108 年 國立臺灣大學醫學工程學研究所丁組《微積分（A）》

此題考查隱函數微分求切線斜率。

給定曲線方程式為 $x^2y^3 + y = 2$。我們需要找出通過點 $(1, 1)$ 的切線斜率。
首先，我們對曲線方程式兩邊關於 $x$微分，以求出 $\frac{dy}{dx}$：
$\frac{d}{dx}(x^2y^3 + y) = \frac{d}{dx}(2)$
利用乘法法則和連鎖法則：
$(2x)y^3 + x^2(3y^2\frac{dy}{dx}) + \frac{dy}{dx} = 0$
整理關於 $\frac{dy}{dx}$ 的項：
$3x^2y^2\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = -2xy^3$

此題考查微分方程的求解，屬於變數分離法。

給定微分方程 $\frac{dy}{dx} = (1 + y^2)\cos(x)$，以及初始條件 $f(0) = 1$。
我們將微分方程寫成變數可分離的形式：
$\frac{dy}{1+y^2} = \cos(x)dx$

接下來，我們對兩邊進行積分：
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \cos(x)dx$
$\arctan(y) = \sin(x) + C$

核心觀念

本題考查：

• 多重不等式所代表區域的交集。
• 以固定 $y$ 作水平切片，找出 $x$ 的左右界。
• 二重積分的直角坐標計算：

$$\iint_{\Omega} y\,dA = \int\int y\,dx\,dy.$$

由於被積函數是 $y$，且題目中的邊界皆容易整理成 $x$ 關於 $y$ 的函數，因此採用先對 $x$ 積分最簡便。

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解題方法：判定區域 $\Omega$

題目給出的兩組 $x$ 範圍為

$$\frac{y^2}{16}-4\le x\le \frac{y^2}{4}-1$$

以及

$$1-\frac{y^2}{4}\le x\le 4-\frac{y^2}{16}.$$

兩組條件必須同時成立，因此實際的左界是兩個下界的較大者，右界是兩個上界的較小者。

先比較兩個下界：

$$\frac{y^2}{16}-4 = 1-\frac{y^2}{4}$$

解得

$$\frac{5y^2}{16}=5 \quad\Longrightarrow\quad y^2=16 \quad\Longrightarrow\quad y=4,$$

其中取 $y>0$。

再比較兩個上界：

$$\frac{y^2}{4}-1 = 4-\frac{y^2}{16},$$

同樣得到 $y=4$。

因此需分成 $0<y<4$ 與 $y>4$ 兩段討論。

1. 當 $0<y<4$

此時

$$1-\frac{y^2}{4} > \frac{y^2}{16}-4,$$

而

$$\frac{y^2}{4}-1 < 4-\frac{y^2}{16}.$$

所以 $x$ 的範圍為

$$1-\frac{y^2}{4} \le x\le \frac{y^2}{4}-1.$$

要使區間非空，必須滿足

$$1-\frac{y^2}{4} \le \frac{y^2}{4}-1.$$

因此

$$2\le \frac{y^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad y^2\ge 8 \quad\Longrightarrow\quad y\ge 2\sqrt2.$$

故此段為

$$2\sqrt2\le y\le 4, \qquad 1-\frac{y^2}{4} \le x\le \frac{y^2}{4}-1.$$

2. 當 $y>4$

此時

$$\frac{y^2}{16}-4 > 1-\frac{y^2}{4},$$

而

$$4-\frac{y^2}{16} < \frac{y^2}{4}-1.$$

所以 $x$ 的範圍為

$$\frac{y^2}{16}-4 \le x\le 4-\frac{y^2}{16}.$$

要使區間非空，必須滿足

$$\frac{y^2}{16}-4 \le 4-\frac{y^2}{16}.$$

因此

$$\frac{y^2}{8}\le 8 \quad\Longrightarrow\quad y^2\le 64 \quad\Longrightarrow\quad y\le 8.$$

故此段為

$$4\le y\le 8, \qquad \frac{y^2}{16}-4 \le x\le 4-\frac{y^2}{16}.$$

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(a) $\Omega$ 的草圖特徵

區域關於 $y$ 軸對稱，邊界由四段拋物線組成：

$$x=\frac{y^2}{4}-1, \qquad x=1-\frac{y^2}{4},$$

以及

$$x=\frac{y^2}{16}-4, \qquad x=4-\frac{y^2}{16}.$$

重要邊界點如下：

• 下端尖點：

$$(0,2\sqrt2)$$

• 中間最寬處位於 $y=4$：

$$(-3,4),\qquad (3,4)$$

• 上端尖點：

$$(0,8)$$

因此圖形由下端 $(0,2\sqrt2)$ 開始向左右張開，在 $y=4$ 時最寬，之後向內收束，最後於 $(0,8)$ 結束。

示意形狀為：

核心觀念

本題考查極座標曲線的判讀與面積公式。

極座標中，曲線 $r=f(\theta)$ 所圍成的面積為

$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$$

其中 $\alpha$ 到 $\beta$ 必須涵蓋一次完整且不重複的封閉區域。

本題曲線為

$$r=\sin(2\theta)$$

這是一條四瓣玫瑰線。因為角度係數為 $2$，且 $2$ 為偶數，所以曲線共有 $2(2)=4$ 瓣。

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區域草圖與曲線判讀

先找出曲線通過原點的角度：

$$r=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(2\theta)=0$$

因此

$$2\theta=k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{k\pi}{2}$$

曲線在 $\theta=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$ 時通過原點，四瓣分別位於四個象限。

當 $r$ 取得最大值 $1$ 時，

$$\sin(2\theta)=1$$

所以

$$2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}+k\pi$$

負值的 $r$ 會使方向反轉，因此另外兩瓣的中心方向為 $\frac{3\pi}{4}$ 與 $\frac{7\pi}{4}$。四瓣中心方向為

$$\theta=\frac{\pi}{4},\quad \frac{3\pi}{4},\quad \frac{5\pi}{4},\quad \frac{7\pi}{4}$$

示意圖如下：

                    y
                    ↑
              \     |     /
               \    |    /
                \   |   /
                 \  |  /
                  \ | /
        ◀───────────┼───────────▶ x
                  / | \
                 /  |  \
                /   |   \
               /    |    \
              /     |     \

實際圖形為沿著 $45^\circ,135^\circ,225^\circ,315^\circ$ 方向伸出的四個對稱花瓣，且每瓣最大半徑為 $1$。

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此題考查極限計算，其中包含一個級數。

給定極限：
$L = \lim_{x \to 1} \sum_{k=1}^{25} \frac{x^k - 1}{\ln(x)}$
由於極限運算可以交換求和與極限，我們可以將極限移入求和內部：
$L = \sum_{k=1}^{25} \lim_{x \to 1} \frac{x^k - 1}{\ln(x)}$
現在我們需要計算每一個極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^k - 1}{\ln(x)}$。
當 $x \to 1$ 時，分子 $x^k - 1 \to 1^k - 1 = 0$。
當 $x \to 1$ 時，分母 $\ln(x) \to \ln(1) = 0$。
這是一個 $0/0$ 型的不定形式，我們可以使用羅必達法則 (L'Hôpital's Rule) 來求解。

核心觀念

本題利用以下幾個觀念：

1. 三角形面積公式：$\dfrac{1}{2}\times$ 底 $\times$ 高。
2. 三角錐側面面積：若 apex 為 $P$，則

$[PAB]=\frac12a\sqrt{h^2+x^2},$

其餘兩面同理。
3. 函數

$f(u)=\sqrt{h^2+u^2}$

為嚴格凸函數，可用 Jensen 不等式求最小值。
4. 三角形內心到三邊距離相等，且內切圓半徑

$r=\frac{T}{s},$

其中 $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ 為半周長。

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(a) 證明 $T=\dfrac{ax+by+cz}{2}$ 並找出最小表面積的三角錐

設三角錐 apex 為 $P$，其高的垂足為 $D$。當 $D$ 位於三角形 $ABC$ 內部時，三角形 $ABC$ 可分成三個三角形：

$T=[ABC]=[DAB]+[DBC]+[DCA].$

由於 $AB=a$、$BC=b$、$CA=c$，且 $D$ 到三邊的距離分別為 $x,y,z$，因此

$$[DAB]=\frac12 ax, \qquad [DBC]=\frac12 by, \qquad [DCA]=\frac12 cz.$$

相加得到

$\boxed{T=\frac{ax+by+cz}{2}}.$

因此

$ax+by+cz=2T.$

令

$f(u)=\sqrt{h^2+u^2}.$

其二階導數為

$f''(u)=\frac{h^2}{(h^2+u^2)^{3/2}}>0,$

所以 $f$ 為嚴格凸函數。其圖形曲線 $\mathcal C$ 為上半支雙曲線：

$\mathcal C:\quad v=\sqrt{h^2+u^2}.$

示意圖如下：

v
↑
│                 ╱  曲線 C：v = √(h²+u²)
│              ╱
│           ╱
│        ╱
│     ╱
│  ●──────────────→ u
│  u₀

由 Jensen 不等式，

$$\frac{af(x)+bf(y)+cf(z)}{a+b+c} \geq f\left(\frac{ax+by+cz}{a+b+c}\right).$$

因為 $a+b+c=2s$ 且 $ax+by+cz=2T$，故

$$af(x)+bf(y)+cf(z) \geq 2s\sqrt{h^2+\left(\frac{T}{s}\right)^2}.$$

等號成立的條件為

$x=y=z=\frac{T}{s}.$

也就是說，$D$ 到三邊 $a,b,c$ 的距離相等，因此 $D$ 必須是三角形 $ABC$ 的內心。

此題考查曲面積分，特別是函數在平面區域上的積分。

我們要計算曲面積分 $\iint_S f(x, y, z) \, dS$，其中 $f(x, y, z) = xy$，$S$ 是平面 $z = 1 - x - y$ 在 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ 條件下的部分。

首先，確定曲面 $S$ 在 $xy$ 平面上的投影區域 $D$。
條件 $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$。
將 $z = 1 - x - y$ 代入 $z \ge 0$，得到 $1 - x - y \ge 0 \implies x + y \le 1$。
所以，投影區域 $D$ 是由 $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x + y \le 1$ 所定義的三角形區域。這個三角形的三個頂點是 $(0,0), (1,0), (0,1)$。

接下來，我們需要計算曲面積分中的 $dS$。
對於參數化的曲面 $\vec{r}(u, v) = (u, v, g(u, v))$， $dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} \, dA$。
在這裡，我們將 $x$ 和 $y$ 作為參數，所以 $z = g(x, y) = 1 - x - y$。
$\frac{\partial z}{\partial x} = -1$
$\frac{\partial z}{\partial y} = -1$
$\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$。
所以，$dS = \sqrt{3} \, dA$。

現在，我們將被積函數 $f(x, y, z) = xy$ 轉換為只含 $x, y$ 的形式，因為我們將在 $xy$ 平面上的投影區域 $D$ 上積分：
$f(x, y, z) = xy$。

曲面積分變為：
$\iint_S xy \, dS = \iint_D xy \sqrt{3} \, dA$

核心觀念

本題考查：

• 空間曲線的幾何描述與參數化。
• 向量線積分
  $\int_C \mathbf F\cdot d\vec r.$
• 保守向量場與位勢函數：若 $\mathbf F=\nabla \phi$，則
  $\int_C \mathbf F\cdot d\vec r=\phi(\text{終點})-\phi(\text{起點}),$
  與路徑形狀無關。

給定

$$\mathbf F(x,y)=\left(e^{x-2y},-2e^{x-2y}\right).$$

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(a) 曲線 $C$ 的圖形

曲線依序由三部分組成：

1. 從 $(1,1)$ 到 $(4,4)$ 的線段：
   $y=x,\qquad 1\le x\le 4.$

2. 從 $(4,4)$ 到 $(6,4)$ 的半圓弧。

   兩端點的中點為

   $$(5,4),$$

   半徑為 $1$，因此圓方程為

   $$(x-5)^2+(y-4)^2=1.$$

   題目未明確指定半圓在直線 $y=4$ 的上方或下方；依一般繪圖慣例取上半圓，其參數式可寫為

   $$x=5-\cos t,\qquad y=4+\sin t,\qquad 0\le t\le \pi.$$

   當 $t=0$ 時為 $(4,4)$，當 $t=\pi$ 時為 $(6,4)$。

3. 從 $(6,4)$ 到 $(8,4)$ 的水平線段：
   $y=4,\qquad 6\le x\le 8.$

曲線方向為

$$(1,1)\longrightarrow(4,4)\longrightarrow(6,4)\longrightarrow(8,4).$$

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(b) 計算線積分

方法一：判斷保守場

令

$$\phi(x,y)=e^{x-2y}.$$

則

$$\frac{\partial \phi}{\partial x}=e^{x-2y}, \qquad \frac{\partial \phi}{\partial y}=-2e^{x-2y}.$$

因此

$$\nabla\phi = \left(e^{x-2y},-2e^{x-2y}\right) = \mathbf F.$$

所以 $\mathbf F$ 是保守向量場，線積分只需計算起點與終點的位勢差：