113 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組《機率與統計》

此題考驗二項分配及其泊松逼近。

核心觀念：
當試驗次數 $n$ 很大，成功機率 $p$ 很小，且 $np$ 趨近於一個常數 $\lambda$ 時，二項分配 $B(n,p)$ 可以用參數為 $\lambda$ 的泊松分配 $Pois(\lambda)$ 來逼近。

解題過程：
令 $X$ 為 100 本書中，有瑕疵裝訂的書籍數量。
已知每本書有瑕疵裝訂的機率為 $p = 0.05$。
總共觀察的書籍數量為 $n = 100$。
我們要求 $P(X=2)$。

1. 使用二項分配的公式：
   二項分配的機率質量函數為 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。
   在此，$n=100$, $k=2$, $p=0.05$。
   $P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (1-0.05)^{100-2}$
   $P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (0.95)^{98}$
   $\binom{100}{2} = \frac{100 \times 99}{2 \times 1} = 50 \times 99 = 4950$
   $P(X=2) = 4950 \times (0.05)^2 \times (0.95)^{98}$
   $P(X=2) = 4950 \times 0.0025 \times (0.95)^{98}$

此題考驗常態分配的機率計算。

核心觀念：
常態分配的隨機變數，可以透過標準化轉換為標準常態分配隨機變數 $Z \sim N(0,1)$，再利用標準常態分配表（或計算機）求得機率。標準化公式為 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。

解題過程：
設 $X$ 為飛行時暴露的宇宙射線劑量，單位為 mrem。
已知 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = 4.35$ mrem，$\sigma = 0.59$ mrem。

1. 求 $P(4.00 < X < 5.00)$：
   首先，將區間的邊界標準化：
   $Z_1 = \frac{4.00 - \mu}{\sigma} = \frac{4.00 - 4.35}{0.59} = \frac{-0.35}{0.59} \approx -0.5932$
   $Z_2 = \frac{5.00 - \mu}{\sigma} = \frac{5.00 - 4.35}{0.59} = \frac{0.65}{0.59} \approx 1.1017$
   因此，我們要求 $P(-0.5932 < Z < 1.1017)$。
   $P(-0.5932 < Z < 1.1017) = P(Z < 1.1017) - P(Z < -0.5932)$

此題考驗期望值和變異數的性質，特別是獨立隨機變數的期望值和變異數的加總。

核心觀念：

1. 期望值的線性性質：對於任意常數 $a, b$ 和隨機變數 $X, Y$，有 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。對於多個隨機變數，此性質依然成立：$E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n E(X_i)$。
2. 獨立隨機變數的變異數性質：若 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 彼此獨立，則 $\text{Var}(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i)$。

解題過程：
已知 $X_1, X_2, \dots, X_{20}$ 彼此獨立，且對所有 $i=1, \dots, 20$，都有 $E(X_i) = 10$ 和 $\text{Var}(X_i) = 3$。

1. 計算 $E(X_1+X_2 + X_3 + \dots + X_{20})$：
   根據期望值的線性性質：

核心觀念

連續型隨機變數落在區域 $A$ 的機率，是聯合機率密度函數在該區域上的二重積分：

$$P\big((X,Y)\in A\big)=\iint_A f(x,y)\,dx\,dy$$

本題的密度為 $f(x,y)=xy$，其支撐範圍是 $0<x<1$、$0<y<2$。先確認它確實是合法的聯合機率密度：

$$\int_0^1\int_0^2 xy\,dy\,dx =\int_0^1 2x\,dx =1$$

解題方法

1. 兩個隨機變數都小於 1

條件 $X<1$、$Y<1$ 將積分範圍限制為 $0<x<1$、$0<y<1$。因此：

$$\begin{aligned} P(X<1,\ Y<1) &=\int_0^1\int_0^1 xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 dx\\ &=\frac12\int_0^1 x\,dx\\ &=\frac14 \end{aligned}$$

2. 兩個隨機變數的和小於 1

條件 $X+Y<1$ 在第一象限形成三角形區域。固定 $x$ 後，$y$ 從 $0$ 到 $1-x$；而 $x$ 從 $0$ 到 $1$。因此：

$$\begin{aligned} P(X+Y<1) &=\int_0^1\int_0^{1-x} xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{2}\,dx\\ &=\frac12\int_0^1 (x-2x^2+x^3)\,dx\\ &=\frac12\left(\frac12-\frac23+\frac14\right)\\ &=\frac1{24} \end{aligned}$$

3. 聯合累積分布函數