111 年 國立成功大學材料科學及工程學系碩士班《物理化學》

此題考驗對光與物質交互作用的認識。光子與物質的交互作用有多種形式，取決於光子的能量和物質的性質。

(a) 光電效應：當光子能量足夠高時，可以將原子中的電子激發出來，形成光電流。
(b) 康普頓效應：當光子與自由電子碰撞時，光子會將部分能量轉移給電子，導致光子動量改變，這是一種散射現象。

此題考驗對溶解焓的理解，溶解焓是晶格焓和水合焓的總和。

溶解焓 ($\Delta H_{sol}$) 可以表示為：
$\Delta H_{sol} = \Delta H_{lattice} + \Delta H_{hydration}$

題目給定：
晶格焓 ($\Delta H_{lattice}$) = -686 kJ/mol
水合焓 ($\Delta H_{hydration}$) = -694 kJ/mol

將這些值代入公式：
$\Delta H_{sol} = (-686 \text{ kJ/mol}) + (-694 \text{ kJ/mol})$
$\Delta H_{sol} = -1380 \text{ kJ/mol}$

然而，題目中的水合焓通常是指離子氣體態的水合焓，而溶解焓的定義是固態離子化合物溶解於溶劑中焓的變化。
溶解過程可以分為兩步：

此題考驗對布拉格定律 (Bragg's Law) 的理解。布拉格定律是描述 X 射線或電子通過晶體時發生繞射的現象。

布拉格定律的公式為：$2d\sin\theta = n\lambda$

其中：

• $d$ 是晶體中原子層之間的距離。
• $\theta$ 是入射 X 射線束與晶體平面之間的夾角（或與平面法線的夾角，取決於定義）。
• $n$ 是繞射級數 (order of diffraction)。
• $\lambda$ 是入射 X 射線的波長。

在此公式中，$n$ 代表的是繞射的級數，也就是說，當入射 X 射線與晶體平面發生建設性干涉時，會產生不同級數的繞射峰。

核心觀念

飽和、開鏈、單元醇的通式為：

$$\mathrm{C_nH_{2n+2}O}$$

其中 $n$ 為碳原子總數。每個選項皆為飽和開鏈醇，因此只要計算分子中的碳數即可判斷分子式。

當 $n=5$ 時：

$$\mathrm{C_nH_{2n+2}O} =\mathrm{C_5H_{12}O}$$

因此，含有 5 個碳原子的飽和單元醇，其分子式皆為 $\mathrm{C_5H_{12}O}$。

解題方法

逐一計算各選項的總碳數：

• 名稱中的主鏈碳數，加上支鏈碳數，即為總碳數。
• 再套用飽和開鏈單元醇通式 $\mathrm{C_nH_{2n+2}O}$。
• 碳數不是 5 的選項，即不符合 $\mathrm{C_5H_{12}O}$。

選項分析

(a) 1-Pentanol

Pentanol 的主鏈為 pentane，含有 5 個碳原子；羥基位於第 1 號碳：

$$n=5$$ $$\mathrm{C_nH_{2n+2}O} =\mathrm{C_5H_{12}O}$$

所以此選項符合題目所給分子式。

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(b) 2-Methyl-1-butanol

主鏈 butanol 含有 4 個碳，另有一個 methyl 支鏈含 1 個碳：

$$n=4+1=5$$

因此：

此題考驗相對論中的牛頓第二運動定律。在高速運動（接近光速）的情況下，物體的慣性質量會隨速度增加而增加。

根據相對論，物體的相對論動量 $p$ 為：
$p = \gamma mv$
其中 $m$ 是靜止質量，$v$ 是速度，$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ 是勞侖茲因子。

牛頓第二運動定律在相對論中的形式為 $F = \frac{dp}{dt}$。
$F = \frac{d}{dt}(\gamma mv) = \frac{d(\gamma m)}{dt} v + \gamma m \frac{dv}{dt}$
在這裡，$F$ 是外力，$v$ 是速度，$\frac{dv}{dt}$ 是加速度 $a$。
$\frac{d(\gamma m)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{m}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right)$

當力 $F$ 和速度 $v$ 同方向時，且我們考慮的是加速度 $a = \frac{dv}{dt}$，則：
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dv} \frac{dv}{dt} = \frac{dp}{dv} a$

我們需要計算 $\frac{dp}{dv}$。
$p = \gamma mv = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$
$\frac{dp}{dv} = m \frac{d}{dv}\left(\frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right)$
使用微分法則：

此題考驗對物質沸點影響因素的理解，特別是分子間作用力。沸點主要受分子量和分子間作用力（如倫敦分散力、偶極-偶極作用、氫鍵）的影響。

氬 (Argon, Ar) 是一種單原子氣體，屬於惰性氣體，分子量約為 40 g/mol。它只有微弱的倫敦分散力。氬的沸點約為 -185.8 °C (87.4 K)。

我們來分析各個選項的性質：
(a) 氯化鈉 (NaCl)：這是一種離子化合物，具有很強的離子鍵。離子化合物的沸點通常非常高。NaCl 的熔點約 801 °C，沸點約 1413 °C。
(b) 四氯化碳 (CCl4)：這是一種非極性分子，分子量約為 154 g/mol (C: 12.01, Cl: 35.45 x 4)。它只有倫敦分散力。CCl4 的沸點約 76.7 °C。

核心觀念

這題考查環形線圈（toroid）內的磁場，以及相對磁導率的定義。

由安培定律，理想環形線圈內的磁場強度為

$$H=\frac{NI}{l}$$

其中：

• $N$：線圈匝數
• $I$：電流
• $l$：磁路平均周長

磁通密度 $B$ 與磁場強度 $H$ 的關係為

$$B=\mu H=\mu_0\mu_r H$$

因此相對磁導率為

$$\mu_r=\frac{B}{\mu_0 H}$$

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解題方法

題目給定：

$$I=2.0\ \mathrm{A},\qquad N=400,\qquad l=40\ \mathrm{cm}=0.40\ \mathrm{m}$$

磁場測得磁通密度

$$B=1.0\ \mathrm{T}$$

先計算磁場強度：

$$H=\frac{NI}{l} =\frac{400\times 2.0}{0.40} =2000\ \mathrm{A/m}$$

真空磁導率為

$$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$$

代入相對磁導率公式：

$$\mu_r=\frac{B}{\mu_0H} =\frac{1.0}{(4\pi\times10^{-7})(2000)}$$

整理得

此題考驗化學反應速率的影響因素。

我們來分析各個選項：
(a) 溫度對反應速率的影響：根據阿瑞尼斯方程式 ($k = Ae^{-E_a/RT}$)，反應速率常數 $k$ 隨溫度 $T$ 的升高而增大。因此，反應速率並非與溫度無關。這個選項是錯誤的。

(b) 固體表面積對反應速率的影響：對於多相反應（例如固體與液體或氣體的反應），反應速率通常與固體反應物的表面積成正比。增加表面積可以增加反應物接觸的機會，從而加快反應速率。因此，反應速率是依賴於接觸表面積的。這個選項是錯誤的。

(c) 氣體反應的速率：氣體反應的速率確實通常較快，因為氣體分子具有較大的平均動能，碰撞頻率也較高。然而，這並不意味著「在所有情況下」都「極其快速」。反應速率還取決於反應物的種類、活化能以及碰撞取向等因素。例如，有些氣體反應需要較高的活化能，或者碰撞的有效性較低，速率可能就不會極其快速。因此，這個選項的說法過於絕對，可能不正確。

此題考驗對 RLC 串聯電路諧振頻率的計算。

在 RLC 串聯電路中，諧振發生在感抗 ($X_L$) 等於容抗 ($X_C$) 時。此時電路的總阻抗最小，電流最大。
諧振頻率 $\omega_0$ (角頻率) 的計算公式為：
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

其中：

• $L$ 是電感 (Henry, H)。
• $C$ 是電容 (Farad, F)。

題目給定：
電阻 $R = 250$ Ω (電阻值在諧振頻率計算中不影響頻率本身，但會影響電流大小和電路品質因數 Q)
電感 $L = 0.5$ H
電容 $C = 0.02$ µF $= 0.02 \times 10^{-6}$ F $= 2 \times 10^{-8}$ F

首先計算角頻率 $\omega_0$：
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{(0.5 \text{ H}) \cdot (2 \times 10^{-8} \text{ F})}}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{1 \times 10^{-8} \text{ H} \cdot \text{F}}}$

此題考驗對化學平衡狀態的理解。化學平衡是一個動態平衡過程。

當一個可逆反應達到平衡時，意味著正反應速率等於逆反應速率。

選項分析：
(a) 反應物和生成物的濃度關係：在平衡狀態下，反應物和生成物的濃度保持恆定，但不一定相等。它們的相對濃度由平衡常數 $K$ 決定。因此，A 和 B 的總濃度不一定等於 C 和 D 的總濃度。

此題考驗熵變的計算，特別是對於熱傳導過程。

系統由兩部分組成：1 kg 的水在 100 °C (373.15 K) 和 1 kg 的水在 0 °C (273.15 K)。由於它們處於熱接觸中，熱量會從高溫水流向低溫水，直到兩者溫度達到相同。假設過程是絕熱的，沒有熱量散失到外界。

首先，我們需要計算兩部分水的最終平衡溫度 $T_f$。
設 $m_1 = 1$ kg, $T_1 = 100$ °C $= 373.15$ K。
設 $m_2 = 1$ kg, $T_2 = 0$ °C $= 273.15$ K。
水的比熱容 $c_p \approx 1$ cal/(g·K) $= 1000$ cal/(kg·K)。

根據能量守恆：
$Q_1 + Q_2 = 0$
$m_1 c_p (T_f - T_1) + m_2 c_p (T_f - T_2) = 0$
由於 $m_1 = m_2 = 1$ kg，且 $c_p$ 相同，可以約掉：
$(T_f - T_1) + (T_f - T_2) = 0$
$2T_f = T_1 + T_2$
$T_f = \frac{T_1 + T_2}{2} = \frac{373.15 \text{ K} + 273.15 \text{ K}}{2} = \frac{646.30 \text{ K}}{2} = 323.15$ K。
$T_f = 323.15$ K $= 50$ °C。

接下來，我們計算兩部分水的熵變。
對於溫度從 $T_i$ 變化到 $T_f$ 的過程，熵變 $\Delta S$ 的計算公式為：

核心觀念

本題考查水溶液酸鹼性的判斷，以及強酸、弱酸、強鹼鹽與弱鹼共軛酸鹽的水解。

在相同濃度 $0.10\ \mathrm{M}$ 下：

• 強酸完全解離，$[\mathrm{H^+}]\approx 0.10\ \mathrm{M}$。
• 弱酸僅部分解離，酸性弱於同濃度強酸。
• 強鹼的鹽通常呈中性，例如 $\mathrm{NaI}$、$\mathrm{KBr}$。
• 弱酸的共軛鹼會水解而呈鹼性，例如 $\mathrm{F^-}$。
• 弱鹼的共軛酸會水解而呈酸性，例如 $\mathrm{NH_4^+}$。

因此，判斷升冪排列時，需由酸性最強、$pH$ 最低者排至鹼性最強、$pH$ 最高者。

解題方法

先判斷各物質在水中的酸鹼性：

$\mathrm{HI}$

$\mathrm{HI}$ 為強酸，完全解離：

$$\mathrm{HI\rightarrow H^++I^-}$$ $$[\mathrm{H^+}]\approx 0.10\ \mathrm{M}$$ $$pH\approx 1$$

$\mathrm{HF}$

$\mathrm{HF}$ 為弱酸：

$$\mathrm{HF\rightleftharpoons H^++F^-}$$

其酸解離常數約為

$$K_a(\mathrm{HF})\approx 6.8\times10^{-4}$$

設解離出的 $\mathrm{H^+}$ 濃度為 $x$，則

$$K_a=\frac{x^2}{0.10-x}$$

因為 $x$ 遠小於 $0.10$，可近似為

$$x\approx \sqrt{K_aC} =\sqrt{(6.8\times10^{-4})(0.10)} \approx 8.2\times10^{-3}\ \mathrm{M}$$

因此

$$pH\approx 2.09$$

所以 $\mathrm{HI}$ 的酸性強於 $\mathrm{HF}$：

$$pH(\mathrm{HI})<pH(\mathrm{HF})$$

$\mathrm{NaI}$

$\mathrm{NaI}$ 由強鹼 $\mathrm{NaOH}$ 與強酸 $\mathrm{HI}$ 形成：

$$\mathrm{NaI\rightarrow Na^++I^-}$$

$\mathrm{Na^+}$ 與 $\mathrm{I^-}$ 幾乎不水解，因此溶液近似中性：

$$pH\approx 7$$

$\mathrm{NaF}$

$\mathrm{NaF}$ 解離為

$$\mathrm{NaF\rightarrow Na^++F^-}$$

$\mathrm{F^-}$ 是弱酸 $\mathrm{HF}$ 的共軛鹼，會與水反應：

$$\mathrm{F^-+H_2O\rightleftharpoons HF+OH^-}$$

其鹼解離常數為

此題考驗卡諾熱機效率的計算。

卡諾熱機的效率 $\eta$ 由其工作溫度決定，公式為：
$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$
其中：

• $T_C$ 是低溫熱庫的絕對溫度 (Kelvin, K)。
• $T_H$ 是高溫熱庫的絕對溫度 (Kelvin, K)。

題目給定：
低溫熱庫溫度 $T_C = 27$ °C。需要轉換為 Kelvin：$T_C = 27 + 273.15 = 300.15$ K。
高溫熱庫溫度 $T_H = 127$ °C。需要轉換為 Kelvin：$T_H = 127 + 273.15 = 400.15$ K。
為了簡化計算，我們可以使用近似值 273。
$T_C = 27 + 273 = 300$ K。

此題考驗烯烴與鹵素的加成反應。

2-丁烯 (2-butene) 是一種烯烴，其結構為 CH3-CH=CH-CH3。它具有一個碳-碳雙鍵。
氯氣 (Cl2) 是一種鹵素。

烯烴的碳-碳雙鍵容易發生親電加成反應。當烯烴與鹵素（如 Cl2, Br2）反應時，鹵素分子會斷裂，兩個鹵素原子會分別加成到雙鍵的兩個碳原子上。

反應方程式：
CH3-CH=CH-CH3 + Cl2 → CH3-CHCl-CHCl-CH3

該產物是 2,3-二氯丁烷 (2,3-dichlorobutane)。

核心觀念

本題考查水的電解反應與化學計量關係。

水電解的反應式為：

$$2\mathrm{H_2O(l)} \rightarrow 2\mathrm{H_2(g)}+\mathrm{O_2(g)}$$

由反應式可知：

• $2$ mol 水生成 $2$ mol $\mathrm{H_2}$
• $2$ mol 水生成 $1$ mol $\mathrm{O_2}$

因此，水、氫氣、氧氣的莫耳數比例為：

$$n(\mathrm{H_2O}):n(\mathrm{H_2}):n(\mathrm{O_2})=2:2:1$$

解題方法

1. 將水的體積換算成質量

水在 $20^\circ\mathrm{C}$ 時的密度約為：

$$\rho_{\mathrm{H_2O}}\approx 1.0\ \mathrm{g/mL}$$

題目給定：

$$1.8\ \mathrm{L}=1800\ \mathrm{mL}$$

因此水的質量約為：

$$m=\rho V=(1.0\ \mathrm{g/mL})(1800\ \mathrm{mL}) =1800\ \mathrm{g}$$

2. 將水的質量換算成莫耳數

水的莫耳質量為：

$$M(\mathrm{H_2O})=2(1)+16=18\ \mathrm{g/mol}$$

所以：

$$n(\mathrm{H_2O}) =\frac{1800\ \mathrm{g}}{18\ \mathrm{g/mol}} =100\ \mathrm{mol}$$

若採用 $20^\circ\mathrm{C}$ 水的精確密度 $0.998\ \mathrm{g/mL}$，則水約為 $99.8$ mol，四捨五入後仍為 $100$ mol。

3. 依反應比例求生成氣體

由

$$2\mathrm{H_2O}\rightarrow 2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}$$

可得：

此題考驗吉布斯自由能 ($\Delta G$) 與溫度、焓變 ($\Delta H$) 和熵變 ($\Delta S$) 的關係，以及自發性判準。

吉布斯自由能的變變公式為：
$\Delta G = \Delta H - T\Delta S$

一個過程在給定溫度下是自發的，當且僅當 $\Delta G < 0$。

題目要求過程「在高温下才自發」，這意味著：

1. 在高溫時，$\Delta G < 0$。
2. 在低溫時，$\Delta G > 0$ (非自發)。

我們來分析不同 $\Delta H$ 和 $\Delta S$ 組合的情況：

情況 1：$\Delta H < 0$ (放熱反應)，$\Delta S > 0$ (熵增加)
$\Delta G = (\text{負值}) - T(\text{正值})$
無論 $T$ 是高溫還是低溫，$-T\Delta S$ 始終是負值。
所以 $\Delta G = (\text{負值}) + (\text{負值}) < 0$。
這種情況下，過程在所有溫度下都是自發的。

情況 2：$\Delta H < 0$ (放熱反應)，$\Delta S < 0$ (熵減少)
$\Delta G = (\text{負值}) - T(\text{負值}) = (\text{負值}) + T(\text{正值})$
在高溫時 ($T$ 很大)，$T\Delta S$ 的正值會超過 $|\Delta H|$ 的負值，使得 $\Delta G > 0$ (非自發)。
在低溫時 ($T$ 很小)，$T\Delta S$ 的正值很小，使得 $\Delta G < 0$ (自發)。
這種情況下，過程在低溫下自發，高溫下非自發。

此題考驗原子軌域量子數的規則。

對於一個給定的主量子數 $n$，角量子數 (或稱軌域量子數) $l$ 的可能值為：
$l = 0, 1, 2, \dots, n-1$

題目給定主量子數 $n=5$。
因此，$l$ 的可能值為：
$l = 0, 1, 2, 3, 4$

此題考驗不同濃度單位的轉換，特別是將莫耳濃度 (Molarity) 和密度轉換為莫耳分率 (Mole Fraction)。

已知：

• 硫酸 (H2SO4) 溶液的濃度為 3.75 M。
• 溶液的密度 $\rho = 1.230$ g/mL。

我們假設取 1 L (1000 mL) 的溶液來計算。
1 L 溶液的體積 $V = 1000$ mL。
1 L 溶液的質量 $m_{sol} = \rho \times V = 1.230 \text{ g/mL} \times 1000 \text{ mL} = 1230$ g。

在 1 L 溶液中，硫酸的莫耳數 $n_{H_2SO_4} = 3.75$ mol。
硫酸 (H2SO4) 的莫耳質量 $M_{H_2SO_4} = 2 \times 1.008 + 32.06 + 4 \times 16.00 = 98.092$ g/mol。
硫酸的質量 $m_{H_2SO_4} = n_{H_2SO_4} \times M_{H_2SO_4} = 3.75 \text{ mol} \times 98.092 \text{ g/mol} \approx 367.845$ g。

此題考驗兩個質量通過彈簧連接時的振動週期計算，這是一個簡諧運動問題，但需要考慮兩個質量。

當連接兩個質量的彈簧被釋放時，兩個質量會相互遠離，然後又被彈簧拉回，形成振動。這個系統可以看作是兩個耦合的振子。然而，由於是水平無摩擦的平面，我們可以將其視為一個等效的單振子系統。

該系統的總質量 $M$ 在這種情況下，並不是簡單的 $m_1+m_2$。
對於兩個質量 $m_1$ 和 $m_2$ 由彈簧 (彈性係數 $k$) 連接的系統，其振盪週期 $T$ 由下式給出：
$T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$
其中 $\mu$ 是約化質量 (reduced mass)。

約化質量 $\mu$ 的計算公式為：
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$

題目給定：
$m_1 = 5$ kg
$m_2 = 1$ kg
彈簧常數 $k = 50$ N/m

此題考驗溶液對溶劑凝固點的影響，以及自由能的觀念。

當在水中加入溶質（如 NaCl）時，水的凝固點會降低，這稱為凝固點下降。

凝固點是固態和液態達到熱力學平衡的溫度。在平衡點，兩種狀態的吉布斯自由能相等。
$G_{solid} = G_{liquid}$

加入溶質會降低液態水的化學勢 (chemical potential)，進而降低液態水的自由能。
為什麼會這樣呢？

• 液態水：溶質溶解在水中，形成溶液。溶質的存在增加了液態水的亂度，使得液態水的自由能降低（或說，在相同溫度下，液態水的自由能更低）。
• 固態水（冰）：冰的晶體結構是純水分子形成的，溶質不會進入冰的晶格中。因此，冰的自由能不受溶質的影響（或影響很小）。

核心觀念

本題考查都卜勒效應：聲源與觀察者具有相對運動時，觀察者測得的頻率會改變。

觀察者靜止、聲源以速度 $v_s$ 朝觀察者接近時，聲源前方的聲波波長縮短為

$$\lambda=\frac{v-v_s}{f_0}$$

其中：

• $v$：聲速，取題目常用值 $340\ \text{m/s}$
• $v_s$：聲源速度
• $f_0$：聲源發出的原頻率
• $\lambda$：聲源前方波長

觀察者接收到的頻率為

$$f'=\frac{v}{\lambda} =\frac{v}{(v-v_s)/f_0} =f_0\frac{v}{v-v_s}$$

聲源接近觀察者時，分母變小，因此 $f'>f_0$。

解題方法

已知

$$f_0=400\ \text{Hz},\qquad v_s=200\ \text{m/s},\qquad v=340\ \text{m/s}$$

聲源在相鄰兩次振動之間前進的距離為 $v_s/f_0$，因此前方波長為

$$\lambda=\frac{v-v_s}{f_0} =\frac{340-200}{400} =0.35\ \text{m}$$

地面觀察者接收到的頻率為

$$f'=\frac{v}{\lambda} =\frac{340}{0.35} \approx 971.4\ \text{Hz}$$

因此觀察者聽到的頻率約為

此題考驗理想溶液的定義。

理想溶液是指其性質（如體積變化、焓變）與其組分（純溶質和純溶劑）的性質之和完全一致的溶液。這意味著：

1. 混合過程的焓變 $\Delta H_{mix} = 0$。
2. 混合過程的體積變化 $\Delta V_{mix} = 0$。

這兩個條件的發生，是因為溶液中的溶質分子之間、溶劑分子之間以及溶質與溶劑分子之間的相互作用力（分子間作用力）大致相同。

選項分析：
(a) 溶液的蒸氣壓等於 0：這表示溶液完全不揮發，這通常只發生在極高濃度的非揮發性溶質或在極低溫度下。

此題考驗光的折射現象，特別是關於虛像的形成。

當我們觀察位於不同介質中的物體時，由於折射，物體的位置看起來會發生偏移。這稱為視深或視距的改變。

考慮一個位於折射率為 $n_2$ 的介質中的物體，我們從折射率為 $n_1$ 的介質中觀察它。
如果觀察者和物體都在介質 1 中，物體位於介質 2 中，則：
視深度 $d_{app} = d_{real} \times \frac{n_{observer}}{n_{object\_medium}}$

在本題中：

• 觀察者在玻璃球外（假設是空氣，折射率 $n_1 \approx 1$）。
• 空氣氣泡位於玻璃球內部（折射率 $n_2 = n$）。
• 氣泡位於玻璃球的中心，距離玻璃球表面為 $R$。所以真實距離 $d_{real} = R$。

我們從空氣中觀察玻璃球內的氣泡。
視距離 (apparent distance) $d_{app}$ 從觀察者（空氣）到氣泡的距離。
真實距離 (real distance) $d_{real}$ 是氣泡到玻璃球內表面的距離，也就是半徑 $R$。

此題考驗對水溶液中分子性質的術語理解。

• Hydrophobic (疏水的): 指分子或物質不喜歡水，難溶於水，或被水排斥。
• Hydrophilic (親水的): 指分子或物質喜歡水，易溶於水，或與水有親和力。

此題考驗計算導線中載流子的漂移速度。

漂移速度 $v_d$ 的計算公式與電流密度 $J$、載流子濃度 $n$ 和載流子電荷 $q$ 有關：
$J = nqv_d$
所以，$v_d = \frac{J}{nq}$

電流密度 $J$ 可以由總電流 $I$ 和導線橫截面積 $A$ 計算得到：
$J = \frac{I}{A}$

導線的橫截面積 $A = \pi r^2$。
半徑 $r = 900$ µm $= 900 \times 10^{-6}$ m $= 9 \times 10^{-4}$ m。
$A = \pi (9 \times 10^{-4} \text{ m})^2 = \pi (81 \times 10^{-8} \text{ m}^2) \approx 2.5447 \times 10^{-6}$ m²。

總電流 $I = 17$ mA $= 17 \times 10^{-3}$ A。

載流子濃度 $n$ 需要通過銅的密度、莫耳質量和每個銅原子貢獻一個載流子來計算。
銅的密度 $\rho = 8.96 \times 10^3$ kg/m³。
銅的莫耳質量 $M = 63.54 \times 10^{-3}$ kg/mol。
莫耳數濃度 $n_m = \frac{\rho}{M} = \frac{8.96 \times 10^3 \text{ kg/m}^3}{63.54 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}} \approx 1.409 \times 10^5$ mol/m³。

每個銅原子貢獻一個載流子，所以載流子濃度 $n$ 等於莫耳數濃度乘以亞佛加厥數 $N_A$ (約 $6.022 \times 10^{23}$ mol⁻¹)。
$n = n_m \times N_A = (1.409 \times 10^5 \text{ mol/m}^3) \times (6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1})$
$n \approx 8.485 \times 10^{28}$ m⁻³。

載流子的電荷 $q$ 是電子的電荷大小，約為 $1.602 \times 10^{-19}$ C。
在金屬導體中，載流子是電子，所以 $q = e = 1.602 \times 10^{-19}$ C。

現在計算漂移速度 $v_d$：
$v_d = \frac{I}{n A q}$

此題考驗對 pH, pOH, pKa, pKb 等術語的正確理解。

(a) pH 的定義：pH = -log[H⁺]。它確實是一個以 10 為底的對數標度，用於表示水溶液的酸鹼度。這是正確的。

(b) pOH 的定義：pOH = -log[OH⁻]。它也是一個對數標度，用於表示水溶液的鹼度（氫氧根離子濃度）。題目說 pOH 是用來指定「氧濃度」，這是錯誤的。氧濃度通常是指水中溶解的氧氣濃度，與 pH 或 pOH 無關。

核心觀念

本題考查牛頓第二定律與摩擦力判定：

• 靜摩擦力會自行調整大小，以阻止物體相對滑動。
• 靜摩擦力上限為
  $f_{s,\max}=\mu_s N$
• 只有當所需摩擦力超過 $f_{s,\max}$ 時，物體才會滑動，才使用動摩擦力
  $f_k=\mu_k N$

外力向下作用，使正向力大於物體重量。

解題方法

將外力 $F=12.0\ \text{N}$ 分解：

水平方向：
$F_x=F\cos30^\circ=12.0\cos30^\circ=10.39\ \text{N}$

鉛直方向，外力向下：
$F_y=F\sin30^\circ=12.0\sin30^\circ=6.00\ \text{N}$

物體未在鉛直方向加速，因此正向力為
$N=mg+F_y$

取 $g=9.80\ \text{m/s}^2$：
$N=(8.00)(9.80)+6.00=84.4\ \text{N}$

最大靜摩擦力：
$f_{s,\max}=\mu_sN=(0.700)(84.4)=59.08\ \text{N}$

需要用來平衡水平外力的摩擦力為
$f_s=F_x=10.39\ \text{N}$

因為
$10.39<59.08$
所以物體維持靜止，摩擦力是靜摩擦力，大小為
$\boxed{f_s=10.4\ \text{N}}$

選項分析

此題考驗對熔點 (m.p.)、沸點 (b.p.) 和燃點 (f.p.) 的理解。

• 熔點 (Melting Point, m.p.): 固體轉變為液體時的溫度。
• 沸點 (Boiling Point, b.p.): 液體轉變為氣體時的溫度。
• 燃點 (Flash Point, f.p.): 物質的蒸氣與空氣混合，當遇到火源時能夠瞬間閃燃的最低溫度。
• Fire Point: 物質的蒸氣能夠持續燃燒的最低溫度。

我們來分析各個選項：
(a) f.p. stands for "fire point": f.p. 是 Flash Point (閃點) 的縮寫，而不是 Fire Point (燃點)。閃點和燃點是不同的概念，燃點通常高於閃點。因此，這個描述是錯誤的。

此題考驗保守力 (conservative force) 和非保守力 (nonconservative force) 的概念。

• 保守力: 作用在物體上所做的功，只與起點和終點的位置有關，而與路徑無關。保守力做功時，系統的總機械能守恆（動能加勢能）。例如：重力、彈簧力。
• 非保守力: 作用在物體上所做的功，不僅與起點和終點的位置有關，還與路徑有關。非保守力做功時，系統的總機械能不守恆，一部分機械能會轉化為其他形式的能量（如熱能）。例如：摩擦力、空氣阻力。

我們來分析各個選項：
(a) 摩擦力 (kinetic frictional force) 和空氣阻力 (drag force) 是非保守力，不是保守力。它們做功時會將機械能轉化為熱能。這個選項是錯誤的。

此題考驗烷烴的命名。

烷烴 (alkane) 的通式是 CnH2n+2。
n-烷烴 (normal alkane) 指的是直鏈烷烴，沒有支鏈。

題目給定的烷烴是 C8H18。
這裡的碳原子數 $n=8$。
對於烷烴，其名稱由碳原子數決定：

• 1 個碳：methane
• 2 個碳：ethane
• 3 個碳：propane
• 4 個碳：butane
• 5 個碳：pentane
• 6 個碳：hexane
• 7 個碳：heptane

此題考驗對原子核內力的性質的理解。

原子核是由質子和中子組成的。質子帶正電荷，中子不帶電。

1. 庫侖力 (Coulomb force): 質子之間由於帶同種正電荷，存在強烈的排斥力。庫侖力是長程力。
2. 核力 (Nuclear force): 這是將質子和中子束縛在原子核內的力。核力具有以下特點：
   • 極強的吸引力: 在短距離（約 $10^{-15}$ m，即飛米尺度）內，核力是所有基本力中最強的，它能夠克服質子之間的庫侖排斥力，將核子（質子和中子）束縛在一起。
   • 短程力: 核力的作用範圍非常有限，大約在 $10^{-15}$ m 左右。當距離超過這個範圍後，核力迅速減弱到幾乎為零。
   • 與電荷無關: 核力對於質子和中子都起作用，它不依賴於粒子的電荷。
   • 有一定的排斥性: 在極短的距離（小於 $0.5 \times 10^{-15}$ m）時，核力也表現出排斥性，這阻止了原子核過度坍縮。

因此，核力在短距離內主要是吸引力，但也有短程的排斥性。

此題考驗化學術語的定義。

當一個化學反應在溶液中發生，並且生成了一個不溶於該溶液的固體沉澱物時，這個固體就被稱為沉澱物 (precipitate)。

選項分析：
(a) Additive (添加劑)：指加入到混合物中以改變其性質的物質。

核心觀念

本題考查熱力學第一定律：

$$\Delta U=Q-W$$

其中：

• $\Delta U$：系統內部能增加量
• $Q$：系統吸收的熱量
• $W$：系統對外所做的功

水在固定外壓下沸騰，吸收汽化熱並膨脹對外做功，因此：

$$W=P\Delta V$$

故：

$$\Delta U=Q-P\Delta V$$

解題方法

以 $1\ \mathrm{kg}$ 水由液態變成蒸氣為計算基準。

液態水與水蒸氣的體積差為：

$$\Delta V=V_{\text{steam}}-V_{\text{water}}$$ $$\Delta V=0.824-10^{-3}=0.823\ \mathrm{m^3}$$

壓力為：

$$P=2\ \mathrm{atm} =2(1.013\times10^5) =2.026\times10^5\ \mathrm{Pa}$$

因此，水膨脹時對外所做的功：

$$W=P\Delta V =(2.026\times10^5)(0.823)$$ $$W\approx1.67\times10^5\ \mathrm{J}$$

$1\ \mathrm{kg}$ 水所吸收的汽化熱為：

$$Q=2.20\times10^6\ \mathrm{J}$$

代入熱力學第一定律：

$$\Delta U=Q-W$$ $$\Delta U =2.20\times10^6-1.67\times10^5$$ $$\Delta U\approx2.03\times10^6\ \mathrm{J}$$

所以內部能增加量為：

$$\boxed{\Delta U\approx2.03\times10^6\ \mathrm{J}}$$

選項分析

此題考驗原子軌域的命名規則。

原子軌域的命名由兩個量子數決定：

1. 主量子數 (Principal quantum number, n): 表示軌域的大小和能量。
2. 角量子數 (Azimuthal or orbital quantum number, l): 表示軌域的形狀。

命名規則如下：

• $l=0$ 對應 s 軌域。
• $l=1$ 對應 p 軌域。
• $l=2$ 對應 d 軌域。
• $l=3$ 對應 f 軌域。
• $l=4$ 對應 g 軌域，依此類推。

此題考驗理想氣體等溫可逆膨脹過程中的熵變計算。

對於理想氣體，在等溫過程中，內能變化 $\Delta U = 0$。
根據熱力學第一定律：$\Delta U = Q - W$。
由於 $\Delta U = 0$，所以 $Q = W$。
在可逆等溫過程中，氣體對外做的功 $W$ 為：
$W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$
其中：

• $n$ 是氣體的莫耳數。
• $R$ 是理想氣體常數 ($8.314$ J/(mol·K))。
• $T$ 是溫度 (K)。
• $V_f$ 是最終體積。
• $V_i$ 是初始體積。

由於 $Q = W$，所以等溫過程吸收的熱量 $Q = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$。
熵變 $\Delta S$ 的定義為 $\Delta S = \frac{Q_{rev}}{T}$。
因此，$\Delta S = \frac{nRT \ln(V_f/V_i)}{T} = nR \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$。

此題考驗原子半徑的週期性趨勢。

在週期表中，原子半徑的趨勢如下：

1. 同週期 (同一橫列): 從左到右，原子半徑逐漸減小。這是因為核電荷增加，吸引價電子離核的力增強。
2. 同族 (同一縱列): 從上到下，原子半徑逐漸增大。這是因為電子層數增加，最外層電子離核的距離增加。

我們來看這三個元素在週期表中的位置：

• F (氟): 第二週期，第 17 族。
• O (氧): 第二週期，第 16 族。
• S (硫): 第三週期，第 16 族。

此題考驗氫原子中電子軌域半徑的計算。

對於氫原子（或類氫原子），其電子軌域半徑 $r_n$ 與主量子數 $n$ 的關係為：
$r_n = n^2 a_0$
其中：

• $r_n$ 是主量子數為 $n$ 的軌域半徑。
• $a_0$ 是波耳半徑 (Bohr radius)，約為 $0.529 \times 10^{-10}$ m。
• $n$ 是主量子數。

「第二激發態 (second excited state)」是指電子處於能量比基態 (ground state) 高兩個能級的狀態。

• 基態 (ground state): $n=1$
• 第一激發態 (first excited state): $n=2$

此題考驗氧化數的計算。

氧化數的規則：

1. 氧通常為 -2 (過氧化物中為 -1，超氧化物中為 -1/2)。
2. 元素單質的氧化數為 0。
3. 在化合物中，氟的氧化數為 -1。
4. 在化合物中，鹼金屬為 +1，鹼土金屬為 +2。
5. 在化合物中，氫通常為 +1 (與非金屬結合)，-1 (與金屬結合)。
6. 化合物中各元素的氧化數總和為 0。
7. 多原子離子中，各元素的氧化數總和等於該離子的總電荷。

計算 P2O5 中 P 的氧化數：
P2O5 是一個化合物，總氧化數為 0。
氧的氧化數通常為 -2。
設 P 的氧化數為 $x$。
$2x + 5(-2) = 0$
$2x - 10 = 0$
$2x = 10$

此題考驗一維無限深勢阱中粒子的能量量子化。

對於一個在一維無限深勢阱（長度為 L）中的粒子，其能量是量子化的，其能階公式為：
$E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}$
其中：

• $n$ 是主量子數，$n = 1, 2, 3, \dots$
• $h$ 是普朗克常數。
• $m$ 是粒子的質量。
• $L$ 是勢阱的長度。

最低能量 (基態) 發生在 $n=1$ 時：
$E_1 = \frac{1^2 h^2}{8mL^2} = \frac{h^2}{8mL^2}$。

核心觀念

配位數是與中心金屬離子直接鍵結的配位原子數目。判斷時需看金屬離子的大小、電荷、電子組態與配位環境；電子組態能提供配位偏好的線索，但配位數也會受配體種類與反應條件影響。

解題方法

先由中性原子的電子組態移除電子，得到各離子的組態，再比較其常見配位數：

• Sc³⁺：Sc 的組態為 $[\mathrm{Ar}]\,3d^1 4s^2$。形成 Sc³⁺ 時先移除 $4s$ 電子，再移除 $3d$ 電子，因此為 $[\mathrm{Ar}]\,3d^0$。Sc³⁺ 常形成六配位錯合物。
• Fe²⁺：Fe 的組態為 $[\mathrm{Ar}]\,3d^6 4s^2$。移除兩個 $4s$ 電子後為 $[\mathrm{Ar}]\,3d^6$，常見配位數為 6。
• Ag⁺：Ag 的組態為 $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}5s^1$。移除一個 $5s$ 電子後為 $[\mathrm{Kr}]\,4d^{10}$。Ag⁺ 常形成線形二配位錯合物。

此題考驗開管 (open pipe) 的振動頻率與長度的關係。

對於一個兩端開口的管子，其產生的駐波會有如下特徵：

• 在管子的兩端都必須是波腹 (antinode)。
• 駐波的長度必須是聲波波長的整數倍的半波長。

基本頻率 (fundamental frequency, $f_1$) 對應於最簡單的駐波模式，即在管子的兩端是波腹，中間有一個波節。這時，管子的長度 $L$ 等於半個波長 $\lambda/2$。
$L = \frac{\lambda_1}{2}$

聲波的傳播速度 $v$、頻率 $f$ 和波長 $\lambda$ 的關係為：
$v = f \lambda$
所以，$\lambda = \frac{v}{f}$。

核心觀念

這是銀電極的濃度電池，兩側電極皆為 $\mathrm{Ag^+/Ag}$，電池電壓來自兩邊銀離子濃度不同。依能斯特方程，銀電極的還原電位為

$$E_{\mathrm{Ag^+/Ag}}=E^\circ_{\mathrm{Ag^+/Ag}}+\frac{RT}{F}\ln[\mathrm{Ag^+}]$$

因此，$\mathrm{Ag^+}$ 濃度較高的一側還原電位較高，會作為陰極；濃度較低的一側則作為陽極。

解題方法

圖中左槽為 $0.1\,\mathrm{M}$ $\mathrm{AgNO_3}$，右槽為 $1.0\,\mathrm{M}$ $\mathrm{AgNO_3}$。右側銀離子濃度較高，所以右側為陰極，發生還原；左側為陽極，發生氧化：

$$\text{陽極（左）：}\quad \mathrm{Ag(s)\rightarrow Ag^+(aq)+e^-}$$

此題考驗計算螺線管 (solenoid) 中心磁場強度。

對於一個長螺線管，其內部磁場近似均勻，且在中心處的磁場強度為：
$B = \mu_0 n I$
其中：

• $\mu_0$ 是真空磁導率 ($4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A)。
• $n$ 是單位長度的匝數 (turns per unit length)。
• $I$ 是通過螺線管的電流。

題目給定：
長度 $L = 1.23$ m。
直徑 $d = 3.55$ cm (這個信息對於計算中心磁場不是必需的，除非考慮邊緣效應或非均勻性，但題目要求計算中心磁場)。
電流 $I = 5.57$ A。
真空磁導率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A。

現在需要計算單位長度的匝數 $n$。
題目說「five close-packed layers, each with 850 turns along length L」。
這意味著總匝數 $N = 5 \text{ layers} \times 850 \text{ turns/layer} = 4250$ turns。

此題考驗托里切利實驗的原理以及飽和蒸氣壓的概念。

圖示顯示了四個裝置，其中 (a) 是純水銀柱，(b), (c), (d) 則是將水銀與某種溶劑（可能是水，也可能是其他溶劑）混合後，插入水銀槽中。
在這些裝置中，水銀柱的高度 (h) 代表了外部大氣壓力 (Patm) 能夠支撐的水銀柱的高度。
水銀柱上方空間的壓力是水銀的蒸氣壓。

根據圖示和「communication vessel principle」（連通管原理），當系統達到平衡時，水銀槽液面（開放大氣壓力）的壓力，等於另一側水銀柱的壓力加上該水銀柱上方空間的壓力。

對於純水銀柱 (a)，水銀柱高度 $h$ 決定了大氣壓力。上方空間是水銀蒸氣，其蒸氣壓很低，通常可以忽略。

對於裝置 (b), (c), (d)，我們看到有水銀和某種溶劑。
如果水銀和溶劑不互溶，並且溶劑的蒸氣壓比水銀高得多，那麼在裝置中，水銀柱的高度 $h$ 會受到溶劑蒸氣壓的影響。

根據連通管原理，如果我們考慮水銀槽的液面（壓力為 $P_{atm}$），則在與水銀槽液面相同高度處，管子內的壓力必須相同。
對於裝置 (b)，(c)，(d)，假設水銀槽的液面高度與裝置內的水銀柱最低點相同。
那麼，在與水銀槽液面相同高度處，管子內的壓力是：

此題考驗角動量守恆定律。

當蟑螂從圓盤的某個半徑爬到邊緣時，圓盤和蟑螂組成的系統的總角動量保持不變（假設沒有外部力矩）。

系統的總角動量 $L = I_{disk} \omega_{disk} + I_{cockroach} \omega_{cockroach}$。
在這裡，蟑螂和圓盤一起旋轉，所以它們有相同的角速度 $\omega$。
$L = I_{total} \omega$。

圓盤的轉動慣量 $I_{disk} = \frac{1}{2} M R^2$，其中 $M = 6.00m$。
$I_{disk} = \frac{1}{2} (6.00m) R^2 = 3mR^2$。

蟑螂是一個粒子，其轉動慣量 $I_{cockroach} = mr^2$，其中 $r$ 是到旋轉軸的距離。

初始狀態：
蟑螂質量 $m$，到軸的距離 $r_i = 0.8R$。
圓盤質量 $M = 6.00m$，半徑 $R$。
初始角速度 $\omega_i = 1.5$ rad/s。

初始總角動量 $L_i = (I_{disk} + I_{cockroach, i}) \omega_i$
$I_{cockroach, i} = m r_i^2 = m (0.8R)^2 = 0.64 mR^2$。

此題考驗過渡金屬離子的電子構型與配位幾何的關係，特別是尋找具有線性配位結構的離子。

題目給出的電子構型是原子的，需要推斷離子的構型。

• Cu (銅): 原子序 29。原子構型為 $[Ar] 4s^1 3d^{10}$。
  Cu²⁺ 離子：失去 2 個電子，通常是 4s 的 1 個和 3d 的 1 個。電子構型為 $[Ar] 3d^9$。
• Fe (鐵): 原子序 26。原子構型為 $[Ar] 4s^2 3d^6$。
  Fe²⁺ 離子：失去 2 個電子，即 4s 的 2 個。電子構型為 $[Ar] 3d^6$。
• Ag (銀): 原子序 47。原子構型為 $[Kr] 5s^1 4d^{10}$。
  Ag⁺ 離子：失去 1 個電子，即 5s 的 1 個。電子構型為 $[Kr] 4d^{10}$。
• Co (鈷): 原子序 27。原子構型為 $[Ar] 4s^2 3d^7$。

核心觀念

本題考查旋轉座標系中的牛頓第二定律，需考慮：

• 離心力
• 科氏力
• 旋轉座標系中騎士的相對加速度
• 摩擦力提供維持圓周運動所需的向心力

旋轉座標系中的運動方程為

$$m\vec a' = \vec f -2m\vec\omega\times\vec v' -m\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)$$

其中：

• $\vec f$：實際摩擦力
• $\vec a'$：相對旋轉座標系的加速度
• $\vec v'$：相對旋轉座標系的速度
• $\vec\omega$：旋轉角速度

本題角速度方向由上方觀察為逆時針，因此 $\vec\omega$ 垂直桌面向上。

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解題方法

取徑向向外為正方向。

已知

$$m=40\ \mathrm{kg},\qquad \omega=0.50\ \mathrm{rad/s},\qquad r=2\ \mathrm{m},\qquad v'=2\ \mathrm{m/s}$$

騎士相對旋轉平台以切線方向等速行走，但其運動路徑仍是半徑 $2\ \mathrm{m}$ 的圓，因此在旋轉座標系中具有向心加速度：

$$\vec a'=-\frac{v'^2}{r}\hat e_r$$

故

$$a'=-\frac{2^2}{2}=-2\ \mathrm{m/s^2}$$

即相對加速度大小為 $2\ \mathrm{m/s^2}$，方向徑向向內。

1. 離心力

離心力方向徑向向外，大小為

$$F_{\text{cf}}=m\omega^2r =40(0.50)^2(2) =20\ \mathrm{N}$$

2. 科氏力

騎士相對平台的速度與平台旋轉方向相同，因此科氏力方向徑向向外，大小為

$$F_{\text{cor}}=2m\omega v' =2(40)(0.50)(2) =80\ \mathrm{N}$$

3. 旋轉座標系列式

徑向向外為正，摩擦力設為 $f$，則

此題考驗不同聚合物的耐熱性。

• 聚乙烯 (Polyethylene): 是一種常見的熱塑性塑膠，耐熱性相對較差，通常使用溫度在 80-100 °C 左右。
• 聚醯亞胺 (Polyimide): 是一種高性能聚合物，具有優異的耐高溫性、機械強度和化學穩定性。其玻璃轉化溫度 (Tg) 和分解溫度都很高，通常可以在 250-300 °C 甚至更高的溫度下使用。

此題考驗法拉第電磁感應定律，計算感應電動勢 (emf)。

法拉第電磁感應定律指出，通過線圈的磁通量隨時間變化時，線圈中會產生感應電動勢。電動勢的大小與磁通量變化率的絕對值成正比。
$\mathcal{E} = -N \frac{d\Phi_B}{dt}$
其中：

• $\mathcal{E}$ 是感應電動勢 (V)。
• $N$ 是線圈的匝數。
• $\frac{d\Phi_B}{dt}$ 是磁通量隨時間的變化率。

題目給定：
線圈匝數 $N = 2$。
初始磁通量 $\Phi_{B,i} = -58$ Wb。
最終磁通量 $\Phi_{B,f} = 38$ Wb。
時間間隔 $\Delta t = 0.42$ s。

磁通量的變化量