112 年 國立成功大學化學工程學系碩士班甲組《單元操作與輸送現象》

核心觀念

本題考查平板層流邊界層的 von Kármán 動量積分法，主要使用：

• 邊界條件：壁面無滑移、邊界層外速度恢復為 $v_\infty$。

• 壁面剪應力：

  $\tau_0=\mu\left(\frac{dv_x}{dy}\right)_{y=0}$

• 動量厚度：

  $\theta=\int_0^\delta \frac{v_x}{v_\infty}\left(1-\frac{v_x}{v_\infty}\right)dy$

• 零壓力梯度平板邊界層的動量積分式：

  $\tau_0=\rho v_\infty^2\frac{d\theta}{dx}$

題目所列式子的第二項若直接照字面書寫，量綱不一致；依 von Kármán 平板邊界層的標準形式，以下採用上述動量積分式。

---

解題方法

設速度分布為

$$v_x=\alpha+\beta y+\gamma y^2$$

令無因次座標為

$$\eta=\frac{y}{\delta}$$

邊界條件為：

1. 壁面無滑移：

   $v_x=0\qquad (y=0)$

2. 邊界層外速度連續：

   $v_x=v_\infty\qquad (y=\delta)$

3. 邊界層邊界速度梯度為零：

   $\left(\frac{dv_x}{dy}\right)_{y=\delta}=0$

第三個條件表示邊界層外的速度已趨近均勻流，速度剖面的斜率在 $y=\delta$ 處為零。

---

(a) 求速度分布

由 $v_x(0)=0$ 得

$$\alpha=0$$

速度梯度為

$$\frac{dv_x}{dy}=\beta+2\gamma y$$

由 $\left(dv_x/dy\right)_{y=\delta}=0$ 得

$$\beta+2\gamma\delta=0$$

由 $v_x(\delta)=v_\infty$ 得

$$\beta\delta+\gamma\delta^2=v_\infty$$

聯立可得

$$\gamma=-\frac{v_\infty}{\delta^2}, \qquad \beta=\frac{2v_\infty}{\delta}$$

因此速度分布為

$$\boxed{ v_x=v_\infty\left(2\frac{y}{\delta}-\frac{y^2}{\delta^2}\right) }$$

亦可寫成

$$\boxed{ \frac{v_x}{v_\infty}=2\eta-\eta^2 }$$

---

(b) 推導邊界層厚度 $\delta$

1. 求壁面剪應力

由速度分布：

$$\frac{dv_x}{dy} = v_\infty\left(\frac{2}{\delta}-\frac{2y}{\delta^2}\right)$$

在壁面 $y=0$：

$$\left(\frac{dv_x}{dy}\right)_{y=0} = \frac{2v_\infty}{\delta}$$

所以

$$\tau_0 = \mu\frac{2v_\infty}{\delta}$$

即

$$\boxed{ \tau_0=\frac{2\mu v_\infty}{\delta} }$$

2. 求動量厚度

由

$$\frac{v_x}{v_\infty}=2\eta-\eta^2$$

可得

$$1-\frac{v_x}{v_\infty} = 1-2\eta+\eta^2 = (1-\eta)^2$$

因此

$$\theta = \int_0^\delta (2\eta-\eta^2)(1-2\eta+\eta^2)dy$$

利用 $dy=\delta d\eta$：

$$\theta = \delta\int_0^1 (2\eta-\eta^2)(1-2\eta+\eta^2)d\eta$$

展開積分：

$$(2\eta-\eta^2)(1-2\eta+\eta^2) = 2\eta-5\eta^2+4\eta^3-\eta^4$$

所以

$$\theta = \delta \left[ \eta^2-\frac{5}{3}\eta^3+\eta^4-\frac{1}{5}\eta^5 \right]_0^1$$ $$\theta = \delta\left(1-\frac{5}{3}+1-\frac{1}{5}\right) = \frac{\delta}{6}$$

故

$$\boxed{\theta=\frac{\delta}{6}}$$

3. 代入動量積分式

$$\tau_0=\rho v_\infty^2\frac{d\theta}{dx}$$

核心觀念

本題結合三個觀念：

1. 皮托管測量局部速度

   皮托管中心點的壓差為動壓：
   $\Delta P_{\text{pitot}}=\frac{1}{2}\rho u_{\max}^2$

2. 圓管層流的速度分布

   當雷諾數屬於層流範圍時，圓管內速度分布為拋物線：
   $u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)$

   因此中心最大速度與平均速度的關係為：
   $u_{\max}=2\bar{u}$

3. 孔口流量計的排放係數

   孔口流量計的實際流量可寫成：
   $Q=C_d A_o\sqrt{\frac{2\Delta P}{\rho(1-\beta^4)}}$

   其中
   $\beta=\frac{d_o}{D}$

   $D$ 為管徑，$d_o$ 為孔口直徑，$A_o$ 為孔口面積。

以下將皮托管的 $2100\ \text{Pa}$ 視為皮托管所測得的停滯壓與靜壓之間的壓差，孔口流量計的 $450\ \text{Pa}$ 視為孔口前後壓差。

---

(a) 中心位置的測得速度

已知：

$$\rho=1260\ \text{kg/m}^3$$ $$\Delta P_{\text{pitot}}=2100\ \text{Pa}$$

由皮托管公式：

$$2100=\frac{1}{2}(1260)u_{\max}^2$$

因此：

$$u_{\max} =\sqrt{\frac{2(2100)}{1260}} =\sqrt{\frac{10}{3}} =1.83\ \text{m/s}$$

所以中心位置 $r=0$ 的速度為：

$$\boxed{u(0)=1.83\ \text{m/s}}$$

---

(b) 平均速度、雷諾數與質量流率

1. 平均速度

先判斷流況。圓管內若為層流，中心速度為平均速度的兩倍，因此：

$$\bar{u}=\frac{u_{\max}}{2}$$

代入：

$$\bar{u}=\frac{1.83}{2} =0.913\ \text{m/s}$$

---

2. 雷諾數

黏度為：

$$\mu=50\ \text{mN}\cdot\text{s/m}^2 =0.050\ \text{Pa}\cdot\text{s}$$

管徑：

$$D=40\ \text{mm}=0.040\ \text{m}$$

雷諾數定義為：

$$Re=\frac{\rho\bar{u}D}{\mu}$$

所以：

$$Re =\frac{(1260)(0.913)(0.040)}{0.050} \approx 920$$

由於：

$$Re\approx 920<2100$$

確定為層流，先前使用 $u_{\max}=2\bar{u}$ 的關係自洽。

---

3. 質量流率

管截面積為：

$$A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.040)^2}{4} =1.257\times10^{-3}\ \text{m}^2$$

體積流率：

$$Q=A\bar{u} =(1.257\times10^{-3})(0.913) =1.147\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$$

質量流率：

$$\dot{m}=\rho Q$$

因此：

$$\dot{m} =(1260)(1.147\times10^{-3}) \approx1.45\ \text{kg/s}$$

---

(c) 孔口流量計的排放係數與故障判斷

本題考驗對流體力學邊界層和傳熱學邊界層厚度比較與判斷的理解。

核心觀念：流體邊界層、熱邊界層、普朗特數 (Pr)。

流體邊界層 (Hydrodynamic Boundary Layer, $\delta$) 是指由於黏滯力作用，速度從零 (在壁面處) 變化到自由流速度 $v_\infty$ 的區域。
熱邊界層 (Thermal Boundary Layer, $\delta_t$) 是指由於熱傳導作用，溫度從壁面溫度 $T_w$ 變化到自由流溫度 $T_\infty$ 的區域。

這兩個邊界層的厚度關係主要取決於流體的普朗特數 (Prandtl number, Pr)。
普朗特數定義為：
$Pr = \frac{\text{momentum diffusivity}}{\text{thermal diffusivity}} = \frac{\nu}{\alpha}$
其中 $\nu$ 是運動黏滯係數 ($\nu = \mu/\rho$)，$\alpha$ 是熱擴散係數 ($\alpha = k / (\rho c_p)$)。

1. 當 $Pr < 1$ 時：
   表示動量擴散比熱擴散快。
   例如：氣體 (如空氣、氦氣) 的 Pr 值通常小於 1。
   此時，動量在流體中傳播得比熱量快，因此流體邊界層會比熱邊界層更厚。
   $\delta > \delta_t$。

核心觀念

本題考查：

• 集總參數法（lumped-parameter analysis）
• 畢歐數（Biot number）判斷
• 球形熱電偶的非穩態能量平衡
• 球形固體的暫態熱傳導方程
• 穩態時對流與輻射熱傳的平衡

熱電偶珠為直徑 $2\ \mathrm{mm}$ 的球體，因此

$$R=1\times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$

球體的體積與表面積分別為

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3,\qquad A=4\pi R^2$$

其特徵長度為

$$L_c=\frac{V}{A}=\frac{R}{3}=\frac{d}{6} =3.333\times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

---

(a) 集總參數法是否適用？

解題方法

以畢歐數判斷：

$$\mathrm{Bi}=\frac{hL_c}{\kappa}$$

代入

$$\mathrm{Bi} =\frac{(400)(3.333\times10^{-4})}{100} =1.33\times10^{-3}$$

因為

$$\mathrm{Bi}\ll 0.1$$

表示熱電偶珠內部的導熱熱阻遠小於表面对流熱阻，珠內溫度幾乎均勻。因此可以使用集總參數法。

結論

可以使用集總參數分析，並將熱電偶珠視為具有單一均勻溫度 $T(t)$ 的物體。當時間足夠長時，熱電偶溫度會趨近於空氣溫度 $125^\circ\mathrm{C}$，因此可用來測量空氣溫度。

---

(b) 推導熱電偶珠溫度與時間的關係

解題方法

忽略輻射時，熱電偶珠吸收的淨熱量等於表面对流傳入的熱量：

$$\rho V C\frac{dT}{dt}=hA(T_\infty-T)$$

其中空氣溫度為

$$T_\infty=125^\circ\mathrm{C}$$

整理得

$$\frac{dT}{dt} =\frac{hA}{\rho VC}(T_\infty-T)$$

分離變數：

$$\frac{dT}{T_\infty-T} =\frac{hA}{\rho VC}\,dt$$

由初始條件 $T(0)=T_i$ 積分：

$$\ln\left(\frac{T_\infty-T}{T_\infty-T_i}\right) =-\frac{hA}{\rho VC}t$$

因此

$$\frac{T_\infty-T}{T_\infty-T_i} =\exp\left(-\frac{hA}{\rho VC}t\right)$$

熱電偶的時間常數為

$$\tau=\frac{\rho VC}{hA} =\frac{\rho C L_c}{h}$$

代入數值：

$$\tau =\frac{(10000)(300)(3.333\times10^{-4})}{400} =2.5\ \mathrm{s}$$

所以溫度分布為

$$T(t)=T_\infty+(T_i-T_\infty)e^{-t/\tau}$$

代入 $T_i=25^\circ\mathrm{C}$、$T_\infty=125^\circ\mathrm{C}$：

$$\boxed{T(t)=125-100e^{-t/2.5}}$$

其中 $T$ 的單位為 $^\circ\mathrm{C}$，$t$ 的單位為秒。

---

(c) 到達 $123^\circ\mathrm{C}$ 所需時間

將 $T=123^\circ\mathrm{C}$ 代入：

$$123=125-100e^{-t/2.5}$$

因此

$$100e^{-t/2.5}=2$$ $$e^{-t/2.5}=0.02$$

取自然對數：

$$-\frac{t}{2.5}=\ln(0.02)=-\ln 50$$

故

$$t=2.5\ln 50$$ $$\boxed{t=9.78\ \mathrm{s}}$$

---

(d) $\kappa=1\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$ 時的控制方程與條件

解題方法

此時畢歐數為

$$\mathrm{Bi} =\frac{(400)(3.333\times10^{-4})}{1} =0.133$$

已不符合 $\mathrm{Bi}<0.1$ 的集總參數條件，因此珠內會產生明顯溫度梯度，必須使用球座標下的暫態導熱方程。

令 $r$ 為球心至球內任一點的徑向距離，則控制方程為

核心觀念

本題考查氣—液兩相間的膜傳質，重點包括：

• 由平衡資料判斷傳質方向。
• 由亨利定律求平衡常數。
• 氣膜與液膜串聯的總傳質係數。
• 以總傳質係數求傳質通量。
• 利用氣膜與液膜的傳質速率相等，求界面組成。

平衡資料呈線性關係：

$$Y_A=mX_A$$

由表中任一組資料可得：

$$m=\frac{0.100}{0.00250}=40$$

因此平衡線為：

$$y_A^*=40x_A$$

---

（a）判斷製程

液相主體組成為：

$$x_A=0.006$$

與液相平衡的氣相組成為：

$$y_A^*=40(0.006)=0.240$$

實際氣相組成為：

$$y_A=0.100$$

因為：

$$y_A^*>y_A$$

表示液相中的 methylene chloride 濃度高於與氣相平衡時所需的濃度，因此溶質由液相傳向氣相。

此製程為：

$$\boxed{\text{液相脫除（stripping 或 desorption）}}$$

---

（b）求亨利定律常數 $H$

亨利定律定義為：

$$p_A=HC_A$$

由平衡表選取：

$$y_A=0.100,\qquad x_A=0.00250$$

氣相分壓為：

$$p_A=y_AP=(0.100)(1.80)=0.180\ \text{atm}$$

水的莫耳濃度近似為：

$$C_{\mathrm{H_2O}} =\frac{\rho_L}{M_{\mathrm{H_2O}}} =\frac{992.3}{18.015} =55.08\ \text{kmol/m}^3$$

稀溶液下：

$$C_A\approx x_A C_{\mathrm{H_2O}}$$

因此：

$$C_A=(0.00250)(55.08) =0.1377\ \text{kmol/m}^3$$

所以：

$$H=\frac{p_A}{C_A} =\frac{0.180}{0.1377} =1.307\ \text{atm}\cdot\text{m}^3/\text{kmol}$$

換算成題目指定的壓力單位：

$$H=(1.307)\frac{101325}{1000} =132.4\ \text{Pa}\cdot\text{m}^3/\text{mol}$$

因此：

$$\boxed{H=132.4\ \text{Pa}\cdot\text{m}^3/\text{mol}}$$

亦可表示為：

$$\boxed{H=1.307\ \text{atm}\cdot\text{m}^3/\text{kmol}}$$

---

（c）求總液相傳質係數 $K_L$

以液相莫耳分率為基準的總傳質係數定義為：

$$N_A=K_L(x_A-x_A^*)$$

其中 $x_A^*$ 是與氣相主體濃度 $y_A$ 平衡的液相組成。

兩膜模型中：

$$N_A=k_y(y_{A,i}-y_A)$$ $$N_A=k_x(x_A-x_{A,i})$$

且界面達到平衡：

$$y_{A,i}=mx_{A,i}$$

液膜與氣膜阻力串聯，因此：

$$\frac{1}{K_L} = \frac{1}{k_x} + \frac{1}{mk_y}$$

代入：

$$\frac{1}{K_L} = \frac{1}{0.150} + \frac{1}{(40)(0.008)}$$ $$\frac{1}{K_L} =6.667+3.125 =9.792$$

所以：

$$\boxed{K_L=0.1021\ \text{gmol}/(\text{m}^2\cdot\text{s})}$$

此 $K_L$ 是以液相莫耳分率差為推動力的總傳質係數。

相對應的氣相總傳質係數為：

$$\frac{1}{K_y} = \frac{1}{k_y} + \frac{m}{k_x}$$ $$K_y=0.002553\ \text{gmol}/(\text{m}^2\cdot\text{s})$$

---

本題考驗精餾塔操作中的異常現象及其原因與解決對策。

核心觀念：精餾塔操作、液體積累與溢流 (accumulation and flooding)、塔頂溫度下降、氣液平衡、傳質效率。

精餾塔操作中出現的兩種異常現象：
(i) 液體積累與溢流 (Accumulation and Flooding)：
原因：

1. 氣體流速過高 (High Vapor Velocity)： 當塔內氣體流速過高時，會產生向上的 drag force，使得液體難以下降，堆積在塔盤上，導致液體體積積累。如果氣體流速持續增加，可能導致液體被氣體「挾帶」 (entrainment)，無法順利穿過氣液接觸介面，甚至堵塞氣體通道，造成溢流 (flooding)。
2. 塔盤設計或堵塞 (Tray Design or Clogging)： 塔盤上的孔洞或泡罩 (bubble cap) 被液體或雜質堵塞，阻礙氣體通過，造成壓力升高，液體在塔盤上積累。
3. 回流比過高 (Excessive Reflux Ratio)： 過高的回流比會增加塔盤上的液體負荷，如果塔盤設計無法處理這麼大的液體量，也會導致積累。

解決對策：

1. 降低氣體流速： 減小塔底加熱器的蒸汽產生量，或降低塔頂冷凝器的冷卻強度，從而降低塔內蒸汽的總量和流速。
2. 檢查與清潔塔盤： 停塔檢查塔盤是否有堵塞，並進行清潔。
3. 調整回流比： 降低回流比，減少塔盤上的液體負荷。
4. 檢查塔盤設計： 確保塔盤的設計能夠處理預期的氣液負荷。

(ii) 塔頂溫度逐漸下降 (Gradual Decrease in Top Plate Temperature)：
原因：

1. 進料組成變化 (Change in Feed Composition)： 如果進料中易揮發組分 (lighter component) 的比例增加，或者難揮發組分 (heavier component) 的比例減少，會導致塔頂蒸汽中易揮發組分的 mole fraction 增加，更容易冷凝，從而降低塔頂溫度。

核心觀念

本題考查三成分液－液萃取的三角相圖分析，使用：

1. 混合總組成點
2. 兩液相區邊界（binodal curve）
3. 平衡聯絡線（tie line）
4. 槓桿定則（lever rule）

三角形三個頂點分別代表純醋酸、純水與純異丙醚。題目中的原料組成為：

$$F=(50\%,10\%,40\%)$$

其中順序採「醋酸、水、異丙醚」。

---

解題方法

原料取 $100\ \text{g}$，因此含有：

• 醋酸：$50\ \text{g}$
• 水：$10\ \text{g}$
• 異丙醚：$40\ \text{g}$

加入純水 $S$ 克後，異丙醚與醋酸的質量比保持為：

$$\frac{m_{\text{醋酸}}}{m_{\text{異丙醚}}} =\frac{50}{40} =\frac{5}{4}$$

因此，混合點會沿著「原料點 $F$ 與純水頂點」的直線移動。

---

(a) 最少所需水量

當混合點剛好進入兩液相區邊界時，所需水量達到最小值。由圖上讀得此臨界混合點約為：

$$(\text{醋酸},\text{水},\text{異丙醚}) \approx(42.8\%,22.8\%,34.4\%)$$

設加入水量為 $S$，則醋酸的質量分率為：

$$\frac{50}{100+S}=0.428$$

解得：

$$100+S=\frac{50}{0.428}\approx116.8$$

因此：

$$S_{\min}\approx116.8-100 \approx16.8\ \text{g}$$

所以每 $100\ \text{g}$ 原料至少需要加入：

$$\boxed{S_{\min}\approx17\ \text{g 水}}$$

---

(b) 加入 $100\ \text{g}$ 水後的兩相組成

加入水量為 $100\ \text{g}$ 時，總混合物質量為：

$$M=100+100=200\ \text{g}$$

總組成為：

$$\begin{aligned} \text{醋酸}&=\frac{50}{200}=25\%\\ \text{水}&=\frac{10+100}{200}=55\%\\ \text{異丙醚}&=\frac{40}{200}=20\% \end{aligned}$$

因此混合點為：

$$M=(25\%,55\%,20\%)$$

通過此點作平衡聯絡線，由圖讀得兩端組成約為：

萃取相（extract phase）

靠近純水頂點的一端：

$$E\approx(27\%,73\%,0\%)$$

即：