114 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組在職生《機率與統計》

此題考驗對超幾何分布及其二項分布近似的理解與應用。

【觀念釐清】
超幾何分布適用於從有限母體中進行不重複抽樣，且抽樣結果只有成功或失敗兩種情況。當母體夠大，且抽樣比例相對於母體比例很小時，二項分布可以作為超幾何分布的近似。

1. 超幾何分布
   假設母體大小為 $N$，其中有 $K$ 個成功品（在此為不良品），則抽取 $n$ 個樣本，其中有 $k$ 個成功品的機率為：
   $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
   在此題中：

   • 母體大小 $N = 100$ (總晶片數)
   • 成功品數量 $K = 25$ (不良晶片數)
   • 抽樣樣本數 $n = 10$ (檢查的晶片數)
   • 欲求的成功品數量 $k = 2$ (檢查中有2個不良晶片)

   代入公式：
   $P(X=2) = \frac{\binom{25}{2} \binom{100-25}{10-2}}{\binom{100}{10}} = \frac{\binom{25}{2} \binom{75}{8}}{\binom{100}{10}}$

   計算組合數：
   $\binom{25}{2} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1} = 25 \times 12 = 300$
   $\binom{75}{8} = \frac{75 \times 74 \times 73 \times 72 \times 71 \times 70 \times 69 \times 68}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 23,890,293,750$

此題要求證明一個關於Poisson分布機率質量函數的比值關係。

【觀念釐清】
Poisson分布的機率質量函數 (PMF) 定義為：
$f(x; \lambda) = P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad \text{for } x = 0, 1, 2, \dots$
其中 $\lambda > 0$ 是平均數（期望值）。

我們要證明的是：
$\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)} = \frac{\lambda}{x+1}$

證明過程：
首先，我們寫出 $f(x+1; \lambda)$ 和 $f(x; \lambda)$ 的形式：
$f(x; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$
$f(x+1; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x+1}}{(x+1)!}$

現在，計算兩者之比：
$\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)} = \frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^{x+1}}{(x+1)!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}}$

此題考驗標準常態分布的機率計算，並需要使用常態分布表。

【觀念釐清】
若一個隨機變數 $X$ 服從常態分布，其平均數為 $\mu$ 且標準差為 $\sigma$，記為 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$。為了計算機率，我們將 $X$ 標準化為標準常態變數 $Z$，其公式為 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。標準常態分布的累積分布函數通常用 $\Phi(z)$ 表示，即 $P(Z \le z) = \Phi(z)$。

在此題中：

• 平均數 $\mu = 4.35$ mrem
• 標準差 $\sigma = 0.59$ mrem

1. 介於 4.00 和 5.00 mrem 的機率
   我們需要計算 $P(4.00 \le X \le 5.00)$。
   首先，將 $X$ 的值轉換為 $Z$ 值：
   當 $X = 4.00$ 時，$Z_1 = \frac{4.00 - 4.35}{0.59} = \frac{-0.35}{0.59} \approx -0.5932$
   當 $X = 5.00$ 時，$Z_2 = \frac{5.00 - 4.35}{0.59} = \frac{0.65}{0.59} \approx 1.1017$

   因此，$P(4.00 \le X \le 5.00) = P(Z_1 \le Z \le Z_2) = P(-0.5932 \le Z \le 1.1017)$。
   這可以表示為累積分布函數的差：
   $P(-0.5932 \le Z \le 1.1017) = \Phi(1.1017) - \Phi(-0.5932)$。

   從標準常態分布表（或使用計算機/軟體）查找 $\Phi$ 值：
   $\Phi(1.10) \approx 0.8643$ (使用表中的 $z=1.10$)
   $\Phi(-0.59) = 1 - \Phi(0.59)$。查表 $\Phi(0.59) \approx 0.7224$，所以 $\Phi(-0.59) \approx 1 - 0.7224 = 0.2776$。

此題考驗線性組合隨機變數的方差性質，以及獨立隨機變數的性質。

【觀念釐清】
對於隨機變數 $X$ 和 $Y$ 以及常數 $a, b, c$，我們有以下方差性質：

1. $Var(aX) = a^2 Var(X)$
2. $Var(X + c) = Var(X)$ (常數項不影響方差)
3. $Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X, Y)$
4. 若 $X$ 和 $Y$ 獨立，則 $Cov(X, Y) = 0$，所以 $Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$。

在此題中：

• $E(X_1) = 4$, $Var(X_1) = 9$
• $E(X_2) = -2$, $Var(X_2) = 5$
• $X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的。

此題考驗二維連續隨機變數的聯合機率密度函數 (joint pdf) 的性質，包含常數的求解、邊緣機率密度函數 (marginal pdf) 的計算。

【觀念釐清】
對於一個二維連續隨機變數 $(X, Y)$，其聯合機率密度函數 $f(x, y)$ 必須滿足以下條件：

1. $f(x, y) \ge 0$ 對於所有的 $x, y$。
2. $\iint_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \,dx\,dy = 1$。

邊緣機率密度函數 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 分別可以通過對聯合 pdf 在另一個變數上積分得到：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \,dy$
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \,dx$

在此題中，聯合 pdf 為 $f(x, y) = kx(x - y)$，定義域為 $0<x<2$ 且 $-x<y<x$。

1. 求常數 $k$
   我們利用條件 $\iint_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \,dx\,dy = 1$ 來求解 $k$。
   積分的區域是 $0<x<2$ 和 $-x<y<x$。
   $\int_{0}^{2} \int_{-x}^{x} kx(x - y) \,dy\,dx = 1$

   首先，對 $y$ 進行積分：
   $\int_{-x}^{x} kx(x - y) \,dy = kx \int_{-x}^{x} (x - y) \,dy$
   $= kx \left[ xy - \frac{y^2}{2} \right]_{-x}^{x}$
   $= kx \left[ \left( x(x) - \frac{x^2}{2} \right) - \left( x(-x) - \frac{(-x)^2}{2} \right) \right]$
   $= kx \left[ \left( x^2 - \frac{x^2}{2} \right) - \left( -x^2 - \frac{x^2}{2} \right) \right]$
   $= kx \left[ \frac{x^2}{2} - \left( -\frac{3x^2}{2} \right) \right]$
   $= kx \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{3x^2}{2} \right] = kx \left[ \frac{4x^2}{2} \right] = kx (2x^2) = 2kx^3$

   現在，對 $x$ 進行積分：
   $\int_{0}^{2} 2kx^3 \,dx = 2k \int_{0}^{2} x^3 \,dx$
   $= 2k \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$
   $= 2k \left( \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right)$
   $= 2k \left( \frac{16}{4} \right) = 2k (4) = 8k$

   令積分結果等於 1：
   $8k = 1 \implies k = \frac{1}{8}$。

   【答案】
   $k = \frac{1}{8}$

2. 求 $X$ 的邊緣 pdf $f_X(x)$
   $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \,dy$。
   積分範圍為 $0<x<2$ 和 $-x<y<x$。
   $f_X(x) = \int_{-x}^{x} kx(x - y) \,dy$
   我們已經在第一部分計算過這個積分（將 $k$ 代入）：
   $f_X(x) = k \int_{-x}^{x} x(x - y) \,dy = kx \int_{-x}^{x} (x - y) \,dy$
   $= kx \left[ xy - \frac{y^2}{2} \right]_{-x}^{x} = kx \left( 2x^2 \right) = 2kx^3$
   代入 $k = \frac{1}{8}$：
   $f_X(x) = 2 \left( \frac{1}{8} \right) x^3 = \frac{1}{4} x^3$
   這個邊緣 pdf 的定義域是 $0<x<2$。當 $x \le 0$ 或 $x \ge 2$ 時，$f_X(x) = 0$。

   驗證 $f_X(x)$ 的積分是否為 1：
   $\int_{0}^{2} \frac{1}{4} x^3 \,dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4} \left( \frac{16}{4} \right) = \frac{1}{4} (4) = 1$
   積分結果為 1，符合邊緣 pdf 的性質。

   【答案】
   $f_X(x) = \frac{1}{4} x^3$, for $0 < x < 2$; $f_X(x) = 0$, elsewhere.

3. 求 $Y$ 的邊緣 pdf $f_Y(y)$
   $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \,dx$。