112 年國立成功大學關鍵材料碩士學位學程《普通物理學（著重電磁學、熱學、近代物理）》考古題與詳解

Question 1

1) A circular object of mass m and of radius R rolls smoothly (without sliding) along a frictional incline, as shown below. In the following, which type of the object will roll with the highest acceleration? (A) A disk (B) A solid sphere (C) A spherical shell (D) A ring (E) The same 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 物體沿斜面純滾動時，平移與轉動同時發生。斜面方向的加速度為 $$ a=\frac{g\sin	heta}{1+\dfrac{I}{mR^2}} $$ 其中 $I$ 是物體繞質心的轉動慣量，$	heta$ 是斜面傾角。轉動慣量相對越小，分母越小，平移加速度就越大。 解題方法 令物體沿斜面向下加速。平移運動方程為 $$ mg\sin	heta-f=ma $$ 其中 $f$ 是靜摩擦力。以質心為轉軸，摩擦力提供轉矩： $$ fR=I\alpha $$ 純滾動條件為 $a=\alpha R$，因此 $$ f=\frac{Ia}{R^2} $$ 代回平移方程，可得 $$ mg\sin	heta-\frac{Ia}{R^2}=ma $$ 整理後即為 $$ a=\frac{g\sin	heta}{1+\dfrac{I}{mR^2}} $$ 比較各物體的轉動慣量： | 物體 | 轉動慣量 $I$ | 加速度 | |---|---:|---:| | 圓盤 | $\frac12mR^2$ | $\frac23g\sin	heta$ |

Question 2

2) The power radiated from a black-body is found to be 10 kW at 1000 K. What is the power radiated from the same black-body at 2000 K? (A) 10 kW (B) 20 kW (C) 40 kW (D) 80 kW (E) 160 kW

Accepted Answer

核心觀念 黑體輻射遵守史特藩–波茲曼定律： $$ P=\sigma A T^4 $$ 其中： - $P$：輻射功率 - $\sigma$：史特藩–波茲曼常數 - $A$：物體表面積 - $T$：絕對溫度，必須使用開爾文（K） 同一個黑體的表面積 $A$ 與材料性質固定，因此輻射功率與絕對溫度的四次方成正比： $$ P\propto T^4 $$ 解題方法 已知： $$ P1=10\ 	ext{kW},\qquad T1=1000\ 	ext{K} $$ 當溫度升至： $$ T2=2000\ 	ext{K}=2T1 $$ 因此： $$ \frac{P2}{P1} = \left(\frac{T2}{T1}ight)^4 = \left(\frac{2000}{1000}ight)^4 = 2^4 = 16 $$ 所以： $$ P2=16P1 =16(10\ 	ext{kW}) =160\ 	ext{kW} $$ 選項分析

Question 3

3) A tank is filled with water of mass density p, as shown below. What is the speed v of the water emerging from the small hole? Assume that the height of h remains unchanged all the time. (A) 4.95 m/s (B) 7 m/s (C) 9.9 m/s (D) 14 m/s (E) 49 m/s h = 2.5 m 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考伯努力定律與托里拆利定律。水面與小孔都承受大氣壓；水箱截面遠大於小孔，因此水面下降速度可視為零。水流速度由水面到小孔的高度差決定，水的密度會消去。 解題方法 以水面和小孔分別套用伯努力定律： $$ P{	ext{atm}}+ho g h+\frac{1}{2}ho(0)^2 = P{	ext{atm}}+ho g(0)+\frac{1}{2}ho v^2 $$ 消去兩側相同的大氣壓，並約去密度 $ho$： $$ ho gh=\frac{1}{2}ho v^2 \quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{2gh} $$ 代入 $h=2.5\ 	ext{m}$、$g=9.8\ 	ext{m/s}^2$： $$ v=\sqrt{2(9.8)(2.5)} =\sqrt{49} =7\ 	ext{m/s} $$

Question 4

4) Assuming that the electric field intensity E = 10x i + 10y j +5 k (V/m), find the total electric charge contained inside a cubical volume of 20 cm on a side centered symmetrically at the origin. (A) 20 C (B) 0.16 C (C) 1.42×10-12 C (D) 1.77×10-10 C (E) 8.86×10-11 C

Accepted Answer

由高斯定律微分形式： $$ 
abla\cdot\mathbf E=\frac{ho}{\varepsilon0} $$ 已知 $$ \mathbf E=10x\,\mathbf i+10y\,\mathbf j+5\,\mathbf k $$ 故

Question 5

5) A triangular prism shown below has an index of fraction n = 2. What is the critical angle for the light from the prism to air? (A) 30° (B) 37° (C) 45° (D) 53° (E) 60° 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 光由折射率較大的介質射向折射率較小的介質時，入射角增大到臨界角 $	hetac$，折射光會沿著介面前進，折射角為 $90^\circ$。由史涅耳定律： $$ n1\sin	hetac=n2\sin 90^\circ $$ 本題光從折射率 $n1=2$ 的稜鏡射向空氣，空氣折射率取 $n2=1$。 解題方法 代入史涅耳定律： $$ 2\sin	hetac=1 $$ $$ \sin	hetac=\frac{1}{2} \qquad\Rightarrow\qquad 	hetac=30^\circ $$ 臨界角是光線在稜鏡內入射到稜鏡與空氣交界面時，相對於介面法線所量的角度。圖中的 $45^\circ$ 標示描述光路幾何，不能取代由折射率決定的臨界角。 選項分析

Question 6

6) A time-dependent voltage source V(t) = πι³+2 Volt is connected across a parallel-plate capacitor with separation d = 3 mm and surface area A = 1 m². What is the value of the displacement current in Ampere between the plates at t = 6 sec? (A) 10-2 (B) 10-4 (C) 10-6 (D) 10-8 (E) 10-10

Accepted Answer

核心觀念 本題考查位移電流。即使平行板電容器兩極板之間沒有傳導電流，隨時間變化的電場仍會產生位移電流： $$ Id=\varepsilon0\frac{d\PhiE}{dt} $$ 其中電通量為 $$ \PhiE=EA $$ 平行板間電場近似均勻，且 $$ E=\frac{V(t)}{d} $$ 因此 $$ Id=\varepsilon0 A\frac{dE}{dt} =\varepsilon0\frac{A}{d}\frac{dV}{dt} $$ 題目中的 $V(t)=\pi t^3+2$ V 視為電壓函數。 解題方法 已知 $$ d=3	ext{ mm}=3	imes10^{-3}	ext{ m},\qquad A=1	ext{ m}^2 $$ 電壓對時間微分： $$ \frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}(\pi t^3+2)=3\pi t^2 $$ 在 $t=6$ s 時： $$ \left.\frac{dV}{dt}ight|{t=6} =3\pi(6)^2 =108\pi\ 	ext{V/s} $$ 代入位移電流公式： $$ Id =\varepsilon0\frac{A}{d}\frac{dV}{dt} $$ 取 $$ \varepsilon0=8.85	imes10^{-12}\ 	ext{F/m} $$ 可得 $$ Id =(8.85	imes10^{-12}) \frac{1}{3	imes10^{-3}} (108\pi) $$ 整理數值： $$ Id\approx1.00	imes10^{-6}	ext{ A} $$ 因此位移電流約為 $$ Id=10^{-6}	ext{ A} $$

Question 7

7) For an electromagnetic wave with the magnitude of electric field Eo, the corresponding average value of the Poynting vector is So. If the field becomes 2Eo, what is the new average value of the Poynting vector? (A) So (B) (1.414)So (C) 2So (D) 4So (E) 8So.

Accepted Answer

核心觀念 電磁波的能流密度由坡印廷向量描述： $$ \mathbf{S}=\mathbf{E}	imes\mathbf{H} $$ 對於真空中的正弦平面電磁波，平均坡印廷向量的大小為 $$ S{	ext{avg}}=\frac{1}{2}E0H0 $$ 又因為電磁波中電場與磁場的關係為 $$ E0=cB0,\qquad H0=\frac{B0}{\mu0} $$ 因此 $$ S{	ext{avg}} =\frac{E0^2}{2\mu0 c} $$ 由此可知，在介質與頻率條件不變時，平均坡印廷向量與電場振幅的平方成正比： $$ S{	ext{avg}}\propto E0^2 $$ 解題方法 原本電場振幅為 $E0$，平均坡印廷向量為 $S0$： $$ S0\propto E0^2 $$ 當電場變為 $2E0$ 時，新的平均坡印廷向量為 $$ S' \propto (2E0)^2=4E0^2 $$ 所以

Question 8

8) As shown below, a 2 kg block that rests on a frictionless surface is attached to a horizontal spring with a force constant k = 202 N/m. When a 20 g bullet with speed of 404 m/s is shot into the block and embedded, find the amplitude of the resulting simple harmonic motion (SHM) of the block with the embedded bullet. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 子彈嵌入木塊屬於完全非彈性碰撞。碰撞瞬間，系統的動量守恆；碰撞後，木塊與子彈一起做簡諧運動。碰撞過程中機械能不守恆，因此要先用動量守恆求出碰撞後速度，再求簡諧運動振幅。 解題方法 設木塊質量為 $M=2\,	ext{kg}$，子彈質量為 $m=0.020\,	ext{kg}$，子彈初速為 $v=404\,	ext{m/s}$。碰撞前木塊靜止，碰撞後兩者共同速度為 $V$。由動量守恆： $$ mv=(M+m)V $$ $$ V=\frac{0.020	imes404}{2.020}=4.0\,	ext{m/s} $$

Question 9

9) Write down the equation of motion of the above SHM.

Accepted Answer

核心觀念

簡諧運動（Simple Harmonic Motion, SHM）的判定條件是：物體所受回復力與相對於平衡位置的位移成正比，且方向相反：

F=-kx

由牛頓第二定律 $F=m\ddot{x}$ ，可得

m\ddot{x}=-kx

因此簡諧運動的運動方程式為

\boxed{\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0}

定義角頻率

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}

則方程式可寫成

\boxed{\ddot{x}+\omega^2x=0}

其中 $x$ 必須表示物體相對於平衡位置的位移。

解題方法

題目要求寫出「上述簡諧運動」的運動方程式，因此應直接使用簡諧運動的標準微分方程：

\boxed{\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0}

其一般解為

x(t)=A\cos(\omega t+\phi)

其中：

$A$ ：振幅；
$\omega$ ：角頻率；
$\phi$ ：初相位。

若題目前文已給定週期 $T$ 或頻率 $f$ ，則

Question 10

10) What is the ideal efficiency of a Carnot engine operating between 27 and 627 °C?

Accepted Answer

核心觀念 理想卡諾熱機的效率只由高、低溫熱源的絕對溫度決定： $$ \eta{	ext{Carnot}}=1-\frac{TC}{TH} $$ 其中： - $TH$：高溫熱源的絕對溫度 - $TC$：低溫熱源的絕對溫度 溫度必須使用開爾文（K），不可直接代入攝氏溫度。 解題方法 低溫熱源為 $27^\circ	ext{C}$，高溫熱源為 $627^\circ	ext{C}$。換算為絕對溫度： $$ TC=27+273=300\ 	ext{K} $$ $$ TH=627+273=900\ 	ext{K} $$ 代入卡諾效率公式： $$ \eta=1-\frac{300}{900} $$ $$ \eta=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} $$ 因此： $$ \eta=\frac{2}{3}\approx 0.667 $$ 換算成百分比： $$ \eta\approx 66.7\% $$

Question 11

11) An ideal gas of one mole at 400 K experiences a free expansion from volume V1 to V2 = 2V1, what is the value of the change of the entropy?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 熵是狀態函數，與實際過程路徑無關。 - 自由膨脹發生於真空中，外界壓力為零，因此氣體不對外作功。 - 理想氣體的內能只與溫度有關。 - 理想氣體熵變公式為 $$ \Delta S=nCV\ln\frac{T2}{T1}+nR\ln\frac{V2}{V1}. $$ 解題方法 自由膨脹通常可視為絕熱且無外功過程，因此 $$ Q=0,\qquad W=0. $$ 由熱力學第一定律： $$ \Delta U=Q-W=0. $$ 理想氣體的內能只由溫度決定，所以 $$ \Delta U=0\Rightarrow T2=T1=400\ 	ext{K}. $$ 雖然實際自由膨脹是不可逆過程，不能直接使用可逆過程的熱量積分計算，但熵是狀態函數，因此可選擇一條連接相同初、末狀態的可逆路徑計算熵變： $$ \Delta S =nCV\ln\frac{T2}{T1} +nR\ln\frac{V2}{V1}. $$ 題目給定 $n=1$、$T2=T1$，故溫度項為零：

Question 12

12) Determine the magnetic field (magnitude and direction) at P due to the current i in the wire shown below. i <- a P 2α УА X 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題使用安培定律的圓弧結果，亦可由畢奧–沙伐定律積分得到： $$ B{	ext{弧}}=\frac{\mu0 i}{4\pi R}	heta $$ 其中 $	heta$ 為弧所對的圓心角。半圓的 $	heta=\pi$，因此 $$ B{	ext{半圓}}=\frac{\mu0 i}{4R}. $$ 圖中兩段直線皆位於通過 $P$ 的徑向直線上，因此對 $P$ 而言，電流微元 $d\boldsymbol{\ell}$ 與指向 $P$ 的方向平行，故其磁場為零。 解題方法 外側半圓半徑為 $2a$，電流沿左側由上往下流。依右手定則，外側半圓在 $P$ 產生的磁場方向為紙面外： $$ B{	ext{外}}=\frac{\mu0 i}{4(2a)} =\frac{\mu0 i}{8a}. $$

Question 13

13) What is the magnitude of the magnetic dipole moment u of the corresponding loop shown above?

Accepted Answer

核心觀念 電流迴路的磁偶極矩定義為 $$ \vec{\mu}=I\vec{A} $$ 其中： - $I$ 為迴路中的電流； - $\vec{A}$ 為面積向量，大小等於迴路面積 $A$，方向依右手定則決定。 因此，磁偶極矩的大小為 $$ \mu=IA $$ 若迴路有 $N$ 匝，則 $$ \mu=NIA $$ 本題只詢問 magnitude，因此不需要判斷磁偶極矩的方向。 解題方法 將圖示迴路所包圍的面積記為 $A$，流經迴路的電流記為 $I$。依磁偶極矩定義： $$ \vec{\mu}=I\vec{A} $$ 取大小後得到 $$ \boxed{\mu=IA} $$ 若題圖中的迴路為多匝線圈，則每一匝的磁偶極矩方向相同，總磁偶極矩為各匝相加： $$ \boxed{\mu=NIA} $$ 若迴路為矩形，邊長分別為 $a$、$b$，則 $$ A=ab $$ 所以 $$ \mu=Iab $$ 若迴路為圓形、半徑為 $R$，則 $$ A=\pi R^2 $$ 所以

Question 14

14) A dc current ia flows through an infinitely long, straight wire, as shown below. What is the magnitude of the net magnetic force exerted on the square loop which carries a clockwise current is? la W ib W y L X 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 長直導線在距離 $r$ 處產生的磁場大小為 $$ B(r)=\frac{\mu0 ia}{2\pi r} $$ 載流導線段在磁場中受到的磁力大小為 $F=ibLB$。判斷方向時，可用平行電流的作用規則：同方向電流相吸，反方向電流相斥。 解題方法 圖中長直導線水平向右通電 $ia$；方形線圈的邊長為 $W$，電流 $ib$ 為順時針方向（右側垂直邊的電流向下）。線圈上邊距長直導線為 $W$，下邊距長直導線為 $2W$。 線圈上下兩條水平邊的電流方向與長直導線相反或相同：上邊電流向右，與 $ia$ 同向，因此受力朝向長直導線；下邊電流向左，與 $ia$ 反向，因此受力遠離長直導線。 上邊距離為 $W$，其磁力大小為 $$ F{	ext{上}} =ibW\frac{\mu0 ia}{2\pi W} =\frac{\mu0 ia ib}{2\pi} $$

Question 15

15) An electric dipole has a dipole moment of 1.6 × 10-9 C-m. Find the ratio of the electric potential at the distances of 0.6 m and 0.9 m from the center of the dipole situated on a line making an angle of 60° with the dipole axis. i.e. V(r = 0.6m)/V(r = 0.9 m) =?

Accepted Answer

核心觀念 電偶極在距離中心 $r$、與偶極矩方向夾角為 $	heta$ 的位置，其電位為 $$ V(r,	heta)=\frac{1}{4\pi\varepsilon0}\frac{p\cos	heta}{r^2} $$ 其中： - $p$：電偶極矩大小 - $r$：觀測點到偶極中心的距離 - $	heta$：觀測方向與偶極軸的夾角 本題給定 $p=1.6	imes10^{-9}\ \mathrm{C\cdot m}$，且兩個位置的角度皆為 $60^\circ$。因題目只提供偶極矩，採用理想點偶極近似。 解題方法 在 $r=0.6\ \mathrm{m}$ 處： $$ V{0.6} = \frac{1}{4\pi\varepsilon0} \frac{p\cos60^\circ}{(0.6)^2} $$ 在 $r=0.9\ \mathrm{m}$ 處： $$ V{0.9} = \frac{1}{4\pi\varepsilon0} \frac{p\cos60^\circ}{(0.9)^2} $$ 取兩者比值：

Question 16

16) Three resistors are connected to a battery with an output voltage of 4 V as shown below. Calculate the value of current 12 in Ampere. 2Ω I 12 13 4V 3Ω 5Ω 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 圖中 $2\,\Omega$ 電阻與 $3\,\Omega$、$5\,\Omega$ 的並聯支路串聯。並聯支路兩端電壓相同，流過 $3\,\Omega$ 電阻的電流 $I2$ 可由歐姆定律 $I=V/R$ 求得。 解題方法 先求 $3\,\Omega$ 與 $5\,\Omega$ 的並聯等效電阻： $$ R{\parallel}=\frac{3	imes5}{3+5}=\frac{15}{8}\,\Omega $$ 全電路的等效電阻為： $$ R{	ext{總}}=2+\frac{15}{8}=\frac{31}{8}\,\Omega $$ 由電池電壓 $4\,	ext{V}$ 求串聯電路的總電流： $$ I1=\frac{4}{31/8}=\frac{32}{31}\,	ext{A} $$ 並聯支路的電壓為：

Question 17

17) For a photoelectric effect experiment, the kinetic energy of the electron emitted from the surface of a metal is measured to be 2 eV. If the work function of the metal is 0.5 eV, what is the wavelength of the light used in this experiment?

Accepted Answer

核心觀念 光電效應遵守愛因斯坦光電方程： $$ hf=\phi+K{\max} $$ 其中： - $hf$：入射光子的能量 - $\phi$：金屬逸出功 - $K{\max}$：逸出電子的最大動能 光子的能量也可表示為： $$ E=hf=\frac{hc}{\lambda} $$ 因此： $$ \frac{hc}{\lambda}=\phi+K{\max} $$ --- 解題方法 題目給出逸出電子動能為 $2\ 	ext{eV}$，金屬逸出功為 $0.5\ 	ext{eV}$，故入射光子的能量為： $$ E{\gamma}=\phi+K{\max} $$ 代入數值： $$ E{\gamma}=0.5+2.0=2.5\ 	ext{eV} $$ 利用常用換算式： $$ hc\approx 1240\ 	ext{eV}\cdot	ext{nm} $$ 光的波長為：

Question 18

18) Based on Bohr's model for a hydrogen atom, what is the emitted energy in eV for an electron moving from an orbital with quantum number n = 2 to another orbital with quantum number n = 1? Note that the limit for the Lyman series corresponds a transition energy of 13.6 eV.

Accepted Answer

核心觀念 氫原子在波耳模型中的能階為 $$ En=-\frac{13.6}{n^2}\ 	ext{eV} $$ 其中 $n$ 是主量子數。電子由較高能階 $ni$ 跃遷至較低能階 $nf$ 時，會放出光子，其能量為 $$ E{	ext{放出}}=E{ni}-E{nf} =13.6\left(\frac{1}{nf^2}-\frac{1}{ni^2}ight)	ext{eV} $$ 題目給出的 Lyman series 極限能量 $13.6\ 	ext{eV}$，正是電子由 $n=\infty$ 跃遷至 $n=1$ 的能量差。 解題方法 本題為電子由 $n=2$ 跃遷至 $n=1$，因此 $$ ni=2,\qquad nf=1 $$ 代入能量差公式： $$ E{	ext{放出}} =13.6\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}ight) $$ $$ =13.6\left(1-\frac14ight) =13.6	imes\frac34 $$ $$ E{	ext{放出}}=10.2\ 	ext{eV} $$ 也可由能階直接計算：

Question 19

19) What is the ratio of the wavelength between a photon (Aph) with energy of 54.4 eV and the de Broglie wavelength (e) for an electron with a kinetic energy of 54.4 eV? i.e. Aph/λe =?

Accepted Answer

光子波長與電子德布羅意波長分別為 $$ \lambda{\mathrm{ph}}=\frac{hc}{E},\qquad \lambdae=\frac{h}{\sqrt{2meK}}。 $$ 因 $E=K=54.4\ \mathrm{eV}$，

Question 20

20-21 題為計算題(每題12分。計算題要寫計算過程,僅列式對給部份分數。)
20) (a) Determine the magnitude of the electric field at the center of the square with four point charges on the
corners as shown below. (b) Determine the electric potential at the center of the square with four point
charges on the corners as shown below. (c) Calculate the total potential energy of this four-charge system.
+q
-q
+q
-9
2α
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 正方形邊長為 $2a$，四個頂點的電荷依序為：上方兩角各 $+q$，下方兩角各 $-q$。正方形中心到每個頂點的距離為 $$ r=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}\,a $$ 使用點電荷的電場與電位公式，以及多電荷系統的總位能公式： $$ E=\frac{1}{4\pi\varepsilon0}\frac{|q|}{r^2}, \qquad V=\frac{1}{4\pi\varepsilon0}\frac{q}{r} $$ $$ U=\sum{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon0}\frac{qiqj}{r{ij}} $$ 令 $k=\frac{1}{4\pi\varepsilon0}$。 解題方法 (a) 中心電場大小 每個頂點電荷在中心產生的電場大小相同： $$ E0=\frac{kq}{(\sqrt{2}a)^2}=\frac{kq}{2a^2} $$ 由左右對稱，水平方向分量互相抵消。上方的正電荷在中心產生向下的電場；下方的負電荷在中心產生的電場也向下。因此四個電場的垂直分量相加： $$ E=4E0\cos45^\circ =4\left(\frac{kq}{2a^2}\right)\frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}\,kq}{a^2} $$ 電場方向向下，即 $-y$ 方向。 (b) 中心電位

Question 21

21. The figure below shows a hypothetical speed distribution probability density P(v) = N(v)/N for a system of N gas particles. P(v) = Av² for 0 ≤ v ≤ vo; P(v) = Avo² for vo ≤ v ≤ 2vo; P(v) = 0 for v 2vo. (a) Express the coefficient A in terms of vo. (b) How many of the particles have speeds between 0 and vo? (c) Calculate the average speed of the particles with vo = 320 m/s. (d) Find the root-mean-square velocity vrms of this gas system with vo = 320 m/s. P(v) Avo 2 V Vo 2Vo Useful information: Gravitational acceleration g = 9.8 m/s² ※ Ideal gas constant R = 8.314 J/mol-K; Boltzmann constant k = 1.38 × 10-23 J/K. ※ Electric permittivity in free space & = 1/(4π×9×109) = 8.85×10-12 C2/N-m² or F/m Magnetic permeability in free space με = 4π × 10-7 T-m/A. Bernoulli's equation: p+pv² +=pv² + p…

Accepted Answer

核心觀念

$P(v)=N(v)/N$ 是速率的機率密度，因此速率落在區間 $[v_1,v_2]$ 的粒子數為

N_{[v_1,v_2]}=N\int_{v_1}^{v_2}P(v)\,dv

整個分布的總機率必須為 $1$ 。平均速率與均方根速率分別由

\langle v\rangle=\int_0^\infty vP(v)\,dv, \qquad v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\int_0^\infty v^2P(v)\,dv}

求得。計算時依分段函數，分別對 $0\le v\le v_0$ 與 $v_0\le v\le 2v_0$ 積分。

解題方法

(a) 求係數 $A$

以總機率為 $1$ 作正規化：

\int_0^{v_0}Av^2\,dv+\int_{v_0}^{2v_0}Av_0^2\,dv=1

\frac{Av_0^3}{3}+Av_0^3=1 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{A=\frac{3}{4v_0^3}}

(b) 速率介於 $0$ 與 $v_0$ 的粒子數

先求這段區間所占的機率：

\int_0^{v_0}Av^2\,dv =\frac{Av_0^3}{3} =\frac14

因此粒子數為總數的四分之一：

\boxed{N_{[0,v_0]}=\frac{N}{4}}

(c) 平均速率

112 年 國立成功大學關鍵材料碩士學位學程《普通物理學（著重電磁學、熱學、近代物理）》

第 1 題

核心觀念

解題方法

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 6 題

核心觀念

解題方法

第 7 題

核心觀念

解題方法

第 8 題

第 9 題

核心觀念

解題方法

第 10 題

核心觀念

解題方法

第 11 題

核心觀念

解題方法

第 12 題

第 13 題

第 14 題

核心觀念

解題方法

第 15 題

核心觀念

解題方法

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題12 分

核心觀念

解題方法

第 21 題

核心觀念

解題方法

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