113 年 國立成功大學環境醫學研究所丙組在職生《機率與統計》

此題主要在於應用二項分布及其Poisson近似。

核心觀念：

1. 二項分布 (Binomial Distribution): 適用於固定試驗次數 ($n$)，每次試驗有兩種結果（成功或失敗），且成功機率 ($p$) 固定的情況。其機率質量函數為 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$。
2. Poisson 分布 (Poisson Distribution): 適用於計算在固定時間或空間內，某事件發生次數的機率。當二項分布的 $n$ 很大且 $p$ 很小時，可用Poisson分布近似。其機率質量函數為 $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，其中 $\lambda = np$。

解題步驟：

1. 使用二項分布公式

• 定義變數：
  設 $X$ 為 100 本書中有缺陷結合的數量。

• 確定參數：

  • 試驗次數 $n = 100$ (共檢查 100 本書)。
  • 每次試驗成功的機率 $p = 0.05$ (每本書有缺陷結合的機率)。
  • 我們想求的事件是恰好有 2 本書有缺陷結合，即 $k = 2$。

• 套用二項分布公式：
  $P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (1-0.05)^{100-2}$
  $P(X=2) = \binom{100}{2} (0.05)^2 (0.95)^{98}$

• 計算：
  $\binom{100}{2} = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \times 99}{2 \times 1} = 50 \times 99 = 4950$
  $(0.05)^2 = 0.0025$
  $(0.95)^{98}$ 需要計算機。

此題考驗常態分配的機率計算。

核心觀念：
常態分配的隨機變數，可以透過標準化轉換為標準常態分配隨機變數 $Z \sim N(0,1)$，再利用標準常態分配表（或計算機）求得機率。標準化公式為 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。

解題過程：
設 $X$ 為飛行時暴露的宇宙射線劑量，單位為 mrem。
已知 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = 4.35$ mrem，$\sigma = 0.59$ mrem。

1. 求 $P(4.00 < X < 5.00)$：
   首先，將區間的邊界標準化：
   $Z_1 = \frac{4.00 - \mu}{\sigma} = \frac{4.00 - 4.35}{0.59} = \frac{-0.35}{0.59} \approx -0.5932$
   $Z_2 = \frac{5.00 - \mu}{\sigma} = \frac{5.00 - 4.35}{0.59} = \frac{0.65}{0.59} \approx 1.1017$
   因此，我們要求 $P(-0.5932 < Z < 1.1017)$。
   $P(-0.5932 < Z < 1.1017) = P(Z < 1.1017) - P(Z < -0.5932)$

此題考驗期望值和變異數的性質，特別是獨立隨機變數的期望值和變異數的加總。

核心觀念：

1. 期望值的線性性質：對於任意常數 $a, b$ 和隨機變數 $X, Y$，有 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。對於多個隨機變數，此性質依然成立：$E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n E(X_i)$。
2. 獨立隨機變數的變異數性質：若 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 彼此獨立，則 $\text{Var}(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i)$。

解題過程：
已知 $X_1, X_2, \dots, X_{20}$ 彼此獨立，且對所有 $i=1, \dots, 20$，都有 $E(X_i) = 10$ 和 $\text{Var}(X_i) = 3$。

1. 計算 $E(X_1+X_2 + X_3 + \dots + X_{20})$：
   根據期望值的線性性質：

核心觀念

連續型隨機變數落在區域 $A$ 的機率，是聯合機率密度函數在該區域上的二重積分：

$$P\big((X,Y)\in A\big)=\iint_A f(x,y)\,dx\,dy$$

本題的密度為 $f(x,y)=xy$，其支撐範圍是 $0<x<1$、$0<y<2$。先確認它確實是合法的聯合機率密度：

$$\int_0^1\int_0^2 xy\,dy\,dx =\int_0^1 2x\,dx =1$$

解題方法

1. 兩個隨機變數都小於 1

條件 $X<1$、$Y<1$ 將積分範圍限制為 $0<x<1$、$0<y<1$。因此：

$$\begin{aligned} P(X<1,\ Y<1) &=\int_0^1\int_0^1 xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^1 dx\\ &=\frac12\int_0^1 x\,dx\\ &=\frac14 \end{aligned}$$

2. 兩個隨機變數的和小於 1

條件 $X+Y<1$ 在第一象限形成三角形區域。固定 $x$ 後，$y$ 從 $0$ 到 $1-x$；而 $x$ 從 $0$ 到 $1$。因此：

$$\begin{aligned} P(X+Y<1) &=\int_0^1\int_0^{1-x} xy\,dy\,dx\\ &=\int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{2}\,dx\\ &=\frac12\int_0^1 (x-2x^2+x^3)\,dx\\ &=\frac12\left(\frac12-\frac23+\frac14\right)\\ &=\frac1{24} \end{aligned}$$

3. 聯合累積分布函數