112 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組《機率與統計》

此題考驗對 Poisson 分佈的應用，特別是計算特定時間點或區間內事件發生的機率。

此題假設每日收到壞支票的數量服從 Poisson 分佈，其平均值 $\lambda = 6$。

1. 計算一天收到 4 張壞支票的機率：
   Poisson 分佈的機率質量函數 (PMF) 為 $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$。
   在此情況下，$\lambda = 6$ 且 $k = 4$。
   $P(X=4) = \frac{e^{-6} 6^4}{4!} = \frac{e^{-6} \times 1296}{24} = 54 e^{-6}$。
   計算 $e^{-6} \approx 0.00247875$。
   $P(X=4) \approx 54 \times 0.00247875 \approx 0.1338525$。

此題要求證明 Poisson 分佈機率質量函數的遞迴關係。

Poisson 分佈的機率質量函數 (PMF) 為 $f(x; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$，其中 $x = 0, 1, 2, \dots$。

我們要證明：
$\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)} = \frac{\lambda}{x+1}$

首先，寫出 $f(x+1; \lambda)$：
$f(x+1; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x+1}}{(x+1)!}$

接著，計算兩者之比：
$\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)} = \frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^{x+1}}{(x+1)!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}}$

此題考驗對隨機變數期望值和變異數性質的理解，特別是線性組合和獨立性條件下的應用。

已知：
$E(X_1) = -2$
$\text{Var}(X_1) = 2$
$E(X_2) = 5$
$\text{Var}(X_2) = 5$
$X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的。

1. 計算 $E(X_1 - X_2)$：
   期望值的線性性質指出，$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。
   在此，我們考慮 $a=1, b=-1$。
   $E(X_1 - X_2) = E(1 \cdot X_1 + (-1) \cdot X_2) = 1 \cdot E(X_1) + (-1) \cdot E(X_2)$
   $= E(X_1) - E(X_2)$
   $= -2 - 5$
   $= -7$

2. 計算 $\text{Var}(X_1 - X_2)$：

此題考驗對聯合機率密度函數 (joint PDF) 的理解，以及如何由此計算邊際機率密度函數 (marginal PDF)、條件機率密度函數 (conditional PDF) 和條件期望值。

給定的聯合機率密度函數為 $f(x, y) = \frac{6}{5}(x + y^2)$，對於 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < 1$，其他地方為 0。

1. 計算 $X$ 的邊際機率密度函數 ($f_X(x)$)：
邊際機率密度函數是通過對聯合機率密度函數在另一個變數上的所有可能值進行積分而得到的。
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dy$
由於 $f(x, y)$ 在 $0 < y < 1$ 的範圍內非零，我們對此範圍進行積分：
$f_X(x) = \int_{0}^{1} \frac{6}{5}(x + y^2) dy$
$f_X(x) = \frac{6}{5} \int_{0}^{1} (x + y^2) dy$
$f_X(x) = \frac{6}{5} \left[ xy + \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1}$
$f_X(x) = \frac{6}{5} \left[ (x(1) + \frac{1^3}{3}) - (x(0) + \frac{0^3}{3}) \right]$
$f_X(x) = \frac{6}{5} \left( x + \frac{1}{3} \right)$
此邊際密度函數在 $0 < x < 1$ 的範圍內有效。

2. 計算 $Y$ 的邊際機率密度函數 ($f_Y(y)$)：
類似地，我們對 $X$ 在其所有可能值範圍內進行積分。
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) dx$
由於 $f(x, y)$ 在 $0 < x < 1$ 的範圍內非零，我們對此範圍進行積分：
$f_Y(y) = \int_{0}^{1} \frac{6}{5}(x + y^2) dx$
$f_Y(y) = \frac{6}{5} \int_{0}^{1} (x + y^2) dx$
$f_Y(y) = \frac{6}{5} \left[ \frac{x^2}{2} + y^2x \right]_{0}^{1}$
$f_Y(y) = \frac{6}{5} \left[ (\frac{1^2}{2} + y^2(1)) - (\frac{0^2}{2} + y^2(0)) \right]$
$f_Y(y) = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{2} + y^2 \right)$
此邊際密度函數在 $0 < y < 1$ 的範圍內有效。

3. 計算 $f(x | y = 1/2)$ 的表達式：
條件機率密度函數的定義為 $f(x | y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)}$。
我們已經有了 $f(x, y)$ 和 $f_Y(y)$。
$f_Y(y) = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{2} + y^2 \right)$
所以，