114 年 國立成功大學化學工程學系碩士班甲組《單元操作與輸送現象》

核心觀念

球體達到終端速度時，重力扣除浮力後的淨向下力，恰好等於流體阻力：

$$(\rho_s-\rho_f)gV = \frac{1}{2}C_D\rho_f v_t^2 A$$

球體的體積與投影面積分別為

$$V=\frac{\pi d^3}{6},\qquad A=\frac{\pi d^2}{4}$$

其中 Reynolds number 為

$$Re=\frac{\rho_f v_t d}{\mu}$$

由於 $C_D$ 會隨 $Re$ 改變，必須配合題目所附的球體阻力係數圖讀值。

解題方法

已知

$$\rho_s=4500\ \mathrm{kg/m^3},\quad \rho_f=1260\ \mathrm{kg/m^3}$$ $$d=0.041\ \mathrm{m},\quad \mu=1.46\ \mathrm{Pa\cdot s}$$

將力平衡式整理，並以 $Re=\rho_f v_t d/\mu$ 代入，可得

$$C_DRe^2 = \frac{4}{3} \frac{(\rho_s-\rho_f)\rho_f gd^3}{\mu^2}$$

代入數值：

核心觀念

本題考查管內流動的動能修正係數（kinetic energy correction factor）$\alpha$。由於管內速度分布不均勻，實際動能通量與以平均速度計算的動能通量不同，因此定義

$$\alpha = \frac{\displaystyle \int_A v^3\,dA} {A V_{avg}^3}$$

其中：

• $v$：截面上某位置的局部速度
• $V_{avg}$：截面平均速度
• $A$：管截面積

題目給定 Prandtl power law，且 $n=6$。光滑圓管內的速度分布可寫為

$$\frac{v}{v_{max}} = \left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/n} = \left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/6}$$

其中 $R$ 為管半徑。

---

解題方法

因為圓管截面上的環狀面積元素為

$$dA=2\pi r\,dr$$

且

$$A=\pi R^2$$

因此動能修正係數為

$$\alpha = \frac{\displaystyle\int_0^R v^3(2\pi r\,dr)} {\pi R^2 V_{avg}^3}$$

代入速度分布：

$$v^3 = v_{max}^3 \left(1-\frac{r}{R}\right)^{3/6} = v_{max}^3 \left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/2}$$

令

$$x=\frac{r}{R},\qquad r=Rx,\qquad dr=R\,dx$$

則

核心觀念

本題考查內部流動之混合平均溫度、壁面熱通量、對流熱傳係數、努塞爾數，以及管內流體與壁面間的能量平衡。

重要定義如下：

• 體積流率：

  $Q=\int_A u\,dA$

• 混合平均溫度：

  $T_b=\frac{\int_A uT\,dA}{\int_Au\,dA}$

• 壁面熱通量：

  $q''=-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R_o}$

• 對流熱傳係數：

  $h=\frac{|q''|}{|T_s-T_b|}$

• 努塞爾數：

  $Nu_D=\frac{hD}{k},\qquad D=2R_o$

其中 $k$ 為流體熱導率。

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(a) 流體平均溫度

由軸對稱性，面積微分為

$dA=2\pi r\,dr$

因此混合平均溫度為

$$T_b=\frac{\displaystyle\int_0^{R_o}u(r)T(r)\,2\pi r\,dr} {\displaystyle\int_0^{R_o}u(r)\,2\pi r\,dr}$$

令

$x=\frac{r}{R_o},\qquad r=R_ox,\qquad dr=R_odx$

速度分布為

$u=c(1-x^2)$

溫度分布為

$T=T_s+m(1-x^4)$

先計算分母：

$$\begin{aligned} \int_0^{R_o}u\,2\pi r\,dr &=2\pi cR_o^2\int_0^1(1-x^2)x\,dx\\ &=2\pi cR_o^2\left(\frac12-\frac14\right)\\ &=\frac{\pi cR_o^2}{2} \end{aligned}$$

再計算含溫度的部分：

$$\begin{aligned} \int_0^{R_o}u(T-T_s)\,2\pi r\,dr &=2\pi cmR_o^2\int_0^1(1-x^2)(1-x^4)x\,dx\\ &=2\pi cmR_o^2\int_0^1(x-x^3-x^5+x^7)\,dx\\ &=2\pi cmR_o^2\left(\frac12-\frac14-\frac16+\frac18\right)\\ &=\frac{5\pi cmR_o^2}{12} \end{aligned}$$

所以

$$T_b-T_s= \frac{\frac{5\pi cmR_o^2}{12}} {\frac{\pi cR_o^2}{2}} =\frac{5m}{6}$$

因此

$\boxed{T_b=T_s+\frac{5m}{6}}$

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(b) 壁面附近的熱傳係數

溫度梯度為

$$\frac{dT}{dr} =m\frac{d}{dr}\left(1-\frac{r^4}{R_o^4}\right) =-\frac{4mr^3}{R_o^4}$$

在內壁 $r=R_o$ 處：

$$\left.\frac{dT}{dr}\right|_{R_o} =-\frac{4m}{R_o}$$

因此壁面熱通量的大小為

$$|q''|=k\left|\left.\frac{dT}{dr}\right|_{R_o}\right| =\frac{4km}{R_o}$$

而

$$|T_s-T_b| =\left|T_s-\left(T_s+\frac{5m}{6}\right)\right| =\frac{5m}{6}$$

故

$$h=\frac{4km/R_o}{5m/6}$$

得到

$\boxed{h=\frac{24k}{5R_o}}$

若 $m>0$，題目給定的溫度分布代表管中心溫度高於壁面，熱量由流體傳向壁面；若是壁面加熱流體，$m$ 的符號會相反，但 $h$ 的大小仍為上述結果。

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(c) Nusselt number

管徑為

$D=2R_o$

因此

$$Nu_D=\frac{hD}{k} =\frac{24k}{5R_o}\frac{2R_o}{k}$$

所以

$\boxed{Nu_D=\frac{48}{5}=9.6}$

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(d) 出口中心溫度 $T_z$

以下採用定常、充分發展、物性為常數，且壁面溫度 $T_s$ 沿管長維持不變的假設。

由速度分布可得體積流率：

$$\begin{aligned} Q &=\int_Au\,dA\\ &=2\pi cR_o^2\int_0^1(1-x^2)x\,dx\\ &=\frac{\pi cR_o^2}{2} \end{aligned}$$

質量流率為

$$\dot m_f=\rho Q =\frac{\rho\pi cR_o^2}{2}$$

由前面結果：

$$T_b-T_s=\frac{5m}{6}$$

壁面熱通量大小為

$$|q''|=\frac{4km}{R_o}$$

對長度 $dz$ 的管段作能量平衡。管壁周長為 $2\pi R_o$，故

此題考驗對多相反應與擴散耦合問題的質量傳輸分析，特別是在多孔催化劑中的質量傳輸。

系統描述：

• 區域 I： 多孔催化劑，球殼狀，半徑範圍 $R_1 \le r \le R_2$。
• 區域 II： 非多孔催化劑，位於 $r < R_1$。
• 流體： 在區域 I 外圍流動，濃度為 $C_{A0}$。
• 反應：
  • 區域 I 內：液相一級反應 $A \to B$，速率常數 $k_1$。
  • 區域 II 表面（$r=R_1$）：表面反應 $A \to C$，速率常數 $k_2$。
• 擴散： $A$ 在區域 I 中以擴散係數 $D_A$ 擴散。
• 特殊條件：
  • $A$ 到區域 II 的通量是擴散限制的。
  • $B$ 無法進入區域 II。

(a) State assumptions that appropriately describe the system for mass transfer in region I.

為了描述區域 I 中的質量傳輸，我們需要建立一個數學模型。以下是常見的假設：

1. 穩態過程 (Steady State)： 系統的濃度分佈不隨時間變化。
2. 單向擴散 (Unidirectional Diffusion)： 由於系統的對稱性（假設是球形），質量傳輸主要沿徑向進行，即只有 $N_{Ar}$ 分量，且不隨角度 $\theta, \phi$ 變化。
3. 等摩爾擴散或稀薄系統 (Equimolar Counterdiffusion or Dilute System)：
   • 如果考慮等摩爾反擴散，則 $N_{Ar} = -D_A \frac{dC_A}{dr}$。
   • 如果假設是稀薄系統，則可以忽略流體運動帶來的對流效應，且總摩爾通量近似等於溶質的擴散通量，$N_A \approx N_{Ar}$。
   • 更一般的情況下，需要考慮總摩爾通量 $N_A = -D_A \frac{dC_A}{dr} + C_A v_z$。但在此問題的設定下，假設流體流動的影響（如果有的話）被包含在擴散係數或通量方程的修正中，或者系統可以被視為稀薄。
4. 均勻多孔介質 (Homogeneous Porous Medium)： 區域 I 的多孔介質是均勻的，其擴散係數 $D_A$ 在整個區域內是常數（或隨 $r$ 變化但已知）。
5. 無滑移邊界條件 (No-slip Boundary Condition)： 在多孔介質的固體骨架表面，流體速度為零。這意味著擴散是通過孔隙中的流體進行的。
6. 反應速率 (Reaction Rate)：
   • 在區域 I 內，生成 B 的反應是液相一級反應 $A \to B$，其體積反應速率為 $r_B = k_1 C_A$ (mol/volume of solution/time)。
   • 在區域 II 表面 ($r=R_1$)，A 的消耗（轉化為 C）是表面反應，其速率通常表示為表面速率常數 $k_s$ 或質量傳遞係數。題目說「通量是擴散限制的」，這意味著在 $r=R_1$ 處，A 的濃度很低，表面反應速率由擴散決定。
7. 反應物 B 的特性 (Species B Characteristics)： B 在區域 II 中是不可滲透的，這意味著在 $r=R_1$ 處，B 的通量為零。

具體針對質量傳輸方程的假設：

• 連續性方程 (Continuity Equation)： 對於物種 A，質量守恆要求：$\nabla \cdot N_A + R_A = 0$，其中 $R_A$ 是 A 的淨生成速率。
• Fick's Law： 總摩爾通量 $N_A$ 與濃度梯度和流體速度的關係。
• 反應速率表達式： $R_A = -k_1 C_A$ (在區域 I 內部)。

針對區域 I 的關鍵假設：

• 穩態、徑向擴散。
• 流體速度對擴散的影響可以通過有效擴散係數 $D_{eff}$ 來考慮，或者假設為稀薄系統。
• 反應速率 $r_A = -k_1 C_A$ 體積反應。

【答案】

1. 穩態過程。
2. 質量傳輸主要沿徑向進行（球坐標下的徑向擴散）。
3. 稀薄系統假設，總摩爾通量近似為擴散通量，即 $N_A \approx N_{Ar} = -D_A \frac{dC_A}{dr}$ (此處 $D_A$ 可能需要被有效擴散係數 $D_{eff}$ 取代以考慮多孔介質)。
4. 多孔介質均勻，擴散係數 $D_A$ (或 $D_{eff}$) 為常數。
5. 區域 I 內為體積反應 $A \to B$ ($R_A = -k_1 C_A$)。
6. 物種 B 在區域 II 表面 ($r=R_1$) 的通量為零。
7. 區域 II 表面 ($r=R_1$) 的反應是擴散限制的。

(b) Develop the differential form of Fick's flux equation for species A in region I without the dilute system assumption. Subsequently, simplify this equation for a dilute system. State all additional assumptions if necessary.

1. 無稀薄系統假設下的 Fick's Law：
在非稀薄系統中，總摩爾通量 $N_A$ 是由擴散和對流組成的。對於多孔介質，通常使用有效擴散係數 $D_{eff}$ 來代替 $D_A$。
在球坐標下，對於穩態、徑向擴散，連續性方程為：
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 N_{Ar}) + R_A = 0$
其中 $N_{Ar}$ 是物種 A 的徑向總摩爾通量。
$R_A$ 是 A 的淨生成速率 (體積反應)。

Fick's Law 的一般形式（考慮對流）：
$N_{Ar} = -D_{eff} \frac{dC_A}{dr} + C_A v_r$
其中 $v_r$ 是流體在多孔介質中的平均徑向速度。

將 $N_{Ar}$ 代入連續性方程：
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left(r^2 \left(-D_{eff} \frac{dC_A}{dr} + C_A v_r\right)\right) + R_A = 0$
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left(-r^2 D_{eff} \frac{dC_A}{dr} + r^2 C_A v_r\right) + R_A = 0$
$\frac{d}{dr} \left(-D_{eff} \frac{dC_A}{dr}\right) + \frac{d}{dr} (C_A v_r) + R_A = 0$
$-D_{eff} \frac{d^2C_A}{dr^2} - \frac{dD_{eff}}{dr} \frac{dC_A}{dr} + \frac{dC_A}{dr} v_r + C_A \frac{dv_r}{dr} + R_A = 0$

2. 簡化為稀薄系統 (Dilute System)：
稀薄系統假設意味著：

• 溶質 A 的濃度遠小於總體積濃度（例如 $C_A \ll C_{total}$）。
• 溶質的運動對總體積流速的貢獻可以忽略，即 $v_r \approx 0$。
• 或者，如果考慮流體流動，則可以假設其對擴散的影響被包含在 $D_{eff}$ 中，並且可以忽略由 $C_A v_r$ 項引起的對流效應。
• 通常，稀薄系統假設也意味著 $R_A$ 可以直接使用 $R_A = -k_1 C_A$。

在稀薄系統假設下，$v_r \approx 0$ 且 $\frac{dv_r}{dr} \approx 0$。
如果 $D_{eff}$ 也是常數（均勻多孔介質），則 $\frac{dD_{eff}}{dr} = 0$。
方程簡化為：
$-D_{eff} \frac{d^2C_A}{dr^2} + R_A = 0$
代入反應項 $R_A = -k_1 C_A$：
$-D_{eff} \frac{d^2C_A}{dr^2} - k_1 C_A = 0$
$D_{eff} \frac{d^2C_A}{dr^2} + k_1 C_A = 0$
或者
$\frac{d^2C_A}{dr^2} + \frac{k_1}{D_{eff}} C_A = 0$
這個方程描述了在區域 I 中，物種 A 的濃度分佈。

額外假設：

• $D_{eff}$ 是常數（均勻多孔介質）。
• $k_1$ 是常數（一級反應）。

總結：
無稀薄系統假設下的微分方程：
$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left(r^2 \left(-D_{eff} \frac{dC_A}{dr} + C_A v_r\right)\right) - k_1 C_A = 0$

核心觀念

本題考查逆流填充塔吸收的：

• 操作線（operating line）
• 最小液氣比
• 平衡線與推動力
• 氣相總傳質單位數 $N_{OG}$
• 對數平均推動力（logarithmic mean driving force, LMTD）

設：

• $y$：氣相中溶質 A 的莫耳分率
• $x$：液相中溶質 A 的莫耳分率
• $G$：惰性氣體莫耳流率
• $L$：不含溶質的溶劑莫耳流率
• 稀溶液且總莫耳數變化可忽略
• 平衡關係為線性式

$$y^*=mx$$

其中 $m$ 為平衡線斜率。

氣體進塔濃度為

$$y_1=0.01$$

去除率為 $97\%$，因此氣體離塔濃度為

$$y_2=0.01(1-0.97)=0.0003$$

溶劑進塔不含 A，因此

$$x_2=0$$

下標 1 表示塔底氣體入口、液體出口；下標 2 表示塔頂氣體出口、液體入口。

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解題方法

先由整體溶質衡算建立操作線，再利用 $L=1.25L_{\min}$ 求出實際操作線位置，最後計算塔內氣相傳質推動力與 $N_{OG}$。

（a）操作線方程式

在塔內任一截面至塔頂進行溶質 A 衡算：

$$G(y-y_2)=L(x-x_2)$$

由於 $x_2=0$、$y_2=0.0003$，可得

$$G(y-0.0003)=Lx$$

因此操作線為

$$\boxed{y=0.0003+\frac{L}{G}x}$$

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求最小液體流率

在最小液體流率下，塔底形成夾點，氣體入口濃度 $y_1$ 與平衡濃度相等：

$$y_1=y_1^*=mx_{1,\min}$$

故

$$x_{1,\min}=\frac{y_1}{m}$$

塔底整體衡算為

$$G(y_1-y_2)=L_{\min}x_{1,\min}$$

代入 $x_{1,\min}=y_1/m$：

$$G(y_1-y_2) =L_{\min}\frac{y_1}{m}$$

因此

$$\frac{L_{\min}}{G} =m\frac{y_1-y_2}{y_1}$$

由

$$\frac{y_1-y_2}{y_1} =\frac{0.01-0.0003}{0.01} =0.97$$

得到

$$\boxed{\frac{L_{\min}}{G}=0.97m}$$

實際液體流率為最小流率的 $1.25$ 倍：

$$L=1.25L_{\min}$$

所以

$$\frac{L}{G}=1.25(0.97m)=1.2125m$$

實際操作線可寫成

$$\boxed{y=0.0003+1.2125mx}$$

由此也可求得塔底液相濃度。整體衡算給出

$$Lx_1=G(y_1-y_2)$$

因此

$$x_1=\frac{y_1-y_2}{L/G} =\frac{0.0097}{1.2125m} =\frac{0.008}{m}$$

塔底平衡氣相濃度為

$$y_1^*=mx_1=0.008$$

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（b）傳質單位數估算

氣相總傳質單位數定義為

$$N_{OG} =\int_{y_2}^{y_1}\frac{dy}{y-y^*}$$

其中氣相傳質推動力為

$$\Delta y=y-y^*$$

核心觀念

乾燥速率定義為單位乾燥面積的蒸發速率：

$$R=-\frac{m_s}{A}\frac{dX}{dt}$$

其中：

• $m_s$：乾燥固體質量
• $A$：乾燥面積
• $X$：自由含水量
• $t$：乾燥時間

乾燥過程通常分為：

1. 恆速乾燥期：$R=R_c$，乾燥速率維持常數。
2. 降速乾燥期：$R$ 隨自由含水量降低而下降。

本題降速乾燥期假設：

$$R=aX$$

其中 $a$ 為比例常數。

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(a) 恆速乾燥期的乾燥時間

在恆速乾燥期，乾燥速率為常數 $R_c$：

$$R_c=-\frac{m_s}{A}\frac{dX}{dt}$$

整理得：

$$dt=-\frac{m_s}{A R_c}\,dX$$

材料由初始自由含水量 $X_i$ 乾燥至最終含水量 $X_2$，因此：

$$t_r=\int_0^{t_r}dt =-\frac{m_s}{A R_c}\int_{X_i}^{X_2}dX$$

所以：

$$\boxed{ t_r=\frac{m_s}{A R_c}(X_i-X_2) }$$

若恆速乾燥期終點為臨界含水量 $X_c$，則：

$$\boxed{ t_c=\frac{m_s}{A R_c}(X_i-X_c) }$$

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(b) 包含降速乾燥期的總乾燥時間

假設：

$$X_i>X_c>X_2$$

總乾燥時間為恆速乾燥期與降速乾燥期之和：

$$t_r=t_c+t_f$$

1. 恆速乾燥期

由 $X_i$ 降低至 $X_c$：

$$t_c=\frac{m_s}{A R_c}(X_i-X_c)$$

2. 降速乾燥期

降速期乾燥速率為：

$$R=aX$$

代入乾燥速率定義：

$$aX=-\frac{m_s}{A}\frac{dX}{dt}$$

整理：

$$dt=-\frac{m_s}{Aa}\frac{dX}{X}$$

由 $X_c$ 乾燥至 $X_2$：

$$t_f=-\frac{m_s}{Aa}\int_{X_c}^{X_2}\frac{dX}{X}$$

因此：

$$t_f=\frac{m_s}{Aa}\ln\left(\frac{X_c}{X_2}\right)$$

在臨界點，兩段乾燥速率必須連續，因此：

$$R_c=aX_c$$

故：

$$\frac{1}{a}=\frac{X_c}{R_c}$$

將恆速期與降速期合併：

$$t_r= \frac{m_s}{A R_c}(X_i-X_c) + \frac{m_s}{Aa}\ln\left(\frac{X_c}{X_2}\right)$$

也可寫成：

$$\boxed{ t_r= \frac{m_s}{A R_c} \left[ (X_i-X_c) + X_c\ln\left(\frac{X_c}{X_2}\right) \right] }$$

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(c) 數值計算

1. 先換算自由含水量

題目給出的含水量需扣除平衡含水量 $X_e=4\%$，才能得到自由含水量：

$$X=x-X_e$$

已知：