108 年 國立成功大學化學工程學系碩士班甲組《單元操作與輸送現象》

本題主要在探討圓柱體在黏滯流體中運動時的阻力係數與雷諾數的關係，並要求解釋雷諾數的物理意義、不同流動區間的主要作用力，以及阻力係數與雷諾數的關係。

(a) 雷諾數 (Reynolds number, Re) 的物理意義
雷諾數是一個無因次的參數，用來描述流體流動的慣性力與黏滯力之間的比例。
$Re = \frac{\rho u D}{\mu}$
其中 $\rho$ 為流體密度， $u$ 為流體速度， $D$ 為特徵長度（此處為圓柱體直徑）， $\mu$ 為流體動力黏滯係數。
雷諾數的大小可以預測流動的行為：

• 低雷諾數：黏滯力占主導，流動趨於層流 (laminar flow)。
• 高雷諾數：慣性力占主導，流動趨於亂流 (turbulent flow)。
  因此，雷諾數的物理意義是「慣性力與黏滯力之比」。

(b) 不同流動區間的主要作用力
根據圖中所示的曲線，流動區間 (Regimes) I、II、III、IV 代表了不同的流動狀態。

• Regime I (低 Re)：在此區間，雷諾數非常小 ($Re < 1$)。此時黏滯力遠大於慣性力。流動是緩慢且穩定的層流，流體質點沿著平滑的軌跡運動，沒有明顯的渦流產生。因此，在此區間起主導作用的力量是 黏滯力 (Viscous force)。
• Regime IV (高 Re)：在此區間，雷諾數非常大 ($Re \gg 10^5$)。慣性力遠大於黏滯力。流動是高度混亂的亂流，伴隨著劇烈的渦流和能量耗散。在此區間，雖然黏滯力仍然存在，但相對於巨大的慣性力，其影響較小。流體質點的運動軌跡非常不規則。在此區間，慣性力 (Inertial force) 是主導力量。

(c) 阻力係數與雷諾數的關係解釋
在圖中，從 Regime I 到 Regime IV，阻力係數 $C_D$ 的變化趨勢大致如下：

• Regime I：$C_D$ 隨 Re 增加而快速下降。
• Regime II：$C_D$ 隨 Re 增加而緩慢下降。
• Regime III：$C_D$ 隨 Re 增加而急劇下降（稱為「臨界區」或「轉捩區」）。
• Regime IV：$C_D$ 趨於一個相對穩定的值（約 0.4 - 1.2，取決於表面粗糙度等因素）。

題目要求解釋「阻力係數為何與雷諾數成反比」。這個說法並不完全精確，因為 $C_D$ 並非總是與 $Re$ 成嚴格的反比關係（例如在 Regime IV，$C_D$ 幾乎不隨 $Re$ 變化）。然而，在某些流動區間，特別是層流到過渡區，確實觀察到 $C_D$ 隨 $Re$ 增加而下降的趨勢。

我們可以從阻力的組成來理解。總阻力 $F_D$ 可以近似分解為黏滯阻力 (skin friction drag) 和壓差阻力 (pressure drag 或 form drag)。

核心觀念

本題使用兩個基本原理：

1. Bernoulli 方程式：自由液面與孔口間的重力位能轉換成流體動能。
2. 體積守恆：水面下降所減少的體積流率等於孔口流出的體積流率。

令 $H$ 為水面至孔口的垂直高度，孔口面積為 $a$；圓柱槽截面積為 $A$。

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(a) 流體速度 $v$

自由液面與孔口處皆為大氣壓 $p_0$，且忽略摩擦損失與軸功。由於槽面積遠大於孔口面積，自由液面下降速度可視為零。

由 Bernoulli 方程式：

$$\frac{p_0}{\rho}+gz_1 = \frac{p_0}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz_2$$

其中 $z_1-z_2=H$，因此

$$gH=\frac{v^2}{2}$$

故孔口流出速度為

$$\boxed{v=\sqrt{2gH}}$$

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(b) 水面由 $H_1$ 降至 $H_2$ 所需時間

圓柱槽半徑固定為 $R$，槽截面積為

$$A=\pi R^2$$

水面下降時，水量變化率為

$$-\frac{dV}{dt} = -A\frac{dH}{dt}$$

孔口流出體積流率為

$$Q=av=a\sqrt{2gH}$$

由體積守恆：

$$-A\frac{dH}{dt}=a\sqrt{2gH}$$

整理得

$$dt=-\frac{A}{a\sqrt{2g}}H^{-1/2}\,dH$$

當水面由 $H_1$ 降至 $H_2$ 時：

$$t = \frac{A}{a\sqrt{2g}} \int_{H_2}^{H_1}H^{-1/2}\,dH$$

因此

$$t = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \left(\sqrt{H_1}-\sqrt{H_2}\right)$$

代入 $A=\pi R^2$：

$$\boxed{ t= \frac{2\pi R^2}{a\sqrt{2g}} \left(\sqrt{H_1}-\sqrt{H_2}\right) }$$

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本題考查複合壁結構的熱傳導問題，需要計算通過窗戶的總熱損失，其中包含對流和傳導。

問題分析：
窗戶由三層材料組成：內側的空氣層、玻璃層、外側的空氣層。熱量從室內（高溫）傳遞到室外（低溫），熱傳途徑為：室內空氣對流 → 玻璃傳導 → 室外空氣對流。由於窗戶尺寸為 2 m x 4 m，我們需要計算總熱傳面積 $A$。

已知條件：

• 窗戶尺寸：寬 2 m，高 4 m。總面積 $A = 2 \text{ m} \times 4 \text{ m} = 8 \text{ m}^2$。
• 內部對流係數：$h_i = 25 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$。
• 外部對流係數：$h_o = 20 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$。
• 玻璃導熱係數：$k_{glass} = 0.78 \text{ W/m} \cdot \text{K}$。
• 空氣層導熱係數：$k_{air} = 0.026 \text{ W/m} \cdot \text{K}$。
• 空氣層厚度：$L_{air} = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$。
• 玻璃層厚度：$L_{glass} = 0.5 \text{ cm} = 0.005 \text{ m}$。
• 室內溫度（假設為熱源）：$T_{in} = 300 \text{ K}$。
• 室外溫度（假設為冷源）：$T_{out} = 250 \text{ K}$。

解題步驟：
我們可以使用總熱阻 (Total Thermal Resistance, $R_{total}$) 的概念來計算熱損失。熱阻的串聯關係如下：
$R_{total} = R_{conv,i} + R_{cond,glass} + R_{cond,air} + R_{conv,o}$

1. 計算各項熱阻：

   • 內部對流熱阻 ($R_{conv,i}$)：
     $R_{conv,i} = \frac{1}{h_i A} = \frac{1}{25 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K} \times 8 \text{ m}^2} = \frac{1}{200} \text{ K/W}$

   • 玻璃傳導熱阻 ($R_{cond,glass}$)：
     $R_{cond,glass} = \frac{L_{glass}}{k_{glass} A} = \frac{0.005 \text{ m}}{0.78 \text{ W/m} \cdot \text{K} \times 8 \text{ m}^2} = \frac{0.005}{6.24} \text{ K/W} \approx 0.000801 \text{ K/W}$

   • 空氣層傳導熱阻 ($R_{cond,air}$)：

核心觀念

本題使用「熱平衡積分法」分析半無限固體的暫態導熱。假設熱影響僅深入至 $x=\delta(t)$，且在此範圍內溫度為二次拋物線。所需公式為：

• 傅立葉導熱定律：
  $\frac{q_x}{A}=-k\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=0}$
• 熱擴散係數：
  $\alpha=\frac{k}{\rho C_p}$

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(a) 三個邊界條件

取 $x=0$ 為壁面，$x$ 軸向壁內增加。

1. 壁面溫度固定：
   $T(0,t)=T_s$

2. 熱穿透前緣仍維持初始溫度：
   $T(\delta,t)=T_0$

3. 穿透前緣沒有熱通量：
   $\left.\frac{\partial T}{\partial x}\right|_{x=\delta}=0$

第三個條件表示 $x>\delta$ 的區域尚未受到熱擾動，因此在 $x=\delta$ 處溫度曲線必須平滑接上常溫區域。

此外，穿透深度的初始條件為：

$\delta(0)=0$

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(b) 求 $T(x)$

假設

$T=A+Bx+Cx^2$

由第一個邊界條件：

$T(0)=A=T_s$

對 $T$ 微分：

$\frac{\partial T}{\partial x}=B+2Cx$

由第三個邊界條件：

$B+2C\delta=0$

因此

$B=-2C\delta$

再代入第二個邊界條件：

$T_s+B\delta+C\delta^2=T_0$

$T_s-2C\delta^2+C\delta^2=T_0$

得到

$C=\frac{T_s-T_0}{\delta^2}$

以及

$B=-\frac{2(T_s-T_0)}{\delta}$

所以溫度分布為

$$\boxed{ T(x)=T_0+(T_s-T_0) \left(1-\frac{x}{\delta}\right)^2 } \qquad 0\le x\le\delta$$

在穿透深度以外：

$T(x)=T_0,\qquad x>\delta$

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(c) 壁面熱通量的能量平衡

受到熱影響區域相對於初始狀態所增加的內能為

$$\frac{E_{\text{excess}}}{A} = \int_0^\delta \rho C_p(T-T_0)\,dx$$

因為 $x=\delta$ 處的溫度為 $T_0$，新納入熱影響區域的材料原本只具有初始能量。因此壁面輸入的熱通量等於超額內能的增加率：

$$\frac{q_x}{A} = \frac{d}{dt} \int_0^\delta \rho C_p(T-T_0)\,dx$$

展開後即為題目所示：

$$\boxed{ \frac{q_x}{A} = \frac{d}{dt} \int_0^\delta \rho C_pT\,dx - \rho C_pT_0\frac{d\delta}{dt} }$$

其中第二項是由於積分上限 $\delta(t)$ 隨時間移動所扣除的初始內能。

由溫度分布：

$$T-T_0=(T_s-T_0) \left(1-\frac{x}{\delta}\right)^2$$

故

幾何與假設

題圖未提供本題可辨識的膜厚與座標標記，以下採標準平板停滯膜模型：

• 膜厚為 $\delta$。

• $x=0$ 為催化表面，$x=\delta$ 為氣體主體。

• 氣膜只含有 A、B，且為等莫耳反向擴散，因此總莫耳通量為零。

• 總莫耳濃度 $C_T$ 與擴散係數 $D_{AB}$ 為常數。

• 由於催化表面上的 A 瞬間轉化為 B：

  $y_A(0)=0,\qquad y_B(0)=1$

• 外側主體氣體不含 B：

  $y_B(\delta)=0,\qquad y_A(\delta)=1$

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核心觀念

本題考查：

1. 停滯膜中的等莫耳反向擴散。
2. 穩態一維擴散—反應方程式。
3. 一級反應的濃度分布。
4. 利用 Fick 定律求表面通量。

因為 A、B 互相轉化，莫耳數沒有淨生成或消失，所以

$N_A+N_B=0$

因此可用普通擴散通量表示：

$N_i=-C_TD_{AB}\frac{dy_i}{dx}$

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(a) 求 B 在停滯膜中的濃度分布

微分方程式

B 在膜內進行分解反應：

$B\rightarrow A$

B 的生成速率為

$R_B=-k_1C_Ty_B$

穩態物料衡算為

$\frac{dN_B}{dx}=R_B$

代入

$N_B=-C_TD_{AB}\frac{dy_B}{dx}$

得到

$$-C_TD_{AB}\frac{d^2y_B}{dx^2} =-k_1C_Ty_B$$

因此

$$\frac{d^2y_B}{dx^2} -\frac{k_1}{D_{AB}}y_B=0$$

令

$\lambda_1=\sqrt{\frac{k_1}{D_{AB}}}$

則

$\frac{d^2y_B}{dx^2}-\lambda_1^2y_B=0$

套用邊界條件

邊界條件為

$y_B(0)=1,\qquad y_B(\delta)=0$

因此濃度分布為

$$\boxed{ y_B(x)= \frac{\sinh\left[\lambda_1(\delta-x)\right]} {\sinh(\lambda_1\delta)} }$$

其中

$\lambda_1=\sqrt{\frac{k_1}{D_{AB}}}$

對應的 A 濃度分布為

$$y_A(x)=1-y_B(x)$$

亦即

$$y_A(x)= 1- \frac{\sinh\left[\lambda_1(\delta-x)\right]} {\sinh(\lambda_1\delta)}$$

---

(b) 求 A 進入氣膜的速率

B 向外擴散的通量為

$N_B=-C_TD_{AB}\frac{dy_B}{dx}$

由

$$y_B(x)= \frac{\sinh[\lambda_1(\delta-x)]} {\sinh(\lambda_1\delta)}$$

可得

$$\frac{dy_B}{dx} = -\frac{\lambda_1\cosh[\lambda_1(\delta-x)]} {\sinh(\lambda_1\delta)}$$

在氣膜外側 $x=\delta$：

$$\left.\frac{dy_B}{dx}\right|_{x=\delta} = -\frac{\lambda_1}{\sinh(\lambda_1\delta)}$$

因此

$$N_B(\delta) = \frac{C_TD_{AB}\lambda_1} {\sinh(\lambda_1\delta)}$$

由等莫耳反向擴散，

$N_A=-N_B$

所以 A 從主體氣體進入氣膜、朝催化表面移動的速率大小為

$$\boxed{ \left|N_A\right| = \frac{C_TD_{AB}\lambda_1} {\sinh(\lambda_1\delta)} }$$

代入 $\lambda_1$：

核心觀念

本題考查冷卻塔的總焓平衡與最小水流率（最大冷卻極限）。

以每單位塔截面積為基準，空氣以「每磅乾空氣的焓」表示：

$$G_x(T_{xa}-T_{xb})=G_y(H_{ya}-H_{yb})$$

其中：

• $G_x$：水的質量流率，$\text{lb}/(\text{h}\cdot\text{ft}^2)$
• $G_y$：乾空氣質量流率，$\text{lb}/(\text{h}\cdot\text{ft}^2)$
• $T_x$：水溫，°F
• $H_y$：濕空氣焓，Btu/lb dry air

濕空氣焓可用下式：

$$H_y=0.24T_y+Y(1061+0.444T_y)$$

其中 $Y$ 為含濕量，單位為 lb water/lb dry air。

由乾球溫度與濕球溫度查心理濕圖，可得近似焓值：

• 入口空氣：$T_{yb}=90^\circ\text{F}$、$T_{wb}=75^\circ\text{F}$

$$H_{yb}\approx 38.5\ \text{Btu/lb dry air}$$

• 出口空氣：$T_{ya}=100^\circ\text{F}$、$T_{wa}=90^\circ\text{F}$

$$H_{ya}\approx 55.8\ \text{Btu/lb dry air}$$

因此空氣焓增為：

$$\Delta H_y=H_{ya}-H_{yb} =55.8-38.5=17.3\ \text{Btu/lb dry air}$$

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(a) 出口水溫

已知：

$$T_{xa}=100^\circ\text{F}$$ $$G_x=1100\ \frac{\text{lb}}{\text{h}\cdot\text{ft}^2}$$ $$G_y=1000\ \frac{\text{lb}}{\text{h}\cdot\text{ft}^2}$$

代入焓平衡式：

$$G_x(T_{xa}-T_{xb})=G_y\Delta H_y$$ $$1100(100-T_{xb})=1000(17.3)$$

核心觀念

本題考查二元精餾塔的最小回流比。最小回流比對應塔內出現夾點：操作線與氣液平衡曲線在某一點相切或相交，使所需理論板數趨近無限大。對飽和液體進料，進料熱狀態參數為 $q=1$，進料線為垂直線 $x=X_F$，因此夾點位於進料組成處。

解題方法

在 $x$–$y$ 氣液平衡圖上，先畫出平衡曲線與垂直進料線 $x=X_F$。讀取該交點的平衡蒸氣組成，記為 $y^*$，亦即在 $x=X_F$ 時的氣相平衡組成。

精餾段操作線通過塔頂點 $(X_D,X_D)$ 與夾點 $(X_F,y^*)$，其斜率為

$$m=\frac{X_D-y^*}{X_D-X_F}$$

精餾段操作線的斜率也等於 $R/(R+1)$，其中 $R=L/D$ 為回流比。因此在最小回流條件下，

$$\frac{R_{\min}}{R_{\min}+1} = \frac{X_D-y^*}{X_D-X_F}$$

整理得

核心觀念

本題考 McCabe–Thiele 法中的進料熱狀態參數 $q$，以及進料狀態對理論板數、冷凝器與再沸器負荷的影響。$q$ 表示進料進入塔內後，等效轉變為液相的比例；飽和液體 $q=1$，過冷液體 $q>1$。

掃描頁上方的圖是空氣調節用圖，橫軸為溫度（°F）、縱軸為含濕量，與本題蒸餾操作無關。本題相關資訊是：回流比維持正常且固定，進料由飽和液體改為過冷液體。

解題方法

McCabe–Thiele 圖上的進料線（$q$ 線）方程式為

$$y=\frac{q}{q-1}x-\frac{x_F}{q-1}$$

$q$ 線通過 $(x_F,x_F)$。當 $q=1$ 時是 $x=x_F$ 的垂直線；進料過冷使 $q>1$，其斜率為 $q/(q-1)$。隨著過冷程度增加、$q$ 增大，斜率下降，因此 $q$ 線由垂直變得較平，並以 $(x_F,x_F)$ 為樞紐旋轉。通常操作條件下，它與精餾段操作線的交點向右上方移動。

       y
       ↑                 精餾段操作線
       │              ／
       │        ●────／   交點右上移
       │        │  ／
       │        │／   過冷進料的 q 線（較平）
       │        │
       │        │ 飽和液體的 q 線（垂直）
       │        │
       └────────┼────────────→ x
               xF

各項判斷