113 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組在職生《生物統計》

此題主要在於應用二項分布及其Poisson近似。

核心觀念：

1. 二項分布 (Binomial Distribution): 適用於固定試驗次數 ($n$)，每次試驗有兩種結果（成功或失敗），且成功機率 ($p$) 固定的情況。其機率質量函數為 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。
2. Poisson 分布 (Poisson Distribution): 適用於計算在固定時間或空間內，某事件發生次數的機率。當二項分布的 $n$ 很大且 $p$ 很小時，可用Poisson分布近似。其機率質量函數為 $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $\lambda = np$。

解題步驟：

1. 使用二項分布公式

• 定義變數：
  設 $X$ 為 100 本書中有缺陷結合的數量。

• 確定參數：

  • 試驗次數 $n = 100$ (共檢查 100 本書)。
  • 每次試驗成功的機率 $p = 0.05$ (每本書有缺陷結合的機率)。
  • 我們想求的事件是恰好有 2 本書有缺陷結合，即 $k = 2$。

• 套用二項分布公式：
  $P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (1-0.05)^{100-2}$
  $P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (0.95)^{98}$

• 計算：
  $\binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \times 99}{2 \times 1} = 50 \times 99 = 4950$
  $(0.05)^2 = 0.0025$
  $(0.95)^{98}$ 需要計算機。

此題主要在於應用常態分布 (Normal Distribution) 的機率計算，需要將常態分布轉換為標準常態分布 (Standard Normal Distribution, Z distribution) 後，利用 Z 表或計算機求解。

核心觀念：

• 常態分布 (Normal Distribution): 其機率密度函數為鐘形曲線，由平均數 ($\mu$) 和標準差 ($\sigma$) 決定。
• 標準常態分布 (Standard Normal Distribution): 平均數為 0，標準差為 1 的常態分布。任何常態分布的隨機變數 $X$ 都可以透過標準化轉換為標準常態分布的隨機變數 $Z$：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
• 機率計算： $P(a < X < b) = P(\frac{a-\mu}{\sigma} < Z < \frac{b-\mu}{\sigma})$；$P(X \ge c) = P(Z \ge \frac{c-\mu}{\sigma})$。

解題步驟：

設 $X$ 為一次飛行中暴露的宇宙輻射量 (mrem)。
已知 $X \sim N(\mu=4.35, \sigma=0.59)$。

1. 求 $P(4.00 < X < 5.00)$

• 標準化：
  將 $X=4.00$ 和 $X=5.00$ 轉換為 Z 分數：
  $Z_1 = \frac{4.00 - 4.35}{0.59} = \frac{-0.35}{0.59} \approx -0.5932$

此題考驗期望值 (Expected Value) 和變異數 (Variance) 的線性性質。

核心觀念：

1. 期望值的線性性質: 對於任意隨機變數 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 和常數 $a_1, a_2, \dots, a_n$，$E(\sum_{i=1}^n a_i X_i) = \sum_{i=1}^n a_i E(X_i)$。特別地，如果 $a_i=1$，則 $E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n E(X_i)$。
2. 變異數的線性性質: 對於獨立的隨機變數 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 和常數 $a_1, a_2, \dots, a_n$，$Var(\sum_{i=1}^n a_i X_i) = \sum_{i=1}^n a_i^2 Var(X_i)$。特別地，如果 $a_i=1$，則 $Var(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n Var(X_i)$。

解題步驟：

設 $X_1, X_2, \dots, X_{20}$ 為 20 個獨立的隨機變數。
已知對於每一個 $i=1, \dots, 20$，$E(X_i) = 10$ 且 $Var(X_i) = 3$。

此題考驗 Poisson 分布的應用，特別是當發生率已知時，計算在特定時間段內發生特定次數事件的機率。

核心觀念：

• Poisson 分布: 適用於計算在固定時間或空間內，某事件發生次數的機率。其機率質量函數為 $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $\lambda$ 是在該時間段內事件發生的平均次數。

解題步驟：

1. 確定 Poisson 分布的平均發生率 ($\lambda$)
   題目提到「醫院觀察到每 2 年有 1 例罕見癌症」。這表示在 2 年的期間內，平均發生 1 例。
   因此，在 1 年的期間內，平均發生率為：
   $\lambda = \frac{1 \text{ case}}{2 \text{ years}} = 0.5 \text{ cases/year}$。
   我們要求的是在「1 年」內發生至少 3 例的機率，所以使用的 $\lambda$ 值是 0.5。

2. 計算在 1 年內發生「至少 3 例」的機率
   設 $X$ 為在 1 年內發生的癌症病例數。則 $X \sim Poisson(\lambda = 0.5)$。
   我們要計算 $P(X \ge 3)$。
   $P(X \ge 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$

此題主要應用 Poisson 分布來處理事件發生的機率，並在第二小題中涉及假設檢定或機率評估的概念。

核心觀念：

1. Poisson 分布: $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$。若事件在單位時間的平均發生率為 $\lambda$，則在時間長度為 $t$ 的區間內，事件發生的平均次數為 $\lambda t$。
2. 假設檢定/機率評估： 比較兩組事件發生率，判斷差異是否顯著，或評估新情況下的機率。

解題步驟：

設 $X$ 為在某個時間段內發生的交通事故死亡人數。
題目已知該交叉路口的「年」平均死亡人數為 $\mu = 10$。

1. 計算從 1990 年 1 月 1 日到 1991 年 12 月 31 日（共 2 年）觀察到正好 25 例交通事故死亡的機率。

• 確定 Poisson 分布的平均發生率 ($\lambda t$)
  年平均發生率為 $\mu = 10$。
  所考慮的時間段是 2 年。
  因此，在 2 年的時間段內，平均預期發生的死亡人數為：
  $\lambda t = 10 \text{ cases/year} \times 2 \text{ years} = 20$。
  我們將使用 Poisson 分布，其參數為 $\Lambda = 20$。

• 計算 $P(X=25)$
  使用 Poisson 機率公式 $P(X=k) = \frac{e^{-\Lambda} \Lambda^k}{k!}$，其中 $\Lambda = 20$ 且 $k = 25$。
  $P(X=25) = \frac{e^{-20} (20)^{25}}{25!}$

  計算這個值需要一個科學計算機或統計軟體。
  $e^{-20} \approx 2.061 \times 10^{-9}$
  $20^{25} = (2 \times 10)^ {25} = 2^{25} \times 10^{25} \approx 3.355 \times 10^7 \times 10^{25} = 3.355 \times 10^{32}$
  $25! \approx 1.551 \times 10^{25}$

  $P(X=25) \approx \frac{(2.061 \times 10^{-9}) \times (3.355 \times 10^{32})}{1.551 \times 10^{25}}$
  $P(X=25) \approx \frac{6.915 \times 10^{23}}{1.551 \times 10^{25}}$
  $P(X=25) \approx 4.458 \times 10^{-2} = 0.04458$

  （使用更精確的計算機或軟體，例如 Python 的 scipy.stats.poisson.pmf(25, 20)，結果為 0.044578...）

【答案】在 2 年的期間內觀察到正好 25 例交通事故死亡的機率約為 0.0446。

核心觀念

每個人的作答結果只有「答對」或「答錯」，且每人只測一次，因此可用二項分配描述答對人數。若只是隨機猜測，答對機率為 $p_0=0.25$。

題目問是否「顯著優於隨機」，要做單尾假設檢定：

其中 $p$ 是這群受試者答對的真實機率。顯著水準題目未指定，以下採常用的 $\alpha=0.05$。

解題方法

令 $X$ 為 100 人中答對的人數。在虛無假設下，

實際觀察到 $X=32$。在對立假設 $p>0.25$ 下，答對人數越多越支持「優於隨機」，因此計算右尾機率：