109 年 國立成功大學材料科學及工程學系碩士班《材料熱力學》

此題考驗對熱力學可逆過程的理解。熱力學可逆過程是指系統在過程中經歷一系列無限接近平衡的狀態，且過程可以無窮小的擾動而反向進行，最終系統與環境都能回到初始狀態而無任何淨變化。

(a) 炸彈爆炸是劇烈的放熱過程，伴隨體積急劇膨脹，與平衡狀態相差甚遠，是不可逆過程。
(b) 森林火災是快速的燃燒過程，是劇烈的化學反應和熱傳遞，是高度不可逆過程。
(c) 室溫下冰淇淋融化是一個相對緩慢的過程，但熱源（周圍空氣）與冰淇淋之間的溫度差是有限的，熱量傳遞是不可逆的。

此題考驗對絕對熵 (Absolute Entropy) 的理解。絕對熵是指在絕對零度 (0 K) 時，理想晶體物質的熵為零 (根據第三定律)。熵的大小與溫度、物質的狀態、結構複雜度以及原子種類有關。通常，固體的熵低於液體，液體低於氣體。在相同狀態下，結構越規整、原子越輕、鍵結越強的物質，其熵值越低。

我們比較選項中的物質：
(a) 液態銀 (Liquid silver)
(b) 氫氣 (Hydrogen gas)：氣體，熵值最高。
(c) 固態鐵 (Solid iron)
(d) 鑽石 (Diamond)：固態碳，結構極為穩定且規整的晶體。
(e) 固態金 (Solid gold)

此題考驗對吉布斯自由能 (Gibbs Free Energy, G) 的基本定義及其熱力學關係式的掌握。
吉布斯自由能的定義為 $G = H - TS$，其中 H 為焓 (enthalpy)，T 為溫度，S 為熵 (entropy)。
在恆壓 (dP = 0) 和恆溫 (dT = 0) 的條件下，其微小變化為：
$dG = dH - TdS - SdT$

又由於 $dH = TdS - PdV$ (對於可逆過程)，
代入上式，得：
$dG = (TdS - PdV) - TdS - SdT$
$dG = -PdV - SdT$

在恆壓 ($dV=0$) 和恆溫 ($dT=0$) 的假設下，dG = 0。
但此題問的是「在恆壓下，G 相對於溫度的微小變化」，即 $\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P$。
從 $dG = -PdV - SdT$ 來看，在恆壓 ($P$ 為常數) 下，我們關注對 $T$ 的偏微分：
$\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P = -S$

此題考驗對理想氣體與真實氣體差異的理解，以及真實氣體方程式的修正基礎。理想氣體方程式 $PV=nRT$ 的建立基於兩個重要假設：

1. 氣體分子本身沒有體積（視為質點）。
2. 氣體分子之間沒有相互作用力（吸引力或排斥力）。

真實氣體必須考慮以下幾點來修正理想氣體行為：
(a) 真實氣體分子之間存在相互作用力（范德華力等）。這些作用力在低溫高壓時尤為顯著，會降低氣體的壓力。
(b) 真實氣體分子本身具有有限的體積。在高壓下，分子所佔據的體積比例增加，有效空間減少，會增加氣體的壓力。
(c) 真實氣體分子具有內能。理想氣體假設分子動能是其內能的全部，但真實氣體分子還存在分子勢能，這部分也包含在內能中。

此題考驗對逸度 (Fugacity, f) 的定義及其與壓力的關係。逸度是真實氣體用來取代壓力的熱力學函數，以使真實氣體行為能以類似理想氣體的方式處理。
對於真實氣體，其吉布斯自由能的表達式為：
$G_m = G_m^{ideal} + RT \ln \frac{f}{P^0}$
其中 $G_m$ 是莫耳吉布斯自由能，$G_m^{ideal}$ 是在相同溫度和壓力下的理想氣體莫耳吉布斯自由能，$P^0$ 是標準壓力（通常為 1 bar 或 1 atm）。
更常用的定義是基於逸度係數 $\gamma$：
$f = \gamma P$
其中 $\gamma = \frac{f}{P}$。

逸度的行為趨勢如下：

1. 當壓力趨近於零 (P → 0) 時：所有氣體都趨近於理想氣體行為。此時，逸度係數 $\gamma \to 1$。因此，$f = \gamma P \to 1 \cdot P = P$。
   所以，$f \to P$ as $P \to 0$。

核心觀念

本題考查「正規溶液模型（regular solution model）」與其中的「隨機混合假設（random mixing）」。

正規溶液的基本假設為：

1. A、B 原子在晶格位置上隨機分布。
2. A-A、B-B、A-B 鍵結的排列沒有長程有序性。
3. 混合熵採理想溶液形式：
   $\Delta S_{\mathrm{mix}}=-R\left(x_A\ln x_A+x_B\ln x_B\right)$
4. 混合焓不必為零，通常由 A-B 鍵能與 A-A、B-B 鍵能的差異造成。

若以最近鄰配位數 $z$ 表示，A-B 交互作用參數可寫為：

$$\omega=\varepsilon_{AB}-\frac{\varepsilon_{AA}+\varepsilon_{BB}}{2}$$

其中 $\varepsilon_{ij}$ 代表 $i-j$ 鍵能。相應的混合焓通常表示為：

$$\Delta H_{\mathrm{mix}}=\Omega x_Ax_B$$

而 $\Omega$ 與 $\omega$ 成正比。

因此，正規溶液允許 A-B 原子之間存在交互作用，只是假設其混合後仍可視為隨機分布；若 A-B 鍵能與純 A、純 B 中的平均鍵能差異過大，便會產生明顯的偏聚或有序排列，隨機混合假設就不再適用。

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解題方法

判斷本題的關鍵，是辨認「隨機混合」與「理想溶液」並不等價。

隨機混合並不是指 A、B 原子完全沒有交互作用，而是指：

$$P(B\mid A)\approx x_B,\qquad P(A\mid B)\approx x_A$$

也就是說，一個原子周圍出現另一種原子的機率，主要由整體組成決定，不會因為特別偏好 A-A、B-B 或 A-B 鍵而產生顯著短程有序。

要使此近似合理，A-B 鍵能不能與 A-A、B-B 鍵能的平均值相差太遠。因此，選項所描述的：

$$\varepsilon_{AB}\approx \frac{\varepsilon_{AA}+\varepsilon_{BB}}{2}$$

正是隨機混合假設成立的重要物理條件。

注意，這只表示 A-B 鍵能接近平均值，並不表示三種鍵能完全相同。若三種鍵能完全滿足平均關係，則 $\Delta H_{\mathrm{mix}}\approx 0$，更接近理想溶液；正規溶液則可允許 $\Delta H_{\mathrm{mix}}\neq 0$。

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選項分析

(a) atoms have no interactions

錯誤。

原子之間不可能沒有交互作用；而且正規溶液模型正是透過 A-A、B-B 與 A-B 鍵能的差異來描述混合焓。

核心觀念

本題考查規則溶液（regular solution）的混合 Gibbs 自由能曲線，以及均勻相的穩定性判準。

二元規則溶液的莫耳混合 Gibbs 自由能可寫成

$$\Delta G_{\mathrm{mix}} = RT\left[x\ln x+(1-x)\ln(1-x)\right] +\Omega x(1-x)$$

其中：

• $x$ 為其中一成分的莫耳分率；
• $R$ 為氣體常數；
• $T$ 為絕對溫度；
• $\Omega$ 為交互作用參數。

均勻組成是否穩定，取決於 Gibbs 自由能曲線的曲率：

$$\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}>0$$

代表曲線向上凹，均勻相具有局部穩定性。

$$\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}<0$$

代表曲線向下凹，均勻相不穩定，會自發分解成組成不同的兩相。

當

$$\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}=0$$

即為自旋分解線（spinodal）的條件。

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解題方法

直接使用均勻相的穩定性判準即可。

由規則溶液模型：

$$\Delta G_{\mathrm{mix}} = RT\left[x\ln x+(1-x)\ln(1-x)\right] +\Omega x(1-x)$$

對組成 $x$ 作二階微分：

$$\frac{\partial \Delta G_{\mathrm{mix}}}{\partial x} = RT\ln\frac{x}{1-x} +\Omega(1-2x)$$

再微分一次：

$$\frac{\partial^2 \Delta G_{\mathrm{mix}}}{\partial x^2} = RT\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\right)-2\Omega$$

在兩個 spinodal compositions 之間，曲線的二階導數為負：

$$\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}<0$$

因此該區域的均勻組成受到微小擾動後，降低 Gibbs 自由能的方式是分解成兩個不同組成的區域。這表示均勻相不具物理穩定性，所以 Gibbs free energy of mixing curve 在該區域的均勻相部分沒有物理意義。

因此正確理由是穩定性要求

$$\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}>0$$

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選項分析

此題考驗對多組分系統熱力學的理解，特別是相平衡和自由能的概念。

(a) 最多共存相的數量：根據 Gibbs 相律 $F = C - P + 2$，其中 F 是自由度，C 是組分數，P 是相數。對於一個五元系統 (C=5)，如果我們考慮的是一個固定條件（例如固定溫度和壓力），那麼自由度 F = 0。此時，相數 P = C + 2 = 5 + 2 = 7。然而，這是在 C 個組分、溫度和壓力都固定的情況下。通常在相圖分析中，我們考慮的是溫度和壓力可變的情況。
如果我們考慮的是在多維相空間中的某個點，例如在 T-P 空間中，則自由度為 $F = C - P + 2$。
如果我們考慮的是在 T-P-x1-x2-x3-x4-x5 空間中的平衡點，那麼自由度 F = C - P + 2。
在一個 C 組分系統中，最多可以有 C+1 個相共存（例如，在共晶點或三相點）。對於五元系統，最多可能共存 5+1 = 6 個相。如果壓力是固定的，那麼自由度是 $F = C - P + 1$。在固定壓力下，最多共存的相數為 C+1=6。
選項 (a) 說最多共存五個相，這不一定是正確的，可能更多。

(b) 固、液、氣三相的「三相點」：在一個多組分系統中，一個「三相點」是指同時有三個相達到平衡的點。如果我們考慮的是一個 C 組分系統，並且溫度和壓力都可以變化，那麼自由度是 $F = C - P + 2$。
對於固、液、氣三相共存 ($P=3$)，在 C 組分系統中，自由度為 $F = C - 3 + 2 = C - 1$。
對於五元系統 (C=5)，如果固、液、氣三相共存，則自由度 $F = 5 - 1 = 4$。這意味著有四個獨立的變量可以改變，而系統仍然保持三相平衡。因此，它不是「不變的 (invariant)」。

核心觀念

本題考查四個熱力學與相平衡的重要定義：

1. Binodal curve（雙節線）與 immiscibility gap（不互溶區）
2. 理想氣體與超臨界流體
3. 逸度（fugacity）的物理意義與可測量性
4. 可逆絕熱過程與等熵過程的關係

解題策略是逐一檢查各選項是否符合嚴格定義，最後判斷是否有任何一項正確。

解題方法與選項分析

（a）A binodal curve is equivalent to an immiscible gap.

錯誤。

在二元相圖中：

• Binodal curve 是兩相平衡區的邊界，表示系統開始出現兩相分離的組成條件。
• Immiscibility gap 是被 binodal curve 圍出的兩相共存區域，位於此區域內的整體組成會分解成兩個成分不同的相。

因此，兩者的關係是：

$$\text{binodal curve}=\text{兩相區的邊界}$$ $$\text{immiscibility gap}=\text{由該邊界包圍的兩相區域}$$

雙節線是「線」，不互溶區是「區域」，兩者並不等價。

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（b）An ideal gas may form a supercritical fluid when the temperature and pressure are both above the critical point.

錯誤。

超臨界流體必須具有臨界點。對真實流體而言，當

$$T>T_c,\qquad P>P_c$$

時，液相與氣相的界線消失，流體進入超臨界狀態。

然而，理想氣體遵守

$$PV=nRT$$

且不考慮分子間作用力與分子本身體積，因此不存在液氣兩相共存，也不存在液氣相界線與臨界點。換言之：

$$\text{ideal gas has no }T_c\text{ and }P_c$$

所以不能以「高於臨界溫度與臨界壓力」描述理想氣體形成超臨界流體。

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（c）The fugacity of a phase can be directly measured with experiments.

錯誤。

逸度是為了修正真實流體偏離理想氣體行為而引入的有效壓力，其定義可由化學勢表示：

此題考驗對二元系統中兩相平衡的熱力學條件的理解。當兩個相（在此為 fcc 和 bcc）在恆溫恆壓下達到平衡時，它們必須滿足以下條件：

1. 化學勢相等：每個組分在兩個相中的化學勢必須相等。
   $\mu_i^{fcc} = \mu_i^{bcc}$ 對於所有組分 i。
2. 吉布斯自由能最低：系統的總吉布斯自由能達到最小值。

化學勢 $\mu_i$ 與活度 $a_i$ 有關：$\mu_i = \mu_i^0 + RT \ln a_i$。
其中 $\mu_i^0$ 是標準狀態下的化學勢。

對於二元系統（例如 A 和 B），平衡條件是：
$\mu_A^{fcc} = \mu_A^{bcc}$
$\mu_B^{fcc} = \mu_B^{bcc}$

這意味著：
$\mu_A^{0,fcc} + RT \ln a_A^{fcc} = \mu_A^{0,bcc} + RT \ln a_A^{bcc}$
$\mu_B^{0,fcc} + RT \ln a_B^{fcc} = \mu_B^{0,bcc} + RT \ln a_B^{bcc}$

核心觀念

本題考查二元相圖判讀、固溶體混合熱，以及 Gibbs 相律。

規則溶液模型為

$$\Delta G_{\mathrm{mix}} =RT(x_A\ln x_A+x_B\ln x_B)+\Omega x_Ax_B$$

其中

$$\Delta H_{\mathrm{mix}}=\Omega x_Ax_B,\qquad G^{E}=\Omega x_Ax_B$$

$\Omega>0$ 代表 A–B 原子間作用較不利，傾向相分離；$\Omega<0$ 則代表 A–B 互相吸引，傾向混合。

解題方法

先讀取 $600\ \mathrm{K}$ 時兩個純元素所在的相區，再觀察低溫區的 $\alpha+\alpha'$ 固態互溶間隙，最後依圖判斷三相共存組合。

選項分析

(a) 錯誤

在 $600\ \mathrm{K}$：

• 純 A（$x_B=0$）位於 $\alpha$ 相；
• 純 B（$x_B=1$）位於 $\alpha'$ 相。

但圖中的 $\alpha+\alpha'$ 是固態互溶間隙，$\alpha'$ 的撇號是用來區分兩個成分不同的固溶體分支，並不表示兩者具有不同晶體結構。故不能判定純 A 與純 B 為不同晶體結構。

(b) 錯誤

正混合焓表示

此題考驗對熱力學關係式在多組分系統中的應用。在一個二元系統中，如果我們知道了其中一個組分的熱力學性質（例如活度、化學勢或其變化量），我們通常可以通過一個特定的熱力學關係式來推導出另一個組分的性質。

(a) Maxwell relations：Maxwell 關係式是用來聯繫熱力學狀態函數的偏微分之間的關係，例如 $\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V$。它們主要用於單一組分系統或描述宏觀熱力學性質，而不是直接用來推導另一組分的性質。

(b) Henry's law：Henry's law 描述的是在稀薄溶液中，溶質的活度與其莫耳分數成正比 ($a_i = k_H x_i$)。它適用於稀薄溶液，但不能普遍地用於聯繫兩個組分的熱力學性質。

(c) Gibbs-Duhem equation：Gibbs-Duhem 方程式是描述多組分系統中熱力學勢之間關係的一個基本方程。對於一個二元系統 (A, B)，在恆溫恆壓下，它表達為：
$x_A d\mu_A + x_B d\mu_B = 0$
或者，用活度來表示：

此題考驗對 Raoultian 溶液（Raoultian solution）的定義及其活度（activity）的理解。

Raoultian 溶液是指該溶液中的所有組分都遵循 Raoult's law。Raoult's law 指出，在溶液中，任何組分的活度等於其純組分狀態下的化學勢加上與其莫耳分數和理想溶液熵項的乘積。更簡單的說，對於 Raoultian 溶液，組分的活度 $a_i$ 等於其莫耳分數 $x_i$。
$a_i = x_i$

題目中提到 Cu 和 Ni 形成 Raoultian 溶液。這意味著：
$a_{Cu} = x_{Cu}$
$a_{Ni} = x_{Ni}$

給定的條件是 Cu 的莫耳分數 $X_{Cu} = 0.36$。
根據 Raoult's law，Cu 的活度 $a_{Cu}$ 應該等於其莫耳分數 $x_{Cu}$。

核心觀念

Ellingham 圖表示金屬氧化反應的標準 Gibbs 自由能變化：

$$2M+\nu O_2\rightarrow 2M O_{\nu}$$

在相同溫度下：

• 氧化物生成線越低，代表氧化物越穩定，金屬越容易被氧化，還原能力越強。
• 金屬若要還原另一金屬的氧化物，其自身氧化物生成線必須位於對方氧化物生成線之下。
• 單純加熱能否使氧化物分解，則要看其生成反應的 $\Delta G^\circ$ 是否變為正值。

選項分析

(a) 正確。

由圖可見，$CaO$ 的生成線低於 $MgO$，表示 $CaO$ 比 $MgO$ 穩定，鈣比鎂更容易被氧化。因此鎂相對較不容易氧化，具有較高的抗氧化貴金屬性：

$$\text{Ca 的氧化傾向}>\text{Mg 的氧化傾向}$$

所以 Mg 比 Ca 更 noble against oxidation。

(b) 錯誤。

若 CoO 能只靠加熱分解，反應

$$CoO(s)\rightarrow Co(s)+\frac12O_2(g)$$

必須在適當溫度下具有正向分解趨勢。但圖中 CoO 的生成線在相關溫度範圍仍位於 $\Delta G^\circ=0$ 以下，表示 CoO 仍具有熱力學穩定性，不能僅靠在大氣壓下加熱還原成純 Co。

實際還需要降低氧分壓或加入還原劑。

(c) 錯誤。

銀氧化物的生成反應為

此題考驗對相平衡中 Clapeyron 方程式的理解。Clapeyron 方程式描述了在兩相平衡時，壓力 P 隨溫度 T 的變化率 (dP/dT) 與相變的潛熱 (latent heat) 和體積變化 (volume change) 之間的關係。

Clapeyron 方程式的數學形式為：
$\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H}{T \Delta V}$
其中：

• $dP/dT$ 是相平衡曲線的斜率（在 P-T 相圖上）。
• $\Delta H$ 是相變的莫耳焓變（潛熱）。
• $T$ 是絕對溫度。
• $\Delta V$ 是相變的莫耳體積變化。

這個方程是從熱力學基本原理推導出來的，特別是從兩個相具有相同化學勢的條件出發。

選項分析：
(a) van der Waals equation：van der Waals 方程式是描述真實氣體行為的方程，它考慮了分子間作用力和分子體積。雖然它可以應用於分析氣體相的行為，但它本身並不是直接推導相平衡曲線斜率的方程。
(b) Laws of thermodynamics：熱力學定律是基礎，Clapeyron 方程式是從熱力學定律推導出來的。但是，題目問的是「這個關係式可以從哪個推導出來」，Clapeyron 方程式是其中一個具體的推導結果，而「Laws of thermodynamics」是一個更廣泛的範疇。

此題考驗對吉布斯自由能 (G) 隨溫度 (T) 變化的關係的理解，以及不同物態（固、液、氣）在恆壓下的表現。

在恆壓下，吉布斯自由能 G 的變化與溫度的關係由以下熱力學關係式給出：
$\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P = -S$
其中 S 是莫耳熵 (molar entropy)。

熵的大小關係為：$S_{vapor} > S_{liquid} > S_{solid}$。
因此，在恆壓下，吉布斯自由能隨溫度的變化率（即斜率）為：
$\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P = -S$
所以，斜率的大小與熵成正比，但符號為負。
斜率最負（最陡峭的負斜率）意味著熵最大。
斜率最正（最陡峭的正斜率）意味著熵最小。
接近水平線（斜率接近於零）意味著熵接近於零。

比較固、液、氣三態的熵：
$S_{vapor} > S_{liquid} > S_{solid}$

因此，三種狀態的吉布斯自由能隨溫度的斜率為：

核心觀念

本題考查「粒子在空間中可能排列方式的數目」與熵的關係。

統計熱力學中，若系統有 $\Omega$ 種可能的微觀排列方式，則其熵可由 Boltzmann 關係式表示為

$$S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$$

其中：

• $S$：熵
• $k_{\mathrm B}$：Boltzmann 常數
• $\Omega$：系統可能的微觀狀態數目

當討論粒子在晶格位置、不同原子位置或空間中的排列方式時，這些排列所造成的熵稱為「組態熵」（configuration entropy）。

對理想混合物而言，組態熵常寫為

$$\Delta S_{\mathrm{config}} =-R\sum_i x_i\ln x_i$$

其中 $x_i$ 為第 $i$ 種粒子的莫耳分率。粒子排列越多，$\Omega$ 越大，組態熵也越大。

解題方法

題幹的關鍵字是：

The number of ways in which the particles can be distributed in space

也就是「粒子分布在空間中的方式數目」。這直接對應到粒子排列的微觀狀態數 $\Omega$。

由

$$S=k_{\mathrm B}\ln\Omega$$

可知，描述粒子空間排列方式所產生的熵，正是組態熵。因此正確選項為 configuration entropy。

若以二元系統說明，假設有 $N_A$ 個 $A$ 粒子與 $N_B$ 個 $B$ 粒子，總粒子數為

$$N=N_A+N_B$$

則將粒子配置於晶格位置的方式數為

$$\Omega=\frac{N!}{N_A!N_B!}$$

組態熵為

$$S_{\mathrm{config}}=k_{\mathrm B}\ln\Omega$$

利用 Stirling 近似 $\ln N!\approx N\ln N-N$，可得

$$S_{\mathrm{config}} =-Nk_{\mathrm B} \left(x_A\ln x_A+x_B\ln x_B\right)$$

換成每莫耳形式即為

$$S_{\mathrm{config}} =-R\left(x_A\ln x_A+x_B\ln x_B\right)$$

核心觀念

本題考查兩個不可逆過程：

1. 熱傳導：鋁 B 初溫較高，鋼 A 初溫較低，熱量由鋁流向鋼，直到達到熱平衡。
2. 原子擴散與熵變：鋼與鋁接觸後，界面兩側成分不均，會發生互擴散，使原子排列更加混合。

孤立系統中的自發過程必須符合第二定律：

$$\Delta S_{\text{total}}>0$$

總熵可分為熱熵與組態熵等部分：

$$\Delta S_{\text{total}} = \Delta S_{\text{thermal}} + \Delta S_{\text{configurational}} +\cdots$$

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解題方法

先分別判斷溫度差與成分差造成的效應：

• 溫度方面：$T_B=50^\circ\mathrm{C}>T_A=30^\circ\mathrm{C}$，熱量由鋁 B 傳向鋼 A。
• 成分方面：鋼與鋁在界面兩側組成不同，鋁原子會向鋼側擴散，同時鋼中的元素也會向鋁側擴散。
• 熱平衡溫度由能量守恆決定，而非單純取兩個初始溫度的算術平均。

對熱傳導而言，若高溫物體放出熱量 $Q$、低溫物體吸收熱量 $Q$，其總熱熵變為

$$\Delta S_{\text{thermal}} = m_Ac_A\ln\frac{T_f}{T_A} + m_Bc_B\ln\frac{T_f}{T_B}$$

其中溫度須使用絕對溫度。由於這是有限溫差下的不可逆熱傳導，

$$\Delta S_{\text{thermal}}>0$$

而原子互擴散增加混合程度，因此組態熵也增加：

$$\Delta S_{\text{configurational}}>0$$

所以整體熵必然增加。

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選項分析

(a) the Al atom will diffuse into steel A

正確。

鋁 B 與鋼 A 接觸後，界面兩側存在成分梯度，鋁原子會向鋼側擴散；同時鋼中的鐵及其他合金元素也可能向鋁側擴散。擴散的熱力學驅動力是化學勢梯度：

$$\mathbf{J}_i\propto-\nabla\mu_i$$

因此，鋁原子會有進入鋼 A 的擴散趨勢。

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此題考驗對定壓加熱過程中熱量與焓變的關係。

題目描述了一個系統在加熱過程中，壓力保持不變 (constant pressure)。
在恆壓過程中，系統吸收或釋放的熱量 ($q_P$) 與焓變 ($\Delta H$) 的關係是：
$q_P = \Delta H$

熱容量 (heat capacity) 是描述物質吸收或釋放熱量以改變溫度的能力的物理量。
在恆壓下，我們使用定壓熱容量 ($C_P$)。
定壓熱容量的定義是：
$C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P$
這表示在恆壓下，焓對溫度的偏微分等於定壓熱容量。

如果溫度變化是有限的，從 $T_1$ 到 $T_2$，那麼焓的變化 $\Delta H$ 可以通過積分定壓熱容量得到：
$\Delta H = \int_{T_1}^{T_2} C_P dT$

如果 $C_P$ 在這個溫度範圍內可以視為常數，那麼積分可以簡化為：
$\Delta H = C_P (T_2 - T_1)$
其中 $T_2 - T_1$ 是溫度差 ($\Delta T$)。

此題考驗對單組分系統相變過程中，吉布斯自由能 (G) 與壓力 (P) 和溫度 (T) 關係的理解。

我們知道，在恆溫恆壓下，吉布斯自由能 G 的變化與溫度和壓力有關：
$dG = V dP - S dT$

從這個基本關係式，我們可以得到：

1. 在恆壓 ($dP=0$) 下，$\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P = -S$。由於熵 S 總是正的，所以斜率 $-S$ 總是負的。這意味著，在恆壓下，G 隨溫度的變化曲線的斜率永遠是負的。
2. 在恆溫 ($dT=0$) 下，$\left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_T = V$。由於體積 V 總是正的，所以斜率 $V$ 總是正的。這意味著，在恆溫下，G 隨壓力的變化曲線的斜率永遠是正的。

題目提到「一條具有正斜率的直線曲線」。
根據上述分析：

• G 隨溫度的曲線（G vs T）斜率永遠是負的。
• G 隨壓力的曲線（G vs P）斜率永遠是正的。

因此，一條具有正斜率的直線曲線，只能是 G 隨壓力變化的曲線 (G vs P curve)，而且它代表的是某個相（固、液或氣）在恆溫下的自由能隨壓力變化的情況。