109 年 國立成功大學材料科學及工程學系碩士班《材料科學》

這題考驗的是統計學中「標準差」的計算，這是描述一組數據離散程度的指標。在材料科學中，我們常需要分析實驗數據的變異性，以評估測量結果的可靠度。

解題過程

首先，我們需要計算這五個數據的平均值 ($\bar{x}$)。
數據為：80.7, 84.4, 87.2, 86.2, 88.3

平均值計算如下：
$\bar{x} = \frac{80.7 + 84.4 + 87.2 + 86.2 + 88.3}{5}$
$\bar{x} = \frac{426.8}{5}$
$\bar{x} = 85.36$

接下來，我們計算每個數據與平均值之間的差值，並將其平方。
$(80.7 - 85.36)^2 = (-4.66)^2 = 21.7156$
$(84.4 - 85.36)^2 = (-0.96)^2 = 0.9216$
$(87.2 - 85.36)^2 = (1.84)^2 = 3.3856$

核心觀念

本題考查兩個關係：

1. 維氏硬度值（Vickers hardness, HV）

   維氏硬度以金字塔形鑽石壓頭壓入材料，根據載重 $F$ 與壓痕對角線長度 $d$ 計算：

$$HV=1.8544\frac{F}{d^2}$$

其中：

• $F$：以 kgf 為單位
• $d$：以 mm 為單位
• $HV$：單位為 kgf/mm$^2$

2. 硬度與降伏應力的關係

   依據 Tabor 經驗關係，金屬材料的硬度約為降伏應力的三倍：

$$HV \approx 3\sigma_y$$

因此：

$$\sigma_y\approx\frac{HV}{3}$$

---

解題方法

第一步：統一單位

載重為 $500\ \text{g}$：

$$F=0.500\ \text{kgf}$$

壓痕對角線長度為 $250\ \mu\text{m}$：

$$d=250\times10^{-3}\ \text{mm}=0.250\ \text{mm}$$

第二步：計算維氏硬度

代入維氏硬度公式：

$$HV=1.8544\frac{0.500}{(0.250)^2}$$ $$HV=1.8544\frac{0.500}{0.0625}$$ $$HV=14.8352\ \text{kgf/mm}^2$$

第三步：換算為降伏應力

先將硬度換算成 MPa。由於：

$$1\ \text{kgf/mm}^2=9.807\ \text{MPa}$$

因此：

$$HV=14.8352\times9.807$$ $$HV\approx145.4\ \text{MPa}$$

這題主要考驗學生對材料力學中「三點彎曲」試驗的理解，以及如何計算材料的斷裂應力（Rupture Stress）。

解題過程

三點彎曲試驗是一種常見的材料力學測試方法，用於測量材料的彎曲強度。在三點彎曲測試中，一個長條狀的試件被支撐在兩個支點上，並在試件的中心處施加一個向下的載荷。當載荷增加到使試件斷裂時，我們就可以計算出材料的斷裂應力。

斷裂應力（Rupture Stress）的計算公式為：
$\sigma_f = \frac{M c}{I}$
其中：

• $\sigma_f$ 為斷裂應力 (Rupture Stress)
• $M$ 為最大彎曲力矩 (Maximum Bending Moment)
• $c$ 為從中性軸到試件最外層的距離
• $I$ 為截面的面積慣性矩 (Area Moment of Inertia)

在三點彎曲試驗中，最大彎曲力矩 $M$ 的計算方式為：
$M = \frac{P L}{4}$
其中：

• $P$ 為施加的載荷 (Applied Load)
• $L$ 為試件的長度 (Length of the rod)

對於一個矩形截面，其面積慣性矩 $I$ 的計算方式為：
$I = \frac{b h^3}{12}$
其中：

• $b$ 為截面的寬度 (Width)
• $h$ 為截面的高度 (Height)

從中性軸到試件最外層的距離 $c$ 為：
$c = \frac{h}{2}$

將上述公式合併，我們可以得到三點彎曲試驗的斷裂應力公式：
$\sigma_f = \frac{(\frac{P L}{4}) (\frac{h}{2})}{\frac{b h^3}{12}} = \frac{P L h}{8} \times \frac{12}{b h^3} = \frac{3 P L}{2 b h^2}$

核心觀念

本題考查平面應力狀態下的主應力與最大剪應力。已知

$$\sigma_x=350\ \text{MPa},\qquad \sigma_y=70\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=210\ \text{MPa}$$

最大剪應力等於莫爾圓半徑：

$$\tau_{\max} = \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$

解題方法

先計算平均正應力與正應力差的一半：

$$\sigma_{\text{avg}} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{350+70}{2} = 210\ \text{MPa}$$ $$\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2} = \frac{350-70}{2} = 140\ \text{MPa}$$

因此莫爾圓半徑，即平面內最大剪應力為

$$\tau_{\max} = \sqrt{140^2+210^2}$$ $$\tau_{\max} = \sqrt{19600+44100} = \sqrt{63700} \approx 252.4\ \text{MPa}$$

亦可先求主應力：

$$\sigma_{1,2} = \sigma_{\text{avg}} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$ $$\sigma_1\approx 210+252.4=462.4\ \text{MPa}$$ $$\sigma_2\approx 210-252.4=-42.4\ \text{MPa}$$

故

核心觀念

Tresca 降伏準則又稱最大剪應力準則，認為材料開始降伏時，最大主應力差達到單軸拉伸降伏應力：

$$\sigma_{\text{Tresca}}=\max\left( |\sigma_1-\sigma_2|, |\sigma_2-\sigma_3|, |\sigma_3-\sigma_1| \right)$$

其中 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ 為三個主應力。若題目要求由已知複合應力狀態求對應的單軸降伏應力，則取最大主應力差。

解題方法

題目給定平面應力狀態：

$$\sigma_x=70\ \text{MPa},\qquad \sigma_y=120\ \text{MPa},\qquad \tau_{xy}=60\ \text{MPa}$$

平面應力下，兩個面內主應力為

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2 }$$

先計算平均正應力：

$$\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} = \frac{70+120}{2} =95\ \text{MPa}$$

再計算根號項：

$$\sqrt{ \left(\frac{70-120}{2}\right)^2+60^2 } = \sqrt{(-25)^2+3600} = \sqrt{4225} =65\ \text{MPa}$$

因此：

$$\sigma_1=95+65=160\ \text{MPa}$$ $$\sigma_2=95-65=30\ \text{MPa}$$

由於是平面應力狀態，厚度方向主應力為

$$\sigma_3=0\ \text{MPa}$$

三個主應力依大小排列為

好的，這題是關於材料力學中應力-應變曲線的特性，以及真實應力與工程應力的比較。我們來逐一分析選項。

這題主要考驗對工程應力-應變曲線在拉伸與壓縮下的形狀判斷，以及工程應力 (engineering stress) 與真實應力 (true stress) 在不同試驗方式下的相對大小關係。

解題過程：

(a) A typical engineering stress-strain curve is concave under tension.

• 說明： 在拉伸試驗中，材料從彈性變形進入塑性變形後，會發生應變硬化 (strain hardening)。應變硬化意味著材料抵抗進一步變形的能力增強，因此在應力-應變曲線上會呈現斜率逐漸增加的趨勢，直到極限強度。然而，工程應力是定義為外力除以初始截面積。當材料發生頸縮 (necking) 現象時，實際的變形區域截面積會持續減小，但工程應力計算仍使用初始截面積，這會導致工程應力曲線在達到極限強度後開始下降，而真實應力則會持續上升。因此，在達到極限強度之後，工程應力-應變曲線會呈現下降趨勢，整體而言，在塑性變形階段，尤其是在頸縮發生後，工程應力-應變曲線通常是先逐漸變平緩（應變硬化），然後在達到極限強度後下降。若考慮整個塑性變形區，尤其是在頸縮發生後，曲線會向下彎曲，呈現凹向應變軸的趨勢，但更精確的說法是，在頸縮發生後，工程應力下降，而真實應力上升。然而，題目問的是「典型」的工程應力-應變曲線。在頸縮發生前，應變硬化使得曲線斜率增加，呈現凸向應力軸的趨勢。在頸縮發生後，工程應力下降，曲線向下彎曲。因此，說「凹」可能不夠精確，或者說在某些階段是凸的，某些階段是凹的。但若將整個塑性變形區視為一個整體，特別是考慮到頸縮後的下降，它確實會向下彎曲。不過，相較於其他選項，我們需要尋找最正確的敘述。

(b) The engineering stress is larger than the true stress for a compression testing at the same strain.

• 說明： 工程應力 $\sigma_e$ 定義為外力 $F$ 除以初始截面積 $A_0$：$\sigma_e = \frac{F}{A_0}$。真實應力 $\sigma_t$ 定義為外力 $F$ 除以當前截面積 $A$：$\sigma_t = \frac{F}{A}$。

好的，這題是關於金屬單晶在拉伸變形時的應力-應變行為，特別是「easy glide」現象。

第 7 題詳解

這題考的核心觀念是：金屬單晶在拉伸變形過程中，當應力軸與特定的晶體方向重合時，會發生「easy glide」現象，表現為一個應力-應變曲線中應變硬化率較低的線性區域。 這種現象與滑移系統的啟動和滑移方向的取向密切相關。

解題過程：

在金屬單晶的拉伸變形過程中，滑移是主要的塑性變形機制。滑移發生在特定的晶面（滑移面）和特定的晶向（滑移方向）上，這兩個方向共同構成一個滑移系統。對於面心立方 (fcc) 結構的金屬，最常見的滑移系統是 $\{111\}$ 晶面上的 $<110>$ 方向。

「Easy glide」現象是指，當拉伸軸（應力軸）與某個滑移方向的取向非常接近時，該滑移系統會比其他系統更容易啟動，並且在滑移過程中，應力-應變曲線會呈現一個斜率較小的線性區域，表示應變硬化率較低。這是因為在這種取向下，施加的應力能有效地在該滑移系統上產生剪應力，且隨著變形的進行，其他滑移系統的啟動相對較慢。

我們要找出哪一個晶體方向作為拉伸軸時，最容易觀察到「easy glide」現象。這取決於哪一個方向與 fcc 單晶中的滑移方向（$<110>$）最容易產生較大的剪應力，並且在滑移過程中保持較低的應變硬化率。

根據施密特定律（Schmid's Law），滑移系統上的剪應力 $\tau$ 與外加拉伸應力 $\sigma$ 的關係為：
$\tau = \sigma \cos\phi \cos\lambda$
其中 $\phi$ 是拉伸軸與滑移面的法線方向之間的夾角，$\lambda$ 是拉伸軸與滑移方向之間的夾角。

為了使滑移系統最容易啟動，需要最大化施密特因子 $\cos\phi \cos\lambda$。對於 fcc 單晶，滑移系統是 $\{111\}$ 晶面上的 $<110>$ 方向。

我們需要檢查題目選項中的方向，看哪一個方向與 fcc 的滑移方向 $<110>$ 的夾角 $\lambda$ 使得 $\cos\phi \cos\lambda$ 較大，且在變形過程中容易維持「easy glide」。

• (a) <100> 方向： 在 fcc 結構中，<100> 方向並非滑移方向。若拉伸軸為 <100>，則與所有 $\{111\}$ 晶面的法線夾角都相同，且與所有 $<110>$ 滑移方向的夾角也相同。計算可得，$\cos\phi = 1/\sqrt{3}$，$\cos\lambda = 1/\sqrt{2}$，施密特因子為 $1/\sqrt{6} \approx 0.408$。此時，通常會有多個滑移系統同時啟動，難以觀察到單一的「easy glide」區域。

核心觀念

本題考查晶體中位錯所儲存的彈性能。位錯密度 $\rho$ 定義為單位體積內的位錯總長度：

$$\rho=\frac{\text{位錯總長度}}{\text{晶體體積}}$$

位錯每單位長度的彈性能近似為：

$$E_l=\frac{1}{2}Gb^2$$

因此，單位體積的儲存能為：

$$U=\rho E_l=\frac{1}{2}Gb^2\rho$$

其中：

• $G$：剪切模數
• $b$：柏格向量大小
• $\rho$：位錯密度

銅為面心立方結構，最常見的完全位錯為 $\frac{a}{2}\langle 110\rangle$，故柏格向量大小為：

$$b=\frac{a}{\sqrt{2}}$$

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解題方法

已知：

$$\rho=10^{11}\ \text{cm}^{-2}$$ $$G=48\ \text{GPa}=48\times10^9\ \text{Pa}$$ $$a=0.36\ \text{nm}=0.36\times10^{-9}\ \text{m}$$

先將位錯密度換算成 $\text{m}^{-2}$：

$$1\ \text{cm}^{-2}=10^4\ \text{m}^{-2}$$

因此：

$$\rho=10^{11}\times10^4 =10^{15}\ \text{m}^{-2}$$

柏格向量大小為：

$$b=\frac{0.36\times10^{-9}}{\sqrt{2}} \approx2.55\times10^{-10}\ \text{m}$$

代入儲存能公式：

$$U=\frac{1}{2}Gb^2\rho$$ $$U=\frac{1}{2} (48\times10^9) (2.55\times10^{-10})^2 (10^{15})$$

因為：

$$(2.55\times10^{-10})^2 \approx6.48\times10^{-20}$$

所以：

核心觀念

本題考查線彈性破壞力學中的應力強度因子：

$$K_I=Y\sigma\sqrt{\pi a}$$

其中：

• $K_I$：裂紋尖端的應力強度因子
• $Y$：幾何修正因子
• $\sigma$：外加應力
• $a$：裂紋半長

當裂紋擴展達到臨界狀態時：

$$K_I=K_{IC}$$

題目未提供幾何修正因子，依此類標準選擇題採用理想裂紋模型，令 $Y=1$；且「flaw size」視為完整裂紋長度 $2a$。

解題方法

已知完整缺陷尺寸為：

$$2a=4.8\ \text{mm}$$

因此裂紋半長為：

$$a=2.4\ \text{mm}=2.4\times10^{-3}\ \text{m}$$

以材料降伏強度 $760\ \text{MPa}$ 作為臨界應力估算：

$$K_{IC}=\sigma_y\sqrt{\pi a}$$

代入數值：

$$K_{IC} =760\sqrt{\pi(2.4\times10^{-3})}$$ $$K_{IC} =760\sqrt{7.54\times10^{-3}}$$ $$K_{IC} \approx760(0.0866) \approx65.8\ \text{MPa}\cdot\text{m}^{1/2}$$

好的，這題是關於固體中空位的溫度依賴性，是材料科學中非常基礎且重要的觀念。

第 10 題詳解

這題考查的是固體中空位（vacancy）數量的溫度依賴性。空位是晶體結構中常見的一種點缺陷，其形成需要能量，因此其數量會受到溫度的影響。

解題過程：

固體中空位的形成是一個吸熱過程，意即需要能量才能在晶格中形成一個空位。根據熱力學原理，系統總是傾向於趨向最低的自由能狀態。自由能 $F$ 可以表示為 $F = U - TS$，其中 $U$ 是內能，$T$ 是絕對溫度，$S$ 是熵。

空位的形成會增加系統的內能（因為需要克服原子鍵結的能量），但同時也會增加系統的熵（因為空位的存在增加了系統的無序度）。

空位的形成能（formation energy）通常用 $E_f$ 表示，形成 $N_v$ 個空位的總內能增加量約為 $N_v E_f$。
空位的形成會增加系統的微觀狀態數，進而增加熵。對於 $N$ 個原子位置，形成 $N_v$ 個空位時，其熵的增加量 $\Delta S$ 可以近似表示為：
$\Delta S = k \ln \Omega$
其中 $k$ 是波茲曼常數，$\Omega$ 是與空位數量相關的組合數。對於 $N$ 個原子位置和 $N_v$ 個空位，$\Omega \approx \left(\frac{N}{N_v}\right)^{N_v}$。
因此，熵的增加量為：

核心觀念

本題考查金屬在接近熔點時的平衡空位濃度（fraction of vacancies）。空位是晶格中原子缺席的位置，其平衡分率可由下式表示：

$$X_v=\frac{N_v}{N} =\exp\left(\frac{\Delta S_v}{k}\right) \exp\left(-\frac{\Delta H_v}{kT}\right)$$

若忽略空位形成熵的影響，常用近似式為：

$$X_v\approx \exp\left(-\frac{Q_v}{kT}\right)$$

其中：

• $X_v$：空位分率
• $Q_v$：空位形成能
• $k$：波茲曼常數
• $T$：絕對溫度

溫度越高，熱激發越強，空位分率越大。金屬在接近熔點但尚未熔化時，空位分率通常約為 $10^{-4}$ 的數量級。

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解題方法

多數金屬的空位形成能約為 $0.5\sim1.5\ \text{eV}$，熔點溫度約為 $800\sim2000\ \text{K}$。以典型數值估算：

$$Q_v\approx 1.0\ \text{eV},\qquad T\approx 1000\ \text{K}$$

且

$$k=8.617\times10^{-5}\ \text{eV/K}$$

因此：

$$\frac{Q_v}{kT} = \frac{1.0}{(8.617\times10^{-5})(1000)} \approx 11.6$$ $$X_v\approx e^{-11.6}\approx 9\times10^{-6}$$

這題主要在考驗學生對材料中「晶界」與「雙晶界」的理解與區別。雙晶界是一種特殊的晶界，具有特定的對稱性，並且是材料中一種常見的界面缺陷。

解題過程：

題目問「雙晶界 (twin boundary) 是什麼？」。我們逐一分析選項：

• (a) a special type of grain boundary (一種特殊的晶界)：

  • 說明： 晶界 (grain boundary) 是指兩個晶粒之間，晶體取向不同的界面。雙晶界確實是晶界的一種，但它具有更嚴格的晶體取向關係，即兩個晶粒的取向是通過鏡面反射或旋轉對稱而形成的。因此，說它是「一種特殊的晶界」是正確的。

• (b) a specific mirror lattice symmetry (一個特定的鏡面晶格對稱)：

  • 說明： 雙晶界最核心的特徵就是其所連接的兩個晶體區域之間存在鏡面對稱關係。也就是說，一個晶體區域的原子排列可以通過鏡面反射到另一個晶體區域的原子排列。這種鏡面晶格對稱性是定義雙晶界的關鍵。因此，這個描述是正確的。

好的，這是一題關於晶體結構判斷的題目，核心觀念在於理解不同晶體結構（如 BCC, FCC, HCP, SC）的原子在單位晶格中的典型位置，以及如何透過給定的原子座標來辨識結構。

解題過程：

題目給定了兩個原子座標：$(0, 0, 0)$ 和 $(1/2, 1/2, 1/2)$。我們需要判斷這兩個座標代表的結構是哪一種。

1. 理解原子座標的意義： 在晶體學中，原子座標通常以單位晶格的邊長為單位來表示。$(0, 0, 0)$ 代表位於單位晶格的起始點（或稱為原點）的原子。$(1/2, 1/2, 1/2)$ 代表位於單位晶格中心（體心）的原子。

2. 分析常見晶體結構的原子位置：

   • 簡單立方 (Simple Cubic, SC)： 在 SC 結構中，原子只位於晶格的八個頂點。如果我們將一個頂點設為 $(0,0,0)$，那麼 SC 結構的原子座標就是 $(0,0,0)$。它沒有體心原子。
   • 體心立方 (Body-Centered Cubic, BCC)： 在 BCC 結構中，原子位於八個頂點，並且在單位晶格的體心位置。如果將一個頂點設為 $(0,0,0)$，則體心位置的原子座標為 $(1/2, 1/2, 1/2)$。因此，BCC 結構的原子座標集合可以表示為 $(0,0,0)$ 和 $(1/2, 1/2, 1/2)$（以及其他頂點，但這些是代表性的位置）。

好的，這是一題關於退火雙晶（Annealing twins）的題目，核心觀念在於了解不同晶體結構（FCC, BCC, HCP 等）在進行退火處理時，哪些結構容易形成退火雙晶。

解題過程：

退火雙晶是金屬在退火過程中，由於原子重新排列而形成的一種特殊的晶界。這種雙晶的形成與晶體結構的原子堆積方式以及滑移系統的特性密切相關。

• FCC (面心立方) 結構： FCC 結構具有較多的滑移系統（12個），且在退火時，原子容易透過較小的滑移來達到能量最低的狀態，形成雙晶。FCC 結構的原子堆積因子為 0.74，屬於密堆積結構。常見的 FCC 金屬包括銅 (Cu)、鋁 (Al)、鎳 (Ni)、金 (Au)、銀 (Ag) 等。這些金屬在退火時，經常觀察到退火雙晶。

• BCC (體心立方) 結構： BCC 結構的滑移系統較少（約 48 個，但有效滑移系統較少），且在退火時，原子排列的重排方式傾向於形成其他類型的晶界，而非退火雙晶。BCC 結構的原子堆積因子為 0.68。

好的，這是一題關於原子結構與質量的基本觀念題。

核心觀念：
此題主要在測試考生對原子結構中，同一元素可能存在不同原子質量的現象的理解。這涉及到原子核內質子數相同但中子數不同的原子，以及它們在化學上的稱呼。

解題過程：

題目問到：「某些元素的原子具有兩個或兩個以上不同的原子質量，它們被稱為 ______」。

我們來分析選項：

• (a) diatomic molecules (雙原子分子)： 雙原子分子是由兩個相同的或不同的原子透過共價鍵結合而成的分子，例如 O₂ 或 CO。這與原子質量不同無關。
• (b) isotopes (同位素)： 同位素是指質子數相同，但中子數不同的同一種元素的原子。由於中子數不同，它們的原子質量也會不同。

核心觀念

鍵結的百分離子特性（% ionic character）可用電負度差估算。依鮑林經驗式：

$$\%\text{離子特性} = \left[1-\exp\left(-0.25(\Delta\chi)^2\right)\right]\times100\%$$

其中 $\Delta\chi=|\chi_A-\chi_B|$。此式隨電負度差單調增加，因此比較各材料的電負度差，就能判斷哪一種離子特性最高。

解題方法

依原卷圖表讀取電負度：Zn 為 1.6、Na 為 0.9、Mg 為 1.2、Si 為 1.8、Ti 為 1.5；S 為 2.5、Cl 為 3.0、O 為 3.5、C 為 2.5、N 為 3.0。逐一計算兩元素的電負度差：

• ZnS：$\Delta\chi=|2.5-1.6|=0.9$
• NaCl：$\Delta\chi=|3.0-0.9|=2.1$
• MgO：$\Delta\chi=|3.5-1.2|=2.3$
• SiC：$\Delta\chi=|2.5-1.8|=0.7$
• TiN：$\Delta\chi=|3.0-1.5|=1.5$

好的，這題是關於材料的結晶度，也就是材料中原子排列的規則性程度。我們需要根據選項中各材料的特性來判斷哪一個具有最高的結晶度。

詳解：

這題考的核心觀念是「結晶度 (Crystallinity)」。結晶度是指材料中原子或分子呈現規則排列（即晶體結構）的比例。高度結晶的材料具有有序的原子排列，而非晶質材料則具有無序的原子排列。

我們逐一分析各選項：

(a) Metallic Glass (金屬玻璃)：金屬玻璃，又稱非晶質金屬，顧名思義，其原子排列是無序的，類似於液體或普通玻璃。因此，它的結晶度非常低，接近於零。

(b) Kaolinite Clay (高嶺石黏土)：高嶺石是一種黏土礦物，其化學式為 $Al_2Si_2O_5(OH)_4$。黏土礦物通常具有層狀結構，並且在自然界中形成，具有一定的結晶度。雖然黏土礦物可能存在缺陷或非晶質成分，但其主要結構是結晶的。

(c) Amorphous Carbon (非晶質碳)：非晶質碳，例如煤炭或炭黑，其碳原子的排列是無序的。雖然石墨和鑽石是碳的結晶同素異形體，但「非晶質碳」明確指出其缺乏長程有序的結構，因此結晶度非常低。

核心觀念

離子晶體的配位數可用陽離子與陰離子的半徑比 $r_c/r_a$ 判斷，其中 $r_c$ 是陽離子半徑，$r_a$ 是陰離子半徑。半徑比落在不同範圍時，陽離子周圍可穩定接觸的最近鄰陰離子數不同。

題目附圖表列出：當 $0.732 \le r_c/r_a \le 1.0$ 時，配位數為 8，最近鄰幾何為立方排列。

解題方法

代入題目給的半徑：

$$\frac{r_{\mathrm{Cs^+}}}{r_{\mathrm{Cl^-}}} = \frac{1.70}{1.81} \approx 0.939$$

因為 $0.939$ 落在 $0.732$ 至 $1.0$ 的範圍內，故 Cs⁺ 的配位數為 8。在 CsCl 晶體結構中，每個 Cs⁺ 周圍最近鄰有 8 個 Cl⁻。

這題主要在考驗你對石墨 (graphite) 的基本結構、性質以及其在材料科學中的應用是否了解。你需要辨識出關於石墨的敘述中，哪一個是錯誤的。

解題過程：

我們逐一檢視選項：

(a) 石墨在室溫常壓下比鑽石穩定。
這是正確的敘述。在標準狀態下 (室溫 25°C，1 atm)，石墨的自由能比鑽石低，因此石墨是更穩定的相。這也是為什麼鑽石在常溫常壓下會緩慢地轉變成石墨，只是這個過程非常緩慢。

(b) 石墨是鋰離子電池負極材料中最廣泛採用的材料之一。
這是正確的敘述。石墨因其良好的導電性、層狀結構易於鋰離子嵌入脫嵌，以及相對較低的成本，是目前鋰離子電池負極材料的主流選擇。

(c) 石墨的結構由六角形排列的碳原子層組成。
這是正確的敘述。石墨的基本結構是碳原子以 sp² 混成軌域形成六角形晶格，這些六角形單層碳原子堆疊起來，形成層狀結構。

好的，這是一題關於碳的同素異形體的題目，核心觀念在於理解不同碳同素異形體的結構、原子排列方式以及碳原子的混成軌域 (hybridization)。

題目解析：

題目要求我們找出一個由緊密堆積的單一層碳原子組成，具有 sp² 混成軌域，並形成二維蜂窩狀晶格的碳同素異形體。

• 核心觀念： 碳的同素異形體 (allotropes of carbon) 指的是由相同元素（碳）組成，但原子排列方式不同的結構。常見的碳同素異形體包括石墨 (graphite)、石墨烯 (graphene)、富勒烯 (fullerene)、碳奈米管 (carbon nanotube) 和鑽石 (diamond)。它們在結構、鍵結方式、物理和化學性質上都有顯著差異。其中，碳原子的混成軌域 (hybridization) 是決定其結構和性質的關鍵因素。sp² 混成軌域通常形成平面結構，而 sp³ 混成軌域則形成立體結構。

解題過程：

1. 分析題目關鍵字：
   • "closely packed SINGLE layer of carbon atoms"：強調是單一層原子。
   • "sp² hybridization"：指碳原子的混成軌域。
   • "2D honeycomb lattice plane"：描述其二維的蜂窩狀平面結構。

核心觀念

本題考查面心立方（FCC）的單位晶胞、原子共享、配位數與原子堆積因子。原子共享數用來計算「一個單位晶胞內含多少原子」；配位數則是「一個原子最近鄰原子的數目」，兩者是不同概念。

解題方法

先由晶胞位置判斷原子共享比例，再用最近鄰距離與配位數檢查選項。FCC 中，原子沿著立方體的面對角線互相接觸，因此

$$a\sqrt{2}=4r$$

其中 $a$ 是晶格常數，$r$ 是原子半徑。每個 FCC 單位晶胞含有

$$8\left(\frac{1}{8}\right)+6\left(\frac{1}{2}\right)=4$$

個原子。原子堆積因子為晶胞內原子總體積除以晶胞體積：

$$\text{APF} =\frac{4\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)}{a^3} =\frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.74$$

好的，這是一題關於晶體結構與平面間距計算的題目，是材料科學入門的基礎概念。

這題考的核心觀念是 晶體學中的平面間距計算。對於立方晶系，平面間距 $d_{hkl}$ 與晶格常數 $a$ 以及米勒指數 $(hkl)$ 之間存在一個固定的數學關係式。題目提供了鋁的晶體結構 (FCC)、原子半徑、晶格常數，並要求計算特定晶面 (200) 的平面間距。

解題過程：

1. 確認晶系： 題目明確指出鋁是 FCC (面心立方) 結構。FCC 結構屬於立方晶系。

2. 立方晶系的平面間距公式： 對於立方晶系，平面間距 $d_{hkl}$ 與晶格常數 $a$ 以及米勒指數 $(hkl)$ 的關係式為：
   $d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$
   這個公式的由來可以透過幾何學推導，它表示了通過晶體中特定晶面族 $(hkl)$ 的原子層之間的垂直距離。

3. 代入題目給定的數值：

   • 晶格常數 $a = 4.048$ Å
   • 要求計算的平面為 (200)，所以 $h=2$, $k=0$, $l=0$。

好的，這是一題關於晶體結構基本參數的題目，核心觀念在於辨識不同晶系（Crystal System）的定義，特別是立方晶系（Cubic System）的特徵。

解題過程：

晶體結構的描述需要六個晶格參數（Lattice Parameters），包含三個晶格常數（Lattice Constants）$a, b, c$ 以及三個晶軸夾角（Interaxial Angles）$\alpha, \beta, \gamma$。這些參數定義了單位晶胞（Unit Cell）的形狀與大小。

題目要求辨識正確的立方晶系（Cubic Structure）的晶格參數關係。立方晶系是七大晶系中最對稱的一種，其定義為：

1. 晶格常數關係： 在立方晶系中，三個互相垂直的晶軸長度必須相等，即 $a = b = c$。
2. 晶軸夾角關係： 在立方晶系中，三個晶軸互相垂直，因此它們之間的夾角均為 90 度，即 $\alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$。

現在我們來檢視各選項：

• (a) $a = b = c, \alpha = \beta = \gamma = 90^\circ$
  這個選項符合立方晶系的定義，其中三個晶軸長度相等，且三個晶軸夾角均為 90 度。

好的，這是一題關於材料科學中「微觀偏析」(microsegregation) 的觀念題。這類題目主要在測試你對材料凝固過程中，元素分佈不均現象的理解。

解題過程：

題目問哪個選項與「微觀偏析」有關。微觀偏析是指在合金凝固過程中，由於不同組元在固相和液相中的溶解度不同，導致在凝固的微觀尺度上，元素分佈出現不均勻的現象。最典型的微觀偏析發生在樹枝狀晶體 (dendrite) 的形成過程中。

• 樹枝狀晶體 (Dendritic spacing)： 在合金凝固時，由於熱量從固液界面散失，容易形成樹枝狀的晶體結構。在樹枝狀晶體的生長過程中，溶質原子會被推擠到枝晶間的區域，導致枝晶臂上的成分比枝晶間的成分貧乏，這就是典型的微觀偏析。

人工時效 (Artificial Aging) 是指將過飽和固溶體合金（如鋁合金）在一定溫度下加熱，以促進溶質原子在固溶體基體中形成析出相，從而提高材料的硬度和強度。這個過程稱為沉澱硬化 (Precipitation Hardening)。

題目問哪個選項「不支援」人工時效中，提高硬度和強度的「主導因素」。

• (a) Diffusional phenomenon (擴散現象)：沉澱硬化過程的核心是溶質原子的擴散。為了形成 GP 區或穩定的沉澱相，溶質原子需要在基體中移動並聚集。因此，擴散是沉澱硬化的基礎。

好的，這題是關於材料科學中「成核」的關鍵概念，特別是如何降低成核的自由能障壁。

核心觀念：

成核是新相（例如固態合金中的析出相或凝固中的晶體）形成的起始階段。這個過程需要克服一個自由能障壁，這個障壁的大小直接影響成核的難易程度。降低這個自由能障壁，就能促進成核。

解題過程：

題目問哪種方法可以支持「最小化自由能障壁以促進成核」。我們逐一分析選項：

• (a) Grain refinement (晶粒細化)： 晶粒細化通常是指在材料凝固或再結晶後，獲得更小的晶粒尺寸。這通常是透過增加成核點密度或限制晶粒長大來達成。雖然晶粒細化與成核有關，但它本身不是直接「最小化成核自由能障壁」的方法，而是成核密度增加的結果。然而，在某些情況下，例如透過添加晶粒細化劑，可以提供更多異質成核的表面，間接降低成核的自由能障壁。但與其他選項相比，它不是最直接的。

• (b) Alloying (合金化)： 在母相中加入溶質原子（合金化）可以顯著影響相變的熱力學和動力學。合金化通常會改變相的自由能曲線，進而影響相變的驅動力和成核自由能。例如，某些合金元素可以降低液體或固體相的自由能，或者提供異質成核的位點，從而降低成核的自由能障壁。

• (c) Preheating (預熱)： 預熱通常是指將材料加熱到高於其相變溫度，然後進行後續處理（如淬火）。預熱本身並不會直接降低成核的自由能障壁。相反地，如果預熱溫度過高，可能會導致材料的微觀結構發生不利的變化（例如粗化晶粒），反而可能增加成核的難度。

好的，這題是關於熱處理的，主要在探討如何在相同的持溫溫度下，縮短熱處理的保溫時間。這涉及到材料在加熱過程中的微觀結構變化速率。

核心觀念：

熱處理的目的是透過改變材料的微觀結構來獲得所需的機械性質。保溫時間的長短，取決於微觀結構達到穩定狀態或目標狀態所需的時間。若能加速這些微觀結構的變化過程，就能縮短保溫時間。這些變化通常與原子擴散、相變、晶粒成長等有關。

解題過程：

題目問的是，在相同的持溫溫度下，哪一種處理方式有助於縮短熱處理的保溫時間。我們逐一分析選項：

• (a) deformation (加工變形)： 加工變形會在材料內部引入大量的位錯，這些位錯是高能量的缺陷。在後續的熱處理過程中，這些位錯會提供額外的驅動力，加速回復 (recovery) 和再結晶 (recrystallization) 等過程，從而縮短達到穩定結構所需的保溫時間。例如，冷加工後的材料進行退火，其再結晶溫度會降低，且再結晶速率加快。

好的，這是一題關於材料科學中相變態的重要概念——低共熔組成（eutectoid composition）的題目。

核心觀念：

此題主要在考驗考生對於「低共熔組成」的理解，以及它在不同材料系統中的應用。低共熔反應是指在一個二元合金系統中，液態相在高溫下，經過一個特定的組成比例，直接轉變成兩種固態相的反應。這個特定的組成比例就是低共熔組成。在鐵碳合金系統中，這個概念尤其重要，因為它與鋼的熱處理性質息息相關。

解題過程：

題目要求判斷哪種材料選項與「低共熔組成」的概念相關。我們逐一分析選項：

• (a) Aluminum alloy (鋁合金)： 鋁合金系統中存在許多相變態，但其典型的相變態反應（如固溶、析出、相變等）與鐵碳合金的低共熔反應有所不同。雖然鋁合金也有共晶（eutectic）反應，但題目問的是「低共熔」（eutectoid）。
• (b) low carbon steel (低碳鋼)： 低碳鋼是鐵碳合金的一種，其熱處理性質與碳含量密切相關。在鐵碳合金相圖中，存在一個重要的低共熔反應：γ (奧氏體) $\rightarrow$ α (肥粒鐵) + Fe₃C (雪明碳鐵)。這個反應發生在約 0.76 wt% 的碳含量，這就是鐵碳合金的低共熔組成。低碳鋼的碳含量低於此值，但其相變行為（如退火、淬火）都與這個低共熔點的行為緊密關聯。
• (c) high carbon steel (高碳鋼)： 高碳鋼同樣是鐵碳合金，其碳含量高於低共熔組成。

好的，這是一題關於材料科學中「加工硬化效應」（Strain Hardening Effect）的觀念題。這類題目主要在測試你對材料在塑性變形過程中，其強度與硬度如何增加的機制是否有基本認識。

解題過程：

題目問的是，下列哪個選項與「加工硬化效應」有關。我們需要逐一分析各個選項：

• (a) 過飽和固溶體 (oversaturated solid solution)： 過飽和固溶體是指固溶體中溶質原子的含量超過了平衡溶解度，這通常是透過快速冷卻（淬火）來達成。過飽和固溶體本身並不是加工硬化的原因，但它可能存在於進行加工硬化的材料中，並且在後續的熱處理（如時效處理）中，會析出第二相，進而影響材料的強度。然而，它不是加工硬化效應的「起因」。

• (b) 析出物 (precipitations)： 析出物是指在固溶體中析出的第二相粒子。析出物可以有效阻礙位錯的滑移，從而顯著提高材料的強度和硬度，這稱為「析出硬化」（Precipitation Hardening）。

好的，這是一題關於材料相變的觀念題。題目要求我們找出與「非擴散型轉變 (diffusionless transformation)」不符的敘述。非擴散型轉變的核心概念是原子在轉變過程中不需要透過長距離的擴散來重新排列，而是透過協同的原子運動（例如剪切）來完成。

以下是詳細的解題過程：

核心觀念：
此題主要在考驗學生對「非擴散型轉變」的理解。非擴散型轉變是指原子在相變過程中，不需要透過長距離的擴散來完成原子位置的重新排列，而是透過協同的原子運動（如剪切）來完成。這類轉變通常發生在較快的時間尺度，且與應力、應變的誘導有關。

解題步驟：

• 分析題目要求： 題目要求找出「不支援」非擴散型轉變的選項。也就是說，我們要找出一個選項，其所描述的現象或物質，其形成機制與非擴散型轉變的定義不符。

• 逐一檢視選項：

  • (a) strain induced transformation (應變誘導轉變)： 應變誘導轉變是典型的非擴散型轉變。例如，在某些合金中，施加應力或應變會誘導相變，而這個過程通常是透過剪切運動完成的，原子不需要長距離擴散。

好的，這題是關於機械孿晶（變形孿晶）的形成條件。

第 31 題詳解

核心觀念：
這題考查的是機械孿晶（Mechanical twins 或 Deformation twins）的形成機制與其常見的發生材料。機械孿晶是一種在機械應力作用下，晶體結構發生特定形變（如同鏡面反射）而形成的孿晶結構，它是一種無擴散的變形機制，與滑移（slip）是金屬材料在應力下的兩種主要變形方式。不同晶體結構的金屬，其發生機械孿晶的傾向不同。

解題過程：

機械孿晶的形成與材料的晶體結構有密切關係。通常，具有較低堆積層錯能（Stacking Fault Energy, SFE）的材料，其滑移系統的運動會受到較大的阻礙，因此在應力作用下，更容易透過孿晶滑移（twinning slip）來進行變形，進而形成機械孿晶。

好的，這是一題關於金屬相變過程中「反向擴散」（Up-hill diffusion）的觀念題。反向擴散是擴散的一種特殊情況，與我們一般認知中物質總是從高濃度區域向低濃度區域擴散的「順向擴散」（Down-hill diffusion）相反。理解反向擴散的驅動力，是解開這題的關鍵。

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詳解

核心觀念：

這題主要在探討金屬相變過程中，反向擴散（Up-hill diffusion）發生的主要驅動力。反向擴散是指物質從低濃度區域向高濃度區域移動的現象，這與一般熱力學平衡的趨勢看似相反，但實際上是由更根本的熱力學勢能驅動的。

解題過程：

反向擴散的發生，需要一個能夠驅動物質朝向「更高」濃度區域移動的熱力學力量。我們來分析各個選項：

• (a) Kirkendall effect (柯肯達效應)： 柯肯達效應是當兩種不同擴散係數的金屬進行擴散結合時，由於其中一種金屬的原子擴散速度較快，導致空位（vacancy）的淨流動，進而產生宏觀的位移和孔洞。柯肯達效應是反向擴散的結果或表現之一，但它本身並不是反向擴散的驅動力。反向擴散是為了達到某種熱力學穩定狀態而發生的現象，柯肯達效應則是在此過程中觀察到的現象。

核心觀念

T-T-T（Time–Temperature–Transformation）圖描述材料在固定溫度等溫保持時，組織轉變開始與完成所需的時間。

相變速率主要受到兩項因素共同影響：

1. 成核驅動力：溫度降低、過冷度增加時，母相與新相之間的自由能差增大，使相變的熱力學驅動力增加。
2. 原子擴散能力：溫度降低會使原子擴散變慢，成長速率下降。

在低溫區，雖然擴散能力降低，但過冷度大，使成核驅動力顯著增加。因此題目所指的低溫轉變時間縮短，主要是因為具有較大的相變驅動力。

相變的化學自由能驅動力可概念性表示為：

$$\Delta G_{\mathrm{driving}}=G_{\mathrm{母相}}-G_{\mathrm{新相}}$$

過冷度越大，通常有：

$$\left|\Delta G_{\mathrm{driving}}\right| \uparrow$$

成核功障則可近似表示為：

$$\Delta G^* \propto \frac{\gamma^3}{(\Delta G_{\mathrm{driving}})^2}$$

其中 $\gamma$ 為界面能。當驅動力增加時，成核功障降低，成核率提高，因而使轉變較快發生。

解題方法

判斷低溫轉變時間的原因時，應從「低溫造成的過冷度」切入：

• 溫度降低 → 過冷度增加；
• 過冷度增加 → 母相與新相的自由能差增加；
• 自由能差增加 → 相變驅動力變大；
• 驅動力變大 → 成核功障降低、成核率提高；
• 因此轉變所需時間縮短。

好的，這題是關於材料凝固過程中的「晶粒細化」或稱「孕育處理」（inoculation）。

詳解

這題考的核心觀念是「孕育處理」（inoculation）在金屬凝固過程中的作用。孕育處理的目的是為了控制凝固過程中晶粒的尺寸和形態，進而改善材料的機械性質。

解題過程：

題目問到在凝固過程中加入孕育劑（inoculant 或 inoculum）的原因。我們來分析各個選項：

• (a) increase cooling rate (增加冷卻速率)
  孕育劑本身並不會直接改變系統的熱傳導能力，因此不會顯著增加冷卻速率。冷卻速率主要取決於模具的材質、尺寸以及環境溫度等外部條件。

• (b) decrease intersurface energy (降低界面能)
  界面能（surface energy 或 interfacial energy）是兩種不同物質（例如固體與液體）接觸時的能量。雖然孕育劑的加入可能會影響固-液界面的性質，但其主要目的不是直接降低界面能，而是透過提供異質核心來促進形核。

好的，這題是關於材料凝固過程中「均勻成核」的關鍵因素。

第 35 題詳解

本題主要探討在均勻成核（uniform nucleation）與凝固（solidification）過程中，哪些因素對於「爆炸性成核」（explosion nucleation）最為關鍵。爆炸性成核指的是成核速率突然急劇增加的現象。

解題過程：

在均勻成核的過程中，新相（例如固相）的形成是自發的，且成核點在母相（例如液相）中均勻分佈。成核的驅動力來自於系統的自由能降低，但同時也需要克服界面能所造成的自由能障礙。

根據熱力學理論，形成一個穩定的新相核心（nucleus）需要克服一個能量勢壘（energy barrier）。這個勢壘的大小與過冷度（undercooling）和界面能（interface energy）有關。

對於均勻成核，形成一個半徑為 $r$ 的球形核心的自由能變化 $\Delta G$ 可以表示為：
$\Delta G = \frac{4}{3}\pi r^3 \Delta G_v + 4\pi r^2 \gamma$
其中，$\Delta G_v$ 是單位體積的自由能變化，代表相變的驅動力，通常與過冷度 $\Delta T$ 成正比：$\Delta G_v = -\frac{\Delta H_f \Delta T}{T_m}$，其中 $\Delta H_f$ 是熔化焓，$T_m$ 是熔點。$\gamma$ 是固液界面能。

當 $\Delta G$ 對 $r$ 微分並令其為零時，可以得到形成穩定核心所需的臨界半徑 $r^*$ 和對應的能量勢壘 $\Delta G^*$：
$r^* = -\frac{2\gamma}{\Delta G_v} = \frac{2\gamma T_m}{\Delta H_f \Delta T}$

核心觀念

本題考查金屬材料中的擴散路徑，以及高溫對晶粒組織的影響。

金屬中的原子擴散主要可經由：

1. 晶格擴散（volume diffusion）：原子穿過完整晶格。
2. 晶界擴散（grain boundary diffusion）：原子沿晶粒與晶粒交界處移動。
3. 表面擴散（surface diffusion）：原子沿材料表面移動。

晶界結構較不規則、原子排列較疏鬆，因此晶界擴散的活化能通常低於晶格擴散：

$$D_{gb}=D_{0,gb}\exp\left(-\frac{Q_{gb}}{RT}\right)$$ $$D_{v}=D_{0,v}\exp\left(-\frac{Q_{v}}{RT}\right)$$

通常有 $Q_{gb}<Q_v$，所以在較低溫度下，晶界擴散相對於晶格擴散特別快速。

然而，溫度升高時容易發生晶粒成長，使晶粒變粗大，單位體積中的晶界數量與晶界面積減少，晶界擴散對整體物質傳輸的貢獻因而降低。

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解題方法

判斷本題的關鍵，是找出「高溫下使晶界數量減少、晶界擴散影響降低」的因素。

高溫會促進晶界移動與晶粒成長，使小晶粒逐漸消失，大晶粒持續長大。對相同體積的材料而言：

• 細晶材料具有較大的晶界總面積；
• 粗晶材料具有較小的晶界總面積；
• 晶界面積減少後，能作為快速擴散通道的區域也減少。

因此，題目所問的原因是 coarse grains（粗大晶粒）。

需注意的是，這並不表示高溫時晶界擴散的擴散係數一定小於晶格擴散。晶界仍可能是快速擴散路徑；只是高溫造成晶粒粗化，使晶界所占比例降低，晶界擴散對整體行為通常可不予優先考慮。

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選項分析

(a) coarse grains（粗大晶粒）——正確

核心觀念

本題考查晶體不同晶面之表面能 $\gamma$。表面能是形成單位面積新表面所需增加的能量，主要與晶面切斷的原子鍵數目有關：

$$\gamma \propto \frac{\text{單位面積所切斷的原子鍵數}}{\text{單位面積}}$$

對理想鐵晶體而言，晶面排列越緊密，切斷的原子鍵越少，表面能通常越低。鐵在常溫下為體心立方結構（BCC），其低指數晶面的緻密程度為：

$$(110)>(111)>(100)$$

因此表面能的大小规律相反：

$$\gamma_{(100)}>\gamma_{(111)}>\gamma_{(110)}$$

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解題方法

BCC 晶體中，$(110)$ 面具有最高的原子面密度，是最緻密的主要晶面；$(111)$ 面次之；$(100)$ 面的原子排列較疏。

各晶面的理想面原子密度可表示為：

$$\rho_{(100)}=\frac{1}{a^2}$$ $$\rho_{(110)}=\frac{\sqrt{2}}{a^2}$$ $$\rho_{(111)}=\frac{2}{\sqrt{3}a^2}$$

其中 $a$ 為晶格常數，因此：

$$\rho_{(110)}>\rho_{(111)}>\rho_{(100)}$$

$(110)$ 面最緻密，表面原子平均暴露的未鍵結方向較少，形成表面所需的能量最低；$(100)$ 面排列最疏，切斷鍵結的相對數目較多，表面能最高。故：

好的，這題是關於材料中的缺陷，特別是兩種不同性質的刃型錯位（edge dislocation）在同一滑移面上交互作用時可能發生的情況。核心觀念是錯位的性質、移動以及它們之間的交互作用力。

解題過程：

題目問的是，當兩個異號（opposite signs）的刃型錯位位在同一滑移面上時，哪一種交互作用「最不可能」發生。我們需要分析這兩種錯位在這種情況下的行為。

首先，我們知道錯位有正負號之分，這代表了它們在晶格中引入的額外半原子層的方向是相反的。對於刃型錯位，正號錯位引入的額外半原子層在滑移面的上方，而負號錯位引入的額外半原子層則在滑移面的下方。

當兩個異號的刃型錯位位在同一滑移面上時，它們之間的交互作用力是吸引力。這種吸引力會促使它們朝向彼此移動。

現在我們來分析選項：

(a) Annihilation of each other (彼此湮滅)
當兩個異號的刃型錯位在同一滑移面上相遇時，它們會互相吸引並移動。如果它們在同一位置相遇，它們引入的額外半原子層會互相抵消，從而消除錯位，這個過程稱為湮滅。因此，這種情況是可能發生的。

(b) Creation of another extra half plane of atoms (創造另一個額外的半原子層)
當兩個異號的刃型錯位湮滅時，它們實際上是互相抵消了各自引入的額外半原子層。這個過程不會創造出「另一個」額外的半原子層。

好的，這是一題關於晶體缺陷的題目，核心觀念在於辨識不同種類的點缺陷。

題目解析：

這題考驗的是對離子晶體中常見點缺陷的理解。題目描述了一種缺陷，其特徵是同時存在陽離子空位 (cation-vacancy) 和陰離子空位 (anion-vacancy)。我們需要根據這個描述來判斷是哪一種缺陷。

• 點缺陷 (Point Defects)： 是指在晶體結構中，原子位置發生局部性偏差所造成的缺陷，例如空位、間隙原子、取代原子等。
• 離子晶體 (Ionic Crystals)： 由帶相反電性的離子透過靜電吸引力結合而成的晶體。

解題過程：

我們來逐一分析選項：

• (a) Frenkel defect (弗蘭克爾缺陷)： 弗蘭克爾缺陷是指在離子晶體中，一個陽離子或陰離子離開其正常晶格位置，移動到相鄰的間隙位置，從而形成一個陽離子空位 (或陰離子空位) 和一個間隙離子 (interstitial ion)。

好的，這是一題關於材料擴散的觀念題，主要在考驗你對不同擴散定律和方程式的理解。

第 40 題詳解

這題的核心觀念在於理解二元固溶體中，當兩種元素具有不同擴散係數時，如何描述界面處空位的淨通量。這涉及到擴散的動力學以及描述宏觀擴散行為的定律。

解題過程：

題目要求描述一個二元固溶體在擴散結合介面處，由於兩種元素具有不同的擴散係數，導致空位淨通量的方程式。我們需要逐一檢視選項：

• (a) Darken's equation (達肯方程式)：達肯方程式是描述二元合金中，由於兩種組分具有不同擴散係數所引起的淨通量。它考慮了「化學擴散係數」和「自擴散係數」之間的關係，並能描述在擴散結合過程中，由於成分變化引起的界面移動和空位濃度的變化。特別是在擴散結合的過程中，由於兩種元素的擴散係數不同，會產生淨的空位流動，進而影響界面的移動。達肯方程式通常可以表示為：
  $J_A = -D_A \frac{\partial C_A}{\partial x} + C_A v$
  其中 $J_A$ 是組分 A 的淨通量，$D_A$ 是組分 A 的化學擴散係數，$C_A$ 是組分 A 的濃度，$\frac{\partial C_A}{\partial x}$ 是濃度梯度，而 $v$ 是界面的移動速度。這個方程式能夠描述由於成分差異導致的淨通量，進而影響空位的行為。

好的，我們來詳細解析這題關於「晶界強化」的題目。

這題主要考驗你對金屬材料中「晶界強化」機制的理解，以及它與其他材料特性之間的關聯。你需要辨識出關於晶界強化最正確的敘述。

解題過程：

我們逐一分析選項 (a) 到 (d)：

• (a) The larger the grain size the less defect density and better mechanical property.

  • 分析： 晶界本身就是一種缺陷。晶粒尺寸越大，代表單位體積內的晶界數量越少，因此缺陷密度（以晶界計）會降低。然而，根據 Hall-Petch 關係式，較小的晶粒尺寸（較高的晶界密度）通常會帶來較好的機械性質（例如強度和硬度），因為晶界會阻礙位錯的滑移。因此，這個敘述是錯誤的。

• (b) The grain boundaries act as pinning points that will impede the propagation of dislocations and result in lower mechanical properties.

  • 分析： 晶界確實會阻礙位錯的滑移，這是一個強化機制。但是，阻礙位錯滑移會 提高 材料的強度和硬度，而不是降低。因此，這個敘述是錯誤的。

好的，這是一題關於材料中位錯密度的題目。

這題考的核心觀念是材料經過適當的熱處理後，其內部位錯的典型密度範圍。位錯是材料中造成塑性變形的重要缺陷，其密度會受到加工和熱處理的影響。

解題過程：

題目詢問經過熱處理的合金中，典型的位錯密度大約是多少。位錯密度通常用單位體積內的位錯線長度來表示，單位為 mm⁻³ 或 cm⁻³。

• 加工硬化 (Work Hardening)： 在進行冷加工（如滾壓、拉伸）時，金屬內部會產生大量的位錯，位錯密度可以達到 $10^{10}$ 到 $10^{12}$ mm⁻³ 甚至更高。
• 熱處理 (Heat Treatment)： 熱處理（如退火、回火）的主要目的之一是降低或重新分佈位錯。退火過程會促使位錯湮滅、重排形成亞晶界，從而降低位錯密度。
• 典型合金經過熱處理後的位錯密度： 經過適當的退火處理後，大部分由加工產生的位錯會被消除或重新組織。

好的，這是一題關於材料中擴散活化能的題目，我們來詳細解析。

這題考的核心觀念是擴散的活化能 ($Q$) 與擴散路徑、擴散物種以及所處的材料微結構環境之間的關係。擴散的活化能代表了原子克服勢壘進行擴散所需的最小能量，通常與擴散的難易程度和速率有關。一般而言，擴散路徑越受限制、原子越緊密結合的環境，其活化能就越高。

解題過程：

擴散係數 $D$ 與溫度 $T$ 的關係通常由 Arrhenius 方程式描述：
$D = D_0 e^{-Q/RT}$
其中 $D_0$ 是前指數因子，$Q$ 是擴散活化能，$R$ 是氣體常數。從這個方程式可以看出，活化能 $Q$ 越大，在相同溫度下，擴散係數 $D$ 就越小，擴散速率也就越慢。

我們要判斷哪種情況的活化能最大，需要考慮以下幾個因素：

1. 擴散路徑： 晶界擴散 (grain boundary diffusion) 和表面擴散 (surface diffusion) 通常比晶體內部擴散 (bulk diffusion) 的活化能低，因為這些區域的原子排列較為疏鬆，勢壘較小。
2. 擴散物種： 不同大小和電子結構的原子，其與周圍晶格原子的相互作用力不同，這會影響克服勢壘所需的能量。
3. 材料環境： 擴散物種所在的微結構區域（例如，晶粒內部、晶界、夾雜物表面）會影響其周圍的原子排列和結合力。

現在我們逐一分析選項：

(a) Mn atom on the ferrite grain boundary

• 擴散路徑： 晶界擴散。晶界是原子排列不規則、缺陷較多的區域，相較於晶體內部，擴散能壘較低。
• 擴散物種： Mn 原子。
• 材料環境： 鐵素體 (ferrite) 晶界。

(b) Carbon atom in the ferrite grain

• 擴散路徑： 晶體內部擴散 (bulk diffusion)。
• 擴散物種： 碳原子 (C)。碳原子在鐵素體中通常是填隙原子 (interstitial atom)，體積較小，擴散相對容易，活化能較低。
• 材料環境： 鐵素體晶粒內部。

好的，這是一題關於材料中擴散機制的觀念題。

核心觀念：
擴散（Diffusion）是材料科學中一個非常基礎且重要的現象，它描述了原子、分子或離子在材料內部移動的過程。這個移動並非隨機的，而是受到特定物理因素的驅動。理解這些驅動因素，是掌握擴散現象的關鍵。

解題過程：

題目問的是「擴散機制是以下哪項的結果？」。我們需要逐一分析選項，判斷哪個最能代表擴散的根本原因。

• (a) Concentration gradient (濃度梯度)： 濃度梯度是指在材料的某個區域內，某種物質的濃度隨空間位置變化的程度。根據擴散的基本定律，例如 Fick's First Law，擴散的淨流動方向是從高濃度區域流向低濃度區域，以趨於均勻化。這意味著濃度梯度是驅動擴散的一個重要因素。
• (b) Internal mechanical stress (內部機械應力)： 內部機械應力，例如應力梯度，確實可以在某些情況下影響擴散的速率或方向（例如，在應力場中，原子傾向於移動到應力較低的區域）。然而，它並非擴散發生的「根本原因」，而是可能影響擴散速率的次要因素。

好的，這是一題關於氣體容器洩漏的題目，核心觀念是利用菲克第二定律 (Fick's Second Law) 來描述氣體在固體材料中的擴散現象，進而估算洩漏率。題目中給定了容器的內壓、材料厚度以及穩態擴散係數，我們要根據這些資訊來計算單位時間內通過單位面積的氣體質量。

解題過程：

這題考驗的是穩態擴散的觀念。在穩態擴散下，通過單位面積的物質傳輸速率（通量，flux）與濃度梯度成正比。對於氣體透過固體材料的洩漏，我們可以將其視為一種擴散過程。

首先，我們需要了解氣體透過固體材料的擴散通量 $J$ 可以用菲克第一定律 (Fick's First Law) 來描述：

$J = -D \frac{dC}{dx}$

其中：

• $J$ 是擴散通量 (kg/m²·s)
• $D$ 是擴散係數 (m²/s)，題目中給定為 $10^{-10} \text{ m}^2/\text{s}$。
• $\frac{dC}{dx}$ 是濃度梯度 (kg/m³)。

題目中給定的「內部壓力為 20 kg/m³」實際上是指氣體在容器內部的濃度 (C₁)，而不是壓力單位。這是一個常見的考題陷阱，需要將其理解為質量濃度。因此，$C_1 = 20 \text{ kg/m}^3$。

容器的厚度為 5 mm，也就是 $dx = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$。

我們假設容器外部的氫氣濃度為零，即 $C_2 = 0 \text{ kg/m}^3$。

在穩態擴散下，濃度梯度可以近似為：

$\frac{dC}{dx} \approx \frac{C_2 - C_1}{dx} = \frac{0 - 20 \text{ kg/m}^3}{5 \times 10^{-3} \text{ m}}$

將這個濃度梯度代入菲克第一定律的公式：

$J = -D \left( \frac{C_2 - C_1}{dx} \right)$
$J = -10^{-10} \text{ m}^2/\text{s} \times \left( \frac{0 - 20 \text{ kg/m}^3}{5 \times 10^{-3} \text{ m}} \right)$
$J = -10^{-10} \text{ m}^2/\text{s} \times \left( -4000 \text{ kg/m}^4 \right)$
$J = 4 \times 10^{-7} \text{ kg/m}^2\text{·s}$

好的，這是一題關於鋼材熱處理與其對力學性質影響的題目，核心觀念在於理解不同熱處理方法如何改變鋼的微觀結構，進而影響其軟度和延展性。

解題過程：

題目要求找出能使鋼材獲得最大軟度和延展性的熱處理方法。我們需要逐一分析各選項的熱處理目的與效果：

• (a) Normalizing (標準化處理)： 此處理通常是將鋼材加熱至奧氏體區間以上，然後在空氣中冷卻。其目的是細化晶粒、均勻化組織，並消除鑄造或鍛造時產生的內部應力，使鋼材的機械性質（如強度、硬度）得到改善，但通常不會達到「最大」的軟度和延展性。

• (b) Full annealing (完全退火)： 此處理是將鋼材加熱至完全奧氏體化溫度以上，然後在爐中緩慢冷卻。緩慢冷卻的目的是使鋼材中的碳化物（如雪明碳鐵 Fe₃C）形成球狀或粗大的片狀，並使過共析鋼中的滲碳體（Fe₃C）與沃斯田鐵（γ-Fe）形成粗大的片狀共析組織（波來鐵），或使亞共析鋼中的肥粒鐵（α-Fe）與波來鐵形成粗大的組織。這種粗大、低碳化物含量且碳化物分散的組織，能顯著降低鋼材的硬度，提高其延展性，使其達到較大的軟度。

• (c) Spheroidizing (球化退火)： 此處理是將鋼材在低於共析溫度但高於碳化物析出溫度的範圍內進行長時間的加熱，或是在完全退火後再進行一次較低溫度的長時間退火。

好的，我們來詳細解析這題關於陶瓷材料燒結的題目。

這題考的核心觀念是陶瓷材料在製程中，透過高溫處理來提升其緻密度與機械性質的關鍵步驟。理解這個過程的術語，是判斷正確答案的關鍵。

解題過程：

題目描述了一個陶瓷材料的製程，其中「燒結 (firing)」是關鍵字。在這個過程中，成形的陶瓷件會發生體積收縮，孔隙率降低，機械強度也隨之提升。我們要找出最能描述這個現象的術語。

• (a) drying (乾燥)： 乾燥是移除材料中水分的過程，通常發生在燒結之前，目的是為了防止在加熱過程中因水分蒸發過快而導致材料開裂。乾燥主要處理的是水分，並不會顯著提升機械強度或降低孔隙率到陶瓷最終所需的程度。
• (b) vitrification (玻璃化)： 玻璃化是指某些材料（特別是玻璃或某些陶瓷）在高溫下轉變為黏稠液體狀態的過程。

好的，這是一題關於「晶粒長大」（grain growth）現象的觀念題，主要在測試你對冷作後金屬內部組織變化的理解。

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題目詳解

核心觀念：
此題考查的是金屬在冷加工（cold working）後進行退火處理時，所發生的「晶粒長大」（grain growth）現象。晶粒長大是為了降低系統的總自由能，其驅動力、機制及影響因素是此題的重點。

解題過程：

題目要求找出關於冷加工後金屬晶粒長大現象的「錯誤」敘述。我們逐一分析各選項：

(a) growing by the movement of grain boundary
晶粒長大最主要的機制就是晶界（grain boundary）的移動。高曲率的晶界會向低曲率的區域移動，使得晶粒的總表面積減少，進而降低系統的表面能。因此，這個敘述是正確的。

(b) atoms get through grain boundary by diffusion
晶界移動並非原子直接穿過晶界，而是晶界本身在移動。晶界移動的本質是晶界附近的原子重新排列，這個過程與原子在晶界處的擴散（diffusion）有關，但更精確地說，是晶界原子透過擴散機制來「越過」晶界，使得晶界得以移動。然而，更核心的驅動是晶界移動本身。在某些情況下，擴散確實是晶界移動的基礎，但這並非晶粒長大現象的唯一或最直接的描述。不過，相較於其他選項，這個敘述的正確性需要更仔細斟酌。

(c) the smaller grains are consumed by the bigger grains
晶粒長大的結果是平均晶粒尺寸增大。這是因為體積較小、曲率較大的晶粒，其表面能較高，會被體積較大、曲率較小的晶粒所「吞噬」，以減少總的晶界面積。

好的，這是一題關於熱處理的觀念題，主要在測試你對不同熱處理製程及其影響的理解程度。我們要找出其中敘述錯誤的選項。

解題過程

我們逐一檢視每個選項：

(a) 沉澱硬化可硬化合金的成分必須低於最大溶解度。
沉澱硬化 (Precipitation hardening) 的基本原理是，首先將合金加熱至單相區，使溶質原子充分溶解於基底金屬中，形成過飽和固溶體。接著進行淬火，將過飽和固溶體保留下來。最後進行時效處理 (aging)，在較低的溫度下，溶質原子會析出形成細小的沉澱物，這些沉澱物會阻礙位錯的滑移，從而提高材料的強度和硬度。因此，合金的成分確實必須低於其在較高溫度下的最大溶解度，才能在淬火後形成過飽和固溶體，進而進行沉澱硬化。若成分高於最大溶解度，則在淬火後仍會有第二相存在，無法達到沉澱硬化的效果。所以此敘述是正確的。

(b) 應力消除退火是將工件加熱至建議溫度，保持足夠時間使其溫度均勻，最後冷卻至室溫的熱處理。
應力消除退火 (Stress relief annealing) 的目的是降低材料中的殘留應力，這些應力可能來自於加工過程（如鍛造、焊接、鑄造、冷加工等）或不均勻的冷卻。其典型的製程為將材料加熱到一個相對較低的溫度（通常低於再結晶溫度），保持足夠時間讓應力鬆弛，然後緩慢冷卻以避免引入新的應力。敘述中提到「加熱至建議溫度，保持足夠時間使其溫度均勻，最後冷卻至室溫」，這符合應力消除退火的基本步驟。雖然「建議溫度」的範圍較廣，但整體描述是正確的。

(c) 鋼合金在特定淬火處理下轉變成麻田散鐵的能力，合金成分的影響與一個稱為硬度的參數有關。
這個敘述是錯誤的。

核心觀念

本題考查二元合金相圖中的不變反應。三種主要反應定義如下：

• 共晶反應（eutectic）：液相同時轉變為兩個固相
  $L \rightarrow \alpha+\beta$
• 包晶反應（peritectic）：液相與一個固相反應生成另一個固相
  $L+\alpha \rightarrow \beta$
• 共析反應（eutectoid）：一個固相轉變為兩個固相
  $\gamma \rightarrow \alpha+\beta$

題目所述的 Mg–Pb 相圖中，約 $67\ \mathrm{wt\%\,Pb}$、$465^\circ\mathrm{C}$ 為共晶點。此處發生液相同時生成兩個固相的反應。

解題方法

在 Mg–Pb 相圖上定位：

$C_{\mathrm{Pb}}=67\ \mathrm{wt\%\,Pb},\qquad T=465^\circ\mathrm{C}$

該位置落在共晶等溫線上，對應的反應為：

$L\rightarrow \alpha+\mathrm{Mg_2Pb}$

也可視為液態合金在共晶溫度下，同時析出鎂固溶體與 $\mathrm{Mg_2Pb}$ 固相。因此此反應屬於共晶反應。

選項分析