111 年 國立成功大學綠色應用材料碩士班《基礎材料學》

核心觀念

Miller 指數 $(hkl)$ 是晶面與三個晶軸截距的「倒數」。若晶面截距以晶格常數 $a,b,c$ 為單位表示為

則

圖中平面 B 的截距為：

• $x$ 軸：$1$
• $y$ 軸：$\frac{1}{2}$
• $z$ 軸：$\frac{1}{2}$

解題方法

將三個截距取倒數：

因此平面 B 的 Miller 指數為 $(122)$。

選項分析

本題考查材料在高溫下抵抗變形的能力，即潛變 (creep) 的機制。潛變是指材料在應力作用下，隨時間發生的永久性形變。

潛變機制通常包含以下幾種：

• Dislocation glide (or climb)：位錯的滑移或爬升是潛變的主要機制之一，尤其是在中等溫度範圍。Dislocation glide 指的是位錯沿著滑移面移動，而 dislocation climb 則是指位錯通過空位的產生或湮滅而垂直於滑移面的運動，這在較高溫度下更為重要。
• Grain boundary sliding (GBS)：在高溫和多晶材料中，晶粒邊界上的滑移也是潛變的重要貢獻者，尤其是在較低的應力下。
• Grain growth：晶粒長大本身並不是一個直接的潛變機制，儘管它可能在潛變過程中發生。

核心觀念

本題考查異質成核（heterogeneous nucleation）中，不同晶體缺陷對成核能障的影響。

均質成核時，形成半徑為 $r$ 的晶核，其自由能變化可表示為：

其中：

• $\gamma$：晶核與母相之間的界面能；
• $\Delta G_v$：單位體積的成核自由能變化，低於轉變溫度時通常為負值。

當晶核達到臨界半徑 $r^*$ 時，成核能障為：

異質成核發生在晶界、位錯、空孔等缺陷位置，部分原本需要形成的界面被缺陷表面取代，因此成核能障降低：

其中 $f(\theta)$ 為小於或等於 $1$ 的幾何因子。缺陷越能降低界面能、提供越大的潤濕效果或釋放局部應變能，$f(\theta)$ 越小，成核越容易。

因此，本題的判斷重點是：

能提供的成核促進作用越弱者，異質成核能障越高。

解題方法

比較各種缺陷對成核的促進能力：

1. 是否具有高表面能或高局部自由能？
2. 是否能釋放晶核形成時的應變能？
3. 是否能提供多個界面或較大的原子排列自由度？
4. 缺陷本身與新相之間的界面能是否很低？

晶界角落具有多個晶界交會，能提供較大的結構自由度與空間；位錯和點缺陷則可透過局部應變場、空位與原子重排降低成核所需能量。相較之下，孿晶界通常是排列規整、界面能很低的界面，能提供的額外驅動力最小，因此成核能障最高。

選項分析

(a) Twins

核心觀念

本題考查常態分布的「經驗法則」（Empirical Rule）：

• 約 $68\%$ 的資料落在平均值 $\mu \pm 1\sigma$。
• 約 $95\%$ 的資料落在平均值 $\mu \pm 2\sigma$。
• 約 $99.7\%$ 的資料落在平均值 $\mu \pm 3\sigma$。

題目給定的負載範圍為 $18.1$ 至 $83.7\ \text{kN}$。此區間的中心為

區間半寬為

因此題目設定的範圍可視為平均值兩側約兩個標準差：

解題方法

依常態分布經驗法則，落在平均值 $\pm2\sigma$ 範圍內的資料比例約為

所以負載值落在 $18.1$ 至 $83.7\ \text{kN}$ 範圍內的比例為

本題考查合金中原子百分比 (atomic percent, at%) 與重量百分比 (weight percent, wt%) 之間的轉換。

已知：

• Pt 的原子量 (Atomic Weight, AW$_{Pt}$) = 195.08 g/mol
• Cu 的原子量 (Atomic Weight, AW$_{Cu}$) = 63.55 g/mol
• 合金組成：3 at% Pt 和 97 at% Cu。

目標：計算 Pt 的重量百分比 (wt% of Pt)。

計算步驟：

1. 假設合金總原子數為 100 個：

   • Pt 的原子數 = 3
   • Cu 的原子數 = 97

2. 計算 Pt 和 Cu 的總重量：

   • Pt 的總重量 (mass$_{Pt}$) = Pt 的原子數 × Pt 的原子量
     mass$_{Pt}$ = 3 mol × 195.08 g/mol = 585.24 g
   • Cu 的總重量 (mass$_{Cu}$) = Cu 的原子數 × Cu 的原子量
     mass$_{Cu}$ = 97 mol × 63.55 g/mol = 6164.35 g

3. 計算合金的總重量：

   • 總重量 (Total Mass) = mass$_{Pt}$ + mass$_{Cu}$
     Total Mass = 585.24 g + 6164.35 g = 6749.59 g

本題考查擴散動力學，特別是溫度對擴散係數的影響，以及時間與擴散係數的關係。碳在鋼中的滲碳過程是一個典型的擴散過程。

擴散係數 $D$ 與絕對溫度 $T$ 的關係由 Arrhenius 方程式描述：
$D = D_0 \exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$
其中：

• $D$ 是擴散係數 (m²/s)
• $D_0$ 是前指數因子 (pre-exponential factor, m²/s)
• $Q$ 是擴散活化能 (activation energy, J/mol)
• $R$ 是理想氣體常數 (8.314 J/mol·K)
• $T$ 是絕對溫度 (K)

在滲碳過程中，要達到特定的碳濃度分佈，需要一定的時間 $t$。對於擴散過程，時間與擴散係數的平方成反比，或者說，擴散的深度與 $\sqrt{Dt}$ 成正比。要達到相同的擴散深度或碳濃度分佈，如果擴散係數 $D$ 增加，則所需時間 $t$ 可以相應減少。

題目要求將「退火時間 (annealing time)」減少為原來的 1/10。這裡的「退火時間」實際上是指達到目標滲碳深度或濃度所需的「滲碳時間」。
假設我們需要在時間 $t_1$ 在溫度 $T_1$ 下達到某個滲碳效果，現在我們希望在時間 $t_2 = t_1 / 10$ 下達到相同的滲碳效果。

要達到相同的滲碳效果，通常需要相同的擴散距離，即 $\sqrt{D_1 t_1} = \sqrt{D_2 t_2}$。
將 $t_2 = t_1 / 10$ 代入：
$\sqrt{D_1 t_1} = \sqrt{D_2 (t_1 / 10)}$
平方兩邊：
$D_1 t_1 = D_2 (t_1 / 10)$
$D_1 = D_2 / 10$
$D_2 = 10 D_1$

這表示新的擴散係數 $D_2$ 必須是原來擴散係數 $D_1$ 的 10 倍，才能在 1/10 的時間內達到相同的滲碳效果。

我們有：

• 初始溫度 $T_1 = 1000$ K
• $D_0 = 2.3 \times 10^{-5}$ m²/s
• $Q = 148000$ J/mol
• $R = 8.314$ J/mol·K
• 要求 $D_2 = 10 D_1$

首先計算初始溫度 $T_1 = 1000$ K 時的擴散係數 $D_1$：
$D_1 = D_0 \exp\left(-\frac{Q}{RT_1}\right)$
$D_1 = 2.3 \times 10^{-5} \exp\left(-\frac{148000}{8.314 \times 1000}\right)$
$D_1 = 2.3 \times 10^{-5} \exp\left(-\frac{148}{8.314}\right)$
$D_1 = 2.3 \times 10^{-5} \exp(-17.801)$
$D_1 \approx 2.3 \times 10^{-5} \times 1.64 \times 10^{-8} \approx 3.77 \times 10^{-13} \text{ m²/s}$

核心觀念

本題考查 FCC 晶體中的**動態回復（dynamic recovery）**及其影響因素。

塑性變形後，晶體內累積大量位錯與應變能。動態回復是在高溫變形過程中，透過下列機制降低位錯密度與內部應變能：

• 異號位錯相互抵消。
• 位錯重新排列，形成較穩定的位錯結構。
• 位錯攀移（climb）。
• 螺旋位錯交滑移（cross-slip）。

FCC 金屬的動態回復特別依賴螺旋位錯的交滑移能力。堆疊錯能（stacking fault energy, SFE）越高，位錯越容易交滑移，動態回復越容易進行。

解題方法

判斷各選項是否能促進動態回復，核心在於確認該因素是否能提高位錯的交滑移、攀移或抵消速率。

在 FCC 晶體中，完美位錯常分解為兩個 Shockley 部分位錯，中間由堆疊錯連接。其部分位錯間距可概念性表示為：

其中 $d$ 為部分位錯間距，$\gamma_{\mathrm{SF}}$ 為堆疊錯能。

堆疊錯能較高時，部分位錯間距較小，位錯分解程度較低，螺旋位錯較容易重新合併並進行交滑移。因此，高堆疊錯能 FCC 金屬通常具有較快的動態回復，例如鋁、鎳等。

所以，最直接的判斷標準是：

是否有利於螺旋位錯交滑移？若有，則有利於 FCC 晶體的動態回復。

選項分析

（a）with small stacking fault energy

堆疊錯能小時，部分位錯之間的距離較大，位錯分解程度較強。兩個部分位錯不易重新合併，螺旋位錯也較難轉移至另一組滑移面進行交滑移。

本題考查金屬鍵的特性，以及不同元素和化合物的化學鍵類型。

金屬鍵 (metallic bonding) 是在金屬固體中，金屬原子通過共享它們的價電子形成的。這種鍵合的特點是價電子高度離域化，形成「電子海」，而金屬陽離子則排列在電子海中。金屬鍵通常出現在元素週期表中左側的金屬元素中。

我們來分析各個選項：
(a) Li (鋰)：鋰是鹼金屬，屬於非常活潑的金屬。它具有典型的金屬鍵。

本題考查金屬固體理論密度 (theoretical density) 的計算及其相關因素。

理論密度的計算公式為：
$\rho = \frac{nA}{V_C N_A}$
其中：

• $\rho$ 是理論密度 (g/cm³ 或 kg/m³)
• $n$ 是每個晶胞中的原子數 (number of atoms per unit cell)
• $A$ 是原子量 (atomic weight, g/mol)
• $V_C$ 是晶胞的體積 (volume of the unit cell, cm³/cell 或 m³/cell)
• $N_A$ 是亞佛加厥數 (Avogadro's number, atoms/mol 或 molecules/mol)

現在我們分析各個選項與此公式的關聯性：

(a) atomic weight (原子量, A)：原子量直接出現在密度公式的分子中，所以它與理論密度相關。原子量越大，在其他條件相同的情況下，密度越大。

本題考查固體結構的分類，特別是關於原子排列的規則性。

• 晶體 (Crystalline solid)：指原子、離子或分子在三維空間中呈現出長程有序的週期性排列。這種排列是重複且規則的。
  • 單晶 (Single crystal)：整個樣品都由一個連續的、無中斷的晶格構成。原子排列在整個樣品中都是完美有序的。
  • 多晶 (Polycrystalline solid)：由許多稱為晶粒 (grains) 的小晶體組成，每個晶粒內部都是單晶，但不同晶粒的晶格取向不同。晶粒之間由晶界 (grain boundaries) 分隔。在多晶體中，原子排列在每個晶粒內部是週期性的，但整體上不是一個單一的、連續的長程有序結構。
• 非晶體 (Amorphous solid) 或 無定形固體 (Noncrystalline solid)：原子、離子或分子的排列沒有長程有序性，只有近程有序性。它們的排列是隨機的。

核心觀念

黏彈性材料同時具有彈性與黏性。受力時，彈性部分會立即變形，黏性部分則使應變隨時間逐漸增加，稱為潛變；卸載時，應變會先立即回復一部分，再隨時間逐漸回復。

解題方法

原卷圖中，右上方的負載—時間圖是方形負載循環：先施加定值負載，再卸載。四個選項的縱軸都是應變、橫軸都是時間。符合黏彈性特徵的曲線，應在負載期間逐漸變形，卸載時先立即回復一部分，之後再逐漸回復。

核心觀念

柏氏向量 $\mathbf{b}$ 的大小取決於晶體結構中的柏氏向量方向與晶格常數 $a$。常見的完全位錯柏氏向量為：

• FCC：$\mathbf{b}=\dfrac{a}{2}\langle 110\rangle$，因此 $b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$。
• BCC：$\mathbf{b}=\dfrac{a}{2}\langle 111\rangle$，因此 $b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$。

題目提供原子半徑 $r$，需先利用各晶體結構的幾何關係換算晶格常數，再求柏氏向量大小。

解題方法

FCC 晶胞中，原子沿面對角線相切：

代入 FCC 柏氏向量公式：

BCC 晶胞中，原子沿體對角線相切：

代入 BCC 柏氏向量公式：

因此，無論是本題的 FCC 或 BCC 金屬，柏氏向量大小皆為 $2r$。依原子半徑計算：

核心觀念

光學穿透率描述入射光通過材料後，透射光強度占入射光強度的比例。它會受到材料表面反射與材料內部吸收影響，因此與折射率、吸收係數及介電常數都有關。

對厚度為 $d$ 的均勻材料，忽略多重反射時，穿透率可概略表示為

其中 $R$ 是單一界面的反射率，$\alpha$ 是吸收係數。正入射時，材料與空氣界面的反射率近似為

$n$ 為折射率。吸收造成的光強衰減則遵循 $I=I_0e^{-\alpha d}$。

解題方法

逐一檢查各物理量是否會影響穿透率：

1. 折射率會影響界面反射。
2. 吸收係數會影響光在材料內部的衰減。
3. 介電常數與光學折射率相關。

因此三者皆與光學穿透率有關，應選「以上皆有關」。

選項分析

核心觀念

位錯密度 $\rho$ 定義為單位體積內的位錯總長度：

其中 $L$ 是試片中的實際位錯總長度，$V$ 是觀察到的金屬箔體積。照片上的長度與面積都受放大倍率影響，須換算回試片的實際尺寸。

解題方法

圖中可讀到：TEM 照片尺寸為 $10\ \mathrm{cm}\times10\ \mathrm{cm}$、金屬箔厚度為 $200\ \mathrm{nm}$、放大倍率為 $100{,}000$ 倍，照片上量得的位錯總長度為 $400\ \mathrm{cm}$。

先將照片上的位錯長度除以放大倍率，換算成試片中的實際長度：

照片每邊 $10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$，換算成試片實際邊長：

因此，受觀察金屬箔體積為：

代入位錯密度定義：

核心觀念

本題考不同材料的典型用途。聚苯乙烯（Polystyrene, PS）是常見熱塑性塑膠，容易加工成形、成本低，常用於玩具等塑膠製品。

解題方法

原卷第 15 題列出的選項依序為 Polystyrene、Polyacetylene、Polyfluorene、Graphene；題目詢問哪一種材料常用來製作塑膠玩具。依材料的常見用途判斷，聚苯乙烯符合玩具塑膠的用途。

選項分析

• (A) Polystyrene：正確。 聚苯乙烯容易射出成形且成本低，常用於玩具及其他塑膠製品。
• **(B) Polyacetylene：錯誤。

核心觀念

這題在考合金擴散係數的測量方法。Matano 法利用擴散偶退火後的成分分布，求得隨成分變化的互擴散係數 $\tilde D(C)$。其核心依據是 Fick 第二定律與 Matano 面的物質平衡；常用的 Boltzmann–Matano 形式可寫為：

其中 $t$ 是退火時間，$x_M$ 是 Matano 面的位置，$C_L$ 是一側的初始成分。這種方法由擴散偶的成分—距離曲線求出合金的互擴散係數。Boltzmann–Matano 分析說明

解題方法

辨認各選項的用途：Matano 法由成分分布計算擴散係數；Kirkendall 效應與 Darken 方程則涉及合金中不同元素的擴散速率及其關係；Frank–Read 機制屬於差排理論。

核心觀念

本題考原子軌域混成與分子或晶體的鍵結幾何。碳、氮、矽等原子形成共價鍵時，常以混成軌域描述鍵結方向：

• $sp^2$ 混成：一個 $s$ 軌域與兩個 $p$ 軌域混成，形成三個平面排列的混成軌域，剩下一個未混成的 $p$ 軌域。
• $sp^3$ 混成：一個 $s$ 軌域與三個 $p$ 軌域混成，形成四個指向四面體方向的混成軌域。

解題方法

圖中第 17 題列出的選項是 graphite、methane、silicon、ammonia，題目詢問哪一種不含 $sp^3$ 混成軌域；本題未附分子結構圖，依各物質的標準鍵結模型判斷。關鍵是比較每種物質的原子周圍有幾個鍵結方向，以及是否有孤電子對參與四面體電子域排列。

選項分析

• (A) Graphite（石墨）—正確答案。 石墨中的碳原子與三個鄰近碳原子形成共價鍵，鍵結方向呈平面三角形，因此碳原子採 $sp^2$ 混成。

核心觀念

自擴散（self-diffusion）是同一種元素的原子在該元素晶體中的遷移。晶體成分均勻時，原子仍會因熱振動而隨機跳遷；但各方向的跳遷彼此抵銷，因此沒有淨原子通量。

自擴散常以同位素示蹤原子觀察：示蹤原子與晶體中的原子化學性質相同，只靠標記追蹤其位置變化。因此，示蹤原子可以有通量，但晶體整體並沒有因成分或化學勢梯度而產生淨流動。其通量可寫成：

其中 $J^*$ 是示蹤原子通量，$D^*$ 是自擴散係數，$C^*$ 是示蹤原子濃度。

解題方法

判斷自擴散時，先看遷移的原子是不是晶體本身的原子，而非雜質原子或點缺陷。再區分「原子仍持續隨機跳遷」與「是否有淨通量」：當化學勢梯度為零時，原子仍有熱激發造成的微觀運動，只是整體沒有由化學勢梯度驅動的淨流動。

核心觀念

本題考查光纖的常用材料。光纖以透明、低光學損耗的材料作為纖芯，讓光訊號能在其中長距離傳輸。最常見的光纖材料是高純度二氧化矽（silica，$SiO_2$）。

光纖利用纖芯與包層之間的折射率差，使光在界面發生全反射，沿纖芯傳播。材料若吸收或散射太多光，訊號便會衰減，因此低損耗與高純度是重要條件。

解題方法

先辨認題目問的是光纖的「主要材料」，再從選項中找出兼具透明度與低光學損耗、廣泛用於光纖製造的材料。二氧化矽玻璃具備這些特性，因此選擇 silica。

實際光纖中也可能加入少量摻雜物來調整折射率，例如含鍺的材料可提高纖芯折射率；但摻雜物不代表光纖最常用的基礎材料。

選項分析

核心觀念

Kirkendall 效應是二元置換型固溶體中，兩種原子的本徵擴散速率不同所造成的現象。若以惰性標記標示原本的界面，擴散後標記會移動，表示晶格相對於原子有淨移動；這是置換型固溶體可藉由空孔機制進行擴散的證據。

在晶格參考座標中，原子通量可用 Fick 第一定律表示：

若兩種原子的本徵擴散係數不同，就會產生不平衡的原子通量。空孔通量方向與原子通量的淨方向相反；若空孔在局部累積，便可能形成孔洞。原子流失較快的一側傾向承受張應力，原子累積較多的一側傾向承受壓應力。

解題方法

逐項檢查各敘述是否符合「擴散速率不相等、空孔反向通量、兩側應力差異」的因果關係；再用熔點與擴散活化能的通常關聯判斷選項（D）。

選項分析

(A) 正確。
較快擴散的一側會因原子淨流出而產生空孔累積。空孔聚集可形成孔洞；該側同時傾向承受張應力，因此張應力區可伴隨孔洞形成。

核心觀念

題目考的是電負度差與鍵結離子性的關係。Pauling 經驗式為

其中 $\Delta\chi=|\chi_A-\chi_B|$。電負度差越大，鍵結的離子性越高；因此要找離子性最低的材料，只需比較各材料的電負度差。

解題方法

原卷圖中的電負度表可讀出：Ca 為 $1.0$、F 為 $4.0$；Na 為 $0.9$、Cl 為 $3.0$；Si 為 $1.8$、C 為 $2.5$；Al 為 $1.5$、O 為 $3.5$。逐一計算各材料中元素間的電負度差：

• $\mathrm{CaF_2}$：$\Delta\chi=|4.0-1.0|=3.0$
• $\mathrm{NaCl}$：$\Delta\chi=|3.0-0.9|=2.1$
• $\mathrm{SiC}$：$\Delta\chi=|2.5-1.8|=0.7$

核心觀念

此題考晶體結構與金屬塑性變形、延性破壞的關係。延性材料在破壞前能藉由位錯滑移產生明顯塑性變形；可運作的滑移系統越多，通常越容易塑性變形。

面心立方（FCC）金屬常見滑移系統為 $\{111\}\langle 110\rangle$，共有 12 組。其滑移面與滑移方向皆為密排排列，位錯容易移動，因此具有良好延性，典型情況下以延性模式破壞。

解題方法

比較各晶體結構能否提供足夠且容易啟動的滑移系統。FCC 的密排滑移系統多且容易啟動，最符合一般材料學中「常以延性模式破壞」的描述，因此選 FCC。

選項分析

核心觀念

本題考查材料的多晶型（polymorphism）：同一化學組成的材料，能以兩種以上不同的晶體結構存在。晶體結構不同，原子的排列方式與材料性質也可能不同。

解題方法

題幹的關鍵是「相同組成」與「兩種以上晶體結構」。符合這項定義的名稱就是多晶型，因此選擇 (B)。

選項分析

• (A) Isomerism（異構現象）：指化學式相同的物質具有不同的分子結構或原子連接方式，不是題目所問的晶體結構差異。

核心觀念

差排是晶體中的一維線缺陷，以差排線方向單位向量 $\mathbf{t}$ 與柏格斯向量 $\mathbf{b}$ 的相對方向分類：

• 螺旋差排：$\mathbf{b}\parallel\mathbf{t}$。其理想化幾何可視為晶體兩側沿差排線方向相對滑移，形成螺旋狀的原子面。
• 刃差排：$\mathbf{b}\perp\mathbf{t}$。

螺旋差排的理想化形成方式是剪切變形；相關材料學教材也以剪應力造成的剪切畸變說明螺旋差排的形成。Callister 材料科學教材

解題方法

先看各選項是否符合螺旋差排的基本定義與形成幾何。判斷應力時，要分清楚「直接造成相對滑移的剪應力」與「外加拉伸應力」：在一般的理想化描述中，螺旋差排由剪切位移形成，並非由單純的正向拉伸應力形成。拉伸載荷在特定晶體取向下可於滑移系統產生解析剪應力；此時促成滑移的是解析剪應力分量，而非正向拉伸本身。

選項分析

(A) It may be formed by a tensile stress.

核心觀念

金屬表面的氧化膜若緻密、附著性佳且穩定，可阻隔氧氣、水分與腐蝕性離子繼續接觸金屬，形成鈍化膜，使腐蝕速率大幅降低。這種由富氧氧化物構成的保護層，是鈦具有良好耐蝕性的關鍵。

解題方法

辨認題目中的「表面形成富氧層」：這指的是金屬表面生成穩定的氧化物鈍化膜。鈦在空氣或含氧環境中會迅速形成薄而緻密的二氧化鈦（$\mathrm{TiO_2}$）膜；該膜能附著於表面並抑制腐蝕反應持續進行。因此，符合題意的是鈦。

選項分析

核心觀念

單相金屬常見的強化機制包括晶粒細化、應變硬化與固溶強化。這些機制都會增加位錯移動的阻力，使材料產生塑性變形所需的應力提高。

晶粒細化的效果可由 Hall–Petch 關係表示：

其中 $\sigma_y$ 是降伏強度，$d$ 是平均晶粒直徑；晶粒愈小，晶界愈多，位錯滑移愈容易受到阻礙，因此強度愈高。

解題方法

逐一判斷選項是否會提高位錯移動阻力。特別注意晶粒大小的變化方向：晶粒細化會強化金屬；晶粒粗化則減少晶界，通常會降低強度。因此，「晶粒粗化」不是主要強化機制。

選項分析

核心觀念

再結晶是冷加工金屬加熱時，新的低位錯密度晶粒形成並長大的過程。再結晶速率受溫度、冷加工量及金屬純度等因素影響：溫度升高會加快原子擴散與晶界移動；冷加工量增加會提高儲存能，提供再結晶的驅動力；雜質則會阻礙晶界移動。再結晶動力學概述

描述再結晶分率隨時間變化的常用關係式為：

其中 $X$ 為再結晶分率，$t$ 為退火時間，$k$ 為反映再結晶動力學的速率常數，$n$ 為 Avrami 指數。此式說明退火時間會影響再結晶進行的程度；本題依一般考題的分類，問的是影響再結晶速率的材料與熱處理因素，退火時間則是描述反應進程的時間變數。再結晶動力學方程說明

解題方法

核心觀念

本題考查熱塑性塑膠與熱固性塑膠的分子結構及加工特性。

熱塑性塑膠受熱時會軟化或熔融，冷卻後固化；這個過程可重複進行，因此能透過射出成形、押出成形等方式加工，也較容易回收再利用。熱固性塑膠則在加熱固化時形成交聯網狀結構，固化後無法再次熔融成形。

解題方法

比較兩者時，先判斷材料受熱後能否重新軟化：

• 熱塑性塑膠可反覆加熱軟化、冷卻固化，加工彈性較大。
• 熱固性塑膠固化後形成交聯結構，不能再熔融重塑。

因此，熱塑性塑膠的優勢在於加工與成形較方便；熱固性塑膠則通常有較佳的耐熱性與耐溶劑性。

選項分析

• (A) Easier process：正確。 熱塑性塑膠可藉加熱軟化或熔融後成形，冷卻即可定型，且可重複加工，通常比需要固化反應的熱固性塑膠容易加工。

核心觀念

置換型擴散中，溶質原子占據晶格位置；若原子透過與空孔交換位置移動，原子通量與空孔通量方向相反。當合金兩成分的本徵擴散速率不同，晶格會產生淨移動，原先放在擴散界面的惰性標記也會相對於試片移位。這個標記移動現象稱為 Kirkendall effect（柯肯達爾效應），可用來證明置換型擴散具有空孔機制。劍橋大學材料科學資料：Kirkendall effect

解題方法

判斷關鍵在於辨認哪個效應直接觀察到「晶格標記移動」。若成分 A、B 的本徵擴散係數不同，兩種原子的擴散通量不會完全抵銷，必須伴隨空孔的反向通量；因此原先放在界面的惰性標記會偏離原位置。這項觀察就是 Kirkendall 效應，也是空孔交換機制的實驗證據。

選項分析

核心觀念

本題考查麻田散鐵（martensite）的形成機制。麻田散鐵轉變是無擴散、位移型轉變：晶格中的原子以協同位移方式重新排列，轉變過程不仰賴原子長距離擴散。因此，它的成長由移動中的相界面推進，屬於界面控制成長。

解題方法

判斷關鍵是看麻田散鐵的轉變是否需要原子擴散。擴散型轉變須靠原子長距離移動來形成新相；麻田散鐵則以協同剪切位移形成新相，常在相界面快速推進。因此，本題應選描述其成長由界面推進控制的選項。

選項分析

• (A) Diffusion-controlled growth：錯誤。 擴散控制成長需要溶質或原子透過長距離擴散來推進轉變。麻田散鐵轉變是無擴散的協同位移，不符合此機制。

核心觀念

本題考查離子晶體中的點缺陷符號與電荷補償。以理想晶格中的離子為基準，取代離子的有效電荷由其價數差決定：

• $\mathrm{Al^{3+}}$ 取代 $\mathrm{Mg^{2+}}$，多出一個正電荷，記為 $\mathrm{Al_{Mg}^{\bullet}}$。
• $\mathrm{Mg^{2+}}$ 離開晶格位置形成鎂空位，少了兩個正電荷，記為 $\mathrm{V_{Mg}^{''}}$。

晶體須維持電中性，因此帶正有效電荷的取代缺陷須由帶負有效電荷的缺陷補償。

解題方法

一個 $\mathrm{Al_{Mg}^{\bullet}}$ 帶 $+1$ 有效電荷；一個 $\mathrm{V_{Mg}^{''}}$ 帶 $-2$ 有效電荷。令總有效電荷為零：

核心觀念

本題考查離子晶體中異價離子取代時的電荷補償。以 Kröger–Vink 符號表示，$\mathrm{Al^{3+}}$ 取代 $\mathrm{Mg^{2+}}$ 的位置後，會比原本的鎂離子多一個正電荷，記為 $\mathrm{Al_{Mg}^{\bullet}}$。晶體必須透過產生帶負有效電荷的缺陷，維持電中性。

解題方法

原卷第 32 題指出 $\mathrm{MgO}$ 是穩定的絕緣體，並問 $\mathrm{Al^{3+}}$ 取代 $\mathrm{Mg}$ 位後會產生哪種缺陷；選項包括電子、電洞、鎂空缺與氧空缺。由於 $\mathrm{Al_{Mg}^{\bullet}}$ 帶一個正有效電荷，需以負有效電荷補償。鎂離子離開晶格形成的鎂空缺 $\mathrm{V_{Mg}^{''}}$ 帶兩個負有效電荷，因此兩個鋁取代缺陷可由一個鎂空缺補償：

核心觀念

動態回復（dynamic recovery）是材料在塑性變形進行中，位錯透過交滑移、攀移等方式重新排列或互相湮滅，使材料內部儲存能下降的現象。它會抵銷加工硬化，降低加工硬化速率；高溫變形時尤其常見。《Physical Metallurgy Principles》相關章節

位錯密度的變化可概念化為：

其中 $\rho$ 是位錯密度，$\varepsilon$ 是塑性應變。動態回復會減少位錯累積，並使加工硬化趨緩；若累積與回復達到平衡，位錯密度可趨於穩定。

解題方法

先抓住動態回復的兩個特徵：它發生在變形期間，且主要藉由位錯的交滑移等機制，使位錯重新排列或湮滅。再依序檢查各選項是否符合這兩點。

選項分析

(A) 錯誤。 動態回復會消除或重新排列部分位錯，降低位錯造成的儲存能與加工硬化速率。變形中位錯總數仍可能因位錯增殖而增加，但不能說是「動態回復使位錯密度與強度增加」。

核心觀念

本題考「滑移系統」的晶體學形式。滑移系統由滑移面與滑移方向組成，記作 $\{hkl\}\langle uvw\rangle$；花括號代表等價晶面族，尖括號代表等價晶向族。

FCC 晶體的典型滑移系統為 $\{111\}\langle110\rangle$。矽實際上具有鑽石立方結構，可視為 FCC 晶格加上基底；依題目指定的 FCC 模型判斷，其典型滑移面與方向仍採用 $\{111\}\langle110\rangle$。

解題方法

單軸負載下，施加在特定滑移系統上的解析剪應力為

其中 $\sigma$ 是外加應力，$\phi$ 是拉力軸與滑移面法線的夾角，$\lambda$ 是拉力軸與滑移方向的夾角。當解析剪應力達到臨界值，位錯便沿滑移面、朝滑移方向移動。

這題沒有提供晶體取向，因此無法由剪應力公式選出唯一的具體晶面與晶向；題目所問的是 FCC 的滑移系統族。FCC 的密排面為 $\{111\}$，密排方向為 $\langle110\rangle$，故選 $\{111\}\langle110\rangle$。

選項分析

核心觀念

本題考查正常晶粒成長的動力學關係。材料經高溫退火時，晶界會移動，使較大的晶粒長大、較小的晶粒縮小；晶粒長大的驅動力主要來自降低晶界總能量。

正常晶粒成長常用下式描述：

其中 $D_0$ 是初始平均晶粒直徑，$D$ 是時間 $t$ 後的平均晶粒直徑，$K$ 是與材料及溫度有關的成長常數，$n$ 是晶粒成長指數。一般的正常晶粒成長取 $n=2$，因此：

這是拋物線成長律。當成長時間較長、$D$ 遠大於 $D_0$ 時，可近似為 $D^2\approx Kt$，故 $D\propto t^{0.5}$。正常晶粒成長動力學

解題方法

將正常晶粒成長的指數 $n=2$ 代入通式：

若題目詢問晶粒直徑與時間的比例關係，採用長時間成長近似，忽略相對較小的初始晶粒尺寸項 $D_0^2$：

核心觀念

本題考查凝固時的異質成核。異質成核是晶核在模具壁、夾雜物或其他固體表面等位置形成；這些位置能降低形成新固液界面所需的能量，因此成核障礙通常低於均質成核。

成核的自由能變化包含體積自由能的降低，以及形成界面的能量代價。均質成核的臨界自由能障礙可寫為

其中 $\gamma_{sl}$ 是固液界面能，$\Delta G_v$ 是單位體積的自由能變化。異質成核的能障為

其中 $f(\theta)$ 是由潤濕角 $\theta$ 決定的幾何因子，且 $0\leq f(\theta)\leq 1$。界面能與潤濕情形會直接影響成核能障，因而是異質成核的關鍵因素。

解題方法

判斷題目問的是「異質成核」的關鍵因素，應先看異質成核相對於均質成核的主要差異：晶核可在基底上形成，降低新增界面的能量代價。

核心觀念

加工硬化（work hardening，又稱應變硬化）是金屬經塑性變形後，強度與硬度上升、延性下降的現象。主要原因是塑性變形使晶體中的位錯密度增加；位錯彼此交互作用，形成纏結或成為其他位錯滑移的障礙，因此後續變形需要更大的外加應力。

位錯強化常以 Taylor 關係描述：

其中 $\Delta \sigma$ 是位錯造成的強度增加，$\alpha$ 是材料相關常數，$G$ 是剪切模數，$b$ 是柏格斯向量大小，$\rho$ 是位錯密度。塑性變形使 $\rho$ 增加，因而提高材料強度。

解題方法

判斷關鍵在於區分「加工硬化」與其他強化機制。加工硬化發生於材料受塑性變形時，位錯大量生成並相互阻礙；因此要找出最直接、最主要的障礙來源，就是位錯彼此的交互作用。

溶質原子、晶界與析出物也能阻礙位錯移動，分別對應固溶強化、晶界強化與析出強化；但它們不是本題所問加工硬化的主要來源。

選項分析

核心觀念

再結晶可分為初次再結晶與二次再結晶。初次再結晶時，冷加工後具有高位錯密度的變形晶粒，會被新的低缺陷晶粒取代，主要效果是消除加工硬化並釋放儲存的應變能。

二次再結晶則發生在初次再結晶之後，少數晶粒異常快速長大，吞併周圍較小的晶粒，因此又稱為異常晶粒成長。晶界能可表示為

其中 $\gamma_{\mathrm{GB}}$ 是晶界單位面積能，$A_{\mathrm{GB}}$ 是晶界總面積。晶粒長大通常使總晶界面積減少，降低晶界能。

解題方法

判斷關鍵在「二次再結晶」的定義：它不是描述材料釋放應力，也不是晶粒數量增加，而是初次再結晶完成後，少數晶粒選擇性地長大，形成明顯的異常晶粒成長。因此應選描述異常晶粒成長的選項。

選項分析

核心觀念

高分子材料的衝擊強度，是材料受到快速衝擊時，抵抗破壞並吸收能量的能力。衝擊試驗通常測量試片破壞前吸收的能量，並依試片截面積換算；因此衝擊強度反映材料在快速受力下的韌性（toughness）。

解題方法

先抓住題幹中的「impact strength」：衝擊載荷作用時間短，關鍵在材料能否吸收足夠能量而不立即斷裂。能吸收較多能量、抵抗裂紋擴展與破壞的材料，韌性較高。因此本題對應的性質是 Toughness。

選項分析

核心觀念

潛變（creep）是材料在持續應力作用下，隨時間逐漸累積的永久變形。金屬的潛變通常在高同質溫度下較顯著；同質溫度定義為絕對溫度之比：

其中 $T$ 是材料溫度，$T_m$ 是熔點，兩者都須以開爾文表示。金屬常在約 $0.4T_m$ 以上出現顯著潛變。

潛變曲線通常分為初期、穩態與加速三階段。工程上常用的潛變率，通常指穩態階段的潛變率。其應力依存性常以冪次律描述：

其中 $\dot{\varepsilon}$ 為潛變率、$\sigma$ 為應力、$n$ 為應力指數、$Q$ 為活化能、$R$ 為氣體常數，$A$ 為材料常數。

解題方法

核心觀念

滑移系統由「滑移面」與「滑移方向」組成。FCC 的主要滑移系統為 $\{111\}\langle110\rangle$，因此系統數為：

同一條滑移方向的正、反向代表同一個滑移系統；同一滑移面的法向量正、反向也代表同一個滑移面。

解題方法

立方晶系的 $\{111\}$ 面族有 8 個法向量符號組合，但相反法向量代表同一個平面，所以不同的 $\{111\}$ 滑移面共有：

接著計算每個 $(111)$ 面內的 $\langle110\rangle$ 方向。方向向量必須與平面法向量垂直，因此需滿足內積為零。以 $(111)$ 面為例，法向量為 $[111]$，面內的代表方向可取：

核心觀念

陶瓷的彈性性質與強度，會受到材料內部缺陷影響。燒結等製程常留下孔隙；孔隙會減少實際承載面積，並在孔洞邊緣造成應力集中，因此是陶瓷中最常見、且會明顯降低彈性模數與強度的缺陷。

孔隙率增加時，彈性模數通常會下降，常以經驗關係表示：

其中 $E$ 為含孔隙材料的彈性模數，$E_0$ 為無孔隙材料的彈性模數，$P$ 為孔隙率，$n$ 為與材料及微結構有關的常數。此式說明孔隙率增加會使材料變得較不剛硬。

陶瓷屬脆性材料，孔隙也會成為裂縫起始處。依據線彈性破壞力學，裂縫尖端的應力強度因子可寫為：

其中 $Y$ 為幾何因子，$\sigma$ 為外加應力，$a$ 為缺陷尺寸。缺陷越大，裂縫越容易擴展，材料的破壞強度便越低。

解題方法

核心觀念

「完全固溶」是指兩種元素在固態下可按任意比例形成單一固溶體；若只能溶入有限比例，便是「有限固溶」。判斷置換型固溶體時，常用休姆－羅瑟里規則作為預測依據，考量因素包括原子尺寸差、晶體結構、電負度及價電子數。這些規則是判斷趨勢的準則，最後仍須以相圖確認。

解題方法

題目以鋁為溶劑，須判斷選項元素是否能與鋁形成固態完全固溶體。鋁為面心立方結構；選項元素與鋁的固溶程度可由二元相圖中的固溶度判斷。

依鋁合金系統資料，鋅在鋁中的固態溶解度是這些常見合金元素中最高者，但最高值約為 $66.4$ at.% Zn，仍非任意比例的完全固溶。因此，若題目中的「complete solubility」按字面解讀為「完全固溶」，四個選項都不符合；若命題原意是問「哪個元素在鋁中的固態溶解度最高」，則選鋅。ASM Handbook：鋁中合金元素的固態溶解度

選項分析

• (A) Manganese（錳）：錳在鋁中的固態溶解度有限，鋁富側的最大固溶度約為 $1.82$ wt.%；不符合完全固溶，也不是選項中固溶度最高者。

核心觀念

本題考查晶體中的八面體間隙位置數。題目問的是一個體心立方（BCC）慣用晶胞內有多少個八面體間隙。計數時要考慮間隙位於晶胞邊界時，由相鄰晶胞共享的比例。

解題方法

BCC 慣用晶胞中的八面體間隙有兩類：

• 12 個邊心位置：每個邊心由 4 個晶胞共享，因此貢獻 $1/4$ 個。
• 6 個面心位置：每個面心由 2 個晶胞共享，因此貢獻 $1/2$ 個。

所以每個 BCC 慣用晶胞中的八面體間隙總數為

核心觀念

ASTM 晶粒度級數 $G$ 與在 $100\times$ 放大下、每平方英吋影像面積所包含的晶粒數 $N_{100}$ 的關係為

固定觀察影像面積時，放大倍率越低，涵蓋的試片面積越大，因此可觀察到的晶粒數越多。晶粒數與放大倍率的平方成反比：

解題方法

題目給定 $G=5$，先求 $100\times$ 下每平方英吋影像中的晶粒數：

再換算至 $25\times$。由於線性放大倍率降為原來的 $\frac{1}{4}$，同一影像面積涵蓋的試片面積增加為 $4^2=16$ 倍，因此晶粒數也增加 16 倍：

核心觀念

Fick 第一定律描述穩態下的擴散通量與濃度梯度之間的關係：

其中，$J$ 是擴散通量，$D$ 是擴散係數，$C$ 是濃度，$x$ 是位置。負號表示物質沿濃度降低的方向擴散。

此定律以位置上的濃度變化描述擴散，式中沒有明確的時間變數；溫度也沒有以獨立變數出現。通常在使用時，會把溫度視為固定條件，並將其對擴散係數 $D$ 的影響包含在 $D$ 中。

解題方法

判斷各選項是否為 Fick 第一定律未明確納入的因素：

1. 對照公式中的變數，確認濃度與距離是否已經透過濃度梯度納入。
2. 確認公式是否直接含有時間與溫度。
3. 選出兩者皆未明確出現在定律中的選項。

由公式可見，$C$ 和 $x$ 透過 $\frac{dC}{dx}$ 出現；$t$ 和 $T$ 則未直接出現，因此符合題意的是溫度與時間。

選項分析

• (A) Temperature and time：正確。 溫度未作為公式中的獨立變數；時間也未出現在 Fick 第一定律中。此定律描述穩態擴散，通常假設通量不隨時間改變。

核心觀念

本題考查金屬鍵與金屬價電子的狀態。金屬原子的價電子容易脫離原本原子的局部束縛，在整個固體中離域；這些離域電子可在金屬離子（或原子核與內層電子形成的正離子核心）之間移動，並與正離子核心產生靜電吸引，形成金屬鍵。

因此，描述金屬價電子時，關鍵是它們不專屬於任何一個特定原子，而不是仍被某一原子局部束縛。

解題方法

依金屬鍵的定義判斷：若價電子能在整個金屬固體中離域，就不受限於特定原子。據此比對各選項對「價電子是否束縛於特定原子」的描述，即可選出符合金屬鍵模型的敘述。

選項分析

核心觀念

本題考晶界對差排滑移的阻礙能力。差排移動時，必須沿特定滑移面與滑移方向前進；遇到晶界後，若晶界兩側的晶格取向差異大、滑移面與差排結構難以銜接，差排就較難穿越。

依晶粒間取向差異，晶界可分為低角度晶界與高角度晶界。低角度晶界可近似視為規則排列的差排，高角度晶界的原子排列失配較大，通常更能阻擋差排。晶粒細化提高晶界密度，也能提升材料的降伏強度，常以 Hall–Petch 關係描述：

其中 $d$ 為平均晶粒尺寸；晶粒越小，差排遇到晶界的機會越多。

解題方法

比較各類晶界時，重點是看晶界兩側的晶格與滑移系統是否容易銜接。取向差越大、原子排列失配越明顯，差排越難直接穿越；因此，一般而言，高角度晶界的阻擋效果強於低角度晶界。

選項分析

核心觀念

本題考查置換型與間隙型固溶體的形成條件。置換型固溶體中，溶質原子取代溶劑晶格中的原子；間隙型固溶體中，較小的溶質原子進入晶格空隙。

依固溶體形成的常見判準，相關因素包括原子尺寸、晶體結構、電負度與價數。題目列出的因素中，原子尺寸、晶體結構與價數符合判準；電負度未列出。

解題方法

逐項判斷每個因素是否與固溶體形成有關：

• Atomic size（原子尺寸）：尺寸差異影響溶質原子能否取代溶劑原子，或進入晶格空隙。
• Crystal structure（晶體結構）：晶體結構決定晶格排列及間隙空隙的大小與位置。

核心觀念

本題考查固體中的非穩態擴散。鋼材可視為半無限體，初始氮濃度均勻為 $C_0$，且表面濃度維持固定為 $C_s$。此情況使用菲克第二定律的誤差函數解：

其中 $C_x$ 是距表面 $x$ 處、經過時間 $t$ 後的濃度，$D$ 是擴散係數。先由濃度求出誤差函數的自變數，再代入公式求時間。

解題方法

已知：

由濃度比求誤差函數值：

查表可知 $\operatorname{erf}(0.5)=0.520500$、$\operatorname{erf}(0.6)=0.603856$。在線性內插下：

因此：