111 年 國立成功大學口腔醫學研究所丙組《材料科學》

本題考查體心立方 (BCC) 晶體結構中，單位晶胞邊長 ($a$) 與原子半徑 ($R$) 的關係。

解題思路：
BCC 結構的特點是在立方體的頂點有原子，中心有一個原子。在 BCC 結構中，原子是相互接觸的，且在體對角線上原子是緊密堆積的。

步驟：

1. 畫出 BCC 單位晶胞，並標示出體對角線。
2. 體對角線上，有三個原子是相互接觸的：一個是體對角線的一個端點的原子，一個是中心原子，另一個是體對角線的另一個端點的原子。

本題考查不同晶體結構的金屬在延展性上的差異，特別是六方密堆積 (HCP) 相較於面心立方 (FCC) 和體心立方 (BCC) 的脆性。

核心觀念：
金屬的延展性與其滑移系統 (slip system) 的數量和類型有關。滑移系統是晶體中原子容易滑動的平面和方向的組合。滑移系統越多，金屬越容易發生塑性變形，延展性越好。

解釋：

1. 滑移系統的數量與類型：
   • FCC 結構： 擁有大量的滑移系統。其密排面是 $\{111\}$ 族平面，密排方向是 $<110>$ 方向。每個密排面有 3 個密排方向，共有 4 個 $\{111\}$ 密排面，因此總共有 $4 \times 3 = 12$ 個滑移系統。這些滑移系統分佈在不同的平面和方向上，提供了足夠的滑移途徑，使得 FCC 金屬具有優良的延展性。
   • BCC 結構： 相較於 FCC，BCC 結構的原子堆積密度較低，且沒有單一的密排面。然而，BCC 結構也擁有較多的滑移系統，通常認為有 48 個潛在的滑移系統（基於 $\{110\}$<111>，以及 $\{112\}$<111> 等）。雖然這些系統的滑移行為較複雜，但仍能提供足夠的變形機制，使其延展性介於 FCC 和 HCP 之間，通常也具有不錯的延展性。
   • HCP 結構： 只有少數幾個主要的滑移系統。

本題要求描述並繪製三種類型的線缺陷：刃位錯 (edge dislocation)、螺位錯 (screw dislocation) 和混合位錯 (mixed dislocation)。

核心觀念：
位錯 (dislocation) 是晶體中一種線狀缺陷，它導致原子排列發生局部擾動，是金屬塑性變形的主要機制。根據位錯線方向與滑移方向的相對關係，可分為刃位錯、螺位錯和混合位錯。

描述與繪製：

1. 刃位錯 (Edge Dislocation)：

   • 描述： 刃位錯是指在晶體中，多餘的半原子層 (extra half-plane of atoms) 插入到晶體結構中，導致晶格發生畸變。位錯線 (dislocation line) 的方向垂直於滑移方向 (direction of slip)。想像在一個整齊的積木堆中，你抽掉其中一整行積木，然後將上面的積木推下來，這就會在被抽掉積木的地方形成一個額外的半層。
   • 繪製：
     • 繪製一個晶格平面。
     • 在其中一條邊界線處，插入一個額外的半原子層。
     • 標示出位錯線 (dislocation line, L) 垂直於滑移方向 (slip direction, b)。
     • 通常用一個倒 L 形符號來表示，其中 L 是位錯線，b 是滑移向量，兩者垂直。
       🖼️【此處應有刃位錯示意圖：包含晶格，一個額外的半原子層，標示出位錯線 L 垂直於滑移方向 b。】

2. 螺位錯 (Screw Dislocation)：

   • 描述： 螺位錯是指晶體結構在滑移方向上，原子排列像一個螺旋梯。想像將一個長方體切開，然後將切面的一邊向上或向下移動，再將兩邊粘合起來，就會形成一個螺旋結構。位錯線 (dislocation line) 的方向平行於滑移方向 (direction of slip)。
   • 繪製：
     • 繪製一個晶格，原子排列像螺旋狀。

本題要求解釋四個材料科學中的基本概念：工程應力、工程應變、共晶反應以及相圖。

核心觀念：
這些概念是理解材料力學行為、相變以及材料在不同溫度和成分下穩定性的基礎。

解釋：

(a) 工程應力 (Engineering Stress):

• 定義： 工程應力是材料在受力時，所承受的單位面積上的力。它是在拉伸或壓縮試驗中，將施加的外力除以試樣的原始橫截面積而得到的。
• 公式： $\sigma = \frac{F}{A_0}$，其中 $\sigma$ 是工程應力，$F$ 是施加的外力，$A_0$ 是試樣的原始橫截面積。
• 特點： 工程應力在試樣發生塑性變形後，其真實橫截面積會減小，但工程應力計算仍使用原始面積，因此它在材料拉伸過程中會下降（如果材料發生頸縮）。它是一個方便的參數，用於繪製應力-應變曲線。

(b) 工程應變 (Engineering Strain):

• 定義： 工程應變是材料在受力後，其長度變化與原始長度之比。它衡量了材料的變形程度。
• 公式： $\epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{L - L_0}{L_0}$，其中 $\epsilon$ 是工程應變，$\Delta L$ 是長度變化， $L_0$ 是試樣的原始長度，$L$ 是試樣的變形後長度。
• 特點： 工程應變是無因次量。它描述了材料的相對形變。

(c) 共晶反應 (Eutectic Reaction):

• 定義： 共晶反應是二元合金（或多組分系統）在特定溫度（共晶溫度）和特定成分下，液相 (liquid phase, L) 直接轉變為兩種固相 (solid phases, $\alpha$ 和 $\beta$) 的反應。

本題要求解釋四個材料科學中的基本概念：單位晶胞、固溶強化、再結晶及其溫度、以及本質半導體材料。

核心觀念：
這些概念涵蓋了晶體結構、材料強化機制、熱處理對材料組織的影響以及電子材料的特性。

解釋：

(a) 單位晶胞 (Unit Cell):

• 定義： 單位晶胞是構成晶體結構的最小重複單元。它是一個小的、規則的幾何體（如立方體、六方柱體等），當它在空間中進行平移複製時，能夠完全重現整個晶體結構的重複性。
• 重要性： 通過研究單位晶胞的結構，可以推斷出整個晶體的原子排列、堆積密度、原子間距等重要信息。例如，面心立方 (FCC) 和體心立方 (BCC) 的單位晶胞都是立方體，但原子排列不同。

(b) 固溶強化 (Solid Solution Strengthening):

• 定義： 固溶強化是一種材料強化機制，通過將一種或多種溶質原子溶解到基體金屬的晶格中，形成固溶體，從而提高材料的強度和硬度。
• 機制： 溶質原子通常與基體原子在尺寸、電負性或價電子數等方面存在差異。這些差異會在基體晶格中產生局部應力場（位錯纏結點），阻礙位錯的運動。當位錯運動受到阻礙時，材料的屈服強度就會提高。
• 種類：
  • 置換固溶體 (Substitutional Solid Solution)： 溶質原子取代基體原子在晶格中的位置。
  • 間隙固溶體 (Interstitial Solid Solution)： 溶質原子尺寸小，嵌入到基體原子之間的空隙中（如碳在鐵中的固溶）。

(c) 再結晶與其溫度 (Recrystallization and its Temperature):

本題要求描述並解釋菲克第一定律和第二定律，這兩者是描述質量傳遞（擴散）過程的基本定律。

核心觀念：
菲克定律描述了物質在濃度梯度驅動下從高濃度區域向低濃度區域擴散的速率。

解釋：

(a) 菲克第一定律 (Fick's First Law):

• 描述： 菲克第一定律描述了穩態擴散 (steady-state diffusion) 的情況，即在擴散過程中，時間對濃度的影響不大，或者說擴散速率不隨時間變化。它指出，在一個方向上的擴散通量 (flux, $J$) 與該方向上的濃度梯度 (concentration gradient, $\frac{dC}{dx}$) 成正比，且方向相反。
• 公式：
  $J = -D \frac{dC}{dx}$
  其中：
  • $J$ 是擴散通量，表示單位時間內通過單位面積的物質的量（例如，$\text{mol} / (\text{m}^2 \cdot \text{s})$ 或 $\text{kg} / (\text{m}^2 \cdot \text{s})$）。
  • $D$ 是擴散係數 (diffusivity)，它是一個與溫度、擴散物質和介質相關的常數。它代表了物質擴散的難易程度，單位通常是 $\text{m}^2/\text{s}$。
  • $\frac{dC}{dx}$ 是濃度梯度，表示濃度隨空間位置 $x$ 的變化率。負號表示擴散方向與濃度梯度方向相反，即物質從高濃度區域向低濃度區域擴散。
• 應用： 菲克第一定律常用於分析恆定的溫度和濃度梯度下的擴散問題，例如在穩定的氣體滲透、薄膜的擴散等情況。

(b) 菲克第二定律 (Fick's Second Law):

• 描述： 菲克第二定律描述了非穩態擴散 (unsteady-state diffusion) 的情況，即擴散速率隨時間變化。

本題要求命名並描述陶瓷化合物中常見的八種離子點缺陷。

核心觀念：
離子點缺陷是陶瓷材料中常見的晶體缺陷，它們對材料的電學、離子導電性、機械性能和化學性質有重要影響。點缺陷包括空位 (vacancy)、間隙原子 (interstitial atom) 和替位原子 (substitutional atom)，在離子晶體中，這些缺陷通常以電中性的方式存在，以維持整個晶體的電中性。

常見的八種離子點缺陷：

1. 陽離子空位 (Cation Vacancy):

   • 描述： 晶格中某個陽離子位置沒有被原子佔據。為了維持電中性，如果陽離子是多價的（例如，一個 $M^{2+}$ 離子空位），則需要通過引入其他缺陷來平衡電荷。例如，在 NaCl 晶體中，如果一個 $Na^+$ 位置是空的，則需要額外的 $Na^+$ 離子進入間隙或通過其他機制來保持電中性。在某些氧化物中，例如，當金屬離子價態降低時，會產生陽離子空位。

2. 陰離子空位 (Anion Vacancy):

   • 描述： 晶格中某個陰離子位置沒有被原子佔據。這類空位通常是氧空位 (oxygen vacancy) 或鹵素空位。例如，在 $ZrO_2$ 中，氧空位是主要的缺陷。陰離子空位可以捕獲電子，形成 F 色心 (F-center)，從而影響材料的光學和電學性質。

3. 陽離子間隙 (Cation Interstitial):

   • 描述： 額外的陽離子原子擠佔了晶格中非正常的位置（間隙位置）。為了維持電中性，可能需要減少其他陽離子或增加陰離子的價態。

4. 陰離子間隙 (Anion Interstitial):

   • 描述： 額外的陰離子原子擠佔了晶格中非正常的位置（間隙位置）。這種情況相對較少見，因為陰離子通常比陽離子大。

5. 陽離子替位 (Cation Substitutional):

   • 描述： 較小的陽離子原子取代了基體材料中的較大陽離子原子。例如，在MgO中加入少量$Al_2O_3$時，$Al^{3+}$ 可能會取代 $Mg^{2+}$ 位置。為了維持電中性，如果價態不同，則需要引入其他缺陷。

6. 陰離子替位 (Anion Substitutional):

   • 描述： 較小的陰離子原子取代了基體材料中的較大陰離子原子。

本題要求解釋為什麼結晶陶瓷材料通常是脆性的。

核心觀念：
材料的脆性與其變形機制（尤其是塑性變形能力）有關。陶瓷材料的化學鍵結和晶體結構特點決定了它們較低的塑性變形能力，從而表現出脆性。

解釋：

1. 化學鍵結的性質：

   • 陶瓷材料主要由離子鍵和共價鍵構成。這兩種鍵結都具有較強的方向性，並且鍵能較高。
   • 離子鍵： 離子鍵是通過靜電吸引力結合的，這種結合方式沒有方向性。然而，在離子晶體中，同種電荷的離子（陽離子與陽離子，陰離子與陰離子）會相互排斥，異種電荷的離子（陽離子與陰離子）會相互吸引。
   • 共價鍵： 共價鍵具有強烈的位置選擇性（方向性），這使得原子在晶格中的相對位置非常固定。

2. 晶體結構的特點：

   • 許多陶瓷材料具有複雜的晶體結構，並且原子堆積密度通常不如金屬。
   • 在離子晶體中，如果發生滑移，即一個原子層相對於另一個原子層移動，可能會導致同種電荷的離子相互靠近，產生巨大的排斥力，這會消耗大量的能量，甚至導致晶體斷裂，而不是發生滑移。
   • 與金屬（主要為金屬鍵，無方向性，允許原子層相對滑動）相比，陶瓷材料的滑移系統數量非常有限，或者滑移需要極高的應力才能啟動。