111 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組《生物統計》

本題考驗的是超幾何分布（Hypergeometric Distribution）的應用。當我們從一個有限的母體中，進行不重複的抽樣，且母體可分為兩類（例如：良品與不良品），此時抽樣結果的機率分佈就遵循超幾何分佈。

母體總數 $N = 20$ (DVD players)
母體中不良品的數量 $K = 5$ (defective players)
母體中良品的數量 $N-K = 20 - 5 = 15$
抽樣數量 $n = 10$ (chosen for inspection)
我們希望抽樣到不良品的數量為 $k = 2$

超幾何分佈的機率質量函數 (Probability Mass Function, PMF) 為：
$P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

將題目給定的數值代入：
$N=20, K=5, n=10, k=2$

$P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{20-5}{10-2}}{\binom{20}{10}} = \frac{\binom{5}{2} \binom{15}{8}}{\binom{20}{10}}$

計算組合數：
$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

本題考驗的是二項分佈（Binomial Distribution）及其 Poisson 近似。

1. 二項分佈 (Binomial Distribution)

二項分佈適用於進行固定次數的獨立伯努利試驗，每次試驗只有兩種結果（成功或失敗），且成功的機率固定。

在這裡，每次檢查一本書是否在裝訂上有瑕疵，可以視為一次伯努利試驗。
試驗次數 $n = 100$ (books)
成功的機率（這裡的「成功」定義為書本「有瑕疵」）$p = 0.05$
我們想要求的是有 $k = 2$ 本書有瑕疵的機率。

二項分佈的機率質量函數 (PMF) 為：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

將數值代入：
$n=100, k=2, p=0.05$

$P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (1-0.05)^{100-2}$
$P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (0.95)^{98}$

計算組合數：
$\binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \times 99}{2 \times 1} = 50 \times 99 = 4950$

計算機率：
$P(X=2) = 4950 \times (0.05)^2 \times (0.95)^{98}$
$P(X=2) = 4950 \times 0.0025 \times (0.95)^{98}$
$P(X=2) = 12.375 \times (0.95)^{98}$

利用計算機計算 $(0.95)^{98}$:
$(0.95)^{98} \approx 0.007148$

本題考驗對期望值 (Expectation) 和變異數 (Variance) 性質的理解，特別是線性組合的期望值和變異數，以及獨立性 (Independence) 的應用。

已知：
$E(X_1) = 4$
$Var(X_1) = 9$
$E(X_2) = -2$
$Var(X_2) = 5$
$X_1$ and $X_2$ are independent.

1. 計算 $E(2X_1 + X_2 - 5)$

期望值的線性性質：對於任意常數 $a, b$ 和隨機變數 $X, Y$，
$E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$

應用此性質：
$E(2X_1 + X_2 - 5) = 2E(X_1) + E(X_2) - 5$

將已知數值代入：
$E(2X_1 + X_2 - 5) = 2(4) + (-2) - 5$
$E(2X_1 + X_2 - 5) = 8 - 2 - 5$
$E(2X_1 + X_2 - 5) = 1$

2. 計算 $Var(2X_1 + X_2 - 5)$

本題考驗條件機率 (Conditional Probability) 和貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。我們需要利用已知資訊計算在特定事件發生下，另一事件發生的機率。

設事件：
L：左耳受影響 (Left ear is affected)
R：右耳受影響 (Right ear is affected)

已知資訊：

1. 在特定耳朵發生中耳積水的機率是 10%。這表示：
   $P(L) = 0.10$
   $P(R) = 0.10$
2. 雙耳都受影響（雙側中耳積水）的機率是 0.07。這表示：
   $P(L \cap R) = 0.07$

我們也知道，對於任何事件 A 和 B，
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
所以，至少有一耳受影響的機率是：
$P(L \cup R) = P(L) + P(R) - P(L \cap R) = 0.10 + 0.10 - 0.07 = 0.13$

另外，我們也可以推算出只有單耳受影響的機率：
只有左耳受影響的機率 $P(L \cap R^c) = P(L) - P(L \cap R) = 0.10 - 0.07 = 0.03$

本題考驗機率的基本計算，特別是從表格中提取資訊並進行加權平均。題目要求的是「全鎮罹患退伍軍人症的機率」。

觀察表格，我們可以看到三個關鍵的總計數字：

1. 總人口數 (Total): 24,615
2. 總罹病人數 (Number ill): 78
3. 整體罹病率 (Illness rate per 1000): 3.2

題目問的是「全鎮罹患退伍軍人症的機率」，這可以從兩個角度計算：

方法一：利用總罹病人數和總人口數
機率 = (總罹病人數) / (總人口數)
機率 = 78 / 24,615

計算這個數值：
78 / 24615 $\approx 0.0031686$

方法二：利用各組的罹病率進行加權平均
表格中給出了不同就業狀態的「Illness rate per 1000」。

• 在肉品包裝廠工作的群體，其罹病率為 9.7 (每千人)。
• 未在肉品包裝廠工作的群體，其罹病率為 1.6 (每千人)。
• 總體罹病率為 3.2 (每千人)。

題目問的是「機率」，而表格中的「Illness rate per 1000」是「率」，但可以轉換成機率。
例如，9.7 的罹病率意味著每 1000 人中有 9.7 人罹病，所以機率是 9.7/1000 = 0.0097。
同理，1.6 的罹病率機率是 1.6/1000 = 0.0016。
3.2 的罹病率機率是 3.2/1000 = 0.0032。

我們也可以從表格中的「%」和「Total」來計算加權平均。

• 在肉品包裝廠工作的比例 (%), $P(\text{Employed}) = 19\% = 0.19$

本題考驗的是假設檢定 (Hypothesis Testing)，特別是單一比例的檢定。我們需要判斷觀察到的結果是否顯著優於隨機的預期。

1. 設定虛無假設與對立假設
虛無假設 ($H_0$)：觀察到的正確辨識比例與隨機機率相同。
$H_0: p = 0.25$ (即受試者是隨機猜測)

對立假設 ($H_1$)：觀察到的正確辨識比例顯著優於隨機機率。
$H_1: p > 0.25$ (即受試者表現比隨機好)

2. 檢定統計量與抽樣分佈
樣本大小 $n = 100$
觀察到的成功次數 (正確辨識) $x = 32$
觀察到的成功比例 $\hat{p} = x/n = 32/100 = 0.32$

在虛無假設為真時，樣本比例 $\hat{p}$ 的抽樣分佈近似於常態分佈，其平均值為 $p_0$ (虛無假設中的比例)，標準差為 $\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}$。
平均值 $E(\hat{p}) = p_0 = 0.25$
標準差 $SD(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{100}} = \sqrt{\frac{0.25 \times 0.75}{100}} = \sqrt{\frac{0.1875}{100}} = \sqrt{0.001875} \approx 0.0433$

3. 計算檢定統計量 (z-score)

本題考驗的是假設檢定 (Hypothesis Testing)，特別是針對 Poisson 分佈的檢定，因為我們觀察的是一定時間內的事件發生次數（流感病例數）。

1. 設定虛無假設與對立假設
虛無假設 ($H_0$)：觀察到的病例數與通常年份的平均數相同，即今年的發生率與往年相同。
$H_0: \lambda = 150$ (此處 $\lambda$ 代表平均每年發生的病例數)

對立假設 ($H_1$)：觀察到的病例數顯著高於通常年份的平均數，即今年發生率異常高。
$H_1: \lambda > 150$ (此處為單尾檢定，因為我們關心的是「異常多」的情況)

2. 檢定統計量與抽樣分佈
通常年份的平均病例數 (期望值) $\mu = 150$。
觀察到的病例數 $x = 200$。

當平均數 $\lambda$ 較大時 (通常 $\lambda > 10$)，Poisson 分佈可以用常態分佈來近似。
近似的常態分佈的平均值為 $\lambda$，標準差為 $\sqrt{\lambda}$。

因此，我們將使用常態分佈來進行檢定，平均值為 150，標準差為 $\sqrt{150}$。
$E(X) = \mu = 150$
$SD(X) = \sigma = \sqrt{150} \approx 12.247$

3. 計算檢定統計量 (z-score)
在這裡，我們將觀察到的值 $x=200$ 標準化。