111 年 國立成功大學材料科學及工程學系碩士班《材料科學》

本題考查材料的疲勞現象。疲勞是材料在反覆載荷作用下，即使應力低於抗拉強度，最終仍會發生斷裂的現象。

(A) 鐵系合金（Ferrous alloys）通常具有明顯的疲勞極限，但非鐵系合金（Non-ferrous alloys）不一定有明確的疲勞極限，故此敘述不完全正確。
(B) 疲勞裂紋的擴展速率（da/dN）與應力強度因子範圍（ΔK）之間，通常符合Paris定律，即 $da/dN = C(\Delta K)^m$，這是一個簡單的冪次定律。

核心觀念

玻璃屬於脆性材料，受拉時幾乎不發生塑性降伏，而是在最大主拉應力達到玻璃的抗拉強度 $\sigma_u$ 時直接破壞。因此本題採用「最大主應力破壞準則」判斷：

$$\sigma_1 \geq \sigma_u \quad\Rightarrow\quad \text{發生拉伸破壞}$$

其中 $\sigma_1$ 為最大主應力。壓應力不會直接造成玻璃的拉伸裂縫，因此單純壓縮通常比拉伸安全。

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解題方法

逐一將各種受力狀態轉換為主應力，判斷最大主拉應力是否達到 $\sigma_u$。

(A) 單軸拉伸

單軸拉伸時：

$$\sigma_1=\sigma_u$$

最大主拉應力已達到玻璃的極限強度，玻璃將發生破壞。

因此此狀態不安全。

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(B) 純剪力

純剪應力 $\tau$ 的主應力為：

$$\sigma_1=+\tau,\qquad \sigma_2=-\tau$$

當：

$$\tau=\sigma_u$$

則：

$$\sigma_1=\tau=\sigma_u$$

純剪力雖然表面上沒有正應力，但在主應力方向上等效產生大小為 $\tau$ 的拉應力與壓應力。最大主拉應力達到 $\sigma_u$，因此仍會造成玻璃破壞。

因此此狀態不安全。

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(C) 單軸壓縮

若壓縮應力的大小等於 $\sigma_u$，則應力狀態為：

$$\sigma_1=0,\qquad \sigma_2=-\sigma_u$$

本題考查材料的蠕變（Creep）現象。蠕變是指材料在恆定載荷和高溫下隨時間發生的塑性變形。影響蠕變的因素有很多，主要與材料的微觀結構、溫度、應力以及過去的應變歷史有關。

(A) 晶粒尺寸（grain size）：晶粒尺寸對蠕變有顯著影響。通常，較大的晶粒尺寸有利於提高材料的抗蠕變性，因為晶界滑移是高溫蠕變的一種重要機制，而較大的晶粒意味著較少的晶界總面積。
(B) 微觀結構（micro-structure）：材料的微觀結構，包括相組成、第二相質點的形態和分佈、位錯密度等，都會顯著影響蠕變行為。例如，析出的第二相質點可以阻礙位錯運動和晶界滑移，從而提高抗蠕變性。

核心觀念

冷加工金屬經退火時，會依序發生：

1. 回復（recovery）：消除部分殘留應力與降低差排密度。
2. 再結晶（recrystallization）：形成無應變、近似等軸的新晶粒。
3. 晶粒成長（grain growth）：再結晶晶粒進一步粗化。

再結晶晶粒尺寸主要受下列因素控制：

• 冷變形量：影響儲存應變能與再結晶晶核數量。
• 退火溫度與時間：影響再結晶及後續晶粒成長速率。
• 金屬純度：溶質原子與雜質會阻礙晶界移動，影響晶粒成長。
• 初始晶粒尺寸：對再結晶後晶粒尺寸通常不具直接敏感性。

因此，本題要找的是「再結晶晶粒尺寸對其變化不敏感」的因素。

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解題方法

以再結晶晶粒尺寸的控制機制判斷：

冷加工後，變形量增加會提高金屬內部的儲存應變能，使再結晶晶核數量增加。晶核數量多時，彼此較早碰撞，形成的再結晶晶粒較細。

退火溫度升高則會提高原子擴散與晶界移動速率，使晶粒成長較快，通常導致較粗的再結晶晶粒。

金屬純度也會影響晶界移動。雜質或溶質原子可能產生溶質拖曳效應，阻礙晶界移動，因而改變再結晶後的晶粒尺寸與後續晶粒成長。

相較之下，原始晶粒尺寸在冷加工後，其原有晶粒形狀與晶界已受到嚴重扭曲；再結晶是由變形組織中的高儲存能區域重新形成新晶粒。因此，在其他條件相同時，再結晶晶粒尺寸通常對初始晶粒尺寸不敏感。

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選項分析

（A）initial grain size：正確

初始晶粒尺寸主要影響冷加工前的組織，但冷加工後的再結晶主要由差排密度、變形帶、剪切帶及其他高儲存能區域所控制。

本題考查熱力學中的基本概念，特別是關於自發反應、熵、吉布斯自由能以及可逆反應。

(A) 自發反應（spontaneous reaction）是指在給定條件下，不需要外界持續做功就能發生的反應。熱力學第二定律指出，在孤立系統中，熵總是增加的；對於非孤立系統，自發過程總是朝著總熵增加的方向進行。自發過程通常伴隨著不可逆性，即過程不能簡單地反向進行而恢復系統和環境的初始狀態。因此，自發反應通常是不可逆的。此敘述是正確的。

(B) 熵（Entropy, S）是系統的狀態函數（function of state）。狀態函數的特點是其值僅取決於系統的當前狀態，而與系統從初始狀態轉變到該狀態的路徑無關。例如，溫度、壓力、體積、內能、焓、吉布斯自由能等都是狀態函數。因此，熵是狀態函數。此敘述是正確的。

核心觀念

本題考查 Gibbs 相律（Gibbs phase rule），用來判定在平衡狀態下，一個系統能夠獨立改變的強度變數數目，即自由度（degree of freedom, $F$）。

對於無化學反應的多成分系統：

$$F=C-P+2$$

其中：

• $F$：自由度
• $C$：成分數
• $P$：相數

公式中的兩個額外變數通常是溫度 $T$ 與壓力 $P$。

解題方法

題目給定：

• 兩成分系統，因此 $C=2$
• 只有一個相，因此 $P=1$

代入 Gibbs 相律：

$$F=C-P+2$$ $$F=2-1+2=3$$

因此，此系統具有 3 個自由度。換言之，在維持單一相存在與平衡的條件下，溫度、壓力及組成等變數中，有 3 個變數可以獨立指定。

選項分析

本題考查吉布斯自由能（Gibbs free energy, G）的性質。吉布斯自由能的定義式為：
$G = H - TS$
其中，$H$ 是焓（enthalpy），$T$ 是絕對溫度， $S$ 是熵（entropy）。

(A) 吉布斯自由能是系統的一個狀態函數。對於一個多組分的系統，它的值取決於系統的組分（composition）、溫度（temperature）和壓力（pressure）。因此，G 是 $G(T, P, n_1, n_2, ..., n_i)$ 的函數，其中 $n_i$ 是各組分的摩爾數。此敘述是正確的。

(B) 考慮吉布斯自由能對溫度的偏導數：
$(\frac{\partial G}{\partial T})_P = (\frac{\partial H}{\partial T})_P - S - T(\frac{\partial S}{\partial T})_P$

本題考查晶體結構的晶格參數（lattice parameters）與晶軸夾角（interaxial angles）的關係，特別是針對六方晶系（Hexagonal structure）。

晶體結構可以通過六個參數來描述：三個晶格常數（a, b, c）和三個晶軸夾角（$\alpha, \beta, \gamma$）。其中，$\alpha$ 是 b 軸與 c 軸之間的夾角，$\beta$ 是 a 軸與 c 軸之間的夾角，$\gamma$ 是 a 軸與 b 軸之間的夾角。

六方晶系的定義如下：

1. 晶格常數關係: $a = b \ne c$。即在基面上的兩個晶格常數相等，但與垂直於基面（c 軸方向）的晶格常數不同。
2. 晶軸夾角關係: $\alpha = \beta = 90^\circ$，而 $\gamma = 120^\circ$。

本題考查高分子材料的結晶行為與分子量的關係。

高分子鏈的結晶能力受到分子長度、鏈的柔順性、鏈的規整性以及分子間作用力等多種因素的影響。

1. 分子量與結晶:

   • 低分子量端: 對於非常短的鏈（相當於小分子），它們可以自由排列形成晶體。
   • 中等分子量: 隨著鏈長的增加，高分子鏈的纏結（entanglement）開始顯著，這會阻礙鏈的規整排列，從而降低結晶能力。
   • 高分子量: 當分子量達到一定程度後，鏈的纏結非常嚴重，使得長鏈難以完全伸展和規整排列形成晶體。因此，通常認為高分子材料的結晶能力在達到某一分子量後會開始下降。

2. 分子量下降的趨勢:

   • 題目問的是「當分子量下降時」，高分子結晶的趨勢如何。
   • 如果我們考慮的是一個分子量較大的聚合物，其結晶能力可能已經受到嚴重影響（由於纏結）。

本題考查陶瓷材料中雜質離子的引入機制。在離子晶體（陶瓷）中，當引入帶有不同電荷的雜質離子時，為了維持整個晶體的電中性，必須伴隨著某些點缺陷的形成。

當引入帶有不同電荷的陽離子或陰離子時，為了補償電荷差異，陶瓷體系會通過形成點缺陷來維持電中性。這些點缺陷可以是：

1. 空位（Vacancy）: 移除與雜質離子電荷不同的主體離子，或者形成主體離子本身的空位。
2. 間隙離子（Interstitial Ion）: 將額外的離子（可能是雜質離子本身，或是主體離子）插入到晶格的間隙位置。
3. 替位離子（Substitutional Ion）: 雜質離子取代主體離子的位置。

題目問的是「如何引入一個帶有不同電荷的雜質離子」。
(A) 晶格缺陷的形成（formation of lattice defects）: 當引入帶有不同電荷的雜質離子時，為了維持電中性，必然會伴隨著晶格缺陷的形成。

核心觀念

本題考查完美單晶的「理論剪應力」或「理想剪切強度」。假設晶體中沒有位錯，兩個相鄰晶面受到剪切力後彼此滑動，原子間作用力可近似為週期性變化。

以 Frenkel 模型表示，剪應力可寫成

$$\tau=\tau_{\mathrm{th}}\sin\left(\frac{2\pi x}{d}\right)$$

其中：

• $x$：相鄰晶面間的相對位移
• $d$：相鄰滑移面間距
• $\tau_{\mathrm{th}}$：理論最大剪應力

在小變形範圍內，晶體符合胡克定律：

$$\tau=G\gamma$$

而剪應變近似為

$$\gamma \approx \frac{x}{b}$$

其中 $G$ 為剪切模數，$b$ 為原子週期性排列的距離。由小位移條件配合週期性剪應力函數，可得

$$\tau_{\mathrm{th}} \approx \frac{G}{2\pi}\frac{b}{d}$$

若採用簡化假設 $b\approx d$，則

$$\tau_{\mathrm{th}}\approx \frac{G}{2\pi}$$

因此，理論剪應力與剪切模數 $G$ 成正比。

解題方法

判斷各選項時，直接由

$$\tau_{\mathrm{th}} \approx \frac{G}{2\pi}\frac{b}{d}$$

分析各物理量的影響：

1. $G$ 增加時，晶格抵抗剪切變形的能力增加，$\tau_{\mathrm{th}}$ 增加。
2. 溫度升高通常使材料的剪切模數下降，且熱振動會降低晶格的抗剪切能力，因此理論剪應力不會增加。
3. 在其他條件固定時，$d$ 增加會使 $\tau_{\mathrm{th}}$ 降低。
4. 原子間勢能井決定原子鍵結強度與晶格恢復力，會影響 $G$ 及理論剪應力，因此不能視為無關。

選項分析

(A) the theoretical shear stress will increase as the shear modulus increases.

正確。

由 Frenkel 模型：

$$\tau_{\mathrm{th}} \propto G$$

核心觀念

本題考查晶體中的空孔（vacancy）及其平衡濃度。空孔是晶格中原子正常位置缺少原子的點缺陷，形成空孔需要破壞部分鍵結，因此會提高晶體的能量。

平衡空孔濃度由兩種效應共同決定：

1. 形成空孔的焓變（或形成能）：形成空孔會增加能量，不利於空孔生成。
2. 混合熵增加：空孔與正常晶格位置混合排列，會增加系統熵，有利於空孔生成。

在稀薄空孔近似下，平衡空孔分率為

$$V_c \approx \exp\left(-\frac{\Delta H_f}{k_B T}\right)$$

若考慮空孔形成熵 $\Delta S_f$，較完整的式子為

$$V_c=\exp\left(\frac{\Delta S_f}{k_B}\right) \exp\left(-\frac{\Delta H_f}{k_B T}\right)$$

其中 $T$ 是絕對溫度，$k_B$ 是波茲曼常數。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合空孔的熱力學定義與平衡濃度公式即可。

平衡空孔濃度可由 Gibbs 自由能最小化得到。設晶體共有 $N$ 個晶格位置，其中有 $n$ 個空孔，空孔分率為

$$x=\frac{n}{N}$$

形成空孔所增加的焓約為

$$\Delta H=n\Delta H_f$$

空孔與正常晶格位置的混合熵為

$$\Delta S_{\text{mix}} =-Nk_B\left[x\ln x+(1-x)\ln(1-x)\right]$$

因此自由能變化為

$$\Delta G=n\Delta H_f-T\Delta S_{\text{mix}}$$

在空孔濃度很低、$x\ll 1$ 時，

$$\ln(1-x)\approx -x$$

對自由能取極小值，可得

$$x=V_c\approx \exp\left(-\frac{\Delta H_f}{k_B T}\right)$$

這顯示空孔濃度會隨溫度升高而增加。

選項分析

(A) 正確

「空孔存在於晶格中會增加晶體的內能。」

核心觀念

共晶反應（eutectic reaction）是二元合金在特定共晶成分與共晶溫度下，液相同時轉變為兩種不同的固相：

$$L(C_E)\rightarrow \alpha(C_{AE})+\beta(C_{BE})$$

其中：

• $L$：液相。
• $\alpha$、$\beta$：兩種不同的固相。
• $C_E$：共晶成分。
• $C_{AE}$、$C_{BE}$：共晶反應生成之 $\alpha$ 相與 $\beta$ 相的成分。

共晶反應的判斷重點是：

1. 反應物只有一個液相。
2. 生成物同時包含兩種不同固相。
3. 反應形式為液相在固定溫度下同時完成轉變。

解題方法

直接比較各選項的相變形式。共晶反應必須符合：

$$L\rightarrow \alpha+\beta$$

也就是「一個液相生成兩個固相」。符合此定義的選項即為正確答案。

選項分析

(A) $L(C_E)\rightarrow \alpha(C_{AE})+\beta(C_{BE})$

液相在共晶成分 $C_E$ 下，同時生成 $\alpha$ 相與 $\beta$ 相兩種固相，完全符合共晶反應定義。

此選項正確。

核心觀念

此題考查鐵—碳相圖在共析溫度 $727^\circ\mathrm{C}$ 附近的相變化，以及槓桿定則。

碳含量為 $0.95\ \mathrm{wt\% C}$，高於共析成分約 $0.76\ \mathrm{wt\% C}$，因此屬於過共析鋼。冷卻至 $727^\circ\mathrm{C}$ 以下時：

• 共析成分的沃斯田鐵轉變為珠光體；
• 多出的碳形成先共析滲碳體。

因此，珠光體的質量等於共析反應前仍存在的沃斯田鐵質量。

解題方法

在 $727^\circ\mathrm{C}$ 以上、共析反應剛開始前，兩相組成為：

• 沃斯田鐵：$C_\gamma=0.76\ \mathrm{wt\% C}$
• 滲碳體：$C_{\mathrm{Fe_3C}}=6.70\ \mathrm{wt\% C}$
• 合金平均碳含量：$C_0=0.95\ \mathrm{wt\% C}$

利用槓桿定則計算沃斯田鐵的質量分率：

$$W_\gamma= \frac{C_{\mathrm{Fe_3C}}-C_0} {C_{\mathrm{Fe_3C}}-C_\gamma} = \frac{6.70-0.95}{6.70-0.76} = \frac{5.75}{5.94} \approx 0.968$$

這部分沃斯田鐵在低於 $727^\circ\mathrm{C}$ 後全部轉變為珠光體，因此：

$$m_{\mathrm{pearlite}} = 3.5\times 0.968 \approx 3.39\ \mathrm{kg}$$

取適當有效位數：

核心觀念

「過度變形」是指構件承受載荷後產生過大的塑性變形，使其尺寸、形狀或功能失效。此類失效通常發生在材料開始降伏時，因此判定依據是材料的降伏強度（yield strength）。

在單軸拉伸下，材料尚未降伏時遵守：

$$\sigma = E\varepsilon$$

其中 $\sigma$ 為應力、$\varepsilon$ 為應變、$E$ 為楊氏模數。當應力達到降伏強度 $\sigma_y$ 後，材料會產生顯著塑性變形；卸載後也無法完全恢復原狀。

因此，若設計要求避免過度變形，必須確保：

$$\sigma_{\text{working}} < \sigma_y$$

解題方法

題幹的關鍵字是 excessive deformation，也就是「過度變形」，判斷重點在於材料是否已進入塑性變形階段。

• 彈性階段的變形大小主要由楊氏模數 $E$ 決定。
• 一旦應力超過降伏強度，材料開始產生塑性變形。
• 塑性變形持續增加時，即形成過度變形的失效。

所以，控制此類失效的材料性質是降伏強度。

選項分析

(A) Yield strength：正確

降伏強度代表材料開始產生顯著塑性變形時的應力。當工作應力超過降伏強度，構件會發生永久變形，因此過度變形失效由降伏強度控制。

核心觀念

本題考的是「在相同熱處理溫度下，如何縮短達到相同組織或性能所需的保溫時間」。

熱處理反應的進行速度與擴散、成核及晶粒成長有關，可用 Arrhenius 關係表示：

$$k=k_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

在溫度 $T$ 固定時，若能增加材料內部的缺陷、儲存能與成核位置，就能加速再結晶或相變化，使達到目標組織所需的時間縮短。

塑性變形會造成：

• 位錯密度增加；
• 晶格畸變與內部儲存能增加；
• 晶界、位錯等成核位置增加；
• 擴散路徑增多；
• 再結晶與相變化的孕育期縮短。

因此，先施加適當塑性變形，再進行熱處理，可以在相同保溫溫度下縮短保溫時間。

解題方法

判斷各選項是否能直接促進熱處理反應的動力學。能增加缺陷密度、提高成核速率或促進擴散者，才具有縮短保溫時間的作用。

熱處理轉變程度可概念性地表示為：

$$X=1-\exp(-kt^n)$$

其中 $X$ 為轉變分率、$k$ 為反應速率常數、$t$ 為保溫時間。塑性變形使材料具有較高的儲存能與較多成核位置，等效上提高轉變速率，因此在相同的目標轉變分率 $X$ 下，所需時間 $t$ 會減少。

所以正確選項為 (A) deformation。

選項分析

(A) deformation：正確

核心觀念

冷加工量（percent cold work）定義為截面積的減少比例：

$$\%CW=\frac{A_0-A_f}{A_0}\times 100\%$$

其中 $A_0$ 為冷加工前截面積，$A_f$ 為冷加工後截面積。

本題為圓柱形棒材，截面積為：

$$A=\frac{\pi d^2}{4}$$

因此，冷加工量必須根據「截面積」計算，不能直接將直徑減少 25%。

解題方法

已知：

$$d_0=7\ \text{mm},\qquad \%CW=25\%$$

冷加工後保留的截面積比例為：

$$\frac{A_f}{A_0}=1-0.25=0.75$$

由於圓棒截面積與直徑平方成正比：

$$\frac{A_f}{A_0} = \frac{\pi d_f^2/4}{\pi d_0^2/4} = \left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2$$

所以：

$$\left(\frac{d_f}{7}\right)^2=0.75$$ $$d_f=7\sqrt{0.75}$$ $$d_f\approx 7(0.866)=6.06\ \text{mm}$$

取最接近的選項：

$$d_f\approx 6.1\ \text{mm}$$

選項分析

• (A) 5 mm：錯誤。 此直徑對應的截面積減少比例為

本題考查金剛石（Diamond）的特性，特別是其導熱性和導電性，以及與其鍵合方式的關係。

金剛石是一種由碳原子組成的晶體，其中每個碳原子與其他四個碳原子以 sp³ 混成軌域形成強的共價鍵。這種結構賦予了金剛石許多獨特的性質。

(A) 金剛石的高導熱性與碳材料的關係: 金剛石確實具有非常高的導熱性，遠超大多數金屬和陶瓷。這是由於其緊密的共價鍵網絡和規則的晶體結構，使得聲子（晶格振動）能夠高效傳播。但是，說「因為它屬於碳材料」而具有高導熱性是不夠精確的。石墨，也是碳材料，但其導熱性與金剛石不同（在平面內高，垂直平面低）。高導熱性是其特定晶體結構和共價鍵的結果，而不僅僅是「碳材料」這個屬性。因此，此敘述不夠準確。

(B) 金剛石的低導電性與離子鍵的關係: 金剛石中的碳原子之間形成的是強的共價鍵，而不是離子鍵。離子鍵通常存在於金屬和非金屬元素之間形成的化合物中。金剛石是純碳元素形成的單質。

核心觀念

本題考查陶瓷材料（離子晶體）中的點缺陷（Point Defects）種類及其定義。在離子化合物中，由於必須維持電中性（Electroneutrality），點缺陷通常成對出現：

1. 肖特基缺陷（Schottky Defect）：晶體內部同時產生「一對陽離子空位與陰離子空位」（或等電荷比的陽／陰離子空位比），相當於將晶格內部的陽離子與陰離子同時移除並移至外部表面。因此晶體密度會略微下降。
2. 佛蘭克爾缺陷（Frenkel Defect）：離子離開正常格位進入鄰近的間隙格位，形成「陽離子空位－陽離子間隙對」（因陽離子半徑通常小於陰離子，較易擠入間隙格位）。晶體整體質量與體積不變，密度基本不變。

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解題方法

針對各選項敘述比對材料科學經典教材（如 Callister《Materials Science and Engineering》）中對離子缺陷的原文書定義：

• 檢驗是否有「成對的空位（cation vacancy + anion vacancy）」。
• 檢驗是否符合「由內部移除並放置於外表面（removed from interior and placed at an external surface）」之物理圖像。

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核心觀念

本題考查三個觀念：

1. 不同晶面的表面能比較
2. 表面能與晶界能的關係
3. 小角度晶界與大角度晶界的能量差異

表面能 $\gamma_s$ 是形成單位面積自由表面所需增加的能量，主要與表面原子未飽和鍵的數目有關。單位面積上被切斷的鍵越多，表面能通常越高。

晶界能 $\gamma_{gb}$ 則是形成單位面積晶粒間界面所需的能量。

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解題方法

逐一判斷四個敘述，再對照選項組合。

判斷晶面表面能時，主要比較：

• 晶面上的原子排列密度
• 每個表面原子所失去的近鄰鍵數
• 單位面積內的斷鍵數

對 FCC 晶體而言，$(111)$ 是最密堆積面，原子排列最緊密，表面原子通常具有較高的配位程度，因此表面能最低；$(100)$ 的表面能則高於 $(111)$。

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選項分析

敘述 1

The surface energy will be greater for an FCC (100) plane than for a (111) plane.

FCC 中常見低指數晶面的表面能關係為：

$$\gamma_{111}<\gamma_{100}<\gamma_{110}$$

$(111)$ 是 FCC 的最密堆積面，表面原子排列較穩定、平均斷鍵數較少，因此表面能較低。$(100)$ 面的表面原子相對不密，形成表面時需要付出較高能量。

因此：

$$\gamma_{100}>\gamma_{111}$$

敘述 1 正確。

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敘述 2

The surface energy will be lower than the grain boundary energy.

表面能與晶界能的標準關係可由晶界分離成兩個自由表面理解：

$$\gamma_{gb}<2\gamma_s$$

這表示晶界能通常低於兩個自由表面能的總和，但不能支持「表面能低於晶界能」。

在一般材料科學的比較中，晶界具有一定程度的原子鍵結與結構鬆弛，其能量通常低於單一自由表面能，故常見關係為：

$$\gamma_{gb}<\gamma_s$$

因此「表面能低於晶界能」是錯誤敘述。

本題考查單晶材料的楊氏模量（Modulus of Elasticity）的方向性。楊氏模量是材料在彈性範圍內抵抗拉伸或壓縮變形的剛度。對於各向同性材料，楊氏模量是一個常數。然而，對於單晶材料，由於原子在不同晶向上的排列密度和原子間相互作用力的不同，其楊氏模量在不同晶向上是不同的，即具有各向異性。

鐵（Iron）在室溫下通常是 BCC（體心立方）結構。
對於 BCC 結構的金屬，其楊氏模量在不同晶向上的變化規律是：

• [100] 方向的楊氏模量相對較低。

本題考查二元合金相圖中的槓桿定律（lever rule）。題目給出了一個合金系統在某溫度下的相組成和各相的質量分數，要求計算其中一個相的具體組成。

已知信息：

1. 合金的總組成：40 wt% B - 60 wt% A。
2. 在此溫度下，合金由 $\alpha$ 相和 $\beta$ 相組成。
3. $\alpha$ 相的質量分數 $w_{\alpha} = 0.66$。
4. $\beta$ 相的質量分數 $w_{\beta} = 0.34$。
5. $\alpha$ 相的組成：13 wt% B - 87 wt% A。
6. 要求計算 $\beta$ 相的組成（wt% B）。

根據質量守恆定律，合金的總組成是各相組成和質量分數的加權平均。
設 $\beta$ 相的組成是 $C_{\beta}$ (wt% B)。
則 $\alpha$ 相的組成是 $C_{\alpha} = 13$ wt% B。
總組成為 $C_{total} = 40$ wt% B。

根據槓桿定律（這裡實際上是質量平衡方程，因為我們已知質量分數）：

核心觀念

陶瓷材料屬於脆性材料，其抗彎強度主要受裂紋、孔隙等缺陷控制。彎曲載荷作用下，試片受拉側的最大拉應力容易使孔隙尖端或孔隙周圍形成裂紋，進而快速破壞。

孔隙會造成兩項主要影響：

1. 降低有效承載截面積：實際承受載荷的固體材料減少。
2. 造成應力集中：孔隙邊緣的局部應力高於平均應力，使裂紋更容易萌生與成長。

彎曲應力可表示為

$$\sigma_f=\frac{Mc}{I}$$

其中 $M$ 為彎矩、$c$ 為外表面至中性軸的距離、$I$ 為截面慣性矩。當截面含有孔隙時，實際連續承載的陶瓷材料減少，且孔隙周圍產生局部應力集中，因此材料的抗彎強度 $\sigma_f$ 會下降。

解題方法

本題可從「孔隙對陶瓷承載與破壞的影響」切入。

在彎曲試驗中，試片的一側承受拉應力。陶瓷內部的孔隙相當於內部缺陷，會使有效承載面積減小；同時，孔隙周圍的應力重新分布，孔隙邊緣的局部應力升高。若局部應力達到裂紋成長所需的臨界值，裂紋便會由孔隙處開始擴展。

因此，孔隙增加時，陶瓷能承受的彎曲載荷降低，抗彎強度也隨之降低。最直接符合此物理意義的敘述是：

Pores may reduce the cross-sectional area across which a load is applied.

選項分析

(A) Pores may reduce the cross-sectional area across which a load is applied

正確。

孔隙不具備承載能力，因此會減少連續陶瓷固體所形成的有效承載截面積。在相同外力下，剩餘固體區域所承受的平均應力提高；

核心觀念

本題考查鐵－碳相圖中，過共析純碳鋼（hypereutectoid plain-carbon steel）冷卻後的平衡組織。

• 共析成分約為 $0.76\ wt\%C$。
• 過共析鋼的碳含量大於共析成分，且通常低於滲碳體成分。
• 過共析鋼由奧氏體區冷卻時，先析出先共析滲碳體（proeutectoid cementite）。
• 溫度降至共析溫度約 $727^\circ\mathrm{C}$ 時，剩餘奧氏體進行共析反應：

$$\gamma \rightarrow \alpha+\mathrm{Fe_3C}$$

其中：

• $\gamma$：奧氏體（austenite）
• $\alpha$：鐵素體（ferrite）
• $\mathrm{Fe_3C}$：滲碳體（cementite）
• $\alpha+\mathrm{Fe_3C}$ 的層片狀混合組織稱為珠光體（pearlite）

因此，過共析鋼緩慢冷卻至室溫後，主要組織為「珠光體＋先共析滲碳體」。

解題方法

判斷冷卻後是否仍存在奧氏體，關鍵在於共析反應。

過共析鋼在冷卻過程中：

1. 位於奧氏體單相區時，組織為奧氏體。
2. 進入共析溫度以上的兩相區後，先析出先共析滲碳體，組織為「奧氏體＋滲碳體」。
3. 降至共析溫度時，剩餘奧氏體全部轉變為珠光體：

$$\gamma \rightarrow \alpha+\mathrm{Fe_3C}$$

核心觀念

$K_{IC}$ 是材料在第一型開裂（Mode I，張應力張開裂紋）下的平面應變破壞韌性，代表材料抵抗裂紋快速擴展的能力，稱為 fracture toughness。

裂紋尖端的應力強度因子可表示為

$$K_I=Y\sigma\sqrt{\pi a}$$

其中 $Y$ 為幾何因子、$\sigma$ 為外加應力、$a$ 為裂紋尺寸。當

$$K_I=K_{IC}$$

時，裂紋尖端達到臨界狀態，材料開始發生不穩定破壞。$K_{IC}$ 的常用單位為 $\mathrm{MPa\sqrt{m}}$。

解題方法

題目直接詢問符號 $K_{IC}$ 的名稱，可由下標判斷：

• $K$：應力強度因子相關量。
• $I$：第一型開裂。
• $C$：臨界值（critical value）。

因此，$K_{IC}$ 是第一型開裂的臨界應力強度因子，也就是材料的破壞韌性。

選項分析

• (A) stress-intensity factor

  一般應力強度因子記為 $K_I$，描述特定載荷與裂紋幾何下的裂紋尖端應力場強度。$K_{IC}$ 是 $K_I$ 的臨界值，專指材料性質，因此此選項不夠精確，錯誤。

本題考查晶體滑移系統的數量計算。題目給定 PbTe 具有 NaCl 結構，並且滑移發生在 {110} 滑移面上，滑移方向為 <1-10>。

NaCl 結構是一種面心立方（FCC）結構的變體，可以看作是兩個 FCC 點陣交錯排列而成（例如，一個點陣由 Na+ 離子組成，另一個點陣由 Cl- 離子組成，它們之間有一個離子的距離）。

滑移系統由滑移面（slip plane）和滑移方向（slip direction）組成。

1. 滑移面: 在 NaCl 結構中，最有可能發生滑移的面是原子密度相對較高的面。對於 FCC 類型的結構，最常見的滑移面是 {111} 面。然而，題目明確指出滑移面是 {110}。這意味著原子在 (110) 類型的平面上滑移。

   • {110} 面族包含以下幾個面：(110), (1-10), (101), (1-01), (-101), (-10-1), (011), (01-1), (0-11), (0-1-1)。
   • 由於 NaCl 結構是離子晶體，滑移通常發生在能夠使離子相對滑動而保持電中性的面上。在 NaCl 結構中，{110} 面是可能的滑移面。
   • 屬於 {110} 面族的晶面有 12 個。但是，由於結構的對稱性，其中一些是等價的。對於 NaCl 結構，{110} 面族中的滑移面實際上是 6 個（例如 (110), (1-10), (101), (-101), (011), (01-1)）。

2. 滑移方向: 題目給定滑移方向為 <1-10>。

   • <1-10> 方向族包含以下方向：[1-10], [-110], [10-1], [-101], [01-1], [0-11]。
   • 這些方向都是 FCC 結構中的 <110> 方向族。
   • 對於 NaCl 結構，滑移方向通常是緊密堆積的方向，即 <110> 方向族。

計算滑移系統的數量:
滑移系統的數量是滑移面數乘以滑移方向數。
對於 NaCl 結構，在 {110} 滑移面上，可能的滑移方向是 <1-10> 方向族。

• 滑移面: {110} 面族。在 NaCl 結構中，有 6 個等價的 {110} 滑移面（例如 (110), (1-10), (101), (-101), (011), (01-1)）。
• 滑移方向: <1-10> 方向族。每個滑移面上，有兩個 <1-10> 方向的滑移方向。例如，在 (110) 面上，可以有 [1-10] 和 [001] （如果 [001] 是滑移方向的話，但題目說是 <1-10>）。
  更準確地說，對於 NaCl 結構，滑移通常發生在 {110} 面上，沿 <110> 方向。
  在 NaCl 結構中，每個 {110} 滑移面上，有兩個 <110> 方向的滑移方向。
  例如，在 (110) 面上，滑移方向可能是 [1-10] 和 [001]。
  但是，題目明確指出滑移方向是 <1-10>。
  所以，對於每個 {110} 滑移面，有兩個 <1-10> 方向的滑移方向。
  例如，在 (110) 面上，有 [1-10] 和 [-110] 兩個方向。

本題考查黏彈性材料（visco-elastomeric materials）的識別。黏彈性材料同時具有黏性（viscous）和彈性（elastic）的特性。

彈性材料在受力後能恢復原狀，其應力與應變的比值（楊氏模量）是恆定的。
黏性材料在受力後會發生不可逆的變形，其應力與應變速率有關。
黏彈性材料在受力後，一部分變形是彈性的（可恢復），另一部分是黏性的（不可恢復或緩慢恢復）。

讓我們逐一分析選項：
(A) Plexiglass (壓克力): 壓克力是一種聚合物，具有顯著的黏彈性。在室溫下，它表現出一定的彈性，但在較高的溫度或長時間載荷下，會表現出黏性流動。

(B) Soda-lime-silica glass (鈉鈣玻璃): 鈉鈣玻璃是一種常見的玻璃。玻璃在室溫下通常被認為是高度彈性的（儘管是脆性的），其黏性流動的特徵在室溫下非常不明顯。然而，玻璃在較高溫度下會變得黏稠，並表現出黏彈性行為。但相較於其他選項，其室溫下的黏彈性特徵不那麼突出。

(C) Silica (二氧化矽): 純二氧化矽（如石英玻璃）的黏彈性行為與鈉鈣玻璃類似。在室溫下，它主要表現出彈性，但在高溫下會變得黏稠。

(D) Rubbery (橡膠狀): 橡膠（rubber）是典型的黏彈性材料。橡膠分子鏈非常長且柔順，在受力時可以發生大的彈性變形，同時由於鏈的纏結和滑動，也表現出顯著的黏性行為。橡膠在常溫下就表現出明顯的黏彈性。

問題的關鍵: 哪個 不屬於 黏彈性材料？
題目提到「which exhibit both viscous and elastic characteristics under undergoing deformation」。
這意味著我們要找一個主要表現為彈性（或純黏性），而黏彈性特徵不明顯的材料。

在給定的選項中：

• Plexiglass 和 Rubbery 都是典型的黏彈性材料。
• 玻璃（鈉鈣玻璃和二氧化矽）在室溫下主要表現為彈性（脆性），其黏性行為在高溫下才明顯。

核心觀念

六方最密堆積（HCP）的理想晶格參數比為

$$\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx 1.633$$

其中：

• $a$：六方晶胞底面上相鄰原子中心距離。
• $c$：六方晶胞垂直方向的晶格常數，即由一層原子到下一個同位置原子層的高度。

理想 HCP 結構假設原子為相互接觸的硬球，且堆積達到最密狀態。

解題方法

HCP 的相鄰原子層以 $A$–$B$–$A$ 方式堆疊。取底層三個原子與上層一個原子觀察，可形成正四面體。

相鄰原子互相接觸，因此原子中心間距為

$$a=2R$$

其中 $R$ 為原子半徑。

正四面體的三條底邊長度皆為 $2R$。上層原子位於底層正三角形的中心上方，設其到正三角形中心的水平距離為 $d$，層間垂直距離為 $h$。

正三角形中心到任一頂點的距離為

$$d=\frac{2R}{\sqrt{3}}$$

上層原子與底層任一原子接觸，所以由直角三角形可得

$$(2R)^2=h^2+\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2$$

因此

$$h^2=4R^2-\frac{4R^2}{3} =\frac{8R^2}{3}$$ $$h=2R\sqrt{\frac{2}{3}}$$

HCP 晶胞的 $c$ 軸包含兩個相同的層間距，因此

本題考查 Gibbs 相律（Gibbs Phase Rule）的表達形式。

Gibbs 相律描述了一個處於熱力學平衡的多相系統的自由度、組分數和相數之間的關係。
標準的 Gibbs 相律公式是：
$F = C - P + N$
其中：
$F$ 是自由度（degree of freedom），表示系統狀態可以獨立變化的變數數目（如溫度、壓力、組分等）。
$C$ 是組分數（number of components），指能夠獨立變化的化學物質的最小數目。
$P$ 是相數（number of phases），指系統中物理狀態不同的均勻部分。
$N$ 是非組分變數（non-compositional variable），通常是指獨立的熱力學變數，如溫度和壓力。在大多數情況下，我們考慮溫度和壓力兩個獨立變數，所以 $N=2$。如果只考慮其中一個變數（如恆壓或恆溫），則 $N=1$。

核心觀念

金屬在自然界通常以化合物形式存在，因為多數金屬元素容易與氧、硫或碳酸根等形成穩定礦物。常見礦石類型包括氧化物、硫化物、碳酸鹽與硫酸鹽。這題考的是常見金屬礦物的分類，以及哪一類通常不被列為常見金屬礦石。

解題方法

逐一檢查各選項是否有具代表性的天然金屬礦物：

• 氧化物：赤鐵礦、磁鐵礦。
• 硫酸鹽：重晶石、石膏等天然礦物。
• 碳酸鹽：菱鐵礦、孔雀石等。
• 硝酸鹽：天然硝酸鹽礦物較少，且多易溶於水，因此通常不列為常見金屬礦石類型。

依一般材料與冶金教材的分類，本題預期選 硝酸鹽。

選項分析

• (A) Nitrates（硝酸鹽）—本題預期答案。 硝酸鹽通常易溶於水，天然分布與常見金屬礦石相比有限，因此教材常以此作為「金屬通常不以此類礦石存在」的選項。
• **(B) Sulphates（硫酸鹽）—不選。

核心觀念

六方晶系採用 Miller–Bravais 四指數 $(hkil)$ 表示晶面，其中三個基面軸滿足

$$\mathbf a_1+\mathbf a_2+\mathbf a_3=0$$

因此指數必須符合

$$h+k+i=0$$

晶面若平行於 $c$ 軸，則其在 $c$ 軸上的截距為無限大，所以 $l=0$。

解題方法

由圖中晶面的基面投影可讀得截距：

• 在 $a_1$ 軸負方向，截距為 $-a$；
• 在 $a_2$ 軸正方向，截距為 $a/2$；
• 在 $a_3$ 軸負方向，截距為 $-a$；
• 晶面平行 $c$ 軸，截距為 $\infty$。

將截距以晶格常數為單位表示：

$$\left(-1,\frac{1}{2},-1,\infty\right)$$

取倒數：

$$\left(-1,2,-1,0\right)$$

因此晶面的 Miller–Bravais 指數為

$$(\bar{1}\,2\,\bar{1}\,0)$$

且

核心觀念

本題考查材料的破壞韌性（fracture toughness），通常以平面應變破壞韌性 $K_{IC}$ 表示。它描述材料含有裂縫時，抵抗裂縫快速延伸的能力。

在線性彈性破壞力學中，裂縫尖端的應力強度因子為

$$K_I=Y\sigma\sqrt{\pi a}$$

其中：

• $Y$：幾何修正因子
• $\sigma$：外加應力
• $a$：裂縫半長或特徵裂縫尺寸

當

$$K_I=K_{IC}$$

裂縫即達到臨界狀態並快速成長。因此，$K_{IC}$ 越大，材料容許的裂縫尺寸或外加應力越大，抗脆性破壞能力越強。

破壞韌性與材料能吸收的破壞功也有關：

$$G_{IC}=\frac{K_{IC}^{2}}{E'}$$

其中 $G_{IC}$ 為臨界能量釋放率，$E'$ 則依應力狀態而定。實際比較時，材料能否在裂縫尖端產生塑性變形、鈍化裂縫尖端，是重要判斷依據。

解題方法

先比較四種材料的材料類別與破壞行為：

1. 鋁合金：金屬，通常具有明顯塑性變形能力。
2. SiC：陶瓷，通常以脆性破壞為主。
3. Polystyrene：玻璃態高分子，室溫下通常偏脆。
4. Glass：玻璃，典型脆性材料。

金屬在裂縫尖端可形成塑性區，使裂縫尖端鈍化，並消耗大量塑性變形能；陶瓷、玻璃與玻璃態高分子缺乏足夠的裂縫尖端塑性變形，因此破壞韌性通常較低。

核心觀念

本題考查合金中「原子百分比（at%）」與「單位體積內原子數」的換算。

3 at% Pt–97 at% Cu 表示：

• 每 100 mol 合金原子中，有 3 mol Pt 原子
• 每 100 mol 合金原子中，有 97 mol Cu 原子

利用各純金屬的原子量與密度，可先求出此組成合金的總體積，再計算單位體積內的 Pt 原子數。計算採用理想體積可加成近似：

$$V_{\text{alloy}} \approx V_{\text{Pt}}+V_{\text{Cu}}$$

解題方法

取 $1$ mol 合金原子作為基準，則：

$$n_{\text{Pt}}=0.03\ \text{mol}$$ $$n_{\text{Cu}}=0.97\ \text{mol}$$

1. 計算 Pt 的質量與體積

Pt 的質量為：

$$m_{\text{Pt}}=0.03(195.08)=5.8524\ \text{g}$$

因此 Pt 所占體積為：

$$V_{\text{Pt}}=\frac{m_{\text{Pt}}}{\rho_{\text{Pt}}} =\frac{5.8524}{21.45} \approx 0.2728\ \text{cm}^3$$

2. 計算 Cu 的質量與體積

Cu 的質量為：

$$m_{\text{Cu}}=0.97(63.55)=61.6435\ \text{g}$$

因此 Cu 所占體積為：

$$V_{\text{Cu}}=\frac{m_{\text{Cu}}}{\rho_{\text{Cu}}} =\frac{61.6435}{8.96} \approx 6.8799\ \text{cm}^3$$

3. 計算合金總體積

$$V_{\text{alloy}} =0.2728+6.8799 \approx 7.1527\ \text{cm}^3$$

4. 計算 Pt 原子總數

$0.03$ mol Pt 所含的原子數為：

本題考查不同材料加工過程對位錯密度（dislocation density）的影響。位錯是晶體材料中的線缺陷，其密度與材料的加工硬化、強度和韌性密切相關。

(A) 冷加工（cold work）: 冷加工是指在再結晶溫度以下的塑性變形。在冷加工過程中，位錯會不斷產生、運動和纏結。隨著變形量的增加，位錯的密度會急劇增加，並形成位錯胞壁（dislocation cell walls），導致材料的硬化。因此，冷加工會顯著提高位錯密度。

(B) 退火（annealing）: 退火是一種熱處理過程，通常用於消除冷加工引起的硬化，恢復材料的延展性。退火過程包括再結晶和晶粒長大。在再結晶過程中，新的無位錯的晶粒形成，位錯密度會降低。在晶粒長大過程中，位錯也會重新排列和湮滅，進一步降低位錯密度。因此，退火會降低位錯密度。

本題考查影響合金固溶體極限（solid solution limit）的因素。固溶體極限是指在一定溫度下，一種元素能夠溶解到另一種元素晶格中的最大溶解度。

(A) 提高加熱溫度（raised up heating temperature）: 在相圖中，固溶體極限通常隨著溫度的升高而增大。提高加熱溫度可以增加原子在晶格中的熱振動能量，促進溶解，從而擴大固溶體範圍。因此，提高加熱溫度可以增大固溶體極限。

(B) 變形（deformation）: 變形（如冷加工）會引入位錯等缺陷，增加材料的內能，並可能在一定程度上促進溶解。然而，變形對固溶體極限的影響通常不如溫度顯著。在某些情況下，變形可能會稍微擴大固溶體範圍，但通常不是主要的因素。

本題考查再結晶（Recrystallization）過程的影響因素。

再結晶是冷加工後金屬在加熱過程中，形成新的無應變晶粒的過程。再結晶的發生需要溫度、時間和應變能的驅動。

讓我們逐一分析各選項：

(A) 提高溫度增加再結晶時間:
再結晶的驅動力是冷加工儲存的應變能。溫度越高，原子擴散越活躍，位錯運動越容易，再結晶過程進行得越快。因此，提高溫度通常會 縮短 再結晶時間，而不是增加。此敘述是錯誤的。

(B) 增加變形量增加再結晶時間:
增加冷加工的變形量會儲存更多的應變能，這提供了更大的再結晶驅動力。

本題考查熱機械處理（Thermo-Mechanical Processing, TM）中的退火（annealing）過程對強化純鋁的影響，以及如何通過退火來「保留變形微觀結構」（retain the deformed microstructure）以獲得高強度。

純鋁的強度相對較低，通常通過加工硬化（冷加工）來提高強度。熱機械處理結合了加工（如軋製）和熱處理（如退火）。

題目要求通過退火來「保留變形微觀結構」以獲得高強度。這句話本身有點矛盾。

• 高強度 通常通過加工硬化（冷加工）獲得，這會增加位錯密度，使微觀結構變形。
• 退火 過程的目的是軟化材料，消除加工硬化，恢復延展性，這通常會導致微觀結構的恢復（recovery）、再結晶（recrystallization）和晶粒長大（grain growth），從而 降低 強度。

然而，題目強調的是「retain the deformed microstructure」來獲得高強度。這暗示我們需要進行一種特殊的退火，使得材料在獲得一定程度的軟化（以避免脆性）的同時，又能保留大部分的加工硬化效果。

通常，退火處理會發生再結晶，形成新的、無應變的晶粒，從而消除加工硬化的影響。
如果我們希望「保留變形微觀結構」，可能意味著我們需要避免或限制再結晶的發生。

本題考查單晶材料的屈服強度與臨界剪切應力之間的關係，即施密德定律（Schmid's Law）。

施密德定律描述了在外加拉伸應力 $\sigma$ 作用下，在特定滑移系統（滑移面和滑移方向）上產生的剪切應力 $\tau$。
$\tau = \sigma \cos\phi \cos\lambda$
其中：
$\phi$ 是滑移面法線向量與外加應力方向之間的夾角。
$\lambda$ 是滑移方向向量與外加應力方向之間的夾角。

當剪切應力 $\tau$ 達到某個臨界值 $\tau_{crss}$（臨界剪切應力，也稱為屈服剪切應力）時，位錯開始滑移，材料開始發生塑性變形，此時的屈服就開始了。

施密德因子（Schmid factor）$m = \cos\phi \cos\lambda$。
所以，$\tau = \sigma m$。

屈服發生時，$\tau = \tau_{crss}$。
$\tau_{crss} = \sigma_y m_{max}$
其中，$\sigma_y$ 是材料的屈服強度（yield stress），$m_{max}$ 是使 $\cos\phi \cos\lambda$ 達到最大值的滑移系統對應的施密德因

本題考查各向同性材料（isotropic materials）的力學參數之間的關係，特別是楊氏模量（E）、剪切模量（G）和蒲松比（v）。

對於各向同性材料，這三個力學參數之間存在一個確定的數學關係。
該關係式為：
$G = \frac{E}{2(1+v)}$

讓我們將這個公式變形，與選項進行比較。
將 $2(1+v)$ 乘到左邊：
$G \times 2(1+v) = E$
$2G(1+v) = E$

本題考查單晶材料的滑移應力計算，需要用到施密德定律（Schmid's Law）。

已知：

• 材料：BCC 鐵（單晶）
• 外加應力：拉伸應力 $\sigma = 97.9$ MPa，沿 [010] 方向。
• 滑移系統：滑移面 (110)，滑移方向 [-111]。

施密德定律公式為：$\tau = \sigma \cos\phi \cos\lambda$
其中：
$\tau$ 是滑移系統上的剪切應力。
$\sigma$ 是外加應力。
$\phi$ 是滑移面法線向量與外加應力方向之間的夾角。
$\lambda$ 是滑移方向向量與外加應力方向之間的夾角。

我們需要計算 $\cos\phi$ 和 $\cos\lambda$。

1. 計算 $\cos\lambda$:
滑移方向向量 $\vec{d} = [-1, 1, -1]$。
外加應力方向向量 $\vec{\sigma} = [0, 1, 0]$。
兩個向量的點積：$\vec{d} \cdot \vec{\sigma} = |\vec{d}| |\vec{\sigma}| \cos\lambda$
$(-1)(0) + (1)(1) + (-1)(0) = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} \times \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} \times \cos\lambda$
$1 = \sqrt{3} \times 1 \times \cos\lambda$
$\cos\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$

2. 計算 $\cos\phi$:
滑移面是 (110)。滑移面的法線向量 $\vec{n}$ 可以取為 (1, 1, 0)。
外加應力方向向量 $\vec{\sigma} = [0, 1, 0]$。
兩個向量的點積：$\vec{n} \cdot \vec{\sigma} = |\vec{n}| |\vec{\sigma}| \cos\phi$
$(1)(0) + (1)(1) + (0)(0) = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \times \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} \times \cos\phi$
$1 = \sqrt{2} \times 1 \times \cos\phi$
$\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$

本題考查鏈狀烴（paraffin molecules，即烷烴）的沸點與分子量的關係。

沸點是指物質由液態轉變為氣態所需的溫度，與分子間作用力的大小有關。
對於同種類型的分子，分子量越大，分子間的范德華力（London dispersion forces）就越強。分子間作用力越強，需要越高的能量（溫度）才能克服這些作用力，使分子脫離液態進入氣態，因此沸點越高。

烷烴是飽和烴，其分子結構主要是碳氫單鍵，分子間主要作用力是范德華力。
我們來比較各選項的分子式和分子量：
(A) CH$_4$ (甲烷): 分子量 ≈ 12 + 4×1 = 16 g/mol
(B) C$_2$H$_6$ (乙烷): 分子量 ≈ 2×12 + 6×1 = 24 + 6 = 30 g/mol

核心觀念

本題考查晶體界面中的「界面張力」與界面力平衡。

在同一晶體系統中，無論界面屬於：

• 相干界面（coherent interface）：兩側晶格在界面處大致連續排列。
• 非相干界面（incoherent interface）：兩側晶格排列不連續，界面處鍵結與原子排列差異較大。

界面都具有界面能。界面能可視為界面張力的來源，界面張力會沿著界面作用，使界面趨向減少面積並達到力平衡。

界面張力可表示為單位長度上的力：

$$\gamma=\frac{dG}{dA}$$

其中 $\gamma$ 為界面張力或界面能，$G$ 為系統自由能，$A$ 為界面面積。

因此，題目所問「相干與非相干界面力如何達到平衡」，其直接物理意義是由**張力（tension）**進行界面力的平衡。

解題方法

判斷本題的關鍵是分辨「力平衡」與「轉動平衡」：

1. 題目明確提到的是界面作用力的平衡。
2. 界面上的作用力主要以界面張力表示。
3. 相干界面與非相干界面雖然界面能及晶格匹配程度不同，仍可透過界面張力達到機械平衡。
4. 扭矩是描述轉動效應的物理量，不是界面力平衡的主要答案。

所以正確選項為 (A) tension。

選項分析

(A) tension——正確

張力是沿界面方向作用的力，可表示界面能對面積的變化。相干界面與非相干界面具有不同的界面能，但其界面力仍由界面張力互相平衡。

本題考查鍍鋅（galvanizing）的防腐蝕機制。鍍鋅是指在鋼鐵表面鍍上一層鋅。

(A) 物理保護（physical protection）: 物理保護是指通過在金屬表面形成一層屏障，隔絕金屬與腐蝕介質（如氧氣、水分）的接觸。例如，塗漆、鍍鉻等。鍍鋅層確實提供了一定的物理屏障作用。

(B) 熱保護（thermal protection）: 熱保護是指材料抵抗高溫的能力，與防腐蝕無關。

(C) 化學保護（chemical protection）: 化學保護是指通過在金屬表面形成一層穩定的、鈍化的化學膜，來阻止金屬發生化學反應（腐蝕）。例如，鈍化處理。

核心觀念

共晶凝固是液相在共晶溫度附近，同時分解形成兩個固相的凝固反應：

$$L \rightarrow \alpha+\beta$$

共晶組織通常呈交替排列的片層狀結構，稱為共晶片層（lamellae）。凝固速率主要受到以下因素控制：

1. 液相與固相間的熱量移除，即熱流。
2. 共晶片層間距 $\lambda$ 所造成的溶質擴散距離。
3. 凝固前沿的溫度梯度與過冷度。

經典的 Jackson–Hunt 共晶生長理論指出，共晶凝固過冷度可表示為：

$$\Delta T=K_1V\lambda+\frac{K_2}{\lambda}$$

其中：

• $\Delta T$：共晶凝固過冷度；
• $V$：共晶生長速率；
• $\lambda$：共晶片層間距；
• $K_1V\lambda$：熱擴散與界面形狀造成的過冷度；
• $\dfrac{K_2}{\lambda}$：液相中溶質擴散造成的過冷度。

此式顯示，片層間距會直接影響共晶生長速率；熱流條件則會影響凝固前沿的溫度梯度與可達到的生長速率。

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解題方法

判斷各選項是否為「共晶生長速率」的控制因素，重點在區分：

• 成核問題：固相是否能夠形成，例如臨界晶核尺寸。
• 生長問題：晶體形成後，界面如何前進，例如熱流、溶質擴散與片層間距。

本題問的是 eutectic solidification 的「生長速率」，因此應優先選擇會控制凝固界面前進速度的因素。熱流決定熱量能否有效排出，片層間距決定溶質擴散距離，兩者均直接影響共晶生長。

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選項分析

(A) heat flow：正確

共晶凝固時，液相轉變為固相會釋放潛熱。這些熱量必須經由固相、液相及模具等方向移除，才能使凝固界面持續前進。

熱流越有效，凝固前沿越容易維持所需的溫度梯度，通常可支持較高的共晶生長速率。因此，熱流是共晶生長速率的重要控制因素。

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(B) the critical nucleus size：錯誤

核心觀念

本題考查擴散係數與溫度的 Arrhenius 關係：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

其中：

• $D$：擴散係數
• $D_0=4.4\times10^{-3}\ \text{m}^2/\text{s}$：頻率因子
• $Q=324545\ \text{J/mol}$：擴散活化能
• $R=8.314\ \text{J/(mol·K)}$
• $T$：絕對溫度，單位為 K

題目定義同位素層寬度為：

$$w=2\sqrt{2Dt}$$

因此可先由目標寬度求出所需的擴散係數，再利用 Arrhenius 關係求溫度。

解題方法

目標寬度：

$$w=0.1\ \mu\text{m}=0.1\times10^{-6}\ \text{m}=1.0\times10^{-7}\ \text{m}$$

退火時間：

$$t=1\ \text{hr}=3600\ \text{s}$$

由

$$w=2\sqrt{2Dt}$$

兩邊平方得：

$$w^2=8Dt$$

所以：

$$D=\frac{w^2}{8t}$$

代入數值：

$$D=\frac{(1.0\times10^{-7})^2}{8(3600)} =\frac{1.0\times10^{-14}}{28800} =3.47\times10^{-19}\ \text{m}^2/\text{s}$$

再代入 Arrhenius 方程式：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

取自然對數：

$$\ln\left(\frac{D}{D_0}\right)=-\frac{Q}{RT}$$

整理得：

$$T=\frac{Q}{R\ln(D_0/D)}$$

代入：

本題考查雜質原子（impurity atom）在金屬晶格中佔據間隙位置（interstitial site）時，其半徑與金屬晶格間隙大小的關係。

當雜質原子進入金屬的間隙位置時，其半徑不能超過間隙所能容納的最大尺寸。通常，間隙原子的大小與主體金屬的原子半徑有關。

對於 BCC (體心立方) 和 FCC (面心立方) 結構，間隙的大小是不同的。

• BCC 結構:
  • 體心間隙（body-centered interstitial site）的大小相對較大。
  • 主體金屬原子半徑 $R$。
  • 體心間隙半徑 $r_{bcc} \approx 0.291 R$。
• FCC 結構:
  • 八面體間隙（octahedral interstitial site）的大小相對較大。
  • 主體金屬原子半徑 $R$。
  • 八面體間隙半徑 $r_{oct} \approx 0.414 R$。
  • 四面體間隙（tetrahedral interstitial site）的大小相對較小。
  • 四面體間隙半徑 $r_{tet} \approx 0.225 R$。

題目要求「rank the radius of an impurity that just fit into the interstitial site」。這意味著我們需要比較不同金屬間隙的大小，然後判斷哪個雜質原子可以「fit into」。
題目中的「fit into」是指雜質原子能夠進入間隙位置。這意味著雜質原子的半徑必須小於或等於間隙半徑。
為了「just fit into」，我們需要比較雜質原子半徑與間隙半徑的關係。

但是，題目給的是金屬本身的原子半徑，而不是間隙半徑。
「Rank the radius of an impurity that just fit into the interstitial site of the following metals...」
這句話的理解是：對於給定的金屬，其間隙的大小是固定的。我們需要 rango 雜質原子的半徑，使得它們能夠進入這些金屬的間隙。

問題的理解:
題目給出了四種金屬的原子半徑：

• Cu (FCC): $R_{Cu} = 0.128$ nm
• Fe (BCC): $R_{Fe} = 0.126$ nm
• Ag (FCC): $R_{Ag} = 0.144$ nm
• Na (BCC): $R_{Na} = 0.186$ nm

然後，題目問的是「rank the radius of an impurity that just fit into the interstitial site」。
這意味著，對於每一種金屬，我們需要知道其間隙的大小。
然後，我們需要 rango 雜質原子的半徑。

假設: 題目實際上是要我們比較不同金屬的「最大可容納間隙原子半徑」。
也就是說，對於 Cu，其間隙的最大半徑是多少？對於 Fe，其間隙的最大半徑是多少？
然後，我們將這些最大可容納半徑進行排序。

本題考查金屬熱處理中的回復（recovery）過程。回復是冷加工後金屬在加熱過程中，位錯結構發生重新排列，從而降低內應變能的過程。

(A) 內部應變能釋放: 回復過程中，位錯會發生運動和重新排列，形成位錯陣列（如位錯牆），這會降低系統的總內應變能。因此，內部應變能得到釋放。此敘述是正確的。

(B) 位錯數量的減少: 在回復過程中，位錯會通過湮滅（annihilation）或重新排列來降低密度。例如，正負位錯的湮滅，或形成穩定的位錯組態。因此，位錯數量通常會 減少。此敘述是正確的。

核心觀念

本題考查X光繞射儀（X-ray Diffractometer, XRD）的基本工作原理與量測物理量，涉及的核心定理為布拉格定律（Bragg's Law）：

$$n\lambda = 2d_{hkl}\sin\theta$$

式中：

• $n$：繞射階數（Diffraction order，通常取 $n = 1$）。
• $\lambda$：入射 X 光波長（Wavelength，為已知定值，如 $\text{Cu } K\alpha = 0.15418\text{ nm}$）。
• $d_{hkl}$：晶格平面間距（Interplanar spacing）。
• $\theta$：布拉格繞射角（Bragg angle）。

在粉末或多晶繞射儀的典型幾何架構（如 Bragg-Brentano 幾何）中：

1. 已知與固定量：X 光射源產生的波長 $\lambda$ 為已知常數。
2. 量測量（自變數與應變數）：測角儀（Goniometer）連續旋轉驅動樣品與偵測器，即時記錄並讀取偵測器所在的繞射角度（Diffraction angle, $2\theta$），同時偵測器記錄各角度下繞射光的強度（Intensity）。
3. 推導量：測得各個繞射峰對應的 $2\theta$ 後，代入布拉格定律計算晶面間距 $d_{hkl}$，進而判定晶體結構、晶胞參數（Lattice parameters）及進行物相定性分析。

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解題方法

XRD（繞射儀）的主要用途是測定多晶材料的晶體結構。在測試中：

• 入射光為「單色化（Monochromatic）」X 光，因此波長 $\lambda$ 是預先已知的實驗設定條件。
• 繞射儀的精密測角儀（Goniometer）核心功能就是精確量測繞射發生的角度（$2\theta$）。
• 透過掃描角度 $2\theta$ 並獲得繞射峰的角位置，即可利用布拉格定律求出各晶面的 $d$ 值。因此，繞射儀直接量測的主要關鍵幾何物理量為繞射角（Diffraction angle）。

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選項分析

• (A) wavelength（錯誤）
  X 光繞射儀使用的是已知固定波長的單色 X 光（例如利用銅靶或鉬靶產生的特徵輻射，搭配濾光片或單光器），波長為已知實驗參數，而非繞射儀要量測的未知量。

核心觀念

晶界是晶粒之間結構較不規則、原子排列較疏鬆的區域，具有較大的自由體積，因此原子沿晶界移動所需的活化能通常低於晶格擴散，晶界擴散係數通常較大：

$$D_{gb}=D_{0,gb}\exp\left(-\frac{Q_{gb}}{RT}\right)$$

其中 $D_{gb}$ 為晶界擴散係數，$Q_{gb}$ 為晶界擴散活化能。一般而言：

$$Q_{gb}<Q_l,\qquad D_{gb}>D_l$$

因此，晶界擴散通常比晶格擴散快速。不過，當溶質濃度很高時，晶界可能發生嚴重的溶質偏析與佔位，使可供擴散的晶界位置減少，並造成溶質間交互作用或晶界遷移受阻，此時晶界擴散「一定較快」的說法不再成立。

解題方法

本題問的是晶界擴散快速的例外情況，因此應判斷各選項是否會使晶界擴散受到抑制。

晶界擴散快速的主要原因是晶界具有較疏鬆的原子結構；若晶界被高濃度溶質大量佔據，晶界擴散通道會受到阻塞，且有效擴散係數可能下降。因此符合題意的是高濃度。

選項分析

• (A) over heating：錯誤

  過熱會提高溫度，使擴散係數依照 Arrhenius 關係增加：

  $$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

  溫度 $T$ 上升時，$D_{gb}$ 通常增加，晶界擴散會更加顯著，並非晶界擴散不快速的條件。