112 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組《生物統計》

本題考驗對 Poisson 分佈的理解與應用。Poisson 分佈常用來描述在固定時間或空間單位內，隨機發生的事件次數。其機率質量函數為 $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，其中 $\lambda$ 是平均發生率。

(a)
此小題要求計算一天內發生 4 位乳癌病患的機率。
已知平均每天有 $\alpha = 6$ 位女性乳癌病患，因此我們設定 Poisson 分佈的參數 $\lambda = 6$。
我們需要計算 $P(X=4)$，其中 $X$ 為一天內發生的乳癌病患數。
$P(X=4) = \frac{e^{-6} \cdot 6^4}{4!} = \frac{e^{-6} \cdot 1296}{24} = 54 \cdot e^{-6}$
計算 $e^{-6}$ 的近似值：$e^{-6} \approx 0.00247875$。
所以，$P(X=4) \approx 54 \times 0.00247875 \approx 0.13385$。

本題要求證明 Poisson 分佈的機率質量函數的比值關係。
Poisson 分佈的機率質量函數 (PMF) 為：
$f(x; \lambda) = P(X=x) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}$，其中 $x = 0, 1, 2, \dots$。

我們需要計算 $\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)}$。
首先，寫出 $f(x+1; \lambda)$：
$f(x+1; \lambda) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{x+1}}{(x+1)!}$

接著，計算比值：
$\frac{f(x+1; \lambda)}{f(x; \lambda)} = \frac{\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x+1}}{(x+1)!}}{\frac{e^{-\lambda}\lambda^x}{x!}}$

本題考驗對常態分佈的理解與應用，特別是計算特定事件發生的機率，並判斷該事件是否「不尋常」。

已知黃金含量的自然對數 (ln) 服從常態分佈，其平均值 $\mu = -4.6$ 且變異數 $\sigma^2 = 1.21$。
因此，標準差為 $\sigma = \sqrt{1.21} = 1.1$。
設 $Y$ 為黃金含量的自然對數，則 $Y \sim N(-4.6, 1.21)$。

題目問的是，在一個化驗中，黃金含量 (oz/st gold) 小於或等於 0.0015 的機率。
首先，我們需要將黃金含量轉換為其自然對數。
若黃金含量 $X = 0.0015$ oz/st gold，則其自然對數為 $\ln(0.0015)$。
$\ln(0.0015) \approx -6.5013$。

我們需要計算 $P(X \le 0.0015)$，這等同於計算 $P(Y \le \ln(0.0015))$，即 $P(Y \le -6.5013)$。

本題考驗對二項分佈及其近似的理解。題目給定一個固定數量的試驗（抽樣 100 個疫苗），每次試驗有兩種結果（瑕疵或非瑕疵），且成功的機率固定，因此符合二項分佈的條件。

設 $X$ 為在 100 個隨機抽樣的疫苗中，瑕疵疫苗的數量。
則 $X$ 服從二項分佈，參數為 $n=100$ (試驗次數) 和 $p=0.20$ (瑕疵的機率)。
即 $X \sim Binomial(n=100, p=0.20)$。

題目要求計算「至多 15 個疫苗是瑕疵」的機率，即 $P(X \le 15)$。
直接計算二項分佈的累計機率 $P(X \le 15) = \sum_{k=0}^{15} \binom{100}{k} (0.20)^k (1-0.20)^{100-k}$ 計算量非常大。

由於試驗次數 $n=100$ 很大，且 $np = 100 \times 0.20 = 20 \ge 5$ 且 $n(1-p) = 100 \times 0.80 = 80 \ge 5$，我們可以考慮使用常態分佈來近似二項分佈。

本題考驗對隨機變數期望值和變異數性質的理解，特別是當隨機變數獨立時的處理方式。

已知：
$E(X_1) = -2$
$Var(X_1) = 2$
$E(X_2) = 5$
$Var(X_2) = 5$
$X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的。

1. 計算 $E(X_1 X_2)$：
   由於 $X_1$ 和 $X_2$ 是獨立的，它們的乘積的期望值等於它們期望值的乘積。
   $E(X_1 X_2) = E(X_1) \cdot E(X_2)$
   $E(X_1 X_2) = (-2) \cdot (5)$
   $E(X_1 X_2) = -10$

【答案】$E(X_1 X_2) = -10$

2. 計算 $Var(X_1 X_2)$：
   對於獨立的隨機變數 $X_1$ 和 $X_2$，乘積的變異數公式為：
   $Var(X_1 X_2) = E(X_1^2) E(X_2^2) - [E(X_1 X_2)]^2$

本題考驗對常態分佈應用於實際問題的理解，包括計算特定區間的機率以及結合二項分佈進行多重事件的機率計算。

給定條件：

• SBP 在 3 歲時平均為 95 mm Hg。
• 從 3 歲到 13 歲，SBP 平均每年增加 1.5 mm Hg。
• 從 13 歲到 18 歲：
  • 男孩：平均每年增加 2 mm Hg。
  • 女孩：平均每年增加 1 mm Hg。
• SBP 服從常態分佈，標準差 $\sigma = 12$ mm Hg (對所有年齡和性別組)。

我們需要先計算不同年齡和性別的平均 SBP。

計算 13 歲時的平均 SBP：
年齡增長 13 - 3 = 10 年。
平均增加量 = 10 年 × 1.5 mm Hg/年 = 15 mm Hg。
13 歲時的平均 SBP = 95 mm Hg + 15 mm Hg = 110 mm Hg。

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1. 計算 15 歲女孩的 SBP 在 100 到 120 mm Hg 之間的機率。

首先，計算 15 歲女孩的平均 SBP：
從 13 歲到 15 歲，年齡增長 15 - 13 = 2 年。
對於女孩，平均每年增加 1 mm Hg。
這 2 年的平均增加量 = 2 年 × 1 mm Hg/年 = 2 mm Hg。
15 歲女孩的平均 SBP ($\mu_{girl, 15}$) = 13 歲平均 SBP + 2 mm Hg = 110 mm Hg + 2 mm Hg = 112 mm Hg。

SBP 服從常態分佈 $N(112, 12^2)$。
我們需要計算 $P(100 < SBP < 120)$。
將 SBP 標準化為 Z 分數：$Z = \frac{SBP - \mu}{\sigma}$。

計算 Z 分數的下界 (SBP = 100)：
$Z_{lower} = \frac{100 - 112}{12} = \frac{-12}{12} = -1.00$

計算 Z 分數的上界 (SBP = 120)：
$Z_{upper} = \frac{120 - 112}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0.67$

現在計算 $P(-1.00 < Z < 0.67)$。
$P(-1.00 < Z < 0.67) = P(Z < 0.67) - P(Z < -1.00)$
查閱標準常態分佈表：
$P(Z < 0.67) \approx 0.7486$
$P(Z < -1.00) \approx 0.1587$

所以，機率為 $0.7486 - 0.1587 = 0.5899$。

【答案】約為 0.5899。

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2. 計算 200 名 15 歲男孩中，至少 10 名 SBP 達到 130 mm Hg 或更高的機率。

本題考驗對 Poisson 分佈及其常態近似的理解。題目描述的是在特定時間內，發生某事件（乳癌新病例）的次數，這符合 Poisson 分佈的特性。

已知條件：

• 乳癌發生率：每 1000 位女性每年有 1 個新病例。
• 發生率 $p = \frac{1}{1000} = 0.001$ (每位女性每年的發生率)。
• 研究對象人數 $N = 10,000$ 位女性。
• 追蹤時間 $T = 10$ 年。

首先，我們需要計算整個研究群體在整個追蹤期間的總預期病例數。
每位女性在 10 年內得到乳癌的機率（假設獨立且機率固定）可以視為一個非常小的機率，但這裡的關鍵是「發生率」。
總的預期病例數 $\lambda$ 可以計算為：
$\lambda = (\text{發生率}) \times (\text{人數}) \times (\text{時間})$
$\lambda = (\frac{1 \text{ case}}{1000 \text{ women} \cdot \text{year}}) \times (10000 \text{ women}) \times (10 \text{ years})$
$\lambda = \frac{1 \times 10000 \times 10}{1000} = 100$

所以，我們預期在 10 年內，這 10000 位女性中會有 100 個乳癌新病例。
設 $X$ 為 10 年內觀察到的新乳癌病例數。
$X$ 服從 Poisson 分佈，參數為 $\lambda = 100$。

本題考驗對 Poisson 分佈及其常態近似的應用，特別是比較觀察值與預期值之間的差異。

已知條件：

• 觀察到的癌症死亡人數：46 人。
• 預期（根據全州費率）的癌症死亡人數：30 人。
• 研究期間：1974-1978（共 5 年）。

題目假設全州費率是正確的，要求計算在 5 年內觀察到「至少 46 例」癌症死亡的機率。
這是一個典型的 Poisson 分佈問題，其中預期的事件數是已知的。

設 $X$ 為在該 5 年期間觀察到的癌症死亡人數。
根據題目假設，預期死亡人數為 30。由於這是 5 年的數據，我們可以將 Poisson 分佈的參數 $\lambda$ 設定為 30。
$X \sim Poisson(\lambda=30)$。

我們需要計算 $P(X \ge 46)$。
由於 $\lambda = 30$ 較大，我們可以使用常態分佈來近似 Poisson 分佈。
常態近似的參數為：
平均值 $\mu = \lambda = 30$