113 年 國立成功大學化學工程學系碩士班甲組《單元操作與輸送現象》

核心觀念

速度勢函數 $\Phi(x,y)$ 與速度分量的關係為

$$u=\frac{\partial \Phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial \Phi}{\partial y}.$$

二維不可壓縮流的連續方程式為

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.$$

若流場滿足不可壓縮條件，則可定義流函數 $\psi$：

$$u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.$$

流場的旋轉性則由旋度判斷：

$$\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.$$

若 $\omega_z=0$，則為無旋流。

---

解題方法：先由速度勢求速度場

題目給定

$$\Phi(x,y) = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{L^2} - \frac{3xy^2}{L^2} \right).$$

整理為

$$\Phi(x,y)=\frac{x^2}{2L^2}-\frac{3xy^2}{2L^2}.$$

因此

$$u=\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{x}{L^2}-\frac{3y^2}{2L^2},$$

以及

$$v=\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\frac{3xy}{L^2}.$$

---

(a) 求流函數

若流函數存在，必須同時滿足

$$\frac{\partial \psi}{\partial y}=u = \frac{x}{L^2}-\frac{3y^2}{2L^2},$$ $$-\frac{\partial \psi}{\partial x}=v = -\frac{3xy}{L^2}.$$

先由第一式對 $y$ 積分：

$$\psi = \int \left( \frac{x}{L^2}-\frac{3y^2}{2L^2} \right)\,dy = \frac{xy}{L^2}-\frac{y^3}{2L^2}+f(x),$$

其中 $f(x)$ 是僅依賴 $x$ 的函數。

再對 $x$ 微分：

$$\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{y}{L^2}+f'(x).$$

因此由 $v=-\psi_x$ 可得

$$v = -\frac{y}{L^2}-f'(x).$$

但題目由速度勢函數得到的速度分量為

$$v=-\frac{3xy}{L^2},$$

右式含有 $xy$ 項，無法藉由只依賴 $x$ 的 $f'(x)$ 配合。因此不存在能同時符合兩個速度分量的二維流函數。

這是因為該速度場並不滿足不可壓縮連續方程式，故不能定義標準的二維流函數。

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(b) 檢查連續方程式

分別計算速度分量的偏導數：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{L^2},$$ $$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{3x}{L^2}.$$

所以

核心觀念

本題考查垂直移動平板拖曳黏性液膜的速度分布，使用：

• $y$ 方向線性動量平衡
• 牛頓黏性定律：$\tau_{yx}=\mu\,dv_y/dx$
• 移動壁面無滑動條件
• 液膜自由表面零剪應力條件
• 重力造成的向下體積力

設定 $x=0$ 為皮帶表面，$x=\delta$ 為液膜與空氣的界面；$y$ 軸鉛直向上。液膜速度記為 $v_y(x)$，皮帶速度為 $u_w$。

(a) 各假設的物理意義

1. Laminar，層流

   流體以規則、分層的方式運動，各流線間沒有明顯的隨機擾動與渦流，動量主要靠分子黏性傳遞。因此可建立平滑的速度分布。

2. Newtonian，牛頓流體

   剪應力與速度梯度成正比：

   $\tau_{yx}=\mu\frac{dv_y}{dx}$

   其中 $\mu$ 為黏度，在溫度固定時視為常數。

3. Steady，穩態

   固定位置的速度、壓力與其他物性不隨時間改變：

   $\frac{\partial v_y}{\partial t}=0$

   這不代表流體靜止，而是液膜形狀與速度分布保持不變。

4. Continuous，連續介質

   將流體視為連續分布的介質，不逐一追蹤分子；速度、壓力、密度等物理量可在每一點定義，且隨空間平滑變化。

5. Incompressible，不可壓縮

   流動過程中密度視為常數：

   $\rho=\text{constant}$

   本題也因此可將重力體積力寫成 $\rho g$。

6. Fully developed，充分發展流

   速度剖面沿流動方向不再變化，液膜內速度只隨垂直皮帶方向的 $x$ 改變：

   $\frac{\partial v_y}{\partial y}=0$

   同時液膜厚度 $\delta$ 為定值。

(b) 液膜速度分布推導

1. $y$ 方向控制體動量方程式

對微小控制體使用線性動量平衡：

$$\sum F_y= \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho v_y\,dV + \oint_{CS}\rho v_y(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\,dA$$

由於流動為穩態、充分發展，且 $v_x=0$，控制體內沒有動量累積，對流動量的淨通量也為零。因此：

$$0=-\frac{\partial p}{\partial y} +\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x} -\rho g$$

其中 $y$ 軸向上，因此重力在 $y$ 方向為 $-\rho g$。

2. 代入牛頓黏性定律

$$\tau_{yx}=\mu\frac{dv_y}{dx}$$

且液膜自由表面沿 $y$ 方向皆暴露於大氣，故：

$$\frac{\partial p}{\partial y}=0$$

因此：

$$\mu\frac{d^2v_y}{dx^2}=\rho g$$

3. 積分並套用邊界條件

第一次積分：

$$\frac{dv_y}{dx}=\frac{\rho g}{\mu}x+C_1$$

液膜與空氣的界面可忽略空氣剪應力，因此在 $x=\delta$：

$$\tau_{yx}(\delta)=0$$

即：

核心觀念

本題考查：

• Wien 位移定律：求黑體輻射峰值波長。
• Stefan–Boltzmann 定律：求黑體總放射率。
• 黑體輻射強度與幾何關係：求探測器接收到的輻射功率。
• 集中熱容量法：求黑球投入流體後的瞬間溫度。

黑球溫度為

$$T_i=1227+273=1500\ \text{K}$$

半徑為

$$r=\frac{0.02}{2}=0.01\ \text{m}$$

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(a) 峰值波長

依 Wien 位移定律：

$$\lambda_{\max}T=2898\ \mu\text{m}\cdot\text{K}$$

因此

$$\lambda_{\max} =\frac{2898}{1500} =1.932\ \mu\text{m}$$

此波長位於紅外線範圍。

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(b) 黑體總放射率

黑體總放射率為

$$E_b=\sigma T^4$$

代入 $\sigma=5.676\times10^{-8}\ \text{W/m}^2\text{K}^4$：

$$E_b =5.676\times10^{-8}(1500)^4$$ $$\boxed{E_b=2.873\times10^5\ \text{W/m}^2}$$

若要求黑球向所有方向放出的總功率，則須再乘以球面積：

$$A_b=4\pi r^2 =4\pi(0.01)^2 =1.257\times10^{-3}\ \text{m}^2$$ $$\dot Q_{\text{total}} =E_bA_b \approx361.2\ \text{W}$$

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(c) 探測器接收到的輻射功率

探測器面積為

$$A_d=0.4\ \text{cm}^2 =4.0\times10^{-5}\ \text{m}^2$$

探測器距離黑球中心

$$R=2\ \text{m}$$

黑體球的輻射強度為

$$I_b=\frac{E_b}{\pi}$$

遠距離下，黑球朝向探測器的投影面積為 $\pi r^2$，因此探測器接收的輻射功率可寫為

$$\dot Q_d =E_bA_d\frac{r^2}{R^2}$$

代入數值：

$$\dot Q_d =(2.873\times10^5)(4.0\times10^{-5}) \frac{(0.01)^2}{(2)^2}$$ $$\boxed{\dot Q_d=2.87\times10^{-4}\ \text{W}}$$

即

$$\boxed{\dot Q_d\approx0.287\ \text{mW}}$$

圖中的 $30^\circ$ 是黑球至探測器的方位角。由於黑球為球形黑體，且探測器面向黑球中心，黑球的輻射在各方向具有相同強度，因此此角度不需額外乘上方向餘弦因子。

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(d) 黑球投入 $300\ \text{K}$ 流體後的溫度

1. 判斷是否可使用集中熱容量法

球體特徵長度為

核心觀念

本題考查二元液體混合物在「乙醇擴散、水保持停滯」條件下的 Stefan diffusion。主要公式為：

• 二元混合物總莫耳濃度：

  $c=\frac{\rho}{\overline{M}}$

• 莫耳分率：

  $x_A=\frac{w_A/M_A}{w_A/M_A+w_B/M_B}$

• 莫耳通量與擴散通量的關係：

  $N_A=J_A+x_A(N_A+N_B)$

• 水停滯時：

  $N_B=0$

其中 $A$ 代表乙醇，$B$ 代表水。

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(a) 乙醇在停滯液膜中的微分方程

令 $z=0$ 為位置 1，$z=L$ 為位置 2，且

$L=3\ \text{mm}=3.00\times10^{-3}\ \text{m}$

對乙醇作穩態一維物料衡算，且無反應：

$\frac{dN_A}{dz}=0$

因此 $N_A$ 為常數。

對二元混合物，乙醇的莫耳通量為：

$N_A=-cD_{AB}\frac{dx_A}{dz}+x_A(N_A+N_B)$

因為水為停滯組分：

$N_B=0$

故總莫耳通量為：

$N_A+N_B=N_A$

代入可得：

$N_A=-cD_{AB}\frac{dx_A}{dz}+x_AN_A$

整理後：

$\boxed{N_A=-\frac{cD_{AB}}{1-x_A}\frac{dx_A}{dz}}$

若 $c$ 與 $D_{AB}$ 可視為常數，則：

$$\frac{dx_A}{1-x_A} =-\frac{N_A}{cD_{AB}}\,dz$$

積分並使用位置 1 的邊界條件 $x_A(0)=x_{A1}$：

$$\ln\left(\frac{1-x_A(z)}{1-x_{A1}}\right) =\frac{N_Az}{cD_{AB}}$$

因此乙醇莫耳分率沿液膜的分布為：

$$\boxed{x_A(z)=1-(1-x_{A1}) \exp\left(\frac{N_Az}{cD_{AB}}\right)}$$

適用的簡化假設如下：

1. 穩態操作，故 $\partial c_A/\partial t=0$。
2. 一維擴散，濃度只隨 $z$ 變化。
3. 液膜內無化學反應。
4. 溫度固定為 $298\ \text{K}$。
5. 擴散係數 $D_{AB}$ 視為常數。
6. 水為停滯組分，$N_B=0$。
7. 忽略重力、對流擾動及界面附近的濃度梯度變化。

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(b) 位置 1 與位置 2 的乙醇莫耳分率

取：

$M_A=M_{\text{ethanol}}=46.07\ \text{kg/kmol}$

$M_B=M_{\text{water}}=18.015\ \text{kg/kmol}$

莫耳分率計算式為：

$x_A=\frac{w_A/M_A}{w_A/M_A+(1-w_A)/M_B}$

位置 1

乙醇重量分率為：

$w_{A1}=0.054$

因此：

$$x_{A1} =\frac{0.054/46.07} {0.054/46.07+0.946/18.015}$$

$\boxed{x_{A1}=0.0218}$

位置 2

乙醇重量分率為：

$w_{A2}=0.146$

因此：

$$x_{A2} =\frac{0.146/46.07} {0.146/46.07+0.854/18.015}$$

$\boxed{x_{A2}=0.0627}$

乙醇由位置 2 的高濃度區，擴散至位置 1 的低濃度區。

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(c) 乙醇與水的穩態通量

1. 計算總莫耳濃度

混合液平均分子量為：

$$\overline{M} =\frac{1}{w_A/M_A+w_B/M_B}$$

位置 1：

$$\overline{M}_1 =\frac{1}{0.054/46.07+0.946/18.015} =18.63\ \text{kg/kmol}$$

因此：

$$c_1=\frac{\rho_1}{\overline{M}_1} =\frac{982.7}{18.63} =52.75\ \text{kmol/m}^3$$

位置 2：

$$\overline{M}_2 =\frac{1}{0.146/46.07+0.854/18.015} =19.77\ \text{kg/kmol}$$ $$c_2=\frac{968.7}{19.77} =48.99\ \text{kmol/m}^3$$

取液膜平均總莫耳濃度：

核心觀念

本題考查二元精餾塔的 McCabe–Thiele 法，涉及：

• 苯—甲苯系統的汽液平衡關係；
• 飽和液體進料，故 $q=1$；
• 精餾段與汽提段操作線；
• 全冷凝器中，餾出液組成等於塔頂蒸氣組成；
• 全塔物料衡算。

題目中的「ethanol」應為筆誤；由題目前文可知輕組分是苯，以下令苯的莫耳分率為 $x$。

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題目資料不足之處

題目未提供下列必要資料：

1. 苯—甲苯的汽液平衡資料，或相對揮發度 $\alpha$；
2. 進料流率 $F$；
3. 六片塔板是否包含再沸器；
4. 操作壓力。

因此無法得到唯一的數值答案。僅由「進料含 30% 苯、六片塔板、進料在第 4 片板」不能唯一決定塔頂濃度、塔底濃度與回流比。

若採用理想二元系統、恒定相對揮發度及理想平衡塔板，則汽液平衡式為

$$y^*=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}$$

其中 $x$ 為液相苯濃度，$y^*$ 為平衡蒸氣苯濃度。

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解題方法

塔內配置可表示為：

             全冷凝器
          D，xD = y1
               ↑
        ┌────────────┐
        │ 第1片塔板 │
        ├────────────┤
        │ 第2片塔板 │   精餾段
        ├────────────┤
        │ 第3片塔板 │
        ├────────────┤
        │ 第4片塔板 │ ← F，zF = 0.30，q = 1
        ├────────────┤
        │ 第5片塔板 │   汽提段
        ├────────────┤
        │ 第6片塔板 │
        └────────────┘
             再沸器
               ↓
          B，xB

飽和液體進料的 $q$ 線為垂直線：

$$x=z_F=0.30$$

精餾段操作線為

$$y=\frac{R}{R+1}x+\frac{x_D}{R+1}$$

其中 $R=L/D$ 為回流比。

汽提段操作線可寫成

$$y=\frac{\bar L}{\bar V}x-\frac{B}{\bar V}x_B$$

將平衡線、精餾段操作線、汽提段操作線及 $q$ 線畫在同一張圖上，再由 $x_D$ 向下、由 $x_B$ 向上逐階繪製六個理論級，即可求得符合六片塔板及第 4 片進料板的分離結果。

---

(a) 塔頂最高濃度與塔底最低濃度

在給定塔板數下，增加回流比會提高塔頂苯濃度並降低塔底苯濃度。理論上的極限是全回流：

$$R\rightarrow \infty$$

此時精餾段與汽提段操作線皆趨近對角線

$$y=x$$

若以全塔共有 $N$ 個平衡接觸級，且采用恒定相對揮發度，Fenske 方程式為

$$\frac{x_D}{1-x_D} = \alpha^N \frac{x_B}{1-x_B}$$

但此式只提供塔頂、塔底組成之間的關係，仍須配合汽液平衡資料、進料板位置及塔板計數方式，才能分別求出 $x_D$ 與 $x_B$。

此外，全回流時

$$D=0,\qquad B=0$$

本題考驗蒸餾塔板效率的計算與理解，包含 Murphree 塔板效率和局部塔板效率的計算，以及對塔板效率可能大於 1 的現象的解釋。

基本參數：
液體組成 (離開塔板)：$x = 0.6$ (莫耳分數)。
進入塔板的蒸汽組成：$y_{in} = 0.65$ (莫耳分數)。
離開塔板的蒸汽組成：$y_{out} = 0.81$ (莫耳分數)。
平衡關係：$y^* = x(2-x)$。

(a) 計算 Murphree 效率 ($\eta_M$)。
Murphree 塔板效率定義為實際的汽液組成變化與理論塔板能達到的最大組成變化之比。
$\eta_M = \frac{y_{out} - y_{in}}{y_{eq} - y_{in}}$
其中，$y_{eq}$ 是在塔板液相組成 $x$ 下的平衡蒸汽組成。
首先，計算在液相組成 $x=0.6$ 下的平衡蒸汽組成 $y_{eq}$：
$y_{eq} = x(2-x) = 0.6(2-0.6) = 0.6(1.4) = 0.84$
現在，計算 Murphree 效率：
$\eta_M = \frac{y_{out} - y_{in}}{y_{eq} - y_{in}} = \frac{0.81 - 0.65}{0.84 - 0.65}$
$\eta_M = \frac{0.16}{0.19} \approx 0.842$
【答案】(a) $\eta_M \approx 0.842$ 或 84.2%。

(b) 計算局部效率 ($\eta'$)。
局部效率定義為在某一點上的實際傳質與理論上該點能達到的最大傳質之比。
對於液相組成 $x=0.7$，蒸汽組成（離開該點）為 $y=0.83$。
首先，計算在液相組成 $x=0.7$ 下的平衡蒸汽組成 $y^*_{specific}$：
$y^*_{specific} = x(2-x) = 0.7(2-0.7) = 0.7(1.3) = 0.91$
局部效率 $\eta'$ 定義為：
$\eta' = \frac{y_{actual} - y_{in\_at\_point}}{y_{eq\_at\_point} - y_{in\_at\_point}}$
在這裡，$y_{actual}$ 是實際的蒸汽組成，$y_{in\_at\_point}$ 是進入該點的蒸汽組成，$y_{eq\_at\_point}$ 是該點的平衡蒸汽組成。
題目給出的 $y=0.83$ 是「vapor concentration leaving that point」，也就是 $y_{actual}$。
題目給出的 $x=0.7$ 是「liquid concentration is 0.7」。
然而，$y_{in\_at\_point}$ 是指進入該「point」的蒸汽組成。在 (a) 中，我們有 $y_{in}=0.65$。
如果我們假設這個「specific point」是指同一塊塔板上的某一點，並且該點的進口蒸汽組成仍然是 $y_{in}=0.65$。
那麼，
$\eta' = \frac{y_{actual} - y_{in}}{y^*_{specific} - y_{in}} = \frac{0.83 - 0.65}{0.91 - 0.65}$
$\eta' = \frac{0.18}{0.26} \approx 0.692$

另一種解釋：
如果題目中的「point on n-plate」是指在該板上，液相濃度為 0.7 的地方，而離開該點的蒸汽濃度為 0.83。
那麼，我們計算的是該點的局部效率。
如果 $y_{in}$ 是指進入整個塔板的蒸汽組成，那麼上面的計算是正確的。
如果 $y_{in\_at\_point}$ 指的是該點的局部進口蒸汽組成，則需要更多資訊。
通常，局部效率是相對於某個特定點的。

最常見的局部效率定義是：
$\eta' = \frac{y_{out} - y_{in}}{y_{eq} - y_{in}}$
在這裡，$y_{out}$ 是實際離開該點的蒸汽組成，$y_{in}$ 是進入該點的蒸汽組成，$y_{eq}$ 是在該點液相組成下的平衡蒸汽組成。
題目給出：$x=0.7$ (liquid concentration)，$y=0.83$ (vapor concentration leaving that point)。
我們計算了 $y^*_{specific} = 0.91$。
如果 $y_{in}$ 是指進入該「point」的蒸汽組成，那麼我們假設 $y_{in}$ 是 $0.65$ (來自 (a) 的資訊)。
$\eta' = \frac{0.83 - 0.65}{0.91 - 0.65} = \frac{0.18}{0.26} \approx 0.692$

核心觀念

本題考查二元液體混合物在「乙醇擴散、水保持停滯」條件下的 Stefan diffusion。主要公式為：

• 二元混合物總莫耳濃度：

  $c=\frac{\rho}{\overline{M}}$

• 莫耳分率：

  $x_A=\frac{w_A/M_A}{w_A/M_A+w_B/M_B}$

• 莫耳通量與擴散通量的關係：

  $N_A=J_A+x_A(N_A+N_B)$

• 水停滯時：

  $N_B=0$

其中 $A$ 代表乙醇，$B$ 代表水。

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(a) 乙醇在停滯液膜中的微分方程

令 $z=0$ 為位置 1，$z=L$ 為位置 2，且

$L=3\ \text{mm}=3.00\times10^{-3}\ \text{m}$

對乙醇作穩態一維物料衡算，且無反應：

$\frac{dN_A}{dz}=0$

因此 $N_A$ 為常數。

對二元混合物，乙醇的莫耳通量為：

$N_A=-cD_{AB}\frac{dx_A}{dz}+x_A(N_A+N_B)$

因為水為停滯組分：

$N_B=0$

故總莫耳通量為：

$N_A+N_B=N_A$

代入可得：

$N_A=-cD_{AB}\frac{dx_A}{dz}+x_AN_A$

整理後：

$\boxed{N_A=-\frac{cD_{AB}}{1-x_A}\frac{dx_A}{dz}}$

若 $c$ 與 $D_{AB}$ 可視為常數，則：

$$\frac{dx_A}{1-x_A} =-\frac{N_A}{cD_{AB}}\,dz$$

積分並使用位置 1 的邊界條件 $x_A(0)=x_{A1}$：

$$\ln\left(\frac{1-x_A(z)}{1-x_{A1}}\right) =\frac{N_Az}{cD_{AB}}$$

因此乙醇莫耳分率沿液膜的分布為：

$$\boxed{x_A(z)=1-(1-x_{A1}) \exp\left(\frac{N_Az}{cD_{AB}}\right)}$$

適用的簡化假設如下：

1. 穩態操作，故 $\partial c_A/\partial t=0$。
2. 一維擴散，濃度只隨 $z$ 變化。
3. 液膜內無化學反應。
4. 溫度固定為 $298\ \text{K}$。
5. 擴散係數 $D_{AB}$ 視為常數。
6. 水為停滯組分，$N_B=0$。
7. 忽略重力、對流擾動及界面附近的濃度梯度變化。

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(b) 位置 1 與位置 2 的乙醇莫耳分率

取：

$M_A=M_{\text{ethanol}}=46.07\ \text{kg/kmol}$

$M_B=M_{\text{water}}=18.015\ \text{kg/kmol}$

莫耳分率計算式為：

$x_A=\frac{w_A/M_A}{w_A/M_A+(1-w_A)/M_B}$

位置 1

乙醇重量分率為：

$w_{A1}=0.054$

因此：

$$x_{A1} =\frac{0.054/46.07} {0.054/46.07+0.946/18.015}$$

$\boxed{x_{A1}=0.0218}$

位置 2

乙醇重量分率為：

$w_{A2}=0.146$

因此：

$$x_{A2} =\frac{0.146/46.07} {0.146/46.07+0.854/18.015}$$

$\boxed{x_{A2}=0.0627}$

乙醇由位置 2 的高濃度區，擴散至位置 1 的低濃度區。

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(c) 乙醇與水的穩態通量

1. 計算總莫耳濃度

混合液平均分子量為：

$$\overline{M} =\frac{1}{w_A/M_A+w_B/M_B}$$

位置 1：

$$\overline{M}_1 =\frac{1}{0.054/46.07+0.946/18.015} =18.63\ \text{kg/kmol}$$

因此：

$$c_1=\frac{\rho_1}{\overline{M}_1} =\frac{982.7}{18.63} =52.75\ \text{kmol/m}^3$$

位置 2：

$$\overline{M}_2 =\frac{1}{0.146/46.07+0.854/18.015} =19.77\ \text{kg/kmol}$$ $$c_2=\frac{968.7}{19.77} =48.99\ \text{kmol/m}^3$$

取液膜平均總莫耳濃度：

核心觀念

本題考查二元精餾塔的 McCabe–Thiele 法，涉及：

• 苯—甲苯系統的汽液平衡關係；
• 飽和液體進料，故 $q=1$；
• 精餾段與汽提段操作線；
• 全冷凝器中，餾出液組成等於塔頂蒸氣組成；
• 全塔物料衡算。

題目中的「ethanol」應為筆誤；由題目前文可知輕組分是苯，以下令苯的莫耳分率為 $x$。

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題目資料不足之處

題目未提供下列必要資料：

1. 苯—甲苯的汽液平衡資料，或相對揮發度 $\alpha$；
2. 進料流率 $F$；
3. 六片塔板是否包含再沸器；
4. 操作壓力。

因此無法得到唯一的數值答案。僅由「進料含 30% 苯、六片塔板、進料在第 4 片板」不能唯一決定塔頂濃度、塔底濃度與回流比。

若採用理想二元系統、恒定相對揮發度及理想平衡塔板，則汽液平衡式為

$$y^*=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}$$

其中 $x$ 為液相苯濃度，$y^*$ 為平衡蒸氣苯濃度。

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解題方法

塔內配置可表示為：

             全冷凝器
          D，xD = y1
               ↑
        ┌────────────┐
        │ 第1片塔板 │
        ├────────────┤
        │ 第2片塔板 │   精餾段
        ├────────────┤
        │ 第3片塔板 │
        ├────────────┤
        │ 第4片塔板 │ ← F，zF = 0.30，q = 1
        ├────────────┤
        │ 第5片塔板 │   汽提段
        ├────────────┤
        │ 第6片塔板 │
        └────────────┘
             再沸器
               ↓
          B，xB

飽和液體進料的 $q$ 線為垂直線：

$$x=z_F=0.30$$

精餾段操作線為

$$y=\frac{R}{R+1}x+\frac{x_D}{R+1}$$

其中 $R=L/D$ 為回流比。

汽提段操作線可寫成

$$y=\frac{\bar L}{\bar V}x-\frac{B}{\bar V}x_B$$

將平衡線、精餾段操作線、汽提段操作線及 $q$ 線畫在同一張圖上，再由 $x_D$ 向下、由 $x_B$ 向上逐階繪製六個理論級，即可求得符合六片塔板及第 4 片進料板的分離結果。

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(a) 塔頂最高濃度與塔底最低濃度

在給定塔板數下，增加回流比會提高塔頂苯濃度並降低塔底苯濃度。理論上的極限是全回流：

$$R\rightarrow \infty$$

此時精餾段與汽提段操作線皆趨近對角線

$$y=x$$

若以全塔共有 $N$ 個平衡接觸級，且采用恒定相對揮發度，Fenske 方程式為

$$\frac{x_D}{1-x_D} = \alpha^N \frac{x_B}{1-x_B}$$

但此式只提供塔頂、塔底組成之間的關係，仍須配合汽液平衡資料、進料板位置及塔板計數方式，才能分別求出 $x_D$ 與 $x_B$。

此外，全回流時

$$D=0,\qquad B=0$$