108 年 國立成功大學材料科學及工程學系碩士班《材料力學》

動態回復 (Dynamic Recovery) 是指在持續變形過程中，位錯結構的重組與消除。對於面心立方 (FCC) 晶體而言，動態回復的發生與否及難易程度，與堆疊錯誤能 (Stacking Fault Energy, SFE) 有關。

堆疊錯誤能較低的 FCC 晶體，其堆疊錯誤的形成能較低，這使得位錯更容易發生交叉滑移 (cross-slip) 和攀移 (climb) 等運動，進而促進動態回復。當位錯容易滑移和攀移時，它們可以相互湮滅，或者形成位錯牆 (dislocation walls) 和胞壁 (cell walls)，從而降低位錯密度，達到回復的目的。

晶粒成長 (Grain Growth) 是多晶材料在加熱過程中，為了降低總表面能而發生的現象。在這個過程中，較小的晶粒會被較大的晶粒吞併，導致平均晶粒尺寸增大。

對於高純度多晶材料，在溫度足夠高（通常大於約 0.3-0.4 $T_m$，其中 $T_m$ 為熔點）且無其他雜質或第二相阻礙時，晶粒成長的動力學通常遵循以下關係：

$D = D_0 + kt^n$

其中 $D$ 是平均晶粒尺寸，$D_0$ 是初始晶粒尺寸，$k$ 是一個與溫度相關的常數，$t$ 是時間，$n$ 是一個指數。

在許多情況下，特別是當初始晶粒尺寸 $D_0$ 相對於最終尺寸很小時，或者我們關注的是時間較長後的成長行為時，可以近似認為 $D \propto t^n$。

核心觀念

冷加工金屬經退火時，會依序發生：

1. 回復（recovery）
2. 再結晶（recrystallization）
3. 晶粒成長（grain growth）

再結晶是由新的、幾乎沒有殘留應變的晶粒形成並長大。再結晶後的晶粒尺寸，主要受到下列因素控制：

• 冷加工量
• 退火溫度與時間
• 冷加工前的初始晶粒尺寸

一般而言，冷加工量越大，再結晶形核位置越多，形成的再結晶晶粒越細；退火溫度越高或時間越長，晶粒成長越明顯，晶粒尺寸通常越大。

純度則主要影響再結晶的開始溫度與再結晶速率，而不是再結晶晶粒尺寸的主要控制參數。

解題方法

判斷各選項是否會影響再結晶晶粒尺寸：

• 若因素會改變再結晶形核數量，通常會影響晶粒尺寸。
• 若因素會改變晶粒邊界移動或晶粒成長速率，也可能影響晶粒尺寸。
• 若因素主要只影響再結晶發生的難易與速率，則不屬於再結晶晶粒尺寸的主要敏感參數。

再結晶晶粒尺寸可用形核與成長概念理解。若單位體積中的形核數量增加，晶粒彼此較早相遇，最終晶粒尺寸較小；若形核數量較少，晶粒可長得較大。

冷加工量增加時，儲存能增加，可提供更多形核位置，因此：

$$\text{冷加工量增加} \Rightarrow \text{形核數增加} \Rightarrow \text{再結晶晶粒變細}$$

退火溫度提高時，原子擴散與晶界移動較快，晶粒成長較容易，因此晶粒尺寸會受到影響。

選項分析

(a) annealing temperature

退火溫度會影響原子擴散速率、再結晶速率以及晶界移動速率。溫度較高時，晶粒成長較快速，容易得到較粗大的再結晶晶粒。

核心觀念

Secondary recrystallization（二次再結晶）是指在初次再結晶完成後，少數晶粒因晶界遷移能力較強而異常長大，吞併周圍晶粒的現象，也稱為 abnormal grain growth。

其主要驅動力是降低晶界總面積，進而降低材料的界面能。晶界能可表示為

$$G=\gamma A$$

其中：

• $G$：晶界所具有的界面能
• $\gamma$：單位面積晶界能
• $A$：晶界總面積

晶粒長大時，晶界總面積 $A$ 減少，因此系統自由能降低。二次再結晶的核心機制，是少數晶粒在適當的晶界能與晶界遷移條件下持續長大。

解題方法

判斷各選項所代表的能量來源或微觀機制：

1. 若是冷加工後形成的新晶粒，主要驅動力是冷加工所儲存的應變能，屬於初次再結晶。
2. 若是初次再結晶後少數晶粒異常長大，主要驅動力是降低晶界面積與界面能，屬於二次再結晶。
3. Recovery（回復）是降低缺陷密度與內部應變能的過程，不是二次再結晶的主要驅動力。
4. Nucleation（成核）是初次再結晶的重要步驟；二次再結晶的主要特徵則是既有晶粒的選擇性長大。

因此，本題應選擇與界面能降低相關的選項，即 surface energy。

選項分析

(a) surface energy：正確

二次再結晶本質上是晶粒異常長大。晶粒長大會使晶界面積減少，降低晶界能，形成晶界遷移的驅動力。因此，surface energy 是本題正確答案。

這是一個關於影響再結晶 (Recrystallization) 的因素的題目，詢問哪個因素的影響「最小」。再結晶是一個在冷加工後，材料通過加熱形成新的、無應變晶粒的過程。影響再結晶的因素主要有：

1. 退火溫度 (Temperature)：溫度是影響再結晶動力學（形核率和長大速率）的最重要因素之一。溫度越高，原子擴散越快，再結晶越容易發生，且通常導致較大的晶粒尺寸。
2. 變形量 (Strain or degree of cold work)：冷加工引入的應變能是再結晶的主要驅動力。變形量越大，儲存的應變能越多，形核率越高，再結晶越容易發生，且通常導致較小的再結晶晶粒尺寸。
3. 原始晶粒尺寸 (The original grain size)：原始晶粒尺寸越小，單位體積內的晶界面積越大，提供了更多的形核位置，再結晶越容易發生，且通常導致較小的再結晶晶粒尺寸。
4. 金屬純度/成分 (Composition/Purity)：雜質或合金元素會影響晶界移動，可能抑制或促進再結晶。例如，固溶雜質或第二相粒子可以釘紮晶界，延緩再結晶的發生和晶粒成長。

核心觀念

本題考查相平衡與相圖（Phase Diagrams）中關於相變態的基礎名詞定義，特別是相變態時成分是否改變的分類：

1. 一致相變／同成分相變（Congruent phase transformation）：相變態過程中，新相與母相具有相同的化學成分，且在恆溫下進行（例如純元素的熔化／凝固、同成分融化／凝固化合物等）。
2. 不一致相變（Incongruent phase transformation）：相變過程中至少有一相的化學成分與其他相不同，反應前後各相成分發生變化（例如共晶、共析、包晶等三相不變反應）。
3. 吉布斯相律（Gibbs Phase Rule）： $$P + F = C + 1 \quad (\text{定壓系統})$$ 當液相凝固（Freezing）且在無成分變化（純物質或同成分化合物，等效組元數 $C=1$）且兩相平衡（$P=2$：液相與固相）時，自由度 $F = 1 - 2 + 1 = 0$。此時凝固過程必然維持於恆定溫度，稱為 Congruent point（一致熔點／凝固點）。

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解題方法

由題幹敘述切入：

• "Freezing"：液相轉變為固相的凝固過程。
• "without change in composition"：成分不發生變化（即產物固相與母液相成分完全相同）。
• "or temperature"：在等溫下進行（維持固定溫度）。

在熱力學與相圖定義中：

• 只要一個相轉變為另一個相（例如 Liquid $\rightarrow$ Solid）時，兩相的化學成分完全相同且在單一恆定溫度下完成，該類相變即定義為 Congruent transformation，其對應的溫度與成分點稱為 Congruent point。

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選項分析

• (a) eutectoid（共析點）：錯誤。
  • 定義為一個固相在高溫冷卻時分解為兩個不同成分的新固相： $$\gamma \xrightarrow{\text{冷卻}} \alpha + \beta$$
  • 此反應涉及的是「固相變固相」（Solid-state transformation），並非凝固（Freezing）；

題目描述的是一種相變反應：固體 (Solid) 與液體 (Liquid) 反應，生成一種「新的且不同的固體相 (new and different solid phase)」。這種反應類型在二元相圖中稱為 包晶反應 (Peritectic Reaction)。

• (a) Peritectic (包晶反應)：固相 + 液相 → 新固相。例如，在 Fe-C 相圖中，δ-Fe (固) + L → γ-Fe (固)。這完全符合題目的描述。
• (b) Eutectic (共晶反應)：液相 → 兩種固相。

霍爾-佩奇 (Hall-Petch) 方程式是材料科學中一個重要的關係式，它描述了材料的屈服強度 (Yield Strength, $\sigma_y$) 或其他強度參數與晶粒尺寸 (d) 之間的關係：

$\sigma_y = \sigma_0 + k_y d^{-1/2}$

其中 $\sigma_0$ 是材料的固有強度（當晶粒尺寸趨於無限大時的強度），$k_y$ 是霍爾-佩奇常數。這個方程式表明，隨著晶粒尺寸的減小，材料的強度（通常指屈服強度）會增加。

題目詢問關於霍爾-佩奇方程式哪個陳述是正確的。

• (a) conductivity (導電率)：導電率主要與材料的電子結構、晶格缺陷、雜質等有關，與晶粒尺寸的關係不直接由霍爾-佩奇方程式描述。

微偏析 (Microsegregation) 是指在固化過程中，由於溶質原子在固相和液相之間的分配係數不等於 1，導致形成的固體中，不同區域的成分存在差異的現象。這種現象在鑄造過程中尤為常見。

• (a) dendritic spacing (樹枝狀間距)：在鑄造過程中，由於溶質的偏析，固體從液體中析出時，會在枝晶臂之間形成成分差異。樹枝狀結構 (dendrites) 的形成與微偏析密切相關。枝晶臂之間的間距 (dendritic spacing) 是衡量微偏析程度的一個指標。較大的枝晶間距通常意味著較嚴重的成分偏析。

微偏析 (Microsegregation) 是指在固化過程中，由於溶質原子在固相和液相之間的分配係數不等於 1，導致形成的固體中，不同區域的成分存在差異的現象。這種現象主要發生在 固化 (Solidification) 過程中。

• (a) Dislocations (位錯)：位錯是晶體中的線缺陷，與固態材料的力學性能有關，與固化過程中的成分偏析無關。

人工時效 (Artificial Aging) 是指將過飽和固溶體合金（如鋁合金）在一定溫度下加熱，以促進溶質原子在固溶體基體中形成析出相，從而提高材料的硬度和強度。這個過程稱為沉澱硬化 (Precipitation Hardening)。

題目問哪個選項「不支援」人工時效中，提高硬度和強度的「主導因素」。

• (a) Diffusional phenomenon (擴散現象)：沉澱硬化過程的核心是溶質原子的擴散。為了形成 GP 區或穩定的沉澱相，溶質原子需要在基體中移動並聚集。因此，擴散是沉澱硬化的基礎。

DBTT 是指脆-韌轉變溫度 (Ductile-Brittle Transition Temperature)。在這個溫度以下，材料表現為脆性斷裂；在這個溫度以上，材料表現為韌性斷裂。這個概念主要應用於具有體心立方 (BCC) 結構的材料，如低碳鋼。

題目問哪個選項與 DBTT 的問題「相關」或「支持」。
DBTT 的存在意味著材料在低溫下會變得脆性，而韌性會顯著下降。

• (a) Superplasticity (超塑性)：超塑性是指材料在特定條件下（通常是高溫、慢應變率）能產生極大的塑性變形能力。DBTT 主要與低溫下的脆性行為有關，與超塑性沒有直接聯繫。
• (b) Tensile strength (抗拉強度)：抗拉強度是指材料在拉伸過程中能承受的最大應力。

PFZ 是指 Precipitation Free Zone (無沉澱區)。

在某些合金（例如某些鋁合金）的時效過程中，尤其是在晶界附近，可能會形成無沉澱區。這是因為溶質原子在晶界處的濃度梯度以及晶界處的原子排列方式，會影響沉澱相的形核。在某些情況下，晶界附近的區域可能由於溶質的消耗或某些特殊的形核條件，導致在緊鄰晶界的一定寬度範圍內，幾乎沒有沉澱相形成。這個區域就稱為 PFZ。

GP 區 (Guinier-Preston zone) 是過飽和固溶體合金（如某些鋁合金）在低溫時效過程中形成的過渡沉澱相。它們通常是溶質原子在基體中形成的尺寸非常小（原子級別）的富集區域。

GP 區的存在對材料的力學性能有顯著影響：

1. 增加硬度和強度 (Increasing strength)：GP 區對位錯的運動產生強烈的阻礙作用，因為它們在尺寸、晶格常數或晶格畸變上與基體存在差異。位錯在通過 GP 區時需要越過這些「屏障」，從而大大增加了材料的屈服強度和硬度。
2. 延性 (Ductility)：GP 區的存在通常會導致材料的延性略有下降，但與穩定的沉澱相相比，其對延性的影響相對較小。

機械孿晶 (Mechanical Twins)，也稱為形變孿晶 (Deformation Twins)，是一種固態相變，發生在材料受到應力作用時，晶體結構發生鏡像對稱的形變，形成孿晶。這種現象通常發生在具有特定晶體結構的材料中，特別是那些滑移 (slip) 系統較少或不易激活的材料。

在常見的金屬中，機械孿晶在以下晶體結構的材料中較為常見：

• 六方密堆積 (HCP)：如鎂 (Mg)、鈦 (Ti)、鋅 (Zn) 等。HCP 材料的滑移系統相對較少，在某些應力方向下，孿晶滑移比普通滑移更容易激活。
• 體心立方 (BCC)：如鐵 (Fe) 在低溫下、鎢 (W)、鉬 (Mo) 等。

麻田散鐵 (Martensite) 是鋼在淬火過程中形成的亞穩態相，其內部結構可以分為兩種：孿晶麻田散鐵 (Twinned Martensite) 和變形麻田散鐵 (Deformation Martensite)。它們的主要區別在於麻田散鐵板條 (martensite laths) 或板塊 (plates) 的內部結構。

• 孿晶麻田散鐵 (Twinned Martensite)：主要存在於碳含量較低的鋼中。其特點是麻田散鐵板條內部由許多細小的孿晶組成。這些孿晶的形成是為了釋放淬火過程中產生的應力，並非由外力引起。
• 變形麻田散鐵 (Deformation Martensite)：主要存在於碳含量較高的鋼中。其特點是麻田散鐵板條內部以位錯為主，而不是孿晶。這是因為高碳含量導致了更大的晶格畸變，使得位錯滑移成為主要的應力釋放機制。

區分這兩者的關鍵在於麻田散鐵內部結構的差異，即是否存在孿晶。

• (a) hardness of tempered (回火硬度)：回火後的硬度會受到麻田散鐵結構的影響，但這不是最直接的區分方法。

核心觀念

本題考查「無擴散相變態」（diffusionless transformation）的基本特徵，代表性例子是鋼中的麻田散變態（martensitic transformation）。

無擴散相變態具有以下特性：

1. 原子不需要長距離擴散，只需在原位置附近作協同、剪切式位移。
2. 母相與新相之間具有明確的晶格對應關係。
3. 相界面通常具有高度共格性，或在實際材料中呈現半共格性。
4. 相變會產生明顯的形狀變化與表面浮凸。
5. 顯微組織常呈板條狀、片狀、針狀或竹葉狀。

其本質可用「不變平面應變」描述，形變通常包含剪切分量與體積變化：

$$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{R} \left( \boldsymbol{I} + \boldsymbol{s}\otimes\boldsymbol{n} \right)$$

其中 $\boldsymbol{s}$ 為剪切向量，$\boldsymbol{n}$ 為相界面法向量。這種剪切式形變會使試片表面產生可觀察的浮凸。

解題方法

判斷選項時，以「麻田散變態的組織、界面與形變特徵」為切入點：

• 若描述晶格協同位移、共格界面或表面浮凸，屬於無擴散相變態的典型特徵。
• 若描述高碳麻田散鐵常見的針狀或竹葉狀形貌，也屬於典型顯微組織。
• 若描述非晶質，則與無擴散相變態所要求的晶格對應關係不符。

選項分析

(a) coherent structure

正確。

無擴散相變態要求母相原子以協同方式位移，因此新相與母相之間必須維持明確的晶格對應關係。相變初期的界面可具有共格性（coherent interface），使原子能夠以有規則的方式由母相排列轉變為新相排列。

實際材料中，由於晶格失配與相變應變的累積，界面常由完全共格逐漸轉為半共格，但「共格結構」仍是無擴散相變態的重要理想特徵。

(b) 2D surface relief

正確。

核心觀念

TTT（Time–Temperature–Transformation）圖描述材料在固定溫度下，經過不同時間所發生的相變態。相變態速率主要受到兩項因素共同控制：

1. 熱力學驅動力：促使母相轉變為新相的自由能差。
2. 原子擴散能力：原子能否迅速移動至新相所需的位置。

降溫時，母相與低溫穩定相之間的自由能差增大，因此相變態的熱力學驅動力增加。以自由能表示：

$$\Delta G_{\text{driving}}=G_{\text{母相}}-G_{\text{新相}}$$

降溫後，$\Delta G_{\text{driving}}$ 通常變大，使新相成核較容易，因而可縮短相變態所需時間。

不過，溫度過低時，擴散速率會因活化能作用而大幅降低：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

因此 TTT 圖中的轉變時間並非隨溫度降低而永遠縮短，而是先因驅動力增加而縮短，低於鼻部溫度後又因擴散過慢而延長。題目所指的「低溫轉變時間短」，是指低溫下較大的過冷度與驅動力使轉變容易發生。

解題方法

判斷相變態時間的主要原因，可由成核自由能障礙分析：

$$\Delta G^* \propto \frac{\gamma^3}{(\Delta G_{\text{driving}})^2}$$

其中 $\gamma$ 是新相與母相之間的界面能，$\Delta G_{\text{driving}}$ 是轉變的熱力學驅動力。

當溫度降低時，過冷度增加，$\Delta G_{\text{driving}}$ 增大，使成核能障礙 $\Delta G^*$ 降低。因此新相較容易形成，孕育時間與整體轉變時間可縮短。

所以本題應選擇代表「熱力學驅動力大」的選項。

選項分析

(a) down hill

核心觀念

本題考查六方最密堆積（HCP）晶體中，基底面方向的夾角計算。

HCP 晶體採用四指標方向表示法：

$$[u\,v\,t\,w]$$

其中基底面方向滿足：

$$u+v+t=0$$

題目中的兩個方向為：

$$[\bar{1}\,\bar{1}\,2\,0] \quad\text{與}\quad [\bar{1}\,2\,\bar{1}\,0]$$

兩者的 $w=0$，因此皆位於 basal plane（基底面）內。

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解題方法

在六方晶系中，基底面內三個晶軸 $a_1$、$a_2$、$a_3$ 彼此夾角為 $120^\circ$。對於兩個基底面方向：

$$[u\,v\,t\,0],\qquad [u'\,v'\,t'\,0]$$

其夾角 $\theta$ 可由下式求得：

$$\cos\theta = \frac{uu'+vv'+tt'} {\sqrt{(u^2+v^2+t^2)(u'^2+v'^2+t'^2)}}$$

代入本題數值：

$$(u,v,t)=(-1,-1,2)$$ $$(u',v',t')=(-1,2,-1)$$

先計算分子：

$$uu'+vv'+tt' =(-1)(-1)+(-1)(2)+(2)(-1)$$ $$=1-2-2=-3$$

再計算分母：

$$u^2+v^2+t^2=1+1+4=6$$ $$u'^2+v'^2+t'^2=1+4+1=6$$

因此：

核心觀念

本題利用粉末 X 光繞射峰的繞射條件，判斷金屬的晶體結構。核心是晶格的結構因子（structure factor）所造成的系統性消光：

• 體心立方（BCC）：只有當
  $h+k+l=\text{偶數}$
  時，該晶面反射才會出現。
• 面心立方（FCC）：只有當 $h,k,l$ 全為奇數或全為偶數 時，反射才會出現。

題目給出的 Miller indices 為：

$$(200),\ (220),\ (222),\ (310),\ (400)$$

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解題方法

先檢查各晶面的 $h+k+l$：

$$\begin{array}{c|c} \text{晶面} & h+k+l\\ \hline (200) & 2\\ (220) & 4\\ (222) & 6\\ (310) & 4\\ (400) & 4 \end{array}$$

所有反射均滿足：

$$h+k+l=\text{偶數}$$

因此這組繞射峰符合 BCC 晶格的允許反射條件。

BCC 的結構因子可寫為：

$$F=f\left[1+\exp\left(i\pi(h+k+l)\right)\right]$$

當 $h+k+l$ 為偶數時：

$$F=2f$$

反射存在；當 $h+k+l$ 為奇數時：

$$F=0$$

反射消失。

其中 $(310)$ 特別具有判別力：

• $3+1+0=4$，符合 BCC；
• $h,k,l$ 並非全奇或全偶，不符合 FCC。

核心觀念

六方最密堆積（HCP）晶體的軸比定義為

$$\frac{c}{a}$$

其中：

• $a$：六方底面晶格常數；
• $c$：六方晶胞的垂直軸長。

若將原子視為硬球，理想 HCP 結構的軸比為

$$\left(\frac{c}{a}\right)_{\text{ideal}} =\sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.633$$

題目要求判斷哪些金屬的實際 $c/a$ 比小於 $1.63$。因此只需比較各元素 HCP 結構的實際軸比。

解題方法

查用常見金屬晶體結構與軸比資料：

$$\begin{array}{c|c} \text{元素} & c/a \\ \hline \text{Co} & 1.622 \\ \text{Zr} & 1.593 \\ \text{Mg} & 1.624 \\ \text{Zn} & 1.856 \end{array}$$

將各數值與 $1.63$ 比較即可：

$$1.622<1.63,\qquad 1.593<1.63,\qquad 1.624<1.63$$

而

$$1.856>1.63$$

因此符合條件者為 Co、Zr、Mg。

選項分析

(a) Cobalt（鈷）

核心觀念

本題考查合金元素在鋁中的固態溶解度，以及二元相圖的判讀。所謂「完全溶解」是指合金元素能以置換型固溶方式大量溶入鋁的晶格中，而不易形成大量第二相或金屬間化合物。

判斷固溶度時，可利用 Hume–Rothery 固溶規則：

1. 溶質與溶劑的原子半徑差宜小於約 $15\%$。
2. 晶體結構越相近，越有利於形成固溶體。
3. 化學性質與電負度差異越小，固溶度通常越高。
4. 價電子數差異太大，容易降低固溶度並形成化合物。

鋁為面心立方晶格（FCC），而各元素在鋁中的實際固溶度仍須以 Al–X 二元相圖為準。

解題方法

比較各元素在鋁中的最大固態溶解度：

• Mn 在鋁中的固溶度很低，容易形成 Al–Mn 金屬間化合物。
• Si 與鋁形成共晶系統，在鋁固溶體中的溶解度有限。
• Cu 可溶入鋁，但最大固溶度約為 $5.65\ \text{wt\%}$，仍屬有限固溶。
• Zn 與鋁的原子尺寸相近，且在高溫下可大量溶入鋁，其固溶度遠高於其他選項。

因此，四個選項中以 Zn 在鋁中的固溶能力最強，為本題所稱具有完全或近似完全固溶特性的元素。

選項分析

(a) Manganese（錳）

自擴散活化能 ($Q_d$) 是指原子克服勢壘從一個位置擴散到另一個位置所需的能量。一般來說，自擴散活化能與金屬的熔點、結合能以及晶體結構有關。

對於金屬的自擴散，活化能通常與以下因素相關：

1. 熔點 (Melting Point)：熔點越高的金屬，其原子間結合越牢固，克服勢壘所需的能量也越高，因此自擴散活化能通常也越高。
2. 結合能 (Bonding Energy)：原子間的結合能越大，擴散活化能越高。
3. 晶體結構：不同晶體結構的原子堆積方式和空隙大小會影響擴散路徑和勢壘。

我們需要比較選項中金屬的自擴散活化能。通常，可以參考其熔點作為一個初步的判斷依據。

自擴散 (Self-diffusion) 是指在純元素或相同成分的固溶體中，原子通過移動來實現的擴散過程。在晶體材料中，自擴散的發生主要依賴於晶體點缺陷的存在。

• (a) Dislocation (位錯)：位錯是晶體中的線缺陷，雖然位錯線附近可能存在較鬆散的原子排列，有助於原子移動（稱為「位錯擴散」或「管道擴散」），但它通常不是體系中主要的自擴散機制，除非在非常低的溫度下或特殊情況。
• (b) Vacancy (空位)：空位是晶體中原子所佔據的位置缺少一個原子的點缺陷。自擴散的主要機制是「空位機制」，即一個原子從其正常位置移動到相鄰的空位中，從而留下一個新的空位，這個過程不斷重複，實現了原子的遷移。因此，空位是自擴散的主導缺陷。

核心觀念

本題考查兩個材料科學的重要概念：

1. 擴散係數 $D$ 與擴散路徑
2. 高溫潛變與晶粒界面的影響

擴散係數通常遵循 Arrhenius 關係：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

其中：

• $D_0$：頻率因子
• $Q$：擴散活化能
• $R$：氣體常數
• $T$：絕對溫度

擴散活化能越低，擴散係數 $D$ 越大。不同擴散路徑的快慢通常為：

$$D_{\text{表面}} > D_{\text{晶界}} > D_{\text{晶格}}$$

高溫潛變則常沿著晶界發生，晶界滑移與晶界擴散會降低材料的抗潛變能力。

解題方法

本題不需計算，可利用兩組判斷原則：

• 判斷擴散係數時，先確認晶體結構、擴散機制與擴散活化能。
• 判斷高溫潛變時，確認材料是否存在晶界，以及晶界是否會成為滑移或擴散的快速路徑。

逐一檢查四個選項即可判定正確答案。

選項分析

（a）Increasing the carbon concentration results in decreasing the diffusion coefficient $D$ for carbon in fcc-Fe.

此敘述錯誤。

在一般材料力學與材料科學基本模型中，擴散通量由 Fick 第一定律表示為：

$$J=-D\frac{dC}{dx}$$

其中 $D$ 是材料、擴散元素與溫度的函數，並非單純由碳濃度增加就必然降低。

對稀薄固溶體而言，碳在面心立方鐵中的擴散係數通常可視為與濃度無關，主要由 Arrhenius 關係決定：

$$D=D_0\exp\left(-\frac{Q}{RT}\right)$$

因此，不能直接說增加碳濃度必然造成 $D$ 降低。

（b）Single crystal turbine blades are more creep resistant than polycrystalline turbine blades at high temperature.

此敘述正確。

多晶材料含有大量晶界，而高溫下晶界可能造成：

題目問的是，在形成置換固溶體 (substitutional solid solution) 時，兩種金屬原子半徑的差異通常應小於多少百分比，才能使其具有較大的固溶度。這就是 希里法則 (Hume-Rothery Rules) 中的第一條規則。

根據希里法則，對於形成較大固溶度的二元合金，溶質原子和溶劑原子的原子半徑差異應小於約 15%。這個條件是為了確保置換原子能夠相對容易地進入溶劑的晶格中，而不會引起過大的晶格畸變，從而保持單一固溶體相的穩定性。

題目描述的是具有「陽離子與陰離子精確比例」的共價化合物，該比例由其化學式預測。這指的是化合物的化學計量比。

• (a) Tetragonal (四方)：這是一種晶體結構的分類，與化學計量比無關。
• (b) Octahedral (八面體)：這是一種幾何形狀，通常與配位數有關，與化學計量比無關。

題目描述了一種晶體缺陷，該缺陷涉及「陽離子空位 (cation-vacancy) 和陽離子間隙原子 (cation-interstitial)」。這種缺陷的特點是，在晶體中，陽離子從其正常位置移動到一個間隙位置，同時在原來的陽離子位置留下一個空位。

• (a) Frenkel defect (弗蘭克爾缺陷)：弗蘭克爾缺陷是指一個離子（通常是陽離子，因為陽離子通常較小）從其在晶格中的正常位置移動到一個間隙位置，同時在原來的正常位置留下一個空位。這個缺陷涉及到「離子空位」和「離子間隙原子」，並且它們的數量是相等的。這完全符合題目的描述。

核心觀念

固態相變態中，轉變分率 $F$ 表示經過時間 $t$ 後，已完成轉變的材料比例。題目給出的關係式為

$$F=1-\exp(-kt^n)$$

其中：

• $F$：轉變分率，範圍為 $0\leq F\leq 1$
• $t$：轉變時間
• $k$：與溫度、材料及轉變速率有關的常數
• $n$：反映成核與成長機制的指數，稱為 Avrami 指數

此式描述固態相變態隨時間增加而逐漸完成的動力學行為，正式名稱為 Avrami equation（Avrami 方程式），也常稱為 Johnson–Mehl–Avrami 方程式。

解題方法

直接比對題目中的公式與各選項所代表的物理定律或現象：

$$F=1-\exp(-kt^n)$$

這是描述轉變分率與時間關係的經驗式與動力學方程式，常用於分析析出、再結晶、共析轉變等固態相變態。

因此，題目所述的公式即為 Avrami equation。

選項分析

(a) Fick's 2nd Law

Fick 第二定律描述濃度隨時間與位置變化的擴散行為，通常寫成

$$\frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$$

其中 $C$ 為濃度，$D$ 為擴散係數。它的核心是濃度場的時空分布，並非題目中的轉變分率公式，因此錯誤。

(b) Kirkendall effect

題目問哪個相變過程「不涉及擴散」(does not involve diffusion)。擴散是指原子通過克服勢壘從一個位置移動到另一個位置的過程，通常需要時間和熱激活。

• (a) Precipitation transformation (沉澱轉變)：沉澱轉變是從過飽和固溶體中析出第二相的過程。這個過程需要溶質原子從基體中擴散出來，聚集形成沉澱相。因此，它涉及擴散。
• (b) Martensitic transformation (麻田散鐵轉變)：麻田散鐵轉變是一種無擴散相變 (diffusionless transformation)。在這個過程中，原子發生協同的位移，晶格發生形變，形成麻田散鐵相。原子不需要長時間的擴散來重新排列。

題目問的是，對於高純度金屬的擴散控制晶粒成長行為，哪個關係式最能描述晶粒直徑 D 與時間 t 的關係。

晶粒成長 (Grain Growth) 是指在加熱過程中，材料為了降低總晶界能而發生的晶粒尺寸增大的現象。這個過程通常由晶界移動驅動。

對於高純度金屬，在足夠高的溫度下（通常大於約 0.3-0.4 $T_m$），晶粒成長的動力學主要由晶界移動速率決定。晶界移動的驅動力是晶界能的降低。

理論模型表明，在許多情況下，晶粒成長的動力學遵循以下關係：

$D^n \propto t$

其中 $D$ 是平均晶粒尺寸，$t$ 是時間，$n$ 是一個指數。

對於由曲率驅動的晶界移動，通常預測 $n=2$。這意味著：
$D^2 \propto t$
或者
$D \propto t^{1/2}$

這個關係式表明，晶粒尺寸的平方與時間成正比。

題目描述了碳鋼在高溫下暴露於 CO+CH₄ 氣體混合物中，且碳活性 (ac) 大於 1 的情況。需要判斷發生的反應類型。

• 碳活性 (Carbon activity, $a_c$)：這是衡量氣體或材料中碳的「有效濃度」或「反應潛力」的指標。當碳活性大於 1 時，意味著氣體混合物中的碳含量或反應潛力高於標準狀態。
• 碳鋼 (Carbon steel)：主要成分是鐵和碳。
• CO+CH₄ 氣體混合物：這是一種富含碳的氣體。
• 高溫：提供反應所需的能量。

各向異性 (Anisotropy) 是指材料的性質（如力學、電學、光學性質）在不同方向上表現出差異的現象。在晶體材料中，這種性質的差異源於其內部原子排列的規則性，即晶體結構。

• (a) Structural symmetry (結構對稱性)：晶體的對稱性是導致其性質各向異性的根本原因。例如，立方晶系（如 FCC, BCC）通常具有各向同性的性質（在宏觀尺度上），因為其原子排列在所有方向上都具有高度的對稱性。而低對稱性的晶體（如單斜、三斜、六方）則更容易表現出明顯的各向異性。結構對稱性越高，各向異性越小；結構對稱性越低，各向異性越明顯。

核心觀念

本題考查面心立方結構（Face-Centered Cubic, FCC）的原子堆積因子，亦稱 atomic packing factor, APF：

$$\text{APF} = \frac{\text{單位晶胞內原子總體積}} {\text{單位晶胞體積}}$$

FCC 單位晶胞包含：

• 8 個角落原子，每個貢獻 $\frac{1}{8}$ 個原子：

  $8 \times \frac{1}{8}=1$

• 6 個面心原子，每個貢獻 $\frac{1}{2}$ 個原子：

  $6 \times \frac{1}{2}=3$

因此，FCC 每個單位晶胞共有：

$$N=1+3=4\text{ 個原子}$$

解題方法

FCC 原子沿著面對角線相互接觸。若原子半徑為 $r$、晶格常數為 $a$，則面對角線長度為：

$$\sqrt{2}a$$

面對角線上排列四個原子半徑：

$$\sqrt{2}a=4r$$

因此：

$$a=2\sqrt{2}r$$

單位晶胞內 4 個原子的總體積為：

$$V_{\text{atoms}} = 4\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{16}{3}\pi r^3$$

立方單位晶胞體積為：

$$V_{\text{cell}}=a^3 = (2\sqrt{2}r)^3 = 16\sqrt{2}r^3$$

所以 FCC 的原子堆積因子為：

線密度 (Linear Density, LD) 是指在晶體材料的特定方向上，單位長度內包含的原子數。它用來描述原子在某一晶體方向上的排列緊密程度。

• (a) the radius of atoms per unit length：這不是線密度。
• (b) the number of atoms per unit length：這正是線密度的定義。

題目給出了晶體結構的原子座標：(0, 0, 0) 和 (1/2, 1/2, 1/2)。這是在單位胞 (unit cell) 內的相對座標。

• (0, 0, 0)：這通常代表單位胞的角點位置，所有晶體結構都有角點。
• (1/2, 1/2, 1/2)：這個座標表示單位胞的體中心位置。

我們來分析常見的晶體結構：

• 簡單立方 (Simple Cubic, SC)：原子只位於單位胞的角點上 (0, 0, 0)。

核心觀念

六方晶體的方向通常以四指標 Miller–Bravais 系統表示：

$[uvtw]$

其中前三個指標分別對應位於同一基面內、彼此相隔 $120^\circ$ 的三條晶軸，第四個指標 $w$ 對應垂直於基面的 $c$ 軸。

由於前三條基面軸並非彼此獨立，四指標必須滿足：

$u+v+t=0$

因此：

$t=-(u+v)$

這就是六方晶體方向指標的基本限制式。

解題方法

題目將三指標系統

$[u'v'w']$

轉換為四指標系統

$[uvtw]$

要求定義第四條基面軸的方向指標 $t$。六方晶體的四指標系統必須符合：

$u+v+t=0$

移項可得：

$\boxed{t=-(u+v)}$

因此正確選項為 (a)。

三指標轉換時，常見關係式可寫為：

$$u=\frac{2u'-v'}{3},\qquad v=\frac{2v'-u'}{3},\qquad t=-\frac{u'+v'}{3},\qquad w=w'$$

由上述式子也可驗證：

$$u+v = \frac{2u'-v'+2v'-u'}{3} = \frac{u'+v'}{3}$$

所以：

$$t=-\frac{u'+v'}{3}=-(u+v)$$

選項分析

面密度 (Planar Density, PD) 是指在晶體材料的特定晶面上，單位面積內包含的原子數。它用來描述原子在某一晶面上的排列緊密程度。

• (a) the number of atoms per unit volume that are centered on a plane：這不是面密度。單位體積的原子數是體密度。

繞射儀 (Diffractometer) 是一種用於 X 射線繞射 (X-ray Diffraction, XRD) 或其他形式的繞射實驗的儀器。其主要目的是測量當入射的 X 射線（或其他輻射）與樣品（如粉末樣品）相互作用時，在不同角度下產生的繞射強度。

根據布拉格定律 (Bragg's Law)，$n\lambda = 2d\sin\theta$，繞射峰出現在特定的角度 $\theta$ 處，這些角度由晶體結構中的原子平面間距 $d$ 和 X 射線波長 $\lambda$ 決定。

核心觀念

本題考查金屬板材的主要製造方法，以及「軋延」與「擠製」在產品形狀與生產方式上的差異。

金屬板材通常以軋延製造。軋延是將金屬坯料通過旋轉方向相反的軋輥，使材料受到壓縮，厚度減小、長度增加。塑性變形近似遵守體積不變：

$$A_0L_0 \approx A_fL_f$$

其中 $A$ 為材料截面積，$L$ 為長度。當板材厚度減小時，材料會沿軋延方向延伸，因此適合連續生產長尺寸金屬板帶。

依加工溫度可分為：

• 熱軋（hot rolling）：在再結晶溫度以上加工，變形抗力較低，適合大幅度減薄及大量生產。
• 冷軋（cold rolling）：在再結晶溫度以下加工，尺寸精度與表面品質較佳，但加工硬化會使變形抗力增加。
• 熱軋後冷軋：先利用熱軋完成大量減薄，再以冷軋改善厚度精度、表面品質與機械性質，是常見的板材製程組合。

擠製則是將金屬坯料由模具孔口擠出，產品主要是具有固定截面形狀的長條材，例如棒材、管材、角型材與複雜截面型材，並非長尺寸金屬薄板的主要製造方法。

解題方法

判斷各選項是否為「通常用來製造長尺寸金屬板材」的方法，重點在於：

1. 該製程是否能連續使板材厚度降低並延伸。
2. 該製程是否適合板材的大量、長尺寸生產。
3. 該製程的主要產品是否為板材，而非固定截面長條材。

凡是以軋輥連續壓延板坯，使厚度降低、長度增加的方法，均屬於本題所問的常用方法。

選項分析

（a）冷軋（cold rolling）

正確。

冷軋是在再結晶溫度以下進行軋延。板材通過軋輥後，厚度減小、長度增加，可連續製造長尺寸的金屬板帶。

冷軋具有下列優點：

• 厚度控制精確；
• 表面品質良好；
• 可提高降伏強度與抗拉強度；
• 適合製造薄板與精密板材。

其限制是材料會產生加工硬化，後續變形所需的軋製力增大，因此冷軋通常不負責最初的大幅度減厚，而是在熱軋後進行精加工。

因此，冷軋是製造長尺寸金屬板材的常用方法。

（b）熱軋（hot rolling）

正確。

熱軋是在再結晶溫度以上進行。由於高溫會降低材料的降伏強度與變形抗力，金屬坯料可以承受較大的塑性變形，適合進行大量減厚。

熱軋常用於：

• 將鑄造板坯加工成板材；
• 大幅降低厚度；
• 生產鋼板、鋁板及其他金屬板帶；
• 連續製造長尺寸板材。

題目問的是，屈服強度 (Yield Strength) 是在發生多少比例的塑性應變時被定義的。

屈服強度是指材料開始發生顯著塑性變形的應力。在真實的工程應用中，材料的應力-應變曲線並非總是具有非常清晰的屈服點（例如，圓滑的過渡）。因此，通常採用 0.2% 塑性應變 作為定義屈服強度的標準。

題目描述了極限抗拉強度 (Ultimate Tensile Strength, UTS) 是工程應力-應變曲線上的最大應力點。接著問，在 UTS 之後，工程應力在斷裂前下降得越多，表示材料具有什麼特性。

工程應力-應變曲線的形狀反映了材料的力學行為：

• 彈性區：應力與應變成正比。
• 屈服點：材料開始發生顯著塑性變形。
• 加工硬化區：材料的應力隨應變增加而增加，強度提高，但延性也隨之增加。
• 極限抗拉強度 (UTS)：應力達到最大值。
• 應力下降區：在 UTS 之後，工程應力開始下降，直到斷裂。這個下降是由於材料頸縮 (necking) 現象引起的，即材料在某一點發生局部塑性變形，導致其橫截面積急劇減小，雖然真實應力（真實應力 = 工程應力 × (1 + 工程應變) / (1 + 工程應變) × (A₀/A)）仍在增加，但工程應力（工程應力 = 力 / 原始面積 A₀）下降。

當金屬經過重度冷加工 (heavily cold worked) 後，其硬度和強度會顯著增加，但延性 (ductility) 會降低。為了提高其延性，需要進行熱處理。這個熱處理過程通常是 退火 (annealing)。

退火過程包括三個階段：

1. 恢復 (Recovery)：在較低的溫度下進行，主要消除應力，降低位錯密度，但對材料的硬度和延性影響不大。
2. 再結晶 (Recrystallization)：在較高的溫度下進行，形成新的、無應變的晶粒，從而顯著降低硬度和強度，同時大幅提高延性。
3. 晶粒成長 (Grain Growth)：在再結晶完成後，進一步提高溫度或延長時間，會導致晶粒尺寸增大，硬度和強度進一步降低，延性可能略有增加或保持不變。

題目要求提高冷加工金屬的延性，這主要是通過再結晶來實現的。再結晶發生的溫度範圍稱為再結晶溫度範圍 (recrystallization temperature ran

核心觀念

疲勞極限（fatigue limit）是指材料在反覆、週期性負載作用下，經過大量循環後仍不發生疲勞破壞的最大應力。通常利用應力—壽命曲線（$S$–$N$ curve）測定：

1. 對多個試片施加不同的循環應力。
2. 記錄各試片破壞時的循環次數。
3. 逐步降低應力，找出在指定的大循環次數下仍能承受的最大應力。
4. 將此應力視為材料的疲勞極限。

對許多金屬，尤其是鋼材，疲勞極限常約為抗拉強度（ultimate tensile strength, UTS）的 $50\%$ 至 $70\%$。因此判斷時應以 UTS 的比例為主要依據。

解題方法

題目詢問疲勞極限通常位於哪一個應力範圍。材料力學與機械材料的經驗關係為：

$$\sigma_{\mathrm{fatigue}} \approx 0.5\sim 0.7\,\sigma_{\mathrm{UTS}}$$

其中：

• $\sigma_{\mathrm{fatigue}}$：疲勞極限
• $\sigma_{\mathrm{UTS}}$：抗拉強度

因此，疲勞極限通常約為 UTS 的 $50\%$ 至 $70\%$，選擇 (b)。

此題屬於材料性質與經驗範圍判斷題，不需進行數值計算。

選項分析

可生物降解聚合物 (Biodegradable polymers) 是指在微生物的作用下，能夠分解為水、二氧化碳、甲烷、生物質等無害物質的聚合物。

我們來看選項：

• (a) PLA (Polylactic Acid, 聚乳酸)：PLA 是一種常見的生物可降解聚合物，由乳酸聚合而成，廣泛用於包裝、紡織和生物醫學領域。

核心觀念

共晶反應（eutectic reaction）是指液相在共晶溫度下，同時轉變成兩種不同的固相：

$$L \rightarrow \alpha+\beta$$

其中：

• $L$：液相
• $\alpha$、$\beta$：兩種不同的固溶體或固相
• $C_E$：共晶成分
• $C_{\alpha E}$、$C_{\beta E}$：共晶溫度下，$\alpha$ 相與 $\beta$ 相的平衡成分

因此，共晶反應的特徵是：

1. 反應物為液相 $L$。
2. 液相成分為共晶成分 $C_E$。
3. 生成兩種固相 $\alpha$ 與 $\beta$。
4. 反應形式為 $L \rightarrow \alpha+\beta$。

這是二元合金系統中的三相不變反應，在固定壓力下依 Gibbs 相律：

$$F=C-P+1$$

對二元系統 $C=2$，共晶點同時存在三相 $L+\alpha+\beta$，因此：

$$F=2-3+1=0$$

表示共晶反應會在固定溫度下進行。

解題方法

直接比對各選項與共晶反應的標準形式：

$$L(C_E)\rightarrow\alpha(C_{\alpha E})+\beta(C_{\beta E})$$

凡是液相在共晶成分下，同時生成 $\alpha$ 與 $\beta$ 兩種固相，即為共晶反應。

選項分析

無擴散相變 (Diffusionless transformation) 是指原子位置發生改變，但原子種類和數量基本不變，且原子移動距離很短，不需要長時間的原子擴散。

• (a) Pearlite (珠光體)：珠光體是由鐵素體 (ferrite) 和滲碳體 (cementite) 組成的層狀組織，是在奧氏體 (austenite) 發生擴散控制相變時形成的。原子需要擴散來形成這兩種相。
• (b) Martensite (麻田散鐵)：麻田散鐵相變是一種典型的無擴散相變。

光纖 (Optical Fiber) 是用於傳輸光信號的材料。為了實現高效的光信號傳輸，光纖材料需要具備以下特性：

1. 高透明度：在所需傳輸波長範圍內，對光的吸收和散射要盡可能小。
2. 高折射率：以實現全內反射。
3. 良好的機械性能：能夠承受拉伸和彎曲。

在目前的技術中，最常用於製造光纖的核心材料是 二氧化矽 (Silica, SiO₂)。純二氧化矽玻璃具有極高的透明度，尤其是在近紅外波長範圍內，並且具有良好的機械強度和化學穩定性。

碳奈米管 (Carbon Nanotubes, CNTs) 是一種由碳原子組成的圓柱狀奈米材料。其結構可以看作是單層石墨烯 (graphene) 片捲曲而成。石墨烯是由碳原子通過 sp² 雜化鍵形成的正六邊形 (hexagon) 網格結構。

碳奈米管的結構可以通過「捲曲」石墨烯片來想像。石墨烯的基本單元是六邊形碳環。因此，碳奈米管的結構基礎是六邊形碳環。

• (a) heptagon carbon + hexagon carbon (七邊形碳 + 六邊形碳)：碳奈米管的基本結構單元是六邊形，七邊形碳環的出現會導致結構缺陷或彎曲，但不是主要的形成單元。
• (b) hexagon carbon (六邊形碳)：這是形成碳奈米管的基本結構單元。石墨烯片就是由六邊形碳環構成的。

陶瓷材料 (Ceramic materials) 通常是指由金屬或類金屬元素與非金屬元素（如氧、氮、碳、硫等）通過離子鍵或共價鍵結合而成的無機化合物。它們通常具有高硬度、耐高溫、耐腐蝕、絕緣等特性。

我們來分析各選項：

• (a) Limestone (石灰石)：石灰石的主要成分是碳酸鈣 (CaCO₃)。碳酸鈣是一種無機化合物，由金屬鈣和非金屬碳、氧元素組成，通過離子鍵和共價鍵結合。因此，石灰石被歸類為陶瓷材料（或陶瓷原料）。
• (b) Soda ash (蘇打灰)：蘇打灰的主要成分是碳酸鈉 (Na₂CO₃)。