109 年 國立成功大學化學工程學系碩士班甲組《單元操作與輸送現象》

核心觀念

本題考查球體在蠕流（creeping flow）中的阻力，以及阻力係數 $C_D$ 的定義。

阻力係數是以動壓力 $\frac{1}{2}\rho v_\infty^2$ 和球體迎風投影面積 $A$ 所構成的特徵力，對實際阻力 $F_{\mathrm{drag}}$ 進行無因次化：

$$C_D=\frac{F_{\mathrm{drag}}}{\frac{1}{2}\rho v_\infty^2 A}$$

其中：

• $\rho$：流體密度
• $v_\infty$：遠離球體處的流速
• $A$：垂直於來流方向的投影面積
• $F_{\mathrm{drag}}$：流體作用於球體、方向與相對運動相反的阻力

對半徑為 $R$ 的球體，其迎風投影面積為

$$A=\pi R^2$$

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（a）拖曳係數 $C_D$ 的物理意義

$C_D$ 是描述物體受到流體阻力大小的無因次參數，代表：

$$C_D= \frac{\text{實際流體阻力}} {\text{以動壓力與投影面積估算的特徵力}}$$

因此，$C_D$ 可視為物體在特定流動條件下的阻力強弱指標。$C_D$ 越大，表示在相同流體密度、流速與迎風面積下，物體受到的阻力越大。

在一般流動中，$C_D$ 會受到雷諾數、物體形狀、表面粗糙度及流況等因素影響。本題為蠕流，雷諾數很小，阻力主要由黏性剪應力造成。

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（b）求球體的拖曳係數

解題方法

直接將題目給定的 Stokes 阻力公式

$$F_{\mathrm{drag}}=6\pi\mu Rv_\infty$$

代入拖曳係數定義即可。

拖曳係數為

$$C_D=\frac{F_{\mathrm{drag}}} {\frac{1}{2}\rho v_\infty^2 A}$$

球體的投影面積為

$$A=\pi R^2$$

因此，

核心觀念

本題考查二維圓柱座標下的：

1. 連續方程與流函數定義。
2. 無旋流條件與速度勢／流函數的關係。
3. 拉普拉斯方程的分離變數法。
4. 圓柱繞流的邊界條件：
   • 無窮遠處為均勻流。
   • 圓柱表面不可穿透，即 $v_r=0$。

題目採用的流函數定義為

$$v_r=\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi}{\partial \theta}, \qquad v_\theta=-\frac{\partial \Psi}{\partial r}$$

並假設流動為二維，即

$$v_z=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}=0$$

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(a) 證明流函數滿足拉普拉斯方程

第一步：由流函數自動滿足連續方程

不可壓縮流體的連續方程為

$$\nabla\cdot\mathbf v = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} =0$$

代入

$$v_r=\frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}$$

可得

$$rv_r=\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}$$

因此

$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rv_r) = \frac{1}{r}\frac{\partial^2\Psi}{\partial r\partial\theta}$$

又因為

$$v_\theta=-\frac{\partial\Psi}{\partial r}$$

所以

$$\frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} = -\frac{1}{r}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\theta\partial r}$$

兩項相加後

$$\nabla\cdot\mathbf v = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial^2\Psi}{\partial r\partial\theta} - \frac{\partial^2\Psi}{\partial\theta\partial r} \right) =0$$

因此，流函數的定義本身保證了不可壓縮條件。

第二步：套用無旋流條件

二維圓柱座標中，速度旋度只有 $z$ 方向分量：

$$\omega_z = \frac{1}{r}\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta}$$

代入流函數關係式：

$$rv_\theta = -r\frac{\partial\Psi}{\partial r}$$

因此

$$\frac{1}{r}\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial\Psi}{\partial r} \right)$$

展開為

$$\frac{1}{r}\frac{\partial(rv_\theta)}{\partial r} = -\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} -\frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial r}$$

另外，

$$\frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial\theta} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2\Psi}{\partial\theta^2}$$

所以

$$\omega_z = -\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} -\frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial r} -\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\theta^2}$$

整理得

$$\omega_z = - \left[ \frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\theta^2} \right]$$

流動無旋表示

$$\omega_z=0$$

因此

$$\boxed{ \frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\Psi}{\partial\theta^2} =0 }$$

也就是

$$\boxed{\nabla^2\Psi=0}$$

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(b) 流函數的物理意義

流函數 $\Psi$ 是用來描述不可壓縮二維流動的純量函數，其等值線稱為流線。

沿著流線，流體速度方向與流線相切，因此有

$$d\Psi = \frac{\partial\Psi}{\partial r}dr + \frac{\partial\Psi}{\partial\theta}d\theta$$

利用速度定義可寫成

$$d\Psi = -v_\theta\,dr + r v_r\,d\theta$$

對流線而言，位移方向與速度方向一致，滿足

$$\frac{dr}{r\,d\theta} = \frac{v_r}{v_\theta}$$

故

$$d\Psi=0$$

所以：

• $\Psi=\text{常數}$ 的曲線就是流線。
• 流線彼此不相交。
• 任意兩條流線間的 $\Delta\Psi$，代表兩條流線間的體積流率除以垂直紙面的單位寬度。

本題為概念題，涵蓋蒸發器性能指標、熱輻射定律、熱交換器設計參數以及沸騰傳熱現象。

(a) Economy (蒸發器性能指標)
蒸發器的 Economy (經濟性) 是用來衡量蒸發器效率的指標，定義為單位蒸發水量所消耗的蒸汽量。
$\text{Economy} = \frac{\text{單位蒸發水量}}{\text{單位進料量}} = \frac{\text{蒸發的水量}}{\text{加熱用的蒸汽量}}$
Economy 的值越大，表示蒸發器效率越高，消耗的加熱介質（通常是二次蒸汽）越少，操作成本越低。
對於單效蒸發器，其 Economy 通常介於 0.7 到 1.0 之間。對於多效蒸發器，Economy 的值會更高，因為後續效應的蒸汽可以被再利用來加熱前一效應的料液。
例如，一個單效蒸發器的 Economy 為 0.8，表示每蒸發 1 kg 的水，需要消耗 1/0.8 = 1.25 kg 的加熱蒸汽。

(b) Stefan-Boltzmann law (史特凡-波茲曼定律)
史特凡-波茲曼定律描述了熱輻射的總能量輸出與物體絕對溫度之間的關係。定律指出，一個黑體（理想輻射體）單位面積在單位時間內輻射出的總能量（輻射功率），與其絕對溫度的四次方成正比。
$E_b = \sigma T^4$
其中：
$E_b$ 是黑體表面的輻射力（單位面積的輻射功率），單位為 $W/m^2$。
$\sigma$ 是史特凡-波茲曼常數，其值約為 $5.67 \times 10^{-8} W/(m^2 \cdot K^4)$。
$T$ 是物體的絕對溫度，單位為開爾文 (K)。

對於非黑體（灰體或任何真實物體），其輻射力為：
$E = \epsilon \sigma T^4$
其中 $\epsilon$ 是物體的發射率（emissivity），是一個介於 0 和 1 之間的參數，表示物體輻射能力的強弱，通常與物體的材料、表面狀況和溫度有關。

(c) Number of heat transfer unit (NTU, 熱交換器傳熱單元數)
熱交換器的傳熱單元數（Number of Transfer Unit, NTU），通常用 $N$ 或 $NTU$ 表示，是描述熱交換器傳熱性能的一個無因次參數。它代表了熱交換器中實際傳熱量與其最大可能傳熱量之比的某種度量，或者說，它衡量了熱交換器中傳熱的「效率」或「強度」。
NTU 的定義為：
$NTU = \frac{UA}{C_{min}}$
其中：
$U$ 是熱交換器的總傳熱係數（Overall heat transfer coefficient）。
$A$ 是熱交換器的總傳熱面積（Total heat transfer area）。
$C_{min}$ 是流體中較小熱容量流率（Minimum heat capacity rate），即 $C_{min} = \min(C_p \dot{m})_{hot}, (C_p \dot{m})_{cold}$。

NTU 與熱交換器的效能（effectiveness, $\epsilon$）有關。效能定義為實際傳熱量與最大可能傳熱量之比。對於不同類型的熱交換器（如並流、逆流、殼管式等），效能與 NTU 和流體熱容量流率的比值 $(C_{min}/C_{max})$ 之間存在函數關係。

核心觀念

本題考查「集總參數分析（lumped-parameter analysis）」於瞬態導熱問題的應用。

當固體內部溫度可視為均勻時，物體的熱容量集中於單一平均溫度 $T(t)$，能量平衡式為

$$\rho V c_p\frac{dT}{dt} = -hA_s\left(T-T_\infty\right)$$

其中：

• $\rho$：金屬線密度
• $V$：金屬線體積
• $c_p$：比熱
• $A_s$：金屬線與水接觸的表面積
• $h$：平均表面傳熱係數
• $T_\infty$：水浴溫度

其積分解為

$$\frac{T-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \exp\left(-\frac{hA_s}{\rho Vc_p}t\right)$$

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解題方法

金屬線直徑為

$$D=0.5\ \text{cm}=0.005\ \text{m}$$

由於金屬線很長，忽略兩端的傳熱，只考慮圓柱側面。對長圓柱而言，

$$V=\pi r^2L$$ $$A_s=2\pi rL$$

因此

$$\frac{V}{A_s} = \frac{\pi r^2L}{2\pi rL} = \frac{r}{2} = \frac{D}{4}$$

特徵長度為

$$L_c=\frac{V}{A_s} = \frac{0.005}{4} = 1.25\times10^{-3}\ \text{m}$$

已知：

$$T_\infty=330\ \text{K}$$ $$T_i=285\ \text{K},\qquad T=310\ \text{K},\qquad t=20\ \text{s}$$

代入集總參數解：

$$\frac{310-330}{285-330} = \exp\left(-\frac{ht}{\rho c_pL_c}\right)$$ $$\frac{20}{45} = \frac{4}{9} = \exp\left(-\frac{ht}{\rho c_pL_c}\right)$$

兩邊取自然對數：

本題考查反應器內部的質量傳遞與反應問題，包含多物種、多反應、多區域的複雜系統。要求學生能建立並簡化質量傳遞方程式，並給出邊界條件。

問題概述：
一個管狀反應器，內部有兩個催化區域：

1. 多孔催化劑區域：填充反應器內部，從 $z=0$ 到 $z=L$。在這裡，反應物 A 擴散進入多孔催化劑，並發生一級反應生成產物 B。反應速率常數為 $k_1$。
2. 非多孔催化表面：位於反應器外殼 $r=R$。在這裡，反應物 A 擴散到表面，並發生一級表面反應生成產物 C。表面反應速率常數為 $k_s$。
   反應物 A 的來源是濃度為 $C_{A\infty}$ 的穩定流體，其中含有惰性稀釋劑 D。
   反應器頂部 ($z=L$) 對 A, B, C, D 均不滲透。

核心概念：

• 質量傳遞：反應物 A 在流體相、多孔催化劑內部以及表面之間的傳遞。
• 化學反應：多孔催化劑內的體相反應（一級）和催化表面上的表面反應（一級）。
• 穩態過程：系統的濃度分佈不隨時間變化。
• 多維傳輸：濃度 $c_A$ 依賴於徑向 $r$ 和軸向 $z$ 兩個方向。

(a) 簡化質量傳遞過程的假設

為了簡化質量傳遞和菲克定律的微分方程式，我們可以提出以下合理的假設：

1. 穩態操作 (Steady-State Operation)：反應器內的濃度分佈 $c_A(r,z)$ 不隨時間變化。這意味著所有時間導數項均為零。
2. 不可壓流體 (Incompressible Fluid)：流體密度 $\rho$ 為常數，並且是均勻的。這使得質量守恆方程式可以簡化。
3. 單向擴散 (Unidirectional Diffusion)：雖然有四種物種，但我們主要關注反應物 A 的傳遞。假設 A 的擴散係數 $D_{Ae}$ 相對於其他物種（如 B, C, D）在 A 的傳遞路徑上是獨立的，並且可以視為常數（或至少其變化可忽略）。
4. 忽略對流混合 (Neglect Convective Mixing in Porous Medium)：在多孔催化劑內部，可以假設流體流動速度為零或非常小，因此 A 的傳遞主要由擴散主導，而對流傳輸效應可以忽略。
5. 恆定有效擴散係數 (Constant Effective Diffusion Coefficient)：在多孔介質中，反應物 A 的有效擴散係數 $D_{Ae}$ 被假定為常數，不隨位置變化。
6. 忽略體相反應中的擴散效應 (Neglect Diffusion Effects within the Fluid Phase Far from the Catalyst)：假設在反應器進口流體區域（遠離催化劑表面和多孔催化劑），流體是充分混合的，濃度是均勻的（$C_{A\infty}$）。
7. 表面反應的速率由表面濃度決定 (Surface Reaction Rate Depends on Surface Concentration)：表面反應速率常數 $k_s$ 是基於反應物 A 在催化表面上的濃度 $c_A(R, z)$ 來計算的。

(b) 建立質量傳遞和菲克定律的微分方程式，並推導二階微分方程式

1. 菲克定律 (Fick's Law of Diffusion)
在圓柱座標系下，對於物種 A，其總通量（包含對流和擴散）為：
$\mathbf{J}_A = c_A \mathbf{v} - D_{Ae} \nabla c_A$
其中 $\mathbf{v}$ 是流體速度， $c_A$ 是 A 的濃度， $D_{Ae}$ 是 A 在多孔介質中的有效擴散係數。
由於我們假設在多孔催化劑內部對流混合效應可以忽略，即 $\mathbf{v} \approx 0$，所以 A 的傳遞主要由擴散決定。
$\mathbf{J}_A = -D_{Ae} \nabla c_A$
在圓柱座標系下，考慮 $r$ 和 $z$ 方向的擴散：
$J_{A,r} = -D_{Ae} \frac{\partial c_A}{\partial r}$
$J_{A,z} = -D_{Ae} \frac{\partial c_A}{\partial z}$

2. 質量守恆方程式 (General Differential Equation for Mass Transfer)
對於穩態情況，物種 A 的質量守恆方程式為：
$\nabla \cdot \mathbf{J}_A + R_A = 0$
其中 $R_A$ 是 A 在單位體積內的淨生成速率。

在圓柱座標系下，考慮 $r$ 和 $z$ 方向的傳遞，且忽略 $z$ 方向的流動（假設流體在多孔介質中靜止或流動速度很小，對 A 的傳遞貢獻不大，或者我們關注的是局部濃度分佈而非整體軸向流動）：
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r J_{A,r}) + \frac{\partial J_{A,z}}{\partial z} + R_A = 0$
將菲克定律的通量代入：
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r (-D_{Ae} \frac{\partial c_A}{\partial r})\right) + \frac{\partial}{\partial z}(-D_{Ae} \frac{\partial c_A}{\partial z}) + R_A = 0$
假設 $D_{Ae}$ 為常數，則：
$-D_{Ae} \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial c_A}{\partial r}\right) - D_{Ae} \frac{\partial^2 c_A}{\partial z^2} + R_A = 0$
$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial c_A}{\partial r}\right) + \frac{\partial^2 c_A}{\partial z^2} - \frac{R_A}{D_{Ae}} = 0$
展開第一項：
$\frac{1}{r}\left(\frac{\partial c_A}{\partial r} + r \frac{\partial^2 c_A}{\partial r^2}\right) + \frac{\partial^2 c_A}{\partial z^2} - \frac{R_A}{D_{Ae}} = 0$
$\frac{\partial^2 c_A}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial c_A}{\partial r} + \frac{\partial^2 c_A}{\partial z^2} - \frac{R_A}{D_{Ae}} = 0$

3. 確定反應速率項 $R_A$
反應物 A 在多孔催化劑內部（體相）發生一級反應生成 B。
$A \xrightarrow{k_1} B$
體相反應速率為 $r_1 = k_1 c_A$ (單位為 mol/(m³·s))。
因此，在單位體積內，A 的淨生成速率 $R_A = -r_1 = -k_1 c_A$。

4. 結合質量守恆和反應速率，得到偏微分方程式
將 $R_A = -k_1 c_A$ 代入上述質量守恆方程式：
$\frac{\partial^2 c_A}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial c_A}{\partial r} + \frac{\partial^2 c_A}{\partial z^2} + \frac{k_1 c_A}{D_{Ae}} = 0$
這是一個描述反應物 A 在多孔催化劑內部濃度分佈的二階偏微分方程式。

5. 考慮表面反應的影響（在邊界條件中處理）
題目提到，反應物 A 也會擴散到外殼催化表面 ($r=R$) 並發生一級表面反應生成 C，速率常數為 $k_s$。
$A \xrightarrow{k_s, \text{surface}} C$
表面反應的速率通常表示為單位催化表面積的反應速率，例如 $k_s c_A(R,z)$ (單位為 mol/(m²·s))。
然而，在建立體相的微分方程式時，我們需要將表面反應的影響轉化為體積速率。這通常在邊界條件中處理，或者在考慮到表面積與體積比的情況下。
對於問題 (b)，它要求的是「體相」的二階微分方程式，所以 $R_A$ 通常指的是體相反應。表面反應的影響體現在邊界條件上，即在 $r=R$ 的邊界上，從體相擴散到表面的 A 的速率必須等於表面反應消耗 A 的速率。

6. 導出二階微分方程式
上面導出的方程式已是關於 $c_A(r,z)$ 的二階微分方程式：
$\frac{\partial^2 c_A}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial c_A}{\partial r} + \frac{\partial^2 c_A}{\partial z^2} + \frac{k_1}{D_{Ae}} c_A = 0$
這個方程式結合了擴散（徑向和軸向）和體相反應。

(c) 指定穩態過程的邊界條件

我們需要為反應物 A 在整個反應器區域 $(0 \le r \le R, 0 \le z \le L)$ 指定穩態過程的邊界條件。

1. 入口邊界 ($z=0$)：
   反應物 A 從底部 $z=0$ 進入反應器。流體是均勻混合的，濃度為 $C_{A\infty}$。
   在多孔催化劑區域，我們假設 $z=0$ 是 A 的主要進入點。
   $c_A(r, 0) = C_{A\infty} \quad \text{for } 0 \le r < R$
   （注意：題目提到 $z=0$ 是 A 擴散進入的底部，且流體是均勻的。如果 $r=R$ 處也有 A 進入，則需另外考慮。但從圖示和描述來看，A 主要來自進口流體，且在 $z=0$ 處濃度為 $C_{A\infty}$）。

2. 頂部邊界 ($z=L$)：
   題目指出，「頂部 (r = 0 to R, z = L) 的催化區是不可滲透的」。這意味著沒有 A 物質可以從 $z=L$ 處流出或進入。
   對於穩態質量傳遞，不可滲透邊界意味著該邊界的淨通量為零。
   $J_{A,z} = -D_{Ae} \frac{\partial c_A}{\partial z} = 0 \quad \text{at } z=L \text{ for } 0 \le r \le R$
   這意味著 $\frac{\partial c_A}{\partial z} = 0$ 在 $z=L$。

3. 中心軸線 ($r=0$)：
   由於流場和幾何結構在 $r$ 方向是對稱的，在中心軸線 $r=0$ 處，徑向濃度梯度必須為零。

核心觀念

本題考查逆流氣提（stripping）操作，使用下列假設：

• 稀溶液，採定常摩爾流假設，故液相流率 $L$ 與氣相流率 $V$ 可視為定值。
• 氨在液相中的莫耳分率為 $x$，在氣相中的莫耳分率為 $y$。
• 平衡關係為
  $y^*=mx,\qquad m=0.8$
• 液體進料：
  $x_F=0.03$
• 去除 $90\%$ 氨，因此液體出口仍含有 $10\%$ 的原氨量：
  $x_B=0.03(0.1)=0.003$
• 氣體入口不含氨：
  $y_{\text{in}}=0$

以 $100$ mol 液體進料為基準，需移除的氨量為

$100(0.03-0.003)=2.7\ \text{mol NH}_3$

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(a) 最小空氣流率與理想級數

最小空氣流率

在最小氣體流率下，塔頂形成夾點（pinch），氣體出口濃度達到與液體進料平衡的最大值：

$y_{\text{out,min}}=mx_F=0.8(0.03)=0.024$

氨的總體衡算為

$$V_{\min}y_{\text{out,min}} =L(x_F-x_B)$$

因此

$$\frac{V_{\min}}{L} =\frac{x_F-x_B}{mx_F} =\frac{0.03-0.003}{0.8(0.03)}$$

$\frac{V_{\min}}{L}=1.125$

所以，以 $100$ mol 液體進料為基準：

$V_{\min}=1.125(100)=112.5\ \text{mol air}$

最小流率下的理想級數

在最小流率操作時，操作線與平衡線於塔頂夾點相交，傳質推動力在該處降為零。因此需要無限多個理想級才能達到指定分離率。

$\boxed{N_{\min}=\infty}$

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(b) 當 $V=1.5L$ 時的理想級數

氣提因子

氣提因子定義為

$S=\frac{V}{mL}$

代入 $V/L=1.5$ 與 $m=0.8$：

$S=\frac{1.5}{0.8}=1.875$

對逆流氣提操作，且氣體入口不含氨時，Kremser 方程可寫成

$$\frac{x_B}{x_F} =\frac{S-1}{S^{N+1}-1}$$

此式亦可由逐級物料衡算得到。各理想級的衡算為

$Lx_{n+1}+Vy_{n-1}=Lx_n+Vy_n$

配合平衡關係 $y_n=mx_n$，並使用底部氣體入口 $y_0=0$ 的邊界條件，即可得到上述 Kremser 形式。

本題中

$\frac{x_B}{x_F}=\frac{0.003}{0.03}=0.1$

因此

$0.1=\frac{1.875-1}{1.875^{N+1}-1}$