114 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組在職生《生物統計》

本題考驗讀者對超幾何分布 (Hypergeometric Distribution) 的理解，以及何時可使用二項分布 (Binomial Distribution) 作為近似。

核心觀念：

• 超幾何分布： 當我們從一個有限的母體中，進行不重複的抽樣，且母體可分為兩類（成功/失敗，或在此題中為有缺陷/無缺陷），則抽取樣本中特定類別的個數服從超幾何分布。其機率質量函數為：
  $P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
  其中：

  • $N$ 為母體總數。
  • $K$ 為母體中屬於「成功」類別的個數。
  • $n$ 為抽樣的樣本數。
  • $k$ 為樣本中屬於「成功」類別的個數。

• 二項分布： 當進行獨立的、重複的伯努利試驗，且每次試驗成功的機率固定時，成功次數服從二項分布。其機率質量函數為：
  $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
  其中：

  • $n$ 為試驗總數。
  • $k$ 為成功次數。
  • $p$ 為每次試驗成功的機率。

• 二項分布近似超幾何分布： 當母體數 $N$ 相對於樣本數 $n$ 很大時（一般認為 $n/N \le 0.05$ 或 $0.1$），抽樣的影響可以視為獨立，此時二項分布可以近似超幾何分布。近似的成功機率 $p$ 通常取為母體中成功類別的比例，即 $p = K/N$。

解題步驟：

1. 使用超幾何分布計算：
在此題中：

• 母體總數 $N = 100$ (總共 100 個晶片)。
• 母體中有缺陷的晶片數 $K = 25$ (25 個有缺陷)。
• 抽樣的樣本數 $n = 10$ (隨機抽取 10 個)。
• 我們希望樣本中有缺陷的晶片數為 $k = 2$ (2 個有缺陷)。

因此，我們需要計算 $P(X=2)$：
$P(X=2) = \frac{\binom{25}{2} \binom{100-25}{10-2}}{\binom{100}{10}} = \frac{\binom{25}{2} \binom{75}{8}}{\binom{100}{10}}$

計算組合數：

• $\binom{25}{2} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1} = 25 \times 12 = 300$
• $\binom{75}{8} = \frac{75 \times 74 \times 73 \times 72 \times 71 \times 70 \times 69 \times 68}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,071,912,175$

本題要求證明 Poisson 分布機率質量函數 (PMF) 的遞迴關係 (recurrence relation)。

核心觀念：
Poisson 分布的機率質量函數 (PMF) 定義為：
$f(x; \lambda) = P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$
其中：

• $\lambda > 0$ 是平均發生率。
• $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ 是非負整數。

證明步驟：
我們需要計算 $f(x+1; \lambda)$ 和 $f(x; \lambda)$，然後求其比值。

1. 計算 $f(x+1; \lambda)$：
   將 PMF 公式中的 $x$ 替換為 $x+1$：
   $f(x+1; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x+1}}{(x+1)!}$

2. 計算 $f(x; \lambda)$：
   這是 Poisson 分布的標準 PMF：
   $f(x; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$

3. 計算比值 $\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)}$：
   $\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)} = \frac{\frac{e^{-\lambda} \lambda^{x+1}}{(x+1)!}}{\frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}}$

本題考驗讀者對常態分布 (Normal Distribution) 的應用，特別是計算機率的標準化 (standardization) 過程。

核心觀念：
若一個隨機變數 $X$ 服從常態分布 $N(\mu, \sigma^2)$，則其標準化變數 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ 服從標準常態分布 $N(0, 1)$。我們可以利用標準常態分布的累積分布函數 (CDF)，通常以 $\Phi(z)$ 表示，來計算機率。
$P(a < X < b) = P\left(\frac{a-\mu}{\sigma} < Z < \frac{b-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$
$P(X \ge c) = P\left(Z \ge \frac{c-\mu}{\sigma}\right) = 1 - P\left(Z < \frac{c-\mu}{\sigma}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{c-\mu}{\sigma}\right)$
題目提供了標準常態分布表 (Table 3)，可供查詢 $\Phi(z)$ 的值。

已知條件：

• 平均值 $\mu = 4.35$ mrem
• 標準差 $\sigma = 0.59$ mrem
• 隨機變數 $X$ 表示飛行時暴露的宇宙輻射量。

解題步驟：

1. 計算 P(4.00 < X < 5.00)：
首先，將區間的上下界轉換為 Z 分數：

• 下界 $Z_1 = \frac{4.00 - \mu}{\sigma} = \frac{4.00 - 4.35}{0.59} = \frac{-0.35}{0.59} \approx -0.5932$
• 上界 $Z_2 = \frac{5.00 - \mu}{\sigma} = \frac{5.00 - 4.35}{0.59} = \frac{0.65}{0.59} \approx 1.1017$

現在計算機率 $P(-0.5932 < Z < 1.1017)$：
$P(-0.5932 < Z < 1.1017) = \Phi(1.1017) - \Phi(-0.5932)$

我們需要查閱標準常態分布表。由於表通常只提供 $z \ge 0$ 的值，我們利用對稱性：$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$。

• 查詢 $\Phi(1.1017)$：
  查表時，我們可以近似 $1.10$ 或 $1.1017$。
  若查 $z=1.10$，$\Phi(1.10) \approx 0.8643$ (從 Table 3，第 1.1 列，第 0.00 行)。
  若更精確地查找，例如使用軟體或內插法，$\Phi(1.1017) \approx 0.8645$。

本題考驗讀者對隨機變數變異數 (Variance) 性質的應用，特別是線性組合的變異數計算，以及獨立性 (independence) 的概念。

核心觀念：
對於隨機變數 $X$ 和 $Y$，以及常數 $a$ 和 $b$：

1. $Var(aX) = a^2 Var(X)$
2. $Var(X+b) = Var(X)$ (加上一個常數不改變變異數)
3. $Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X, Y)$
4. 如果 $X$ 和 $Y$ 是獨立的，則 $Cov(X, Y) = 0$，所以 $Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$。

已知條件：

• $E(X_1) = 4$
• $Var(X_1) = 9$
• $E(X_2) = -2$
• $Var(X_2) = 5$
• $X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的。

本題考驗讀者對常態分布 (Normal Distribution) 的應用，包括計算特定年齡層的平均值，以及結合二項分布進行多個獨立事件的機率計算。

核心觀念：

1. 線性關係： 隨機變數的平均值會隨著時間（年齡）線性增加，可以建立平均值與年齡的函數關係。
2. 常態分布機率計算： 利用標準化 (Z-score) 將常態分布轉換為標準常態分布，並查表計算機率。
3. 二項分布： 當我們考慮固定數量的獨立事件，且每個事件有兩種結果（成功/失敗），成功機率固定時，總成功次數服從二項分布。
4. 常態近似二項分布： 當二項分布的 $n$ 很大且 $np$ 和 $n(1-p)$ 均足夠大時，可用常態分布近似二項分布。

已知條件：

• SBP 服從常態分布。
• 所有年齡性別群體的標準差 $\sigma = 12$ mm Hg。
• 3 歲時 SBP 平均值為 95 mm Hg。
• 3 歲到 13 歲，每年平均增加 1.5 mm Hg。
• 13 歲到 18 歲：
  • 男孩：每年平均增加 2 mm Hg。
  • 女孩：每年平均增加 1 mm Hg。

解題步驟：

1. 計算 15 歲女孩的平均 SBP，並求 P(100 < SBP < 120)：

• 計算 15 歲女孩的平均 SBP：
  從 3 歲到 15 歲，共經過 $15 - 3 = 12$ 年。

  • 前 10 年 (3 歲到 13 歲)：平均增加 $1.5 \text{ mm Hg/year} \times 10 \text{ years} = 15 \text{ mm Hg}$。
  • 之後 2 年 (13 歲到 15 歲)：平均增加 $1 \text{ mm Hg/year} \times 2 \text{ years} = 2 \text{ mm Hg}$。
  • 總平均增加量 $= 15 + 2 = 17 \text{ mm Hg}$。
  • 15 歲女孩的平均 SBP，$\mu_{15, \text{girl}} = 95 + 17 = 112 \text{ mm Hg}$。

• 計算機率 P(100 < X < 120)：
  此處 $X$ 是 15 歲女孩的 SBP，服從 $N(\mu=112, \sigma^2=12^2)$。
  標準差 $\sigma = 12$ mm Hg。
  將區間轉換為 Z 分數：

  • 下界 $Z_1 = \frac{100 - \mu}{\sigma} = \frac{100 - 112}{12} = \frac{-12}{12} = -1.00$
  • 上界 $Z_2 = \frac{120 - \mu}{\sigma} = \frac{120 - 112}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0.67$

  計算機率 $P(-1.00 < Z < 0.67)$：
  $P(-1.00 < Z < 0.67) = \Phi(0.67) - \Phi(-1.00)$
  我們需要查閱標準常態分布表 (Table 3)。

  • $\Phi(0.67)$: 查表，當 $z=0.67$ 時，$\Phi(0.67) \approx 0.7486$。
  • $\Phi(-1.00)$: 利用對稱性，$\Phi(-1.00) = 1 - \Phi(1.00)$。查表，當 $z=1.00$ 時，$\Phi(1.00) \approx 0.8413$。所以，$\Phi(-1.00) \approx 1 - 0.8413 = 0.1587$。

  計算最終機率：
  $P(100 < X < 120) \approx 0.7486 - 0.1587 = 0.5899$

2. 計算 200 名 15 歲男孩中，至少 10 人 SBP $\ge$ 130 mm Hg 的機率：

• 首先，計算單一個 15 歲男孩 SBP $\ge$ 130 mm Hg 的機率 (設為 $p$)：
  • 計算 15 歲男孩的平均 SBP：
    從 3 歲到 15 歲，共經過 $15 - 3 = 12$ 年。

本題考驗讀者對 Poisson 分布的應用，特別是當平均數已知時，計算觀察到特定次數或更多次數的機率。

核心觀念：
Poisson 分布適用於描述在一個固定時間間隔內，某事件獨立發生的次數。其機率質量函數為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中 $\lambda$ 是在該時間間隔內事件發生的平均次數。

已知條件：

• 觀察到的癌症死亡人數：46 人。
• 預期的癌症死亡人數（來自 statewide rates）：30 人。
• 時間間隔：1974-1978 年（共 5 年）。
• 假設 statewide rates 是正確的，代表在該 5 年期間，Bedford 市女性預期會發生 30 例癌症死亡。
• 我們需要計算觀察到「至少 46 例」死亡的機率。

解題步驟：

1. 確定 Poisson 分布的參數 $\lambda$：
   根據題目，預期在 5 年內發生的癌症死亡數為 30。因此，Poisson 分布的平均數 $\lambda = 30$。

2. 定義隨機變數：
   令 $X$ 為在 5 年期間，Bedford 市女性觀察到的癌症死亡人數。
   根據假設， $X \sim Poisson(\lambda=30)$。

3. 計算機率 $P(X \ge 46)$：
   我們需要計算 $P(X \ge 46) = P(X=46) + P(X=47) + \dots$。
   直接計算這個無窮級數是不可行的。通常，當 $\lambda$ 較大時（如 $\lambda=30$），Poisson 分布可以用常態分布來近似。

4. 使用常態分布近似 Poisson 分布：
   當 $\lambda$ 較大時，Poisson 分布 $Poisson(\lambda)$ 可以被均值為 $\lambda$、變異數為 $\lambda$ 的常態分布