108 年 國立成功大學材料科學及工程學系碩士班《物理化學》

此題考查馬克士威 (Maxwell) 方程式的內容。馬克士威將法拉第定律 (Faraday's Law of Induction) 和安培定律 (Ampère's Law) 整合，並加入位移電流 (displacement current) 的概念，修正了安培定律，使其與電磁感應的現象一致。

此題考查化學鍵結的種類與特性。

(a) 純共價鍵 (purely covalent bond) 發生在兩個相同原子之間，電子對平均分配。
(b) 純離子鍵 (purely ionic bond) 發生在金屬和非金屬之間，電子完全轉移，形成離子。
(c) 大多數分子中的共價鍵並非純共價鍵。

核心觀念

本題考查量子穿隧效應。古典力學中，粒子能量 $E$ 小於位能障高度 $V_0$ 時，粒子無法進入障壁；量子力學則以波函數描述粒子，有限寬度的障壁內波函數會衰減，但不會立刻變成零，因此粒子仍有機率穿過障壁。

解題方法

在障壁區域 $V_0>E$，定態薛丁格方程的解呈指數衰減，其衰減常數為

若障壁寬度為 $a$，穿隧機率大致隨下式變化：

因此，穿隧機率不是零，但會隨障壁變高或變寬而快速降低。題目描述的是粒子能量低於位能障，符合有限障壁下穿隧機率很小的情形。

選項分析

此題考查波耳原子模型的軌域穩定條件。

波耳模型提出，電子在原子核外繞行時，只有當其角動量為普朗克常數 $h$ 的整數倍時，才能維持穩定的軌道而不輻射能量。這個條件後來被德布羅意 (de Broglie) 的物質波理論所解釋。

德布羅意提出，運動的粒子具有波動性，其波長 $\lambda$ 與動量 $p$ 的關係為 $\lambda = h/p$。在原子軌道中，電子被視為一個駐波 (standing wave)。為了形成駐波，軌道的周長必須是電子物質波波長的整數倍。

對於一個半徑為 $r$ 的圓形軌道，其周長為 $2\pi r$。因此，穩定的軌道條件可以寫成：
$2\pi r = n\lambda$
其中 $n$ 是正整數 (量子數)。

選項中的 $\eta$ (eta) 在此語境下通常代表波長，即 $\eta = \lambda$。
(a) $\lambda = 2\pi r$：這表示波長等於軌道周長，相當於 $n=1$ 的情況，是一個可能的條件，但不是普遍的穩定條件。
(b) $\eta\lambda = 2\pi r$：若 $\eta$ 代表波長 $\lambda$，則此選項為 $\lambda^2 = 2\pi r$，不正確。
(c) $\eta\lambda = \pi r$：若 $\eta$ 代表波長 $\lambda$，則此選項為 $\lambda^2 = \pi r$，不正確。

此題考查德布羅意物質波假設的適用範圍。

德布羅意在 1924 年提出物質波假設，認為所有運動的粒子都具有波動性，其波長 $\lambda$ 與動量 $p$ 的關係為 $\lambda = h/p$，其中 $h$ 是普朗克常數。

這個假設最初是為了解釋原子光譜中的現象，特別是解釋原子軌道的穩定性，後來由戴維森-革末 (Davisson-Germer) 和 G.P.湯姆森 (G.P. Thomson) 的實驗證實了電子的波動性。

此題考查薄片狀物體的轉動慣量。

考慮一個均質的薄矩形板，其尺寸為 $a \times b$，厚度為 $t$，質量為 $M$。
題目指定軸是通過板的中心，且垂直於板面。這個軸是通過質心 (center of mass, CM) 的垂直軸。

對於一個均質的矩形薄板，其質心位於幾何中心。
我們需要計算通過質心且垂直於板面的軸的轉動慣量 $I_{CM}$。

轉動慣量的計算可以通過積分來得到。對於一個薄片，可以將其視為由無數小質量元素 $dm$ 組成。對於通過質心且垂直於板面的軸，任何一個質量元素 $dm$ 到軸的距離都是其在 $xy$ 平面上的位置 $(x, y)$ 的徑向距離 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$。
$I_{CM} = \int r^2 dm = \int (x^2+y^2) dm$

由於板是均質的，其面密度為 $\sigma = M/(ab)$。
$dm = \sigma dA = \sigma dx dy$
積分範圍為 $-a/2 \le x \le a/2$ 和 $-b/2 \le y \le b/2$。
$I_{CM} = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} (x^2+y^2) \sigma dx dy$
$I_{CM} = \sigma \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} x^2 dx dy + \sigma \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} y^2 dx dy$

計算第一個積分：
$\int_{-a/2}^{a/2} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{-a/2}^{a/2} = \frac{(a/2)^3}{3} - \frac{(-a/2)^3}{3} = \frac{a^3/8}{3} - \frac{-a^3/8}{3} = \frac{a^3}{24} + \frac{a^3}{24} = \frac{a^3}{12}$
$\int_{-b/2}^{b/2} (\frac{a^3}{12}) dy = \frac{a^3}{12} [y]_{-b/2}^{b/2} = \frac{a^3}{12} (\frac{b}{2} - (-\frac{b}{2})) = \frac{a^3}{12} b = \frac{a^3 b}{12}$

此題考查楊氏模數 (Young's Modulus) 的應用，計算材料的伸長量。

楊氏模數 $E$ 定義為材料承受拉伸或壓縮應力 (stress) 時，所產生的應變 (strain) 的比值：
$E = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$

其中，應力 $\sigma = F/A$，表示單位面積所受的力；應變 $\epsilon = \Delta L/L_0$，表示長度變化的相對值。
$F$ 是施加的拉力 (tension)，$A$ 是橫截面積，$L_0$ 是原始長度，$\Delta L$ 是長度變化量。

將應力和應變的定義代入楊氏模數的公式：
$E = \frac{F/A}{\Delta L/L_0}$
$E = \frac{F L_0}{A \Delta L}$

我們需要計算伸長量 $\Delta L$。重新整理公式：
$\Delta L = \frac{F L_0}{A E}$

現在，我們來整理題目給定的數據：

• 原始長度 $L_0 = 1.12 \text{ m}$
• 橫截面積 $A = 6 \times 10^{-3} \text{ cm}^2$
• 楊氏模數 $E = 20.6 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$
• 拉力 $F = 115 \text{ N}$

在計算之前，需要將單位統一。橫截面積 $A$ 是以平方公分 $(\text{cm}^2)$ 給出，需要轉換為平方公尺 $(\text{m}^2)$。
$1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}$
$1 \text{ cm}^2 = (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-4} \text{ m}^2$

此題考查蒲松比 (Poisson's Ratio)。

蒲松比 ($\nu$) 定義為材料在單軸應力作用下，橫向應變 (lateral strain) 與軸向應變 (axial strain) 的絕對值之比。
$\nu = -\frac{\epsilon_{\text{lateral}}}{\epsilon_{\text{axial}}}$
其中 $\epsilon_{\text{axial}}$ 是沿著受力方向的應變，$\epsilon_{\text{lateral}}$ 是垂直於受力方向的應變。負號是為了使蒲松比為正值，因為當材料受拉伸 ($\epsilon_{\text{axial}} > 0$) 時，它會變細 ($\epsilon_{\text{lateral}} < 0$)，反之亦然。

題目描述了蒲松效應：材料在受壓縮時，會在垂直方向上膨脹。這意味著：

• 若是壓縮，則 $\epsilon_{\text{axial}} < 0$。
• 根據蒲松效應，材料會膨脹，即 $\epsilon_{\text{lateral}} > 0$。
• 則 $\nu = -(\text{正值}) / (\text{負值})$，會得到一個正值。

對於大多數常見的穩定、各向同性、線彈性材料：

• 當受軸向拉伸時，材料會沿橫向收縮，所以 $\epsilon_{\text{axial}} > 0$ 且 $\epsilon_{\text{lateral}} < 0$。因此，$\nu = -(\text{負值}) / (\text{正值}) > 0$。

核心觀念

本題考查「衝量—動量」與「角衝量—角動量」的關係，以及純滾動條件。

• 線性衝量：
  $J=F\Delta t=m\Delta v$
• 對質心取矩的角衝量：
  $\tau\Delta t=I_{\rm CM}\Delta\omega$
• 球開始無滑動滾動時，必須滿足：
  $v=R\omega$

將撞擊高度 $h$ 定義為距離水平面的高度。球心距離水平面為 $R$，因此撞擊線距離球心的垂直距離為 $h-R$。

解題方法

設水平打擊所產生的衝量為 $J$。

1. 質心的平移速度

由線性動量定理：

因此球心速度為：

2. 球的角速度

撞擊力對質心的力臂為 $h-R$，所以角衝量大小為：

由角動量定理：

把球視為均勻實心球，其質量對質心的轉動慣量為：

因此：

3. 套用無滑動滾動條件

開始滾動時沒有滑動，故：

代入前述結果：

核心觀念

本題考查等速圓周運動與圓錐擺。小球受到的力只有：

• 重力 $mg$，方向鉛直向下。
• 繩張力 $F_T$，沿繩方向。

繩張力的鉛直分量平衡重力，水平分量則提供小球做圓周運動所需的向心力。

解題方法

設小球速率為 $v$，繩子與鉛直方向夾角為 $\theta=35^\circ$，水平圓周半徑為 $r=0.60\ \text{m}$。

鉛直方向沒有加速度，因此

水平方向的張力分量提供向心力：

兩式相除，消去張力與質量：

因此

小球繞一周所需時間為週長除以速率：

代入 $v^2=rg\tan\theta$：

整理得

取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$、$\tan35^\circ\approx0.700$：

核心觀念

本題考查帶電粒子在均勻電場中的運動：

1. 電場力：
   $\vec{F}=q\vec{E}$

2. 牛頓第二定律：
   $\vec{F}=m\vec{a}$

3. 水平方向沒有電場力，因此沿 $x$ 軸等速前進；垂直方向受到固定電場力，做等加速度運動。

由於液滴帶負電，而電場方向向下（$-z$ 方向），所以電場力方向與電場相反，指向 $+z$ 方向。

解題方法

液滴通過極板的時間由水平方向運動決定：

電荷量為負，$q=-Q$。垂直方向的電場力大小為：

因此垂直加速度大小為：

代入數值：

液滴初始沿 $x$ 軸運動，因此初始垂直速度為 $v_{z0}=0$。垂直位移為：

代入：

此題考查均勻帶電球體內部的電場計算，使用高斯定律 (Gauss's Law)。

題目給定一個半徑為 $R$ 的均勻帶電球體，其體積電荷密度為 $\rho$。我們需要計算距離球心 $r$ 處的電場強度，其中 $r < R$（即在球體內部）。

根據高斯定律，通過一個閉合曲面的電通量 $\Phi_E$ 等於該曲面所包圍的總電荷 $Q_{enc}$ 除以真空介電常數 $\epsilon_0$：
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$

由於球體帶電是均勻的，並且是球對稱的，我們選擇一個以球心為圓心，半徑為 $r$ 的球面作為高斯面，其中 $r < R$。在這個高斯球面上，電場 $\vec{E}$ 的方向沿徑向向外（假設 $\rho > 0$），且電場強度的大小處處相等。因此，電場 $\vec{E}$ 與面積微元 $d\vec{A}$ 總是平行。

高斯定律的左邊可以簡化為：
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \oint dA = E (4\pi r^2)$
其中 $4\pi r^2$ 是半徑為 $r$ 的球面的面積。

接下來，我們需要計算高斯面所包圍的總電荷 $Q_{enc}$。
由於電荷分佈是均勻的，高斯面（半徑為 $r$ 的球體）所包含的電荷是該球體的體積乘以電荷密度 $\rho$。

核心觀念

電場與電勢的關係為

在圓盤中心軸上，電勢只隨軸向座標 $z$ 改變，因此軸向電場為

題目給定

其中 $\sigma$ 為面電荷密度，$R$ 為圓盤半徑。

解題方法

對電勢對 $z$ 微分：

由

可得

因此

所以電場向圓盤軸線的正方向，答案為

選項分析

(a)

錯誤。正確結果應含有

而非

核心觀念

本題考查電容的基本物理特性、電荷守恆定律以及並聯電容器達到靜電平衡時的電位關係。涉及的核心原理與公式如下：

1. 電容基本定義：電容 $C$、儲存電荷量 $q$ 與端電壓 $V$ 之關係為：
   $q = C V$
2. 電荷守恆定律 (Law of Conservation of Charge)：電容器與外部電源斷開後，孤立導體系統上的總電荷量保持不變：
   $q_{\text{total}} = q_1 + q_2 = q_0$
3. 並聯靜電平衡 (Electrostatic Equilibrium)：當開關閉合後，電荷在兩電容器之間流動，直到兩者的端電壓相等（即達成並聯電位平衡）：
   $V_1 = V_2 = V_f$

解題方法

步驟一：計算初始總電荷量 $q_0$

電容器 1 原先連接至 $V_0 = 6.30\text{ V}$ 的電源充電，其電容量 $C_1 = 3.55\ \mu\text{F}$。此時電容器 1 上所儲存的電荷為：
$q_0 = C_1 V_0 = (3.55\ \mu\text{F}) \times (6.30\text{ V}) = 22.365\ \mu\text{C}$

因為電容器 2 原本未充電（$q_{2,0} = 0$），且電源已被移除，故系統斷開後的總電荷量固定為：
$q_{\text{total}} = q_0 = 22.365\ \mu\text{C}$

步驟二：利用並聯平衡求共用端電壓 $V_f$

將電容器 1 與電容器 2 並聯連接後，兩者端電壓相等，系統等效電容為：
$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = 3.55\ \mu\text{F} + 8.95\ \mu\text{F} = 12.50\ \mu\text{F}$

由電荷守恆求平衡後的端電壓 $V_f$：
$V_f = \frac{q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}} = \frac{22.365\ \mu\text{C}}{12.50\ \mu\text{F}} = 1.7892\text{ V}$

步驟三：計算各電容器平衡時的電荷量 $q_1$ 與 $q_2$

利用共用電壓 $V_f$ 分別計算各電容上的電荷：
$q_1 = C_1 V_f = 3.55\ \mu\text{F} \times 1.7892\text{ V} \approx 6.35\ \mu\text{C}$
$q_2 = C_2 V_f = 8.95\ \mu\text{F} \times 1.7892\text{ V} \approx 16.01\ \mu\text{C} \approx 16.0\ \mu\text{C}$

核心觀念

本題考查電容器插入介電質後的電場分布，以及「電池斷開後電荷守恆」：

• 電池尚未斷開時，平行板電容器的電荷為
  $Q=C_0V_0$
• 電池斷開後，電容器與外界不再交換電荷，因此 $Q$ 保持不變。
• 平行板間的電位移為
  $D=\frac{Q}{A}$
• 在真空間隙中，介電常數為 $\varepsilon_0$，故
  $E_{\text{gap}}=\frac{D}{\varepsilon_0}$

介電 slab 位於中間，兩側為真空間隙。題目要求的是「間隙中的電場」，不是介電質內的電場。

解題方法

未插入介電質時，平行板電容器為

電池施加電壓 $V_0$，因此初始電荷為

電池斷開後，電荷仍為 $Q$。所以板上的面電荷密度為

在兩個真空間隙中，

代入數值：

因此間隙中的電場為

介電質內的電場則為

此題考查理想氣體定律 (Ideal Gas Law) 的應用，特別是結合了氣體狀態方程式的綜合應用。

理想氣體定律的數學表達式為：
$PV = nRT$
其中 $P$ 是壓強，$V$ 是體積，$n$ 是氣體摩爾數，$R$ 是理想氣體常數，$T$ 是絕對溫度。

題目描述了氣體在兩個不同狀態下的參數。我們假設氣體的摩爾數 $n$ 和理想氣體常數 $R$ 在過程中保持不變。
因此，我們可以寫出：
$\frac{PV}{T} = nR = \text{constant}$
這意味著：
$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
其中下標 1 代表初始狀態，下標 2 代表最終狀態。

首先，我們需要將溫度從攝氏度 (°C) 轉換為絕對溫度（開爾文 K）。
$T(K) = T(°C) + 273.15$ (通常取 273)。

初始狀態 (State 1)：
$V_1 = 2.0 \text{ L}$
$T_1 = 27 \text{ °C} = 27 + 273 = 300 \text{ K}$
$P_1 = 1.0 \text{ atm}$

最終狀態 (State 2)：
$V_2 = 1.0 \text{ L}$
$T_2 = 57 \text{ °C} = 57 + 273 = 330 \text{ K}$
$P_2 = ?$ (待求)

此題考查統計力學中的能量均分定理 (Equipartition Theorem)。

能量均分定理指出，在熱平衡狀態下，一個系統中每一個具有二次方項的自由度 (degree of freedom) 平均具有 $\frac{1}{2}kT$ 的能量，其中 $k$ 是波茲曼常數，$T$ 是絕對溫度。

對於一個粒子（例如氣體分子），其在三維空間中的運動可以分解為在 x、y、z 三個方向上的平移運動。

• 在 x 方向上的平移運動，其動能為 $\frac{1}{2}mv_x^2$。這是一個二次方項。
• 在 y 方向上的平移運動，其動能為 $\frac{1}{2}mv_y^2$。這是一個二次方項。
• 在 z 方向上的平移運動，其動能為 $\frac{1}{2}mv_z^2$。這是一個二次方項。

根據能量均分定理，每一個獨立的平移自由度平均具有 $\frac{1}{2}kT$ 的能量。
因此，在 x 方向上的運動（僅考慮平移動能 $\frac{1}{2}mv_x^2$）的平均能量是 $\frac{1}{2}kT$。

此題考查氣體分子的方均根速率 (root-mean-square speed, $v_{rms}$) 與其分子量 (molar mass) 的關係。

氣體分子的方均根速率由以下公式給出：
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
其中 $R$ 是理想氣體常數，$T$ 是絕對溫度，$M$ 是氣體的摩爾質量（單位 kg/mol）。

題目指出，容器中裝有等摩爾數的氦 (He) 和甲烷 (CH4)。
我們需要計算氦原子和甲烷分子的方均根速率之比。
設 $v_{rms, He}$ 為氦的方均根速率，$v_{rms, CH_4}$ 為甲烷的方均根速率。

氦 (He) 的原子量約為 4 g/mol。
甲烷 (CH4) 的分子量為：碳 (C) 約 12 g/mol，氫 (H) 約 1 g/mol。
$M_{CH_4} = 12 + 4 \times 1 = 16 \text{ g/mol}$。

為了使用公式，我們需要將摩爾質量轉換為 kg/mol。
$M_{He} = 4 \text{ g/mol} = 4 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$。
$M_{CH_4} = 16 \text{ g/mol} = 16 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}$。

此題考查理想氣體分子平均速率與溫度的關係。

氣體分子的平均速率 (average speed) 與方均根速率 (rms speed) 密切相關。雖然它們不完全相同，但它們都與溫度的平方根成正比。
平均速率 $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$。
方均根速率 $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$。

在這兩種情況下，平均速率都與 $\sqrt{T}$ 成正比。
$v \propto \sqrt{T}$

題目說，理想氣體的溫度加倍（$T_2 = 2T_1$），而壓強保持恆定 ($P_1 = P_2$)。
我們需要找到平均速率的變化。

核心觀念

理想氣體分子的平均平移動能由溫度決定。對單一分子而言，三維空間中的平均平移動能為

其中：

• $k_{\mathrm{B}}$ 為波茲曼常數；
• $T$ 為絕對溫度，單位為 K。

此公式表示，平均到每一個分子的平移動能只與溫度有關，與氣體的莫耳數及壓力無直接關係。

解題方法

理想氣體的總平移動能可表示為

其中 $N$ 是分子總數。除以分子數 $N$，得到單一分子的平均平移動能：

因此，$N$ 在平均化過程中相消，結果只剩下溫度 $T$。

若以莫耳數表示，總平移動能為

這是整批氣體的總能量；題目問的是「分子的平均平移動能」，必須除以分子數，而不是直接使用總能量公式。

選項分析

(a) the number of moles of the gas and its temperature.

錯誤。莫耳數會影響氣體的總平移動能：

核心觀念

平行板間忽略邊緣效應時，板間電場為均勻電場。單一帶電無限大平面所產生的電場大小為

兩塊帶有等量異號電荷的平行板，板間電場方向相同，因此電場相加：

其中：

• $E$：板間電場強度
• $\sigma$：面電荷密度
• $\varepsilon_0$：真空介電常數，$\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2N^{-1}m^{-2}}$

又因為

所以板上電荷量為

題幹中的「$10+$」為上標排版遺失，依選項數值可知電場為

解題方法

先將面積換算成 SI 制：

代入平行板電場公式：

整理十的次方：

兩塊板上的電荷大小相同、符號相反，因此每塊板的電荷量大小皆為

此題考查點電荷產生的電勢和電場與電荷量之間的關係。

對於一個點電荷 $q$，距離其 $r$ 處的電勢 $V$ 和電場強度 $E$ 分別為：
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$
其中 $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = k_e \approx 9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ 是庫侖常數。

題目給定：
電勢 $V = 600 \text{ V}$
電場強度 $E = 200 \text{ N/C}$

我們有兩個方程和三個未知數 ($q, r, k_e$)。
我們可以消去 $r$ 來求解 $|q|$。

從電勢公式，我們可以得到 $r$：
$r = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{V} = k_e \frac{|q|}{V}$

將此 $r$ 代入電場公式：
$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q|}{(k_e \frac{|q|}{V})^2}$
$E = k_e \frac{|q|}{k_e^2 \frac{q^2}{V^2}}$
$E = k_e \frac{|q| V^2}{k_e^2 q^2}$
$E = \frac{V^2}{k_e |q|}$

重新整理以求解 $|q|$：
$|q| = \frac{V^2}{k_e E}$

現在代入數值：
$V = 600 \text{ V}$
$E = 200 \text{ N/C}$
$k_e \approx 9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$

$|q| = \frac{(600 \text{ V})^2}{(9 \times 10^9 \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2) \times (200 \text{ N/C})}$

此題考查電路的內阻模型。

一個實際的電源（例如電池）可以被模型化為一個理想電壓源（開路電壓 $V_{oc}$）與一個串聯的內阻 $R_{int}$。

題目給定：
開路電壓 (open-circuit voltage) $V_{oc} = 10 \text{ V}$。這是當沒有電流流出時，電源的端電壓。
短路電流 (short-circuit current) $I_{sc} = 4.0 \text{ A}$。這是當電源兩端被短路時，流過電源的電流。

我們可以利用這些資訊來計算電源的內阻 $R_{int}$。
當電源短路時，其端電壓為 0，所以所有開路電壓都降在內阻上。
根據歐姆定律：
$V_{oc} = I_{sc} R_{int}$
$10 \text{ V} = (4.0 \text{ A}) R_{int}$
$R_{int} = \frac{10 \text{ V}}{4.0 \text{ A}} = 2.5 \text{ Ω}$

核心觀念

本題考查帶電粒子經電位差加速後，進入垂直磁場所做的等速圓周運動。

需使用兩個公式：

1. 電位能轉換為動能：

2. 磁力提供圓周運動所需向心力：

因此帶電粒子的軌道半徑為：

其中 $q$ 為離子電量、$m$ 為質量、$v$ 為速度、$B$ 為磁場強度。

解題方法

鋰離子為單價正離子，因此其電量為基本電荷量：

質量換算為 SI 制：

由電位差加速，電位能轉換為動能：

整理得：

代入半徑公式：

可化簡為：

代入 $m=1.16\times10^{-26}\ \text{kg}$、$V=500\ \text{V}$、$q=1.602\times10^{-19}\ \text{C}$、$B=0.4\ \text{T}$：

先計算根號內：

核心觀念

長螺線管中心的磁場近似為

其中：

• $B$：中心磁場
• $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$
• $n=N/L$：單位長度的匝數
• $N$：總匝數
• $L$：螺線管長度
• $I$：電流

導線總長度等於總匝數乘上每一匝的周長：

題目給定 $L=50\ \mathrm{cm}$、$R=5\ \mathrm{cm}$，且最大電流為 $I=10\ \mathrm{A}$。

解題方法

由

解出總匝數：

代入數值：

每一匝導線長度為螺線管圓周：

因此導線總長度：

所以所需導線總長度約為

此題考查分子的極性，即鍵的極性與分子整體極性的關係。

分子的極性取決於兩個因素：

1. 分子中是否存在極性鍵 (polar bond)。極性鍵是指兩個不同原子之間形成的共價鍵，由於電負度差異，電子雲偏向其中一個原子，形成部分正電荷和部分負電荷。
2. 分子的幾何結構。即使分子中存在極性鍵，如果分子的幾何結構是對稱的，使得各個鍵的偶極矩 (dipole moment) 向量相互抵消，則整個分子可能沒有淨偶極矩，即為非極性分子。

我們來分析各選項：
(a) CO₂ (二氧化碳)：

• 鍵：C-O 鍵是極性鍵，因為氧的電負度比碳大。
• 結構：CO₂ 的分子結構是線性的 (O=C=O)，鍵角為 180°。
• 偶極矩：兩個 C=O 鍵的偶極矩大小相等，方向相反，沿著 O-C-O 的直線。因此，它們相互抵消。
• 結果：CO₂ 是非極性分子，儘管它有極性鍵。

此題考查離子化合物 (ionic compound) 的形成過程。

離子化合物的形成通常涉及金屬原子失去電子形成陽離子，以及非金屬原子獲得電子形成陰離子，然後這些帶相反電荷的離子由於靜電吸引力而結合。

我們來分析各選項：
(a) both nonmetal and metal atoms attain noble gas electron configuration.

• 金屬原子（例如鈉 Na）傾向於失去其最外層的價電子，以獲得與前一個週期惰性氣體相同的電子組態（例如 Na⁺ 具有 Ne 的電子組態）。
• 非金屬原子（例如氯 Cl）傾向於獲得電子，以填滿其最外層電子軌道，獲得與下一個週期惰性氣體相同的電子組態（例如 Cl⁻ 具有 Ar 的電子組態）。
• 這種獲得惰性氣體電子組態的趨勢是離子鍵形成的主要驅動力。因此，這個選項是正確的。

(b) the valence orbitals of the nonmetal are emptied.

• 非金屬原子獲得電子是為了填滿其價電子層，而不是清空。例如，氯原子 (3s²3p⁵) 獲得一個電子變成氯離子 (3s²3p⁶)，其價電子層是完整的，而不是空的。

核心觀念

等電子離子是指電子總數相同的離子，因此具有相同的電子組態。以 $\mathrm{O^{2-}}$ 與 $\mathrm{F^-}$ 為例：

兩者的電子組態皆為 $1s^2\,2s^2\,2p^6$。

在等電子系列中，電子數相同，電子間的屏蔽效應大致相近；質子數越多，原子核對電子的吸引力越強，電子雲越收縮，離子半徑越小。

解題方法

比較等電子離子的大小時，先確認它們的電子數相同，再比較原子序 $Z$。$Z$ 較大的離子，其核電荷較大，對同一電子雲的吸引較強，因此半徑較小。

本題中 $\mathrm{O^{2-}}$ 有 8 個質子，$\mathrm{F^-}$ 有 9 個質子，所以：

此題考查路易斯結構 (Lewis structure) 的多重性，即共振結構 (resonance structures) 的概念。

當一個分子或離子的路易斯結構無法僅用一個圖示來準確描述其真實的鍵結和電子分佈時，我們需要畫出多個「有效」的路易斯結構，這些結構被稱為共振結構。真實的分子結構是這些共振結構的平均或雜化。

多重路易斯結構出現的原因通常是：

• 離域電子 (Delocalized electrons)：價電子不局限於兩個原子之間，而是可以在整個分子中移動。
• 價電子數符合要求，但鍵結方式或電荷分佈有多種可能性。

我們來分析各選項：
(a) because the exceptions to the Octet rule are there.

• 八隅體規則 (octet rule) 的例外（例如，價電子數少於 8 的離域電子，或超過 8 個價電子的擴張八隅體）確實會影響路易斯結構的畫法，但它本身並不直接導致「多個有效路易斯結構」。例如，BF₃ 的中心原子 B 只有 6 個價電子，這是一個八隅體例外，但它的路易斯結構是唯一的。PCl₅ 有 10 個價電子，也是例外，但其路易斯結構也是唯一的。
• 共振結構通常出現在滿足八隅體規則（或其擴張）的情況下，但鍵的單雙鍵位置或電荷分佈有多種選擇。
• 所以，這個選項不是主要原因。

(b) because some electrons are delocalized and able to move around the entire molecule.

• 這正是共振結構出現的核心原因。

此題考查化學平衡 (chemical equilibrium) 的熱力學判據。

當一個系統達到化學平衡時，正向反應速率等於逆向反應速率，宏觀上各組分的濃度、壓強等物理量不再隨時間變化。

熱力學判據是判斷系統是否處於平衡狀態或是否會自發進行反應的標準。
對於一個給定的溫度和壓強，一個系統要達到自發平衡狀態，必須使其吉布斯自由能 (Gibbs free energy, G) 最小化。
$G = H - TS$
其中 $H$ 是焓，$T$ 是絕對溫度，$S$ 是熵。

在恆溫恆壓條件下，系統的自發過程總是朝著吉布斯自由能降低的方向進行，直到達到最小值。一旦達到最小值，系統就處於平衡狀態，此時 $\Delta G = 0$ 對於任何微小的進一步變化。

我們來分析各選項：
(a) the system has the lowest Gibbs free energy.

• 這是判斷系統是否達到化學平衡的熱力學準則。在恆溫恆壓下，系統的吉布斯自由能達到最小值時，就處於平衡狀態。
• 因此，這個選項是正確的。

(b) the system is stabilized by the contribution of entropy.

• 熵的貢獻是 $TS$ 項。

此題考查伏打電池 (voltaic cell) 的電極現象。

伏打電池是一個將化學能轉化為電能的裝置，其核心是發生自發的氧化還原反應。

• 負極 (Anode)：在這個電極上發生氧化反應 (oxidation)，即物質失去電子。由於電子從負極流出，所以負極是電子源，帶負電。
• 正極 (Cathode)：在這個電極上發生還原反應 (reduction)，即物質獲得電子。電子流向正極，所以正極相對帶正電。

題目問的是「負極 (negatively charged electrode)」的現象。
在負極，金屬原子失去電子變成陽離子，進入溶液中。

核心觀念

本題考查原電池（voltaic cell）中電極正負性、陽極與陰極的判定，以及電極—溶液界面的離子分布。

原電池利用自發氧化還原反應產生電流：

• 陽極（anode）：發生氧化反應，為負極。
• 陰極（cathode）：發生還原反應，為正極。
• 電子由陽極流向陰極。
• 帶正電的電極會以靜電作用吸引溶液中的陰離子。

因此，原電池的正極就是陰極，必然發生還原反應；其鄰近溶液界面則相對富集陰離子。

解題方法

先由「positively charged electrode」判斷電極：

再依庫倫作用判斷界面離子分布：

所以正極界面同時具有：

1. 陰極上的還原反應；
2. 溶液側相對富集陰離子。

選項分析

(a) attracting cations：錯誤

正極帶正電，依同性相斥、異性相吸原理，不會吸引陽離子，反而會排斥陽離子並吸引陰離子。

(b) reduction：正確

原電池中的正極是陰極，陰極定義為發生還原反應的電極：

此題考查電化學中的犧牲陽極保護 (sacrificial anode protection) 的原理。

犧牲陽極保護的原理是利用電化學序列中比被保護的金屬更活潑（還原性更強，標準還原電勢更低）的金屬作為陽極，使其優先被氧化，從而保護被保護的金屬（作為陰極）不被氧化。

題目要求找出哪種金屬不能用於陰極保護鐵，以防止鐵被氧化。
這意味著我們需要找到一種金屬，它的還原性弱於鐵，或者說它的標準還原電勢高於鐵。如果金屬的還原性比鐵弱，那麼它反而會被鐵氧化，或者它不能有效地保護鐵。

我們需要比較各金屬的標準還原電勢：

• Fe²⁺/Fe: -0.440 V
• Mg²⁺/Mg: -2.37 V
• Ti²⁺/Ti: -1.63 V
• Cr³⁺/Cr: -0.744 V
• Cu/Cu⁺: +0.337 V

被保護的金屬是鐵 (Fe)。鐵的標準還原電勢是 -0.440 V。
要對鐵進行陰極保護，我們需要選擇一種金屬，其標準還原電勢低於 Fe 的 (-0.440 V)，表示它的還原性更強。

此題考查電化學電池產生的最大功與標準電池電勢的關係。

在電化學電池中，可以產生的最大非膨脹功 (maximum non-expansion work) 等於電池的標準電勢乘以法拉第常數和電子數。
然而，題目問的是「generate the most work」，這通常是指在標準狀態下，電池的最大電功。
電化學電池所能做的最大電功 $W_{max}$ 與標準電池電勢 $E^\circ_{cell}$ 之間的關係為：
$W_{max} = -nFE^\circ_{cell}$
其中 $n$ 是反應中轉移的電子數，$F$ 是法拉第常數 ($96485 \text{ C/mol}$)，$E^\circ_{cell}$ 是標準電池電勢。
這裡的負號表示系統對外界做功。為了比較「產生功的大小」，我們比較 $|W_{max}| = nFE^\circ_{cell}$。
由於 $F$ 是常數，所以最大的功對應於最大的 $nE^\circ_{cell}$ 值。

我們需要計算每個選項的 $nE^\circ_{cell}$ 值。
(a) Zn + 2MnO₂ → ZnO + H₂O + Mn₂O₃

• 氧化半反應：Zn → Zn²⁺ + 2e⁻ (n=2)
• 還原半反應：2MnO₂ + H₂O + 2e⁻ → Mn₂O₃ + 2OH⁻ (假設)
• 題目給定的 $E^\circ_{cell} = 1.50 \text{ V}$。
• $nE^\circ_{cell} = 2 \times 1.50 \text{ V} = 3.00 \text{ V}$。
• （注意：這裡的反應式和電勢值需要仔細核對，因為 MnO₂ 的還原產物可能有多種情況。但題目給定了 $E^\circ_{cell}$，我們直接使用。）

此題考查金屬腐蝕的產物，特別是銀在海水環境中的腐蝕，並結合提供的線索進行推斷。

線索：

1. 銀幣腐蝕：銀 (Ag) 容易被氧化，尤其是在有硫化物存在的環境中。
2. 海水環境：
   • pH ≈ 8.2：海水是微鹼性的。
   • 不同於空氣的氣體成分：海水溶解的氣體與空氣不同。
   • 第 6A 族元素：第 6A 族元素包括氧 (O)、硫 (S)、硒 (Se)、碲 (Te) 等。在海水和生物體系中，硫化物 (S²⁻) 和硫酸鹽 (SO₄²⁻) 是常見的。
   • 退化的木箱：木材分解可能產生有機物，包括一些含硫有機物，或在缺氧環境下產生硫化物。
   • 海洋貝殼：貝殼的主要成分是碳酸鈣 (CaCO₃)。

分析銀的腐蝕產物：

• 銀 (Ag) 在海水中的腐蝕，最可能與環境中的硫化物或溶解的氧氣反應。
• 硫化物 (S²⁻) 是第 6A 族元素，在海洋生物活動和有機物分解中常見。銀與硫化物反應會形成不溶性的硫化銀 (Ag₂S)。
• 氧氣 (O₂) 溶解在海水中，銀也可能與氧氣和水反應生成氧化銀 (Ag₂O)。
• 考慮到第 6A 族元素的提示，硫化物 (S²⁻) 的存在可能性很高。因此，銀硫化物 (silver sulfide, Ag₂S) 是非常可能的腐蝕產物。

此題考查常見氧化物的化學式。

氧化鋁 (aluminum oxide) 的化學式是根據鋁和氧的常見化合價來確定的。

• 鋁 (Al) 是第 13 族元素，通常形成 +3 的陽離子 (Al³⁺)。
• 氧 (O) 是第 16 族元素，通常形成 -2 的陰離子 (O²⁻)。

為了形成中性化合物，陽離子的總正電荷必須等於陰離子的總負電荷。
設化學式為 AlₓO<0xE1><0xB5><0xA7>。
則 $x \times (+3) + y \times (-2) = 0$。

此題考查鎵 (Ga) 和溴 (Br) 形成的化合物的化學式。

鎵 (Ga) 位於第 13 族，與鋁 (Al) 同族，通常形成 +3 的陽離子 (Ga³⁺)。
溴 (Br) 是鹵素，位於第 17 族，通常形成 -1 的陰離子 (Br⁻)。

為了形成中性化合物，陽離子的總正電荷必須等於陰離子的總負電荷。
設化合物的化學式為 GaₓBr<0xE1><0xB5><0xA7>。
則 $x \times (+3) + y \times (-1) = 0$。
最小的整數解是 $x=1$ 和 $y=3$。

核心觀念

本題考查金屬置換反應與標準還原電位。金屬 $M$ 能否將鉛從硝酸鉛中置換出來，可表示為：

判斷條件為：

1. 金屬 $M$ 的還原電位比 $\mathrm{Pb^{2+}/Pb}$ 更負，代表 $M$ 較容易被氧化。
2. 反應的標準電池電位 $E^\circ_{\text{cell}}>0$，則熱力學上具有自發性。

鉛的標準還原電位為：

各金屬的標準還原電位如下：

上述四種金屬的還原電位皆低於鉛，因此皆比鉛容易被氧化，熱力學上均能還原 $\mathrm{Pb^{2+}}$。

解題方法

金屬 $M$ 作為陽極，被氧化；鉛離子作為陰極，被還原：

標準電池電位為：

只要 $E^\circ_{\text{cell}}>0$，即表示反應可自發進行。

以鋅為例：

因此：

反應具有自發性。其餘金屬的計算結果同樣為正值。

選項分析

(a) Na