109 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組《生物統計》

本題考驗機率的基本概念，特別是關於獨立事件與聯集事件的機率計算。

給定兩個獨立事件 A 和 B，我們知道事件 A 或 B 發生的機率 $P(A \cup B) = 0.6$，且事件 A 發生的機率 $P(A) = 0.4$。
我們需要找出事件 B 發生的機率 $P(B)$。

對於任意兩個事件 A 和 B，其聯集機率的公式為：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

由於事件 A 和 B 是獨立的，因此它們的交集機率等於它們各自機率的乘積：
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

本題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用，涉及條件機率的計算。

首先，定義事件：

• U1: 選擇到 urn 1
• U2: 選擇到 urn 2
• G: 抽到金幣 (gold coin)

根據題目敘述，我們有以下資訊：

1. 兩個 urn 被隨機選擇，所以：
   $P(U1) = P(U2) = 0.5$
2. Urn 1 的情況：一個抽屜有金幣，另一個抽屜有銀幣。因此，從 Urn 1 中抽到金幣的機率是：
   $P(G|U1) = 0.5$
3. Urn 2 的情況：兩個抽屜都有金幣。因此，從 Urn 2 中抽到金幣的機率是：
   $P(G|U2) = 1.0$

我們想要求的是，已知抽到金幣的條件下，這個金幣是來自 Urn 2 的機率，即 $P(U2|G)$。
根據貝氏定理：

本題考驗對 Poisson 分佈的理解及其應用。Poisson 分佈常用來描述單位時間或空間內事件發生的次數。

Poisson 分佈的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
其中 $X$ 是事件發生的次數，$k$ 是非負整數，$e$ 是自然對數的底數（約 2.71828），$\lambda$ 是平均發生率。

1. 找出在生命前 2 年內得到 3 次或更多中耳炎發作的機率。

首先，我們需要確定這個時間段內的平均發生率。題目給定每年的平均發生率 $\lambda_{year} = 1.6$。
對於 2 年的時間段，新的平均發生率 $\lambda_{2years}$ 為：
$\lambda_{2years} = \lambda_{year} \times 2 = 1.6 \times 2 = 3.2$

設 $X_{2years}$ 為生命前 2 年內中耳炎的發作次數，它服從參數為 $\lambda_{2years} = 3.2$ 的 Poisson 分佈。
我們要求 $P(X_{2years} \ge 3)$。
計算 $P(X_{2years} \ge 3)$ 的最直接方法是計算其補集的機率，即 $1 - P(X_{2years} < 3)$。
$P(X_{2years} < 3) = P(X_{2years} = 0) + P(X_{2years} = 1) + P(X_{2years} = 2)$

使用 Poisson PMF 計算這些機率：
$P(X_{2years} = 0) = \frac{e^{-3.2} (3.2)^0}{0!} = e^{-3.2}$
$P(X_{2years} = 1) = \frac{e^{-3.2} (3.2)^1}{1!} = 3.2 e^{-3.2}$

本題考驗對常態分佈 (Normal Distribution) 的應用以及二項分佈 (Binomial Distribution) 的概念。

給定出生體重 $X$ 服從常態分佈，其平均值 $\mu = 3400$ g，標準差 $\sigma = 700$ g。

1. 計算低出生體重 (low birthweight) 的機率，定義為 $\le 2500$ g。

低出生體重定義為 $X \le 2500$ g。我們需要將此值標準化為 Z 分數：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
$Z_{2500} = \frac{2500 - 3400}{700} = \frac{-900}{700} = -\frac{9}{7} \approx -1.2857$

我們需要尋找 $P(X \le 2500) = P(Z \le -1.2857)$。
查閱標準常態分佈表 (Table B.1)，我們可以找到 $P(Z \le -1.28)$。
從表格中，當 $z = -1.28$ 時，累積機率約為 $0.1003$ (查找 $z=1.28$ 的值 $0.9002$，然後用 $1-0.9002=0.0998$ 或直接查 $z=-1.28$ 的值 $0.1003$)。
更精確地，表格顯示 $z=-1.28$ 時的機率是 $0.1003$。
若要更精確，可以內插或使用軟體。若以表格提供的 $z=-1.28$ 為準，機率約為 $0.1003$。
使用更精確的計算器或軟體， $P(Z \le -1.2857) \approx 0.0993$。
我們以表格提供的最接近值來計算。查表 $z = -1.28$ 的機率是 $0.1003$。

因此，$P(\text{low birthweight}) \approx 0.1003$。

2. 計算極低出生體重 (very low birthweight) 的機率，定義為 $\le 2000$ g。

極低出生體重定義為 $X \le 2000$ g。將此值標準化為 Z 分數：
$Z_{2000} = \frac{2000 - 3400}{700} = \frac{-1400}{700} = -2.00$

我們需要尋找 $P(X \le 2000) = P(Z \le -2.00)$。

本題包含對二項分佈和 Poisson 分佈的應用，以及它們的期望值和變異數計算。

1. 判斷班級中的案例數是否過多？也就是說，如果全國的發生率為真，在這個班級中得到至少 6 個病例的機率是多少？

班級共有 $n=15$ 名學生。全國平均發生率為 $p = 20\% = 0.20$。
我們想知道，如果全國發生率為真，在這個 15 人的班級中，至少有 6 人得到流感的機率是多少。
這是一個二項分佈問題，設 $X$ 為班級中得到流感的學生人數，則 $X \sim B(n=15, p=0.20)$。
我們要求 $P(X \ge 6)$。
計算 $P(X \ge 6)$ 的方法是計算其補集的機率：$1 - P(X < 6)$。
$P(X < 6) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$。

使用二項機率公式 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$：
$P(X=0) = \binom{15}{0} (0.2)^0 (0.8)^{15} \approx 0.0352$
$P(X=1) = \binom{15}{1} (0.2)^1 (0.8)^{14} \approx 0.1319$
$P(X=2) = \binom{15}{2} (0.2)^2 (0.8)^{13} \approx 0.2309$
$P(X=3) = \binom{15}{3} (0.2)^3 (0.8)^{12} \approx 0.2501$
$P(X=4) = \binom{15}{4} (0.2)^4 (0.8)^{11} \approx 0.1876$
$P(X=5) = \binom{15}{5} (0.2)^5 (0.8)^{10} \approx 0.1032$

$P(X < 6) \approx 0.0352 + 0.1319 + 0.2309 + 0.2501 + 0.1876 + 0.1032 = 0.9389$

所以，$P(X \ge 6) = 1 - P(X < 6) \approx 1 - 0.9389 = 0.0611$。

這個機率 $0.0611$ (約 6.11%) 是在全國平均發生率下，班級中出現至少 6 例的機率。通常，我們會設定一個顯著水準（例如 0.05）。由於 $0.0611 > 0.05$，這個機率並不算極低，所以單憑這個結果，可能無法斷定案例數「過多」。但是，這個機率值也相對較小，說明觀察到的 6 例（實際發生率為 $6/15 = 0.4$，遠高於全國的 0.2）確實比預期的要多。

2. 班級中預期會得到流感的學生人數和變異數是多少？

這仍然是基於二項分佈 $X \sim B(n=15, p=0.20)$。
二項分佈的期望值 (Expected Value) 為：
$E(X) = n \times p$
$E(X) = 15 \times 0.20 = 3$

二項分佈的變異數 (Variance) 為：
$Var(X) = n \times p \times (1-p)$
$Var(X) = 15 \times 0.20 \times (1 - 0.20)$