm{mmHg}$$

因此，心臟總壓力升高為

核心觀念

本題考查矩形流道中的：

• 水力直徑
• 平均流速
• Reynolds number
• Colebrook 摩擦因子
• Darcy–Weisbach 壓降公式

流道寬度為 $W=1.5\ \text{m}$，玻璃蓋與集熱板間距為 $b=0.04\ \text{m}$，流動長度為 $L=5\ \text{m}$。

已知：

$$Q=0.15\ \text{m}^3/\text{s}$$ $$\rho=1.109\ \text{kg/m}^3,\qquad \mu=1.941\times10^{-5}\ \text{kg/(m·s)}$$

假設空氣為不可壓縮穩態流動，且忽略入口損失、粗糙度效應與 90° 彎管局部損失。

解題方法

(a) 水力直徑

矩形流道的截面積為

$$A_c= Wb$$ $$A_c=(1.5)(0.04)=0.0600\ \text{m}^2$$

濕周為

$$P_w=2(W+b)$$ $$P_w=2(1.5+0.04)=3.08\ \text{m}$$

水力直徑定義為

$$D_h=\frac{4A_c}{P_w}$$

因此

$$D_h=\frac{4(0.0600)}{3.08} =0.0779\ \text{m}$$

所以

$$\boxed{D_h=7.79\times10^{-2}\ \text{m}}$$

由於流道寬度遠大於間距，也可用平行板近似 $D_h\approx 2b=0.080\ \text{m}$；本題採用矩形流道的精確水力直徑。

(b) Reynolds number 與摩擦因子

平均流速為

$$V=\frac{Q}{A_c}$$ $$V=\frac{0.15}{0.0600}=2.50\ \text{m/s}$$

Reynolds number 為

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho V D_h}{\mu}$$

代入數值：

$$\mathrm{Re} =\frac{(1.109)(2.50)(0.0779)} {1.941\times10^{-5}}$$ $$\boxed{\mathrm{Re}\approx1.11\times10^4}$$

題目要求忽略粗糙度，因此取 $\epsilon=0$。Colebrook 式化為