114 年 國立清華大學生命科學院聯招：分子與細胞生物研究所、分子醫學研究所、生物資訊與結構生物研究所、生物科技研究所、系統神經科學研究所丙組《微積分》

此題考驗極限的計算，包含兩個小題。小題(A)可以使用羅必達法則或泰勒展開；小題(B)則需要辨識級數的意義。

(A) 針對極限 $\lim_{x\to 1} \frac{x^{1/5} - 1}{x - 1}$，這是一個 $\frac{0}{0}$ 型的不定型。
方法一：使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule)。
令 $f(x) = x^{1/5} - 1$ 且 $g(x) = x - 1$。則 $f'(x) = \frac{1}{5}x^{-4/5}$ 且 $g'(x) = 1$。
$\lim_{x\to 1} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{1}{5}x^{-4/5}}{1} = \frac{1}{5}(1)^{-4/5} = \frac{1}{5}$
方法二：使用定義法。
令 $f(x) = x^{1/5}$。則此極限即為函數 $f(x)$ 在 $x=1$ 處的導數 $f'(1)$。

此題考驗函數性質、微分的鏈式法則以及奇函數的定義。

(A) 奇函數 (odd function) 的定義為 $f(-x) = -f(x)$ 對於所有 $x$ 成立。
偶函數 (even function) 的定義為 $f(-x) = f(x)$ 對於所有 $x$ 成立。
我們需要判斷 $f'(x)$ 是否為奇函數，也就是判斷 $f'(-x) = -f'(x)$ 是否成立。
已知 $f$ 可微分，且 $f(-x) = -f(x)$。
對兩邊同時微分，使用鏈式法則：
$\frac{d}{dx} f(-x) = \frac{d}{dx} (-f(x))$
$f'(-x) \cdot \frac{d}{dx}(-x) = -f'(x)$
$f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x)$
$-f'(-x) = -f'(x)$
$f'(-x) = f'(x)$
這表示 $f'$ 是一個偶函數。
因此，敘述「$f'$ 亦為一奇函數」是錯誤的。

(B) 我們需要判斷若 $g(x^2)$ 在 $x=0$ 可微分，則 $g(x)$ 在 $x=0$ 是否可微分。
令 $h(x) = g(x^2)$。已知 $h(x)$ 在 $x=0$ 可微分。
根據導數的定義，
$h'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0} \frac{g(x^2) - g(0^2)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{g(x^2) - g(0)}{x}$ 存在。

假設 $g$ 在 $x=0$ 可微分，則 $g'(0)$ 存在。
令 $y = x^2$。當 $x \to 0$，則 $y \to 0$。
$h'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{g(x^2) - g(0)}{x}$
我們可以將分子分母同乘以 $x$ (當 $x \ne 0$)：
$h'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{g(x^2) - g(0)}{x^2} \cdot x$
若 $g$ 在 $x=0$ 可微分，則 $\lim_{y\to 0} \frac{g(y) - g(0)}{y} = g'(0)$ 存在。
所以，$\lim_{x\to 0} \frac{g(x^2) - g(0)}{x^2} = g'(0)$。
因此，$h'(0) = g'(0) \cdot \lim_{x\to 0} x = g'(0) \cdot 0 = 0$。
這表示如果 $g$ 在 $x=0$ 可微分，那麼 $h(x) = g(x^2)$ 在 $x=0$ 可微分，且 $h'(0)=0$。

現在反過來看問題：已知 $h(x) = g(x^2)$ 在 $x=0$ 可微分，是否代表 $g(x)$ 在 $x=0$ 可微分？
考慮一個例子：令 $g(x) = \sqrt{|x|}$。
則 $g(x^2) = \sqrt{|x^2|} = \sqrt{x^2} = |x|$。
函數 $|x|$ 在 $x=0$ 是連續的，但不可微分。
所以 $g(x^2)$ 在 $x=0$ 不可微分。這個例子不適用。

此題考驗基本微分運算與切線方程式的求法。

(A) 要求 $f(x) = e^x \sin(x)$ 的導函數 $f'(x)$，我們需要使用乘積法則 (product rule)。
令 $u(x) = e^x$ 且 $v(x) = \sin(x)$。
則 $u'(x) = e^x$ 且 $v'(x) = \cos(x)$。
根據乘積法則，$(uv)' = u'v + uv'$：
$f'(x) = (e^x)' \sin(x) + e^x (\sin(x))'$
$f'(x) = e^x \sin(x) + e^x \cos(x)$
$f'(x) = e^x (\sin(x) + \cos(x))$

(B) 要求過曲線 $y = f(x)$ 上一點 $(x_0, y_0)$ 的切線方程式，我們需要知道該點的斜率，即函數在該點的導數值。
給定的點是 $(1, \frac{1}{2}e \sin(1))$。
然而，題目給定的點 $(1, \frac{1}{2}e \sin(1))$ 似乎與函數 $f(x) = e^x \sin(x)$ 的計算值不符。
當 $x=1$ 時，函數值為 $f(1) = e^1 \sin(1) = e \sin(1)$。
而題目給定的 $y_0 = \frac{1}{2}e \sin(1)$。
這可能是一個印刷錯誤。我們假設題目意圖給定的點是曲線上的點，即 $x_0=1$。
若點為 $(1, e \sin(1))$，則斜率為 $f'(1)$。
$f'(1) = e^1 (\sin(1) + \cos(1)) = e(\sin(1) + \cos(1))$。
切線方程式為 $y - y_0 = m(x - x_0)$。
$y - e \sin(1) = e(\sin(1) + \cos(1))(x - 1)$
$y = e(\sin(1) + \cos(1))x - e(\sin(1) + \cos(1)) + e \sin(1)$

此題考驗拉格朗日乘數法在多元函數最佳化問題的應用。

我們要最大化函數 $f(x, y, z) = xyz$，受到限制 $g(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz - 12 = 0$。
根據拉格朗日乘數法，我們需要解以下方程組：
$\nabla f = \lambda \nabla g$
$g(x, y, z) = 0$

首先計算梯度：
$\nabla f = \langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \rangle = \langle yz, xz, xy \rangle$
$\nabla g = \langle \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z} \rangle$
$\frac{\partial g}{\partial x} = y + 2z$
$\frac{\partial g}{\partial y} = x + 2z$
$\frac{\partial g}{\partial z} = 2x + 2y$
所以 $\nabla g = \langle y + 2z, x + 2z, 2x + 2y \rangle$。

方程組為：

1. $yz = \lambda (y + 2z)$
2. $xz = \lambda (x + 2z)$
3. $xy = \lambda (2x + 2y)$
4. $xy + 2xz + 2yz = 12$

假設 $x, y, z$ 均不為零，且 $\lambda \ne 0$。
從方程 1, 2, 3，我們可以寫成：
$\frac{yz}{y+2z} = \lambda$
$\frac{xz}{x+2z} = \lambda$
$\frac{xy}{2x+2y} = \lambda$

因此，
$\frac{yz}{y+2z} = \frac{xz}{x+2z}$
$yz(x+2z) = xz(y+2z)$
$xyz + 2yz^2 = xyz + 2xz^2$
$2yz^2 = 2xz^2$
由於我們假設 $z \ne 0$，可以消去 $2z^2$：
$y = x$

現在，我們將 $y=x$ 代入方程 2 和 3：
從方程 2: $xz = \lambda (x + 2z)$
從方程 3: $x^2 = \lambda (2x + 2x) = \lambda (4x)$
由於假設 $x \ne 0$，我們可以從 $x^2 = 4\lambda x$ 得到 $x = 4\lambda$，即 $\lambda = \frac{x}{4}$。

將 $\lambda = \frac{x}{4}$ 和 $y=x$ 代入方程 1:
$xz = \frac{x}{4} (x + 2z)$
$xz = \frac{x^2}{4} + \frac{xz}{2}$
$xz - \frac{xz}{2} = \frac{x^2}{4}$
$\frac{xz}{2} = \frac{x^2}{4}$
由於假設 $x \ne 0$，我們可以消去 $x$：
$\frac{z}{2} = \frac{x}{4}$
$z = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$

所以我們得到關係式：$y = x$ 且 $z = \frac{x}{2}$。
現在將這些關係式代入限制條件方程 4：
$xy + 2xz + 2yz = 12$
$x(x) + 2x(\frac{x}{2}) + 2x(\frac{x}{2}) = 12$
$x^2 + x^2 + x^2 = 12$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$

由於 $y=x$ 且 $z=x/2$，我們得到兩組可能的極值點：

1. 若 $x=2$，則 $y=2$ 且 $z=1$。點為 $(2, 2, 1)$。
   此時函數值 $f(2, 2, 1) = (2)(2)(1) = 4$。
   檢查限制條件：$xy + 2xz + 2yz = (2)(2) + 2(2)(1) + 2(2)(1) = 4 + 4 + 4 = 12$。符合。

2. 若 $x=-2$，則 $y=-2$ 且 $z=-1$。點為 $(-2, -2, -1)$。
   此時函數值 $f(-2, -2, -1) = (-2)(-2)(-1) = -4$。
   檢查限制條件：$xy + 2xz + 2yz = (-2)(-2) + 2(-2)(-1) + 2(-2)(-1) = 4 + 4 + 4 = 12$。符合。

我們還需要考慮 $x, y, z$ 中有零的情況，或者 $\lambda=0$ 的情況。
如果 $\lambda = 0$，則 $\nabla f = 0$，即 $yz=0, xz=0, xy=0$。這意味著至少有兩個變數為零。
若 $x=0$，則 $f=0$。

此題考驗微積分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus) 的應用，特別是其第一部分，以及代數運算。

根據微積分基本定理第一部分，如果 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，則 $F'(x) = f(x)$。
給定的方程式為：
$\int_{\frac{1}{8}}^{x} g(t) dt = x \tan x - \frac{1}{8} \tan \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \left( x^2 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 \right)$
令 $F(x) = \int_{\frac{1}{8}}^{x} g(t) dt$。
則 $F'(x) = g(x)$。

我們需要對等式右邊的函數求導。令 $R(x) = x \tan x - \frac{1}{8} \tan \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \left( x^2 - \left(\frac{1}{8}\right)^2 \right)$。
注意，$-\frac{1}{8} \tan \frac{1}{8} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^2$ 是常數項，其導數為 0。
我們只需要對 $x \tan x - \frac{1}{2} x^2$ 求導。

對 $x \tan x$ 使用乘積法則：

此題考驗體積計算，特別是使用殼層積分法 (Shell Method) 計算繞 $y$-軸旋轉的體積。

區域 $R$ 由曲線 $y = \sin^2 x$ 與 $x$-軸在區間 $[0, \pi]$ 所圍成。
我們繞 $y$-軸旋轉。當我們繞 $y$-軸旋轉時，使用殼層積分法會比較方便。
殼層積分法的公式為 $V = \int_a^b 2\pi x h(x) dx$，其中 $x$ 是殼層的半徑，$h(x)$ 是殼層的高度。

在這個問題中：
半徑是 $x$。
高度 $h(x)$ 是曲線 $y = \sin^2 x$ 與 $x$-軸之間的距離，即 $h(x) = \sin^2 x - 0 = \sin^2 x$。
積分的區間是 $[0, \pi]$。

所以，體積 $V$ 為：
$V = \int_0^{\pi} 2\pi x \sin^2 x \, dx$
我們需要計算這個積分。
首先，利用三角恆等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ 來簡化積分。
$V = 2\pi \int_0^{\pi} x \left( \frac{1 - \cos(2x)}{2} \right) \, dx$
$V = \pi \int_0^{\pi} (x - x \cos(2x)) \, dx$
$V = \pi \left[ \int_0^{\pi} x \, dx - \int_0^{\pi} x \cos(2x) \, dx \right]$

計算第一個積分：
$\int_0^{\pi} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\pi^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2}{2}$

此題考驗不定積分的計算，特別是積分的組合與分部積分法的應用。

我們要計算的積分是 $\int e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) dx$。
我們可以將積分拆成兩部分：
$\int e^x \ln x \, dx + \int e^x \frac{1}{x} \, dx$

題目提示我們使用分部積分法計算 $\int e^x \ln x \, dx$。
令 $u = \ln x$ 且 $dv = e^x dx$。
則 $du = \frac{1}{x} dx$ 且 $v = \int e^x dx = e^x$。
根據分部積分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$：
$\int e^x \ln x \, dx = (\ln x) e^x - \int e^x \frac{1}{x} \, dx$
$\int e^x \ln x \, dx = e^x \ln x - \int \frac{e^x}{x} \, dx$

現在將這個結果代回原來的積分：

核心觀念

本題考查：

1. 幾何級數公式
   $\frac{1}{1+r}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n r^n,\qquad |r|<1.$

2. 冪級數的收斂半徑。

3. 利用冪級數在適當點代入，轉換為已知的無窮級數。

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解題方法

將分母配方：

$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2.$$

因此

$$\frac{1}{x^2-2x+3} =\frac{1}{(x-1)^2+2} =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{(x-1)^2}{2}}.$$

套用幾何級數公式，令

$$r=\frac{(x-1)^2}{2},$$

可得

$$\frac{1}{1+r} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n r^n.$$

所以

$$\frac{1}{x^2-2x+3} =\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)^n.$$

整理為

$$\boxed{ \frac{1}{x^2-2x+3} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-1)^{2n} }$$

其中收斂條件為

$$\left|\frac{(x-1)^2}{2}\right|<1.$$

因此

$$|x-1|<\sqrt{2}.$$

故此冪級數以 $x=1$ 為中心，收斂半徑為

$$\boxed{R=\sqrt{2}}.$$

在 $x=1\pm\sqrt{2}$ 時，級數的各項不趨近於 $0$，因此端點不收斂。

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(B) 利用冪級數求無窮級數

要求

核心觀念

本題考查：

• 由頂點判定梯形區域 $R$ 的上下界。
• 二重積分的累次積分表示。
• 先對 $y$ 積分，再對 $x$ 積分。
• 使用分部積分計算 $\displaystyle \int x^2\sin(ax)\,dx$。

連接 $(1,1)$ 與 $(2,2)$ 的直線為 $y=x$，因此區域可表示為

$$1\le x\le 2,\qquad 0\le y\le x.$$

解題方法

依照垂直切片，對固定的 $x$ 而言，$y$ 從 $0$ 變化至 $x$，故

$$\iint_R y\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dA = \int_1^2\int_0^x y\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dy\,dx.$$

由於 $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ 與 $y$ 無關，可視為常數：

$$\begin{aligned} \int_1^2\int_0^x y\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dy\,dx &= \int_1^2 \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^x\,dx\\ &= \frac12\int_1^2x^2\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx. \end{aligned}$$

令

$$a=\frac{\pi}{2}.$$

利用分部積分可得

$$\int x^2\sin(ax)\,dx = -\frac{x^2\cos(ax)}{a} +\frac{2x\sin(ax)}{a^2} +\frac{2\cos(ax)}{a^3}.$$

因此

$$\begin{aligned} \frac12\int_1^2x^2\sin(ax)\,dx &= \frac12 \left[ -\frac{x^2\cos(ax)}{a} +\frac{2x\sin(ax)}{a^2} +\frac{2\cos(ax)}{a^3} \right]_1^2. \end{aligned}$$

利用