111 年國立成功大學綠色應用材料碩士班《物理》考古題與詳解

Question 1

The Hubble's law (a) describes the relationship between the recession speed of a remote star and the distance between the earth and the star, (b) suggests that the universe is not expanding, (c) indicates the recession speed of a remote star is an exponential function of the distance between the earth and the star, or (d) does not support the big bang theory.

Accepted Answer

本題在考驗對哈伯定律的理解。哈伯定律是描述宇宙膨脹的關鍵證據之一，其內容指出星系遠離我們的速度與其距離成正比。

Question 2

A closely wound coil has a diameter of 40 cm and carries a current of 2.5 A. How many turns does it have if the magnetic field at the center of the coil is $1.26 \times 10^{-4}$ T?
(a) 15
(b) 16
(c) 18
(d) 20

Accepted Answer

本題考驗計算圓形線圈中心磁場的公式。

已知條件：
線圈直徑 $D = 40$ cm $= 0.40$ m
線圈半徑 $R = D/2 = 0.20$ m
電流 $I = 2.5$ A
線圈中心的磁場強度 $B = 1.26 \times 10^{-4}$ T
真空磁導率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ T·m/A

圓形線圈中心磁場的公式為：
$B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$
其中 $N$ 是線圈的匝數。

我們需要求解 $N$ 。將公式重新整理：
$N = \frac{2RB}{\mu_0 I}$

Question 3

If the ground state energy of the electron in hydrogen atom is -13.6 eV, what is the first excited state energy of the electron in helium ion (He+)? (a) -1.5 eV (b) -3.4 eV (c) -13.6 eV (d) -54.4 eV

Accepted Answer

本題考驗氫原子與類氫離子能階的計算。 氫原子基態能量 $E1 = -13.6$ eV。 對於類氫離子（只有一個電子的原子，如 He⁺, Li²⁺, ...），其能階公式為： $$En = - \frac{Z^2}{n^2} E1$$ 其中 $Z$ 是原子序， $n$ 是主量子數。 對於氦離子 (He⁺)，原子序 $Z=2$。 基態（n=1）的能量為： $E1 = - \frac{2^2}{1^2} E1 = -4 	imes (-13.6 	ext{ eV}) = 54.4$ eV (這裡的 $E1$ 指的是氫原子基態能量的絕對值，即 13.6 eV，所以公式應為 $En = -Z^2 \frac{13.6 	ext{ eV}}{n^2}$) 修正後的公式： $$En = -Z^2 \frac{13.6 	ext{ eV}}{n^2}$$ 對於 He⁺ ($Z=2$)： 基態 ($n=1$) 能量：$E1 = -2^2 \frac{13.6 	ext{ eV}}{1^2} = -4 	imes 13.6 	ext{ eV} = -54.4$ eV。 第一個激發態 ($n=2$) 的能量：

Question 4

A single slit 0.20mm wide is illuminated by monochromatic light of waviness 600nm, producing a diffraction pattern on a screen 1.5m away. Find the distance between the first and fifth diffraction minima.
(a) 9mm
(b) 18mm
(c) 27mm
(d) 36mm

Accepted Answer

本題考驗單狹縫繞射的極小值條件。

已知條件：
狹縫寬度 $a = 0.20$ mm $= 0.20 \times 10^{-3}$ m
光波長 $\lambda = 600$ nm $= 600 \times 10^{-9}$ m $= 0.60 \times 10^{-6}$ m
屏幕距離 $L = 1.5$ m

單狹縫繞射的極小值（暗紋）條件為：
$a \sin \theta_m = m \lambda$
其中 $m$ 是繞射級數（ $m = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ ）， $\theta_m$ 是極小值出現的角度。

對於屏幕上的位置 $y_m$ ，我們有 $\sin \theta_m \approx \tan \theta_m = y_m / L$ (當 $\theta_m$ 很小時)。
所以，極小值條件可以寫成：
$a \frac{y_m}{L} = m \lambda$
$y_m = \frac{m \lambda L}{a}$

Question 5

A beam of light in air strikes a slab of glass (n=1.56) and is partially reflected and partially refracted. What is the angle of incidence if the angle of reflection is twice the angle of refraction?
(a) 47.5°
(b) 57.5°
(c) 67.5°
(d) 77.5°

Accepted Answer

本題考驗反射定律、折射定律（斯乃耳定律）以及角度關係。

已知條件：
入射介質為空氣 (假設 $n_{air} \approx 1$ )
折射介質為玻璃，折射率 $n_{glass} = 1.56$
角度關係：入射角 $\theta_i$ ，反射角 $\theta_r$ ，折射角 $\theta_{tr}$ 。
由反射定律可知，入射角等於反射角： $\theta_i = \theta_r$ 。
題目給出條件：反射角是折射角的兩倍，即 $\theta_r = 2 \theta_{tr}$ 。
結合兩式，我們得到： $\theta_i = 2 \theta_{tr}$ 。

根據斯乃耳定律：
$n_{air} \sin \theta_i = n_{glass} \sin \theta_{tr}$

將 $\theta_{tr} = \theta_i / 2$ 代入斯乃耳定律：
$n_{air} \sin \theta_i = n_{glass} \sin (\theta_i / 2)$

假設 $n_{air} = 1$ ：
$\sin \theta_i = 1.56 \sin (\theta_i / 2)$

Question 6

If the magnetic field of a light wave oscillates parallel to a y axis and is given by $B_y = B_m \sin (kz - \omega t)$ , parallel to which axis does the associated electric field oscillate?
(a) x
(b) y
(c) z
(d) random

Accepted Answer

本題考驗電磁波的特性，特別是電場與磁場的振動方向關係。

電磁波是一種橫波，其電場向量 $\vec{E}$ 和磁場向量 $\vec{B}$ 相互垂直，並且都垂直於波的傳播方向。這三者構成一個右手座標系。

題目給定的磁場振動方向為 y 軸，其形式為 $B_y = B_m \sin (kz - \omega t)$ 。
從磁場的表達式 $B_y = B_m \sin (kz - \omega t)$ ，我們可以推斷出：

磁場振動的方向是沿著 y 軸。
波的傳播方向：從 $kz - \omega t$ 的形式來看，如果 $k>0$ 且 $\omega>0$ ，則波沿著 +z 方向傳播。

設波的傳播方向為 $\vec{k}$ ，電場為 $\vec{E}$ ，磁場為 $\vec{B}$ 。
我們知道 $\vec{E} \perp \vec{B}$ 且 $\vec{E} \perp \vec{k}$ 且 $\vec{B} \perp \vec{k}$ 。
這裡，磁場 $\vec{B}$ 沿 y 軸，即 $\vec{B} = B_y \hat{j}$ 。

Question 7

In the right figure, a light ray enters a glass slab at point A at incident angle $\theta_1= 45.0^\circ$ and then undergoes total internal reflection at point B. (The reflection at A is not shown.) What minimum value for the index of refraction of the glass can be inferred from this information?
(a) 1.22
(b) 1.23
(c) 1.24
(d) 1.25

Accepted Answer

核心觀念 光線由空氣進入玻璃時，依史涅耳定律有 $$ n{	ext{空氣}}\sin	heta1=n\sin r, $$ 其中 $r$ 是光線進入玻璃後相對於上表面法線的折射角，且 $n{	ext{空氣}}\approx1$。 光線在 $B$ 點遇到玻璃左側的垂直界面。該界面的法線為水平方向，因此入射角為 $90^\circ-r$。由玻璃射向空氣要發生全反射，入射角必須大於臨界角 $	hetac$，而 $$ \sin	hetac=\frac{1}{n}. $$ 解題方法 在上表面 $A$ 點，入射角為 $	heta1=45^\circ$，故 $$ \sin r=\frac{\sin45^\circ}{n} =\frac{1}{\sqrt{2}\,n}. $$ 在 $B$ 點剛好達到全反射的臨界條件時， $$ 90^\circ-r=	hetac. $$ 所以 $$ \sin	hetac=\cos r=\frac{1}{n}. $$ 將 $\sin r=\frac{1}{\sqrt{2}n}$ 與 $\cos r=\frac{1}{n}$ 代入 $\sin^2r+\cos^2r=1$：

Question 8

The capacitance of a parallel-plate capacitor can be increased by: (A) increasing the charge (B) decreasing the plate area (C) increasing the plate separation (D) decreasing the plate separation

Accepted Answer

核心觀念 平行板電容器的電容量由極板面積、板間距離與介電質決定： $$ C=\frac{\varepsilon A}{d} $$ 其中 $C$ 為電容量、$A$ 為極板面積、$d$ 為極板間距，$\varepsilon$ 為介電質的介電率。固定介電質時，電容量與極板面積成正比，與板間距成反比。 電容量也定義為 $C=Q/V$，但在幾何形狀與介電質固定時，增加電荷 $Q$ 會使電壓 $V$ 按比例增加，電容量本身不變。 解題方法 比較各選項對公式 $C=\varepsilon A/d$ 中各物理量的影響。要讓電容量增加，可以增加極板面積、提高介電率，或減小板間距；本題選項中，只有減小板間距會使 $C$ 增加。 選項分析

Question 9

A block of density $\rhob$ and mass $Mb$ floats in a fluid of density $\rhof$. The block has height $H$, width $W$, and length $L$. By what depth is the block submerged? (A) $\frac{\rhof}{\rhob}H$ (B) $\frac{\rhob Mb}{\rhof}H$ (C) $\frac{\rhob}{\rhof}H$ (D) $\frac{\rhob}{\rhof Mb}H$

Accepted Answer

核心觀念 物體漂浮且處於靜力平衡時，浮力等於物體重量。浮力大小等於流體密度乘以排開流體的體積，再乘以重力加速度： $$ F{	ext{浮}}=hof gV{	ext{排}} $$ 物塊重量為 $Mb g$。物塊均勻且體積為 $WLH$，因此其質量也可寫成 $Mb=hob WLH$。 解題方法 設物塊浸入流體的深度為 $d$。物塊排開流體的體積為底面積乘以浸入深度： $$ V{	ext{排}}=WLd $$ 漂浮平衡時，浮力等於重量： $$ hof gWLd=Mb g $$ 消去 $g$，並代入 $Mb=hob WLH$： $$ hof WLd=hob WLH $$ 消去共同因子 $WL$，得到 $$ d=\frac{hob}{hof}H $$ 因此正確選項為 (C)。 選項分析

Question 10

X-rays are generated when electrons transfer:

(A) from the orbital quantum number $l=4$ to $l=3$
(B) from the orbital quantum number $l=4$ to $l=2$
(C) from the principal quantum number $n=4$ to $n=3$
(D) from the principal quantum number $n=4$ to $n=2$

Accepted Answer

核心觀念 原子中的電子由較高能階躍遷至較低能階時，會放出光子，其能量等於兩能階的能量差： $$ E{\gamma}=Ei-Ef=h
u=\frac{hc}{\lambda} $$ 特性 X 光通常來自原子內層電子的能階躍遷。判斷躍遷放出的光子能量，須看能階差；主量子數 $n$ 可用來區分能階，角量子數 $l$ 則描述軌域角動量，單看 $l$ 值不足以判定光子的能量。 解題方法 比較選項中的主量子數躍遷。氫樣原子的能階可寫為 $$ En=-13.6\frac{Z^2}{n^2}\ 	ext{eV} $$ 其中 $Z$ 為原子序。由 $n=4$ 躍遷至 $n=3$ 的能量差為 $$ \Delta E{4	o3} =13.6Z^2\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}ight) \approx 0.66Z^2\ 	ext{eV} $$ 由 $n=4$ 躍遷至 $n=2$ 的能量差為 $$ \Delta E{4	o2} =13.6Z^2\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}ight) =2.55Z^2\ 	ext{eV} $$

Question 11

If the Iron Man travels at a speed of $0.8C$ while you are on the Earth, then when your heart beats 5 times, how many heartbeats does the Iron Man have? ( $C$ is the speed of light.)

(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是狹義相對論的時間膨脹。相對地球運動的時鐘，在地球參考系中走得較慢。時間膨脹公式為 $$ \Delta t=\gamma\Delta	au,\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ 其中 $\Delta	au$ 是與時鐘同地運動的觀察者所量到的固有時間，$\Delta t$ 是地球參考系量到的時間，$\gamma$ 為洛倫茲因子。 解題方法 假設鋼鐵人相對地球以 $0.8c$ 等速運動，且地球上的心跳計數代表地球參考系經過的時間。地球上的你心跳 5 次，鋼鐵人心跳所在的時鐘相對地球運動，因此地球量到鋼鐵人的心跳速率較慢。 先計算洛倫茲因子： $$ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.8)^2}} =\frac{1}{\sqrt{0.36}} =\frac{5}{3} $$ 若地球時間內你心跳 5 次，鋼鐵人的心跳次數為

Question 12

Consider the isothermal compression of $0.10$ mol of an ideal gas at $T=0^\circ\mathrm{C}$ . The initial pressure is $1\ \mathrm{atm}$ , and the final volume is $\frac{1}{5}$ the initial volume. Determine the work required.

(A) $364\ \mathrm{J}$
(B) $366\ \mathrm{J}$
(C) $368\ \mathrm{J}$
(D) $370\ \mathrm{J}$

Accepted Answer

核心觀念 理想氣體在定溫過程中滿足 $pV=nRT$，因此壓力隨體積變化為 $p=\frac{nRT}{V}$。氣體受壓縮時，外界對氣體所做的功為正，其大小為 $$ W{	ext{外}}=-\int{Vi}^{Vf}p\,dV =nRT\ln\frac{Vi}{Vf} $$ 其中 $Vi$、$Vf$ 分別為初、末體積。題目給定 $Vf=\frac{1}{5}Vi$，所以 $\frac{Vi}{Vf}=5$。 解題方法 代入莫耳數 $n=0.10\ \mathrm{mol}$、溫度 $T=273.15\ \mathrm{K}$、氣體常數 $R=8.314\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}$： $$ W{	ext{外}} =(0.10)(8.314)(273.15)\ln 5 \approx 365.6\ \mathrm{J} $$ 四捨五入至最接近的整數為 $366\ \mathrm{J}$。

Question 13

Find the amplitude of air-molecule oscillation in a plane sound wave that has a frequency of $3000\ \mathrm{Hz}$ and an intensity level of $60\ \mathrm{dB}$ . Use $343\ \mathrm{m/s}$ as the speed of sound and $1.21\ \mathrm{kg/m^3}$ as the density of air.

(A) $3.68\ \mathrm{nm}$
(B) $36.8\ \mathrm{nm}$
(C) $368\ \mathrm{nm}$
(D) $3.68\ \mathrm{\mu m}$

Accepted Answer

核心觀念 聲強級 $LI$ 與聲強 $I$ 的定義為 $$ LI=10\log{10}\left(\frac{I}{I0}ight), $$ 其中空氣中的參考聲強 $I0=1.0	imes10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$。 對振幅為 $sm$ 的平面簡諧聲波，平均聲強為 $$ I=\frac{1}{2}ho v\omega^2sm^2, $$ 其中 $ho$ 是空氣密度、$v$ 是聲速，角頻率 $\omega=2\pi f$。題目要求的是空氣分子的振盪振幅 $sm$。 解題方法 先將聲強級換算成聲強： $$ 60=10\log{10}\left(\frac{I}{1.0	imes10^{-12}}ight) $$ 因此 $$ I=1.0	imes10^{-12}	imes10^{60/10} =1.0	imes10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}. $$ 角頻率為 $$ \omega=2\pi f=2\pi(3000) \approx1.885	imes10^4\ \mathrm{rad/s}. $$ 將聲強公式解出振幅： $$ sm=\sqrt{\frac{2I}{ho v\omega^2}}. $$ 代入 $ho=1.21\ \mathrm{kg/m^3}$、$v=343\ \mathrm{m/s}$ 與上述聲強、角頻率：

Question 14

A uniform magnetic field, with magnitude $1.2\ \mathrm{mT}$ , is directed vertically upward throughout the volume of a laboratory chamber. A proton with kinetic energy $5.3\ \mathrm{MeV}$ enters the chamber, moving horizontally from south to north. What magnetic deflecting force acts on the proton as it enters the chamber? The proton mass is $1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$ and charge is $1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}$ . (Neglect Earth’s magnetic field.)

(A) $6.1\times10^{-15}\ \mathrm{N}$
(B) $6.1\times10^{-10}\ \mathrm{N}$
(C) $6.1\times10^{-5}\ \mathrm{N}$
(D) $6.1\times10^{0}\ \mathrm{N}$

Accepted Answer

核心觀念 帶電粒子在磁場中受到的洛倫茲力為 $$ \vec F=q\vec v	imes\vec B $$ 其大小為 $$ F=|q|vB\sin	heta $$ 其中 $	heta$ 是速度方向與磁場方向的夾角。本題中質子水平向北運動，磁場垂直向上，因此兩者互相垂直，$	heta=90^\circ$，磁力大小為 $F=qvB$。 要求磁力，先由動能求出質子的速率。使用非相對論動能公式 $K=\frac12 mv^2$；本題動能遠小於質子的靜止能量，這個近似足以求得選項所需精度。 解題方法 先將動能換算成焦耳： $$ K=5.3\ \mathrm{MeV} =5.3	imes10^6	imes1.60	imes10^{-19}\ \mathrm{J} =8.48	imes10^{-13}\ \mathrm{J} $$ 由 $K=\frac12 mv^2$ 求速率： $$ v=\sqrt{\frac{2K}{m}} =\sqrt{\frac{2(8.48	imes10^{-13})}{1.67	imes10^{-27}}} \approx3.19	imes10^7\ \mathrm{m/s} $$ 磁場大小為 $1.2\ \mathrm{mT}=1.2	imes10^{-3}\ \mathrm{T}$。代入磁力公式：

Question 15

A $32$-cm-long solenoid, $1.8\ \mathrm{cm}$ in diameter, is to produce a $0.30$-T magnetic field at its center. If the maximum current is $4.5\ \mathrm{A}$, how many turns must the solenoid have? (A) $170$ (B) $1700$ (C) $17000$ (D) $170000$

Accepted Answer

核心觀念 長螺線管中心的磁場近似為 $$ B=\mu0 nI=\mu0\frac{N}{L}I $$ 其中 $B$ 為磁場強度、$\mu0=4\pi	imes10^{-7}\ \mathrm{T\,m/A}$ 為真空磁導率、$n=N/L$ 為單位長度的匝數、$I$ 為電流、$L$ 為螺線管長度。 解題方法 將題目給定的磁場、長度與最大電流代入公式，解出總匝數 $N$： $$ N=\frac{BL}{\mu0 I} $$ 代入 $B=0.30\ \mathrm{T}$、$L=32\ \mathrm{cm}=0.32\ \mathrm{m}$、$I=4.5\ \mathrm{A}$： $$ N=\frac{(0.30)(0.32)} {(4\pi	imes10^{-7})(4.5)} \approx 1.70	imes10^4 $$

Question 16

What inductance must be connected to a $17\ \mathrm{pF}$ capacitor in an oscillator capable of generating $550\ \mathrm{nm}$ electromagnetic waves?

(A) $5.0\times10^{-19}\ \mathrm{H}$
(B) $5.0\times10^{-20}\ \mathrm{H}$
(C) $5.0\times10^{-21}\ \mathrm{H}$
(D) $5.0\times10^{-22}\ \mathrm{H}$

Accepted Answer

核心觀念 振盪電路的共振頻率為 $$ f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$ 電磁波的頻率與波長滿足 $$ f=\frac{c}{\lambda} $$ 因此，先由波長求出振盪頻率，再代入共振公式求電感。 解題方法 已知電容 $C=17\ \mathrm{pF}=17	imes10^{-12}\ \mathrm{F}$，電磁波波長 $\lambda=550\ \mathrm{nm}=550	imes10^{-9}\ \mathrm{m}$，取光速 $c=3.00	imes10^8\ \mathrm{m/s}$。 先計算頻率： $$ f=\frac{c}{\lambda} =\frac{3.00	imes10^8}{550	imes10^{-9}} \approx 5.45	imes10^{14}\ \mathrm{Hz} $$ 由共振公式解出電感： $$ L=\frac{1}{(2\pi f)^2C} $$ 代入數值：

Question 17

A ray of white light traveling through fused quartz is incident at a quartz–air interface at angle $\theta_1$ . Assume that the index of refraction of quartz is $n=1.456$ at the red end and $n=1.470$ at the blue end of the visible range. If $\theta_1$ is $44.00^\circ$ , what is the refracted light?

(A) white
(B) white dominated by the red end of the visible range
(C) white dominated by the blue end of the visible range
(D) no refracted light

Accepted Answer

核心觀念 光線由折射率較大的石英射向折射率較小的空氣時，依史涅耳定律： $$ n{	ext{石英}}\sin	heta1=n{	ext{空氣}}\sin	heta2 $$ 角度以介面法線為基準。當入射角大於臨界角時，會發生全反射，沒有傳入空氣的傳播折射光。臨界角滿足折射角為 $90^\circ$，因此： $$ \sin	hetac=\frac{n{	ext{空氣}}}{n{	ext{石英}}} $$ 解題方法 空氣的折射率取 $1.000$。分別計算紅光與藍光的臨界角： $$ 	heta{c,	ext{紅}}=\sin^{-1}\left(\frac{1.000}{1.456}ight)\approx 43.36^\circ $$ $$ 	heta{c,	ext{藍}}=\sin^{-1}\left(\frac{1.000}{1.470}ight)\approx 42.86^\circ $$ 題目給定入射角 $	heta1=44.00^\circ$，大於兩種光的臨界角，所以紅光與藍光都會全反射。白光各色成分皆無傳播折射光，故選 (D)。 也可直接由史涅耳定律檢查：若要有折射光，必須有 $\sin	heta2\leq 1$。但紅光與藍光分別得到：

Question 18

A $2\ \mathrm{\mu F}$ capacitor and a $1\ \mathrm{\mu F}$ capacitor are connected in parallel, and a potential difference is applied across the combination. The $2\ \mathrm{\mu F}$ capacitor has:

(A) twice the charge of the $1\ \mathrm{\mu F}$ capacitor
(B) half the charge of the $1\ \mathrm{\mu F}$ capacitor
(C) twice the potential difference of the $1\ \mathrm{\mu F}$ capacitor
(D) half the potential difference of the $1\ \mathrm{\mu F}$ capacitor

Accepted Answer

核心觀念

並聯電容器的兩端都接在相同的兩個節點上，因此每個電容器兩端的電位差相同。電容器的電荷量由定義式決定：

Q=CV

其中 $Q$ 是電荷量、 $C$ 是電容量、 $V$ 是兩端的電位差。並聯時 $V$ 相同，因此各電容器的電荷量與電容量成正比。

解題方法

設兩個電容器兩端的共同電位差為 $V$ 。則：

Q_{2\,\mathrm{\mu F}}=(2\,\mathrm{\mu F})V

Q_{1\,\mathrm{\mu F}}=(1\,\mathrm{\mu F})V

兩者電荷量的比值為：

\frac{Q_{2\,\mathrm{\mu F}}}{Q_{1\,\mathrm{\mu F}}} = \frac{(2\,\mathrm{\mu F})V}{(1\,\mathrm{\mu F})V} =2

Question 19

A nucleus: (A) may not have angular momentum (B) may have angular momentum and magnetic moment (C) may not have magnetic moment (D) may not have angular momentum or magnetic moment

Accepted Answer

核心觀念 原子核具有核自旋角動量 $\mathbf I$，其大小量子化為 $$ |\mathbf I|=\sqrt{I(I+1)}\,\hbar, $$ 其中 $I$ 是核自旋量子數。原子核的磁偶極矩通常與核自旋相關，可寫成 $$ \boldsymbol{\mu}=gI\muN\frac{\mathbf I}{\hbar}, $$ 其中 $gI$ 是核的 $g$ 因子，$\muN$ 是核磁子。 核自旋量子數可以是 $I=0$。例如偶偶核（質子數與中子數皆為偶數）的基態通常具有 $I=0$，因此沒有核自旋角動量，且基態磁偶極矩為零。另一方面，也有許多原子核具有非零核自旋與磁矩。 解題方法 判斷各選項時，要區分「原子核可以同時具有角動量與磁矩」和「所有原子核都必定具有角動量與磁矩」。前者成立；後者不成立，因為存在 $I=0$ 的原子核。 選項分析

Question 20

A $2$-kg mass hangs on the end of a spring in the position of rest. It requires a force of $2\ \mathrm{N}$ to stretch the spring an additional $4\ \mathrm{cm}$. If the force is then suddenly removed, the mass executes simple harmonic motion (SHM) vibration. Find the total energy (frequency $=a\ \mathrm{J}$) and the frequency ($=b\ \mathrm{s^{-1}}$). What is $(a,b)$? (A) $(0.769,\ 0.04)$ (B) $(0.04,\ 0.769)$ (C) $(0.04,\ 0.122)$ (D) $(0.122,\ 0.769)$

Accepted Answer

核心觀念

此題考查彈簧簡諧運動的彈簧常數、振幅、總能量與頻率。以質量的靜止平衡位置為座標原點，角頻率與頻率分別為

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}.

若振幅為 $A$ ，簡諧運動的總能量為

E=\frac{1}{2}kA^2.

解題方法

額外施加 $2\ \mathrm{N}$ 的力，使彈簧從原平衡位置再伸長 $4\ \mathrm{cm}=0.04\ \mathrm{m}$ 。由虎克定律求彈簧常數：

k=\frac{F}{\Delta x} =\frac{2}{0.04} =50\ \mathrm{N/m}.

突然移除外力時，質量從距離原平衡位置 $0.04\ \mathrm{m}$ 處由靜止開始運動，因此振幅為 $A=0.04\ \mathrm{m}$ 。總能量為

E=\frac{1}{2}(50)(0.04)^2 =0.040\ \mathrm{J}.

質量 $m=2\ \mathrm{kg}$ ，所以

\omega=\sqrt{\frac{50}{2}}=5\ \mathrm{rad/s},

Question 21

Which of the following describes identical particles having odd half-integral spins and being indistinguishable?

(A) Maxwell–Boltzmann distribution
(B) Bose–Einstein distribution
(C) Fermi–Dirac distribution
(D) Maxwell distribution

Accepted Answer

核心觀念 本題考查粒子的自旋與統計分布之間的關係。依據自旋統計定理，自旋為半奇整數的全同粒子遵守費米–狄拉克統計；自旋為整數的全同粒子則遵守波色–愛因斯坦統計。 半奇整數自旋包括 $1/2、3/2、5/2,\ldots$。遵守費米–狄拉克統計的粒子稱為費米子，並符合泡利不相容原理：兩個全同費米子不能占據完全相同的量子態。 解題方法 先判斷題目給出的粒子特性： 1. 「identical particles」表示全同粒子，需考慮量子統計。 2. 「odd half-integral spins」表示半奇整數自旋，依自旋統計定理判定為費米子。 3. 費米子服從費米–狄拉克分布，其平均占據數為 $$\bar n(E)=\frac{1}{\exp\!\left(\frac{E-\mu}{k{\mathrm B}T}\right)+1}$$ 分母中的加號對應費米–狄拉克統計；波色–愛因斯坦分布則使用減號。 因此，本題描述的是費米–狄拉克分布。 選項分析

Question 22

A Carnot engine whose high-temperature reservoir is at $400\ \mathrm{K}$ takes in $100\ \mathrm{cal}$ of heat at this temperature in each cycle, and gives up $80\ \mathrm{cal}$ to the low-temperature reservoir. What is the thermal efficiency of the cycle?

(A) $10\%$
(B) $20\%$
(C) $30\%$
(D) $40\%$

Accepted Answer

核心觀念 熱機每一循環從高溫熱庫吸收熱量 $QH$，向低溫熱庫放出熱量 $QC$，其作功為 $$ W=QH-QC $$ 熱效率定義為輸出功與吸熱量的比值： $$ \eta=\frac{W}{QH} =1-\frac{QC}{QH} $$ 題目已給每循環的吸熱量與放熱量，可直接用能量守恆求效率；高溫熱庫的溫度在此不必代入。 解題方法 代入 $QH=100\ \mathrm{cal}$、$QC=80\ \mathrm{cal}$： $$ W=100-80=20\ \mathrm{cal} $$ 因此熱效率為 $$ \eta=\frac{20}{100}=0.20=20\% $$ 選項分析

Question 23

The E-string on a violin is $33\ \mathrm{cm}$ long and its mass per unit length is $5.46\times10^{-4}\ \mathrm{kg/m}$ . What tension $F$ is required to make it vibrate in its fundamental mode at $660\ \mathrm{Hz}$ ?

(A) $546\ \mathrm{N}$
(B) $436\ \mathrm{N}$
(C) $218\ \mathrm{N}$
(D) $104\ \mathrm{N}$

Accepted Answer

核心觀念 兩端固定的弦，其基頻振動時，弦長等於半個波長，因此 $$ \lambda1=2L $$ 弦上的橫波波速為 $$ v=\sqrt{\frac{F}{\mu}} $$ 其中 $F$ 是弦的張力，$\mu$ 是單位長度質量。又因為 $v=f\lambda$，基頻滿足 $$ f1=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F}{\mu}} $$ 解題方法 已知弦長 $L=33\ \mathrm{cm}=0.33\ \mathrm{m}$、單位長度質量 $\mu=5.46	imes10^{-4}\ \mathrm{kg/m}$，基頻 $f1=660\ \mathrm{Hz}$。 將基頻公式整理，求張力： $$ F=\mu(2Lf1)^2 $$ 代入數值： $$ F=(5.46	imes10^{-4})(2	imes0.33	imes660)^2 $$ $$ F=(5.46	imes10^{-4})(435.6)^2 \approx 103.6\ \mathrm{N} $$

Question 24

A coil has an inductance of $53\ \mathrm{mH}$ and a resistance of $0.35\ \Omega$ . If a $12\ \mathrm{V}$ emf is applied across the coil, how much energy is stored in the magnetic field after the current has built up to its equilibrium value?

(A) $51\ \mathrm{J}$
(B) $41\ \mathrm{J}$
(C) $31\ \mathrm{J}$
(D) $21\ \mathrm{J}$

Accepted Answer

核心觀念 電感的磁場儲能為 $$ U=\frac{1}{2}LI^2 $$ 電流達到穩態時，電感兩端的感應電動勢為零，因此電流由線圈電阻決定： $$ I{\mathrm{eq}}=\frac{V}{R} $$ 解題方法 已知電感量 $L=53\ \mathrm{mH}=0.053\ \mathrm{H}$、電阻 $R=0.35\ \Omega$、電壓 $V=12\ \mathrm{V}$。先以歐姆定律求穩態電流： $$ I{\mathrm{eq}}=\frac{12}{0.35}\ \mathrm{A}\approx 34.29\ \mathrm{A} $$ 再代入電感的磁場儲能公式： $$ U=\frac{1}{2}(0.053)(34.29)^2\ \mathrm{J} \approx 31.2\ \mathrm{J} $$

Question 25

Which of the following is the benefit of Maxwell equation?

(A) Antenna that can be designed
(B) Any parameter that can be calculated
(C) Polarisation of the wave that can be calculated
(D) Transmission line constants that can be found

Accepted Answer

核心觀念 Maxwell 方程描述電場與磁場如何由電荷、電流產生，以及兩種場如何隨時間變化。對電磁波與工程系統，常用的微分形式為 $$ 
abla\cdot\mathbf{D}=ho,\qquad 
abla\cdot\mathbf{B}=0 $$ $$ 
abla	imes\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\qquad 
abla	imes\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} $$ 給定材料性質、幾何形狀、邊界條件與激發源後，求解這些方程可得到電磁場，再進一步分析天線、波的偏振，以及傳輸線的電氣特性。 解題方法 判斷各選項是否屬於 Maxwell 方程的應用。前三項中的天線設計、波的偏振分析及傳輸線參數求解，均可透過電磁場的求解與分析得到；但「任何參數都能計算」範圍過度廣泛，並非 Maxwell 方程本身所能保證。 選項分析 - (A) Antenna that can be designed：正確。 天線的電流分布會產生電磁場與輻射。以 Maxwell 方程分析天線的結構、材料及激發條件，可計算其場分布與輻射特性，作為天線設計依據。

Question 26

Some neodymium–glass lasers can provide $100\ \mathrm{TW}$ of power in $1.0\ \mathrm{ns}$ pulses at a wavelength of $0.26\ \mathrm{\mu m}$ . How much energy is contained in a single pulse?

(A) $0.38\ \mathrm{MJ}$
(B) $0.26\ \mathrm{MJ}$
(C) $0.13\ \mathrm{MJ}$
(D) $0.10\ \mathrm{MJ}$

Accepted Answer

核心觀念 脈衝所含能量等於功率對時間的積分： $$ E=\int P(t)\,dt $$ 若脈衝期間功率可視為固定，或題目給的是脈衝平均功率，則可用 $E=P\Delta t$。本題考查功率、時間與能量的關係，以及帶有 SI 前綴的單位換算。 解題方法 將功率與脈衝時間換成 SI 單位： $$ 100\ \mathrm{TW}=100	imes10^{12}\ \mathrm{W}=1.0	imes10^{14}\ \mathrm{W} $$ $$ 1.0\ \mathrm{ns}=1.0	imes10^{-9}\ \mathrm{s} $$ 因此單一脈衝的能量為 $$ E=P\Delta t =(1.0	imes10^{14})(1.0	imes10^{-9})\ \mathrm{J} =1.0	imes10^{5}\ \mathrm{J} $$ 又因為 $1\ \mathrm{MJ}=10^6\ \mathrm{J}$： $$ E=\frac{1.0	imes10^5}{10^6}\ \mathrm{MJ} =0.10\ \mathrm{MJ} $$ 題目給的波長 $0.26\ \mathrm{\mu m}$ 不影響此處計算；已知功率與脈衝時間即可求能量。 選項分析

Question 27

The temperature of $n$ moles of an ideal monatomic gas is increased by $\Delta T$ at constant volume. The energy $Q$ absorbed as heat, change $\Delta E_{\mathrm{int}}$ in internal energy, and work $W$ done by the environment are given by:

(A) $Q=\frac{5}{2}nR\Delta T,\ \Delta E_{\mathrm{int}}=0,\ W=0$
(B) $Q=\frac{3}{2}nR\Delta T,\ \Delta E_{\mathrm{int}}=\frac{3}{2}nR\Delta T,\ W=0$
(C) $Q=\frac{3}{2}nR\Delta T,\ \Delta E_{\mathrm{int}}=\frac{1}{2}nR\Delta T,\ W=-nR\Delta T$
(D) $Q=\frac{3}{2}nR\Delta T,\ \Delta E_{\mathrm{int}}=0,\ W=-\frac{3}{2}nR\Delta T$

Accepted Answer

核心觀念 理想單原子氣體的內能只與溫度有關： $$ E{\mathrm{int}}=\frac{3}{2}nRT $$ 因此溫度改變 $\Delta T$ 時，內能變化為： $$ \Delta E{\mathrm{int}}=\frac{3}{2}nR\Delta T $$ 熱力學第一定律若以「環境對氣體做功」為正，寫成： $$ \Delta E{\mathrm{int}}=Q+W{\mathrm{環境}} $$ 解題方法 題目指定定容，氣體體積不變，所以氣體邊界沒有位移，體積功為零： $$ W{\mathrm{環境}}=0 $$ 將單原子理想氣體的內能變化代入第一定律： $$ \frac{3}{2}nR\Delta T=Q+0 $$ 所以：

Question 28

A $60$-watt light bulb carries a current of $0.5\ \mathrm{A}$. The total charge passing through it in one hour is: (A) $3600\ \mathrm{C}$ (B) $1800\ \mathrm{C}$ (C) $3000\ \mathrm{C}$ (D) $2400\ \mathrm{C}$

Accepted Answer

核心觀念 電流定義為單位時間內通過截面的電荷量： $$ I=\frac{Q}{t} $$ 因此，時間內通過的總電荷量為： $$ Q=It $$ 解題方法 題目給定電流 $I=0.5\ \mathrm{A}$，且 $1\ \mathrm{A}=1\ \mathrm{C/s}$。一小時換算為： $$ t=1\ \mathrm{h}=3600\ \mathrm{s} $$ 代入總電荷量公式： $$ Q=(0.5\ \mathrm{C/s})(3600\ \mathrm{s})=1800\ \mathrm{C} $$ 燈泡的 $60$ 瓦功率與已知電流、通電時間無關，不需要用於計算總電荷量。 選項分析

Question 29

If the bond energy for $\mathrm{H2^+}$ is $2.65\ \mathrm{eV}$, then the bond energy for $\mathrm{H2}$ is: (A) $2.65\ \mathrm{eV}$ (B) $5.3\ \mathrm{eV}$ (C) more than $5.3\ \mathrm{eV}$ (D) less than $5.3\ \mathrm{eV}$

Accepted Answer

核心觀念 鍵能是分子解離成指定產物所需的能量。分子軌域理論中，鍵級可用來比較成鍵趨勢： $$ 	ext{鍵級}=\frac{N{	ext{成鍵電子}}-N{	ext{反鍵電子}}}{2} $$ $\mathrm{H2^+}$ 有一個電子占據成鍵軌域，鍵級為 $1/2$；$\mathrm{H2}$ 有兩個電子以相反自旋占據成鍵軌域，鍵級為 $1$。因此，$\mathrm{H2}$ 的鍵結較強，但鍵能不會恰好是 $\mathrm{H2^+}$ 的兩倍。 解題方法 若只按鍵級比例估算，$\mathrm{H2}$ 的鍵能會是 $$ 2	imes 2.65\ \mathrm{eV}=5.30\ \mathrm{eV}. $$ 但 $\mathrm{H2}$ 的兩個電子之間存在庫侖排斥。這項排斥會抵銷部分成鍵帶來的穩定化，使實際鍵能低於簡單加倍的估算。

Question 30

The stream of water emerging from a faucet necks down as it falls. This change in the horizontal cross-sectional area is characteristic of any laminar (non-turbulent) falling stream because the gravitational force increases the speed of the stream. Assume the cross-sectional area of the faucet is $A_0=1.2\ \mathrm{cm^2}$ and the cross-sectional area of the water stream that is $45\ \mathrm{mm}$ below the faucet is $A=0.35\ \mathrm{cm^2}$ . What is the volume flow rate from the tap?

(A) $33\ \mathrm{cm^3/s}$
(B) $34\ \mathrm{cm^3/s}$
(C) $72\ \mathrm{cm^3/s}$
(D) $56\ \mathrm{cm^3/s}$

Accepted Answer

核心觀念 水流可視為穩定、不可壓縮的流動，因此體積流率在各截面相同： $$ Q=A0v0=Av $$ 水柱下降時，重力使水速增加。對水龍頭出口與下方水柱套用伯努力定理；兩處壓力皆為大氣壓，垂直高度差為 $h$： $$ v^2=v0^2+2gh $$ 解題方法 由連續方程，出口與下方的速率比為 $$ \frac{v}{v0}=\frac{A0}{A} =\frac{1.2}{0.35} \approx 3.429 $$ 代入伯努力關係式： $$ \left(\frac{A0}{A}\right)^2v0^2=v0^2+2gh $$ 整理得 $$ v0=\sqrt{\frac{2gh}{\left(A0/A\right)^2-1}} $$ 統一使用公分制，$g=980\ \mathrm{cm/s^2}$，$h=45\ \mathrm{mm}=4.5\ \mathrm{cm}$： $$ v0 =\sqrt{\frac{2(980)(4.5)}{(1.2/0.35)^2-1}} \approx 28.6\ \mathrm{cm/s} $$ 因此體積流率為

Question 31

Particles having odd half-integral spins have wave functions that are: (A) symmetric (B) antisymmetric (C) either symmetric or antisymmetric (D) none of the above

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是自旋—統計定理：在三維空間中，具有半整數自旋的相同粒子遵守費米–狄拉克統計，稱為費米子；交換任意兩個相同粒子時，多粒子波函數會變號，因此是反對稱波函數。 若以 $P{12}$ 表示交換粒子 1 與粒子 2，則 $$ P{12}\Psi=-\Psi $$ 解題方法 依原卷圖第 31 題，題目問「具有奇數倍半整數自旋的粒子，其波函數具有何種對稱性」，選項分別是對稱、反對稱、兩者皆可，以及以上皆非。題目考查相同粒子交換時的波函數性質，不需要額外數值或圖形資料。

Question 32

An ice cube of weight $546\ \mathrm{g}$ melts into water at $0^\circ\mathrm{C}$ . What is the entropy change of the mass? (Latent heat of ice is $3.335\times10^5\ \mathrm{J/kg}$ .)

(A) $167\ \mathrm{J/K}$
(B) $334\ \mathrm{J/K}$
(C) $667\ \mathrm{J/K}$
(D) $946\ \mathrm{J/K}$

Accepted Answer

核心觀念 熵變可由可逆熱量與絕對溫度的關係計算： $$ \Delta S=\frac{Q{\mathrm{rev}}}{T} $$ 冰在 $0^\circ\mathrm{C}$ 融化時，吸收熔化潛熱，過程中的溫度維持在 $0^\circ\mathrm{C}=273.15\ \mathrm{K}$。題目給的 $546\ \mathrm{g}$ 是冰的質量。 解題方法 冰融化所吸收的熱量為 $$ Q{\mathrm{rev}}=mL $$ 代入質量 $m=546\ \mathrm{g}=0.546\ \mathrm{kg}$，以及冰的熔化潛熱 $L=3.335	imes10^5\ \mathrm{J/kg}$： $$ Q{\mathrm{rev}} =(0.546)(3.335	imes10^5) =1.82091	imes10^5\ \mathrm{J} $$ 因此熵變為

Question 33

An air wedge is formed between two glass plates in contact along one edge and slightly separated at the opposite edge. When illuminated with monochromatic light from above, the reflective light reveals a total of 85 dark fringes. Calculate the number of dark fringes that would appear if water ( $n=1.33$ ) were to replace the air between the plates.

(A) 78
(B) 88
(C) 103
(D) 113

Accepted Answer

核心觀念 空氣楔形薄膜在反射光下會形成等厚干涉條紋。薄膜厚度為 $t$、折射率為 $n$ 時，暗紋條件為 $$ 2nt=m\lambda $$ 其中 $m$ 為整數，$\lambda$ 為入射單色光的波長。楔形幾何與光源波長固定時，暗紋數與薄膜折射率 $n$ 成正比。 解題方法 圖中題目描述兩片玻璃在一側接觸、另一側略為分開，從上方以單色光照射，反射光共形成 85 條暗紋；接著以折射率 $n=1.33$ 的水取代空氣。兩片玻璃的楔形幾何不變，因此薄膜的最大厚度不變。 由暗紋條件，薄膜厚度每增加一個暗紋間隔，光程差增加一個波長；暗紋數因此按折射率比例增加：

Question 34

A whistle of frequency $540\ \mathrm{Hz}$ moves in a circle of radius $60.0\ \mathrm{cm}$ at an angular speed of $15.0\ \mathrm{rad/s}$ . What are the lowest, $f_l$ , and highest frequencies, $f_h$ , heard by a listener a long distance away, at rest with respect to the center of the circle?

(A) $f_l=526\ \mathrm{Hz};\ f_h=564.6\ \mathrm{Hz}$
(B) $f_l=517.4\ \mathrm{Hz};\ f_h=554.6\ \mathrm{Hz}$
(C) $f_l=526\ \mathrm{Hz};\ f_h=554.6\ \mathrm{Hz}$
(D) $f_l=517.4\ \mathrm{Hz};\ f_h=564.6\ \mathrm{Hz}$
(E) $f_l=530\ \mathrm{Hz};\ f_h=550\ \mathrm{Hz}$

Accepted Answer

核心觀念 這題考察移動聲源造成的都卜勒效應。觀察到的頻率取決於聲源速度在「聲源與聽者連線方向」上的分量，而不是聲源總速度。 聲源遠離靜止聽者時，聽到的頻率為 $$ f{	ext{遠離}}=f\frac{v}{v+vs} $$ 聲源接近靜止聽者時，聽到的頻率為 $$ f{	ext{接近}}=f\frac{v}{v-vs} $$ 其中 $f$ 是聲源頻率，$v$ 是聲速，$vs$ 是聲源沿視線方向的速度分量。題目未指定聲速，以下採用室溫空氣中的常用值 $v=343\ \mathrm{m/s}$。 解題方法 聲源沿半徑 $r=0.600\ \mathrm{m}$ 的圓周運動，角速度為 $\omega=15.0\ \mathrm{rad/s}$，因此其速率為 $$ u=\omega r=(15.0)(0.600)=9.00\ \mathrm{m/s} $$ 聽者距離圓心很遠，聲源速度在視線方向上的分量會隨位置改變，最大值為 $+9.00\ \mathrm{m/s}$（朝向聽者），最小值為 $-9.00\ \mathrm{m/s}$（遠離聽者）。 聲源遠離聽者時頻率最低： $$ fl=540\frac{343}{343+9.00} =526.2\ \mathrm{Hz} \approx 526\ \mathrm{Hz} $$ 聲源朝向聽者時頻率最高：

Question 35

A plane electromagnetic wave, with wavelength $3.0\ \mathrm{m}$ , travels in vacuum in the positive direction of an $x$ axis. The electric field, of amplitude $300\ \mathrm{V/m}$ , oscillates parallel to the $y$ axis. The wave uniformly illuminates a surface of area $2.0\ \mathrm{m^2}$ . If the surface totally absorbs the wave, what is the radiation pressure on the surface?

(A) $4.0\times10^{-4}\ \mathrm{Pa}$
(B) $4.0\times10^{-5}\ \mathrm{Pa}$
(C) $4.0\times10^{-6}\ \mathrm{Pa}$
(D) $4.0\times10^{-7}\ \mathrm{Pa}$

Accepted Answer

核心觀念

電磁波完全被表面吸收時，波所帶的動量會轉移給表面，造成輻射壓力。若波沿表面法線入射，吸收時的輻射壓力為

p=\frac{I}{c}

其中 $I$ 是電磁波的時間平均強度， $c$ 是真空中的光速。真空中的平面正弦電磁波，若電場振幅為 $E_0$ ，其時間平均強度為

I=\frac{1}{2}\epsilon_0 c E_0^2

因此完全吸收時

p=\frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2

解題方法

題目給出電場振幅 $E_0=300\ \mathrm{V/m}$ 。代入輻射壓力公式：

p=\frac{1}{2}(8.85\times10^{-12})(300)^2

p\approx 3.98\times10^{-7}\ \mathrm{Pa} \approx 4.0\times10^{-7}\ \mathrm{Pa}

因此答案為 (D)。

也可從強度與動量流率推導：表面吸收的功率為 $P=IA$ ，每秒吸收的動量為 $P/c$ ，故壓力為

Question 36

An ideal gas expands into a vacuum in a rigid vessel. As a result there is: (A) a change in entropy (B) an increase of pressure (C) a change in temperature (D) a decrease of internal energy

Accepted Answer

核心觀念

氣體向真空自由膨脹時，外界壓力為零，因此氣體不對外作功。若容器隔熱且剛性，氣體與外界沒有熱交換，容器也不作功。由熱力學第一定律，

\Delta U=Q-W=0

理想氣體的內能只與溫度有關，因此內能不變代表溫度不變。自由膨脹是不可逆過程，但熵仍可用連接相同初、末狀態的可逆路徑計算。

解題方法

設氣體初始佔據體積為 $V_i$ ，膨脹後佔據剛性容器的總體積 $V_f$ ，且 $V_f>V_i$ 。自由膨脹過程中：

氣體對外作功 $W=0$ ，因為膨脹空間是真空。
熱交換 $Q=0$ ，因為容器隔熱。
因此 $\Delta U=0$ ；對理想氣體， $\Delta T=0$ 。

理想氣體的熵變可沿等溫可逆膨脹路徑計算：

\Delta S=nR\ln\frac{V_f}{V_i}

由於 $V_f>V_i$ ，所以 $\Delta S>0$ 。氣體熵增加。

選項分析

Question 37

Force $\vec{F}=(3x^2)\hat{\mathbf{i}}+(4)\hat{\mathbf{j}}\ \mathrm{N}$ , with $x$ in meters, acts on a particle, changing only the kinetic energy of the particle. How much work is done on the particle as it moves from coordinates $(2\ \mathrm{m},3\ \mathrm{m})$ to $(3\ \mathrm{m},0\ \mathrm{m})$ ?

(A) $7.0\ \mathrm{J}$
(B) $15.0\ \mathrm{J}$
(C) $18.0\ \mathrm{J}$
(D) $20.0\ \mathrm{J}$

Accepted Answer

核心觀念 力對粒子所做的功等於力沿位移的線積分；依功－動能定理，合力所做的功也等於粒子動能的改變： $$ W=\intC \vec F\cdot d\vec r=\Delta K $$ 本題的力為 $\vec F=(3x^2)\hat{\mathbf i}+4\hat{\mathbf j}$。其 $x$ 分量只與 $x$ 有關，$y$ 分量為常數，因此功可直接分別對 $x$、$y$ 積分，結果不受路徑影響。 解題方法 令微小位移為 $d\vec r=dx\,\hat{\mathbf i}+dy\,\hat{\mathbf j}$，則 $$ \vec F\cdot d\vec r=3x^2\,dx+4\,dy $$ 從 $(xi,yi)=(2,3)$ 移至 $(xf,yf)=(3,0)$，所以 $$ \begin{aligned} W &=\int{2}^{3}3x^2\,dx+\int{3}^{0}4\,dy\ &=\left[x^3ight]{2}^{3}+\left[4yight]{3}^{0}\ &=(27-8)+4(0-3)\ &=19-12\ &=7.0\ \mathrm{J} \end{aligned} $$

Question 38

A piece of ice falls from rest into a lake at $0^\circ\mathrm{C}$ , and one-half of one percent of the ice melts. Compute the minimum height from which the ice falls.

(A) $171\ \mathrm{m}$
(B) $172\ \mathrm{m}$
(C) $173\ \mathrm{m}$
(D) $174\ \mathrm{m}$

Accepted Answer

核心觀念 冰塊由靜止落下時，重力位能轉為動能；撞擊湖面後，動能可轉成熱能，提供冰融化所需的熔化潛熱。冰與湖水都在 $0^\circ\mathrm{C}$，因此計算融化所需能量時使用熔化潛熱，不必另外計算升溫所需的熱量。 求「最小高度」時，採用理想情況：冰塊落下的重力位能全部用來融化冰。 解題方法 設冰塊質量為 $m$，融化的質量比例為 $f$。題目給出融化比例為 $$ f=0.5\%=0.005 $$ 冰塊下降高度 $h$ 所減少的重力位能為 $mgh$；融化質量 $fm$ 所需的熱量為 $fmLf$，其中冰的熔化潛熱取 $Lf=3.36	imes10^5\ \mathrm{J/kg}$。依能量守恆： $$ mgh=fmLf $$ 約去冰塊總質量 $m$，得到

Question 39

What is the thermal efficiency of an engine that operates by taking an ideal gas through the following cycle? Let $C_V=12\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ . Start with $n$ moles at $P_0$ , $V_0$ , $T_0$ .

Change to $2P_0$ , $V_0$ , at constant volume.
Change to $2P_0$ , $2V_0$ , at constant pressure.
Change to $P_0$ , $2V_0$ , at constant volume.
Change to $P_0$ , $V_0$ , at constant pressure.

(A) $15.6\%$
(B) $15.7\%$
(C) $15.8\%$
(D) $15.9\%$

Accepted Answer

核心觀念 熱機的熱效率定義為 $$ \eta=\frac{W{	ext{net}}}{Q{	ext{in}}}, $$ 其中 $W{	ext{net}}$ 是一個循環的淨作功，$Q{	ext{in}}$ 是循環中吸收的總熱量。以氣體對外作功為正，熱量流入氣體為正。 理想氣體內能變化為 $\Delta U=nCV\Delta T$；定壓過程的作功為 $W=P\Delta V$，定容過程則有 $W=0$。由第一定律，$Q=\Delta U+W$。 解題方法 由理想氣體方程式 $PV=nRT$，四個狀態的溫度依序為 $$ TA=T0,\qquad TB=2T0,\qquad TC=4T0,\qquad TD=2T0. $$ 逐段計算吸熱量： - $A	o B$ 為定容過程，$\Delta T=T0$： $$ Q{AB}=nCVT0=12nT0. $$ - $B	o C$ 為定壓過程，$\Delta T=2T0$： $$ Q{BC}=nCV(2T0)+(2P0)(V0) =n(24+2R)T0, $$ 其中使用 $P0V0=nRT0$。 - $C	o D$ 為定容降溫，放熱： $$ Q{CD}=nCV(-2T0)=-24nT0. $$ - $D	o A$ 為定壓壓縮，放熱： $$ Q{DA}=nCV(-T0)+P0(-V0) =-n(12+R)T0. $$ 因此，循環吸收的總熱量只有前兩段的正熱量：

Question 40

The Mach number used by aerodynamicists is the ratio of the speed of an aircraft to the speed of sound in the air through which the plane is flying. If the supersonic jet Concorde flies at Mach $2.1$, where the local speed of sound is $320\ \mathrm{m/s}$, find the half-angle of the resultant conical shock wave. (A) $24.8^\circ$ (B) $28.4^\circ$ (C) $42.8^\circ$ (D) $48.2^\circ$

Accepted Answer

核心觀念 馬赫數定義為飛機速度 $v$ 與當地音速 $cs$ 的比值： $$ M=\frac{v}{cs} $$ 飛機以超音速飛行時，飛行過程中產生的聲波波前會形成圓錐形包絡面。圓錐半角 $\mu$（馬赫角）與馬赫數的關係為： $$ \sin\mu=\frac{cs}{v}=\frac{1}{M} $$ 解題方法 題目給定 $M=2.1$，直接代入馬赫角公式： $$ \mu=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2.1}\right) =\sin^{-1}(0.4762) \approx 28.4^\circ $$ 因此，震波圓錐的半角為 $28.4^\circ$，選項為 (B)。 題目提供的音速 $320\ \mathrm{m/s}$ 不必另外代入；因為已知馬赫數，音速與飛機速度的比值已由 $1/M$ 決定。 選項分析

Question 41

A cylindrical conductor of circular cross section has a radius of $a$ and a resistivity $\rho$ and carries a constant current $I$. What are the magnitude and direction of the $\vec{H}$-vector at the same point? (A) $\frac{Ir}{\pi a^2}$, parallel to wire (B) $\frac{Ir}{\pi a^2}$, perpendicular to wire (C) $\frac{Ir}{2\pi a^2}$, perpendicular to wire (D) $\frac{Ir}{2\pi a^2}$, parallel to wire

Accepted Answer

核心觀念 本題考查安培定律與圓柱導線內部的磁場分布。磁場強度 $\vec H$ 的方向沿著導線軸心周圍的圓周切線，因此與導線方向垂直。 導體內的電流密度均勻時，距離軸心 $r$、且位於導體內部（$r\le a$）的安培迴路所包圍電流為 $$ I{	ext{enc}}=I\frac{\pi r^2}{\pi a^2} =I\frac{r^2}{a^2}. $$ 安培定律為 $$ \oint \vec H\cdot d\vec l=I{	ext{enc}}. $$ 解題方法 取半徑為 $r$、與導線同軸的圓形安培迴路。由圓柱對稱性，迴路上各點的 $H$ 大小相同，且方向沿迴路切線，因此 $$ H(2\pi r)=I{	ext{enc}}. $$ 代入包圍電流：

Question 42

How many possible directions in space are there for the vector of orbital angular momentum with the orbital quantum number $l=3$? (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Accepted Answer

核心觀念 軌道角動量的量子數為 $l$ 時，磁量子數 $ml$ 可取整數值 $$ ml=-l,-l+1,\ldots,0,\ldots,l-1,l $$ 因此，軌道角動量在指定參考軸上的投影共有 $2l+1$ 種允許值，慣稱角動量向量有 $2l+1$ 種允許取向。 解題方法 本題給定 $l=3$，代入允許取向數公式： $$ 2l+1=2(3)+1=7 $$ 也可直接列出磁量子數： $$ ml=-3,-2,-1,0,1,2,3 $$ 共有 $7$ 個值，因此答案為 (D)。

Question 43

The ballistic pendulum was used to measure the speeds of bullets. It consists of a large block of wood of mass $M=5.4\ \mathrm{kg}$, hanging from two long cords. A bullet of mass $m=9.5\ \mathrm{g}$ is fired into the block, coming quickly to rest. The block and bullet then swing upward, their center of mass rising a vertical distance $h=6.3\ \mathrm{cm}$ before the pendulum comes momentarily to rest at the end of its arc. What is the speed of the bullet just prior to the collision? (A) $450\ \mathrm{m/s}$ (B) $200\ \mathrm{m/s}$ (C) $630\ \mathrm{m/s}$ (D) $600\ \mathrm{m/s}$

Accepted Answer

核心觀念 這題考兩個階段的物理定律： 1. 子彈嵌入木塊的碰撞是完全非彈性碰撞。碰撞時間極短，水平方向外力衝量可忽略，因此碰撞前後的水平動量守恆；碰撞過程中機械能不守恆。 2. 木塊與子彈一起上升時，動能轉換為重力位能，忽略阻力後，機械能守恆。 解題方法 令碰撞後木塊與子彈的共同速度為 $V$。子彈進入木塊後停下，兩者一起擺動，因此碰撞前後的動量關係為 $$ mv=(M+m)V $$ 其中 $v$ 是子彈碰撞前的速度。 接著利用擺升高度 $h$，將碰撞後的動能轉換成重力位能： $$ \frac{1}{2}(M+m)V^2=(M+m)gh $$ 約去總質量，得到 $$ V=\sqrt{2gh} $$ 代入 $h=6.3\ \mathrm{cm}=0.063\ \mathrm{m}$、$g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$： $$ V=\sqrt{2(9.8)(0.063)} \approx 1.11\ \mathrm{m/s} $$ 再由動量守恆求子彈速度： $$ v=\frac{M+m}{m}V $$

Question 44

A camera lens with index of refraction greater than $1.30$ is coated with a thin transparent film of index of refraction $1.25$ to eliminate by interference the reflection of light at wavelength $\lambda$ that is incident perpendicularly on the lens. What multiple of $\lambda$ gives the minimum film thickness needed? (A) $0.5\lambda$ (B) $0.4\lambda$ (C) $0.3\lambda$ (D) $0.2\lambda$ (E) $0.1\lambda$

Accepted Answer

核心觀念 薄膜干涉的反射光相消條件，需同時計算： 1. 光在薄膜內往返造成的光程差。 2. 光在界面反射時是否發生相位反轉。 光由折射率較低的介質射向較高折射率介質反射時，反射光會多出 $\pi$ 的相位差，也就是半個波長的相位反轉。本題入射光由空氣射向折射率 $1.25$ 的薄膜，另一束反射光則由薄膜射向折射率大於 $1.30$ 的鏡頭；兩次反射都是由低折射率介質射向高折射率介質，因此兩束反射光都反轉 $\pi$，彼此的反射相位差為零。 解題方法 設薄膜厚度為 $t$、折射率為 $nf=1.25$。光垂直入射後，在薄膜內往返一次，光程差為 $$ \Delta = 2nf t $$ 其中 $\lambda$ 是光在空氣中的波長。由於兩束反射光的相位反轉相同，反射造成的相位差互相抵消。要使反射光相消，最小光程差須為半個波長： $$ 2nf t=\frac{\lambda}{2} $$ 因此 $$ t=\frac{\lambda}{4nf} =\frac{\lambda}{4(1.25)} =0.20\lambda $$

Question 45

The electric potential in a certain region of space is given by $V=-7.5x^2+3x$, where $V$ is in volts and $x$ is in meters. In this region the equipotential surfaces are: (A) planes parallel to the $yz$ plane (B) planes parallel to the $x$ axis (C) concentric spheres centered at the origin (D) concentric cylinders with the $x$ axis as the cylinder axis

Accepted Answer

核心觀念 等位面是空間中電位 $V$ 相同的點所構成的曲面。判斷等位面的形狀時，先看電位函數依賴哪些座標： - 若電位只依賴 $x$，則 $V$ 相同時，$x$ 必須固定；$y$、$z$ 可任意變化。 - $x$ 固定所形成的曲面是平行於 $yz$ 平面的平面。 解題方法 令電位為某一固定值 $V0$： $$ -7.5x^2+3x=V0 $$ 這個方程只決定 $x$ 的值，不限制 $y$ 或 $z$。因此，每個符合條件的 $x$ 值都對應一個平行於 $yz$ 平面的等位面。 由於 $V$ 對 $x$ 是二次函數，一個電位值可能對應兩個不同的 $x$ 值；此時會有兩個平行平面。這不會改變等位面的方向與形狀。 選項分析

Question 46

One end of a steel rod of radius $R=9.5\ \mathrm{mm}$ and length $L=81\ \mathrm{cm}$ is held in a vise. A force of magnitude $F=62\ \mathrm{kN}$ is then applied perpendicularly to the end face (uniformly across the area) at the other end, pulling directly away from the vise. Young’s modulus for steel is $2.0	imes10^{11}\ \mathrm{N/m^2}$. What is the strain of the rod? (A) $0.41\%$ (B) $0.31\%$ (C) $0.21\%$ (D) $0.11\%$

Accepted Answer

核心觀念 桿受到沿長軸方向的拉力時，正向應力定義為單位截面積承受的軸向力： $$ \sigma=\frac{F}{A} $$ 應變定義為長度的相對變化量 $\varepsilon=\Delta L/L$。在材料仍處於彈性範圍時，楊氏模數滿足 $$ E=\frac{\sigma}{\varepsilon} \qquad\Longrightarrow\qquad \varepsilon=\frac{\sigma}{E}=\frac{F}{AE} $$ 此處拉力垂直於桿的端面，方向沿桿軸，因此使用圓形端面的截面積 $A=\pi R^2$。 解題方法 先將半徑換算為公尺： $$ R=9.5\ \mathrm{mm}=9.5	imes10^{-3}\ \mathrm{m} $$ 計算桿的截面積： $$ A=\pi R^2 =\pi(9.5	imes10^{-3})^2 \approx 2.84	imes10^{-4}\ \mathrm{m^2} $$ 因此桿內的正向應力為 $$ \sigma=\frac{62	imes10^3}{2.84	imes10^{-4}} \approx 2.19	imes10^8\ \mathrm{N/m^2} $$

Question 47

During an adiabatic expansion, the temperature of $0.1\ \mathrm{mol}$ of oxygen drops from $30^\circ\mathrm{C}$ to $10^\circ\mathrm{C}$. How much work does the gas do? (A) $40.0\ \mathrm{J}$ (B) $41.0\ \mathrm{J}$ (C) $42.0\ \mathrm{J}$ (D) $43.0\ \mathrm{J}$

Accepted Answer

核心觀念 絕熱過程中，氣體與外界沒有熱量交換，因此 $Q=0$。依熱力學第一定律，若 $W$ 表示氣體對外做的功，則 $$ \Delta U=Q-W=-W $$ 所以氣體對外做功為 $W=-\Delta U$。理想氣體的內能變化只與溫度變化有關。 氧氣在此溫度範圍可視為雙原子理想氣體，平動與轉動自由度均有貢獻，故定容莫耳熱容量為 $$ CV=\frac{5}{2}R $$ 解題方法 將溫度換算為絕對溫度： $$ T1=30+273.15=303.15\ \mathrm{K},\qquad T2=10+273.15=283.15\ \mathrm{K} $$ 溫度變化為 $\Delta T=T2-T1=-20\ \mathrm{K}$。內能變化為

Question 48

The amplitude of the vibrations of a certain sound wave is increased by $50\%$. What is the increase in the decibel level of the sound? (A) $3.52\ \mathrm{dB}$ (B) $35.2\ \mathrm{dB}$ (C) $1.76\ \mathrm{dB}$ (D) $17.6\ \mathrm{dB}$

Accepted Answer

核心觀念 分貝聲級以聲強比值定義： $$ \Delta \beta=10\log{10}\left(\frac{I2}{I1}\right)\ \mathrm{dB} $$ 在介質與頻率不變時，聲強 $I$ 與振動振幅 $A$ 的平方成正比： $$ I\propto A^2 $$ 因此，振幅增加 $50\%$，表示新振幅是原來的 $1.5$ 倍，而不是 $0.5$ 倍。 解題方法 設原振幅為 $A1$、新振幅為 $A2$，則 $$ \frac{A2}{A1}=1.5 $$ 由於聲強與振幅平方成正比， $$ \frac{I2}{I1} =\left(\frac{A2}{A1}\right)^2 =(1.5)^2 =2.25 $$ 代入分貝聲級差公式： $$ \Delta \beta =10\log{10}(2.25) =20\log{10}(1.5) \approx 3.52\ \mathrm{dB} $$ 選項分析

Question 49

When the rectangular metal tank in the figure is filled to the top with an unknown liquid, observer $O$, with eyes level with the top of the tank, can just see corner $E$. A ray that refracts toward $O$ at the top surface of the liquid is shown. If $D=85.0\ \mathrm{cm}$ and $L=1.10\ \mathrm{m}$, what is the index of refraction of the liquid? 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $1.26$ (B) $1.28$ (C) $1.30$ (D) $1.32$

Accepted Answer

核心觀念 液體中的光線射向液面並進入空氣時，遵守斯涅耳定律： $$ n{	ext{液}}\sin	heta{	ext{液}} = n{	ext{空氣}}\sin	heta{	ext{空氣}} $$ 題圖中，出射光線沿液面方向前進，表示折射角為 $90^\circ$，此時入射角就是液體的臨界角。 解題方法 圖中液面是水平面，法線垂直液面；光線從右下角 $E$ 射向左側液面，再折射至與液面同高的觀察者 $O$。幾何上，光線的水平位移為 $L=1.10\ \mathrm{m}$，垂直位移為 $D=0.850\ \mathrm{m}$。 由斯涅耳定律，且 $n{	ext{空氣}}\approx 1$、$	heta{	ext{空氣}}=90^\circ$： $$ n{	ext{液}}\sin	heta{	ext{液}}=1 $$ 由直角三角形，入射角是光線與法線的夾角，因此 $$ \sin	heta{	ext{液}} = \frac{L}{\sqrt{L^2+D^2}} $$ 代入可得

Question 50

To throw an $80\ \mathrm{kg}$ opponent with a basic judo hip throw, you intend to pull his uniform with a force and a moment arm $d1=0.30\ \mathrm{m}$ from a pivot point (rotation axis) on your right hip. Before you throw him, you bend your opponent forward to bring his center of mass to your hip. If you wish to rotate him about the pivot point with an angular acceleration of $6.0\ \mathrm{rad/s^2}$, what must be the magnitude of the force? Assume that his rotational inertia relative to the pivot point is $15\ \mathrm{kg\,m^2}$. (A) $300\ \mathrm{N}$ (B) $15680\ \mathrm{N}$ (C) $39\ \mathrm{N}$ (D) $2940\ \mathrm{N}$

Accepted Answer

核心觀念 剛體繞固定轉軸轉動時，合力矩與角加速度的關係為 $$ \sum 	au = I\alpha $$ 其中 $I$ 是相對該轉軸的轉動慣量，$\alpha$ 是角加速度。若施力方向與力臂垂直，力矩大小為 $	au=Fd$，其中 $d$ 是力臂。 解題方法 題目給定相對右髖轉軸的轉動慣量 $I=15\ \mathrm{kg\,m^2}$，並要求角加速度 $\alpha=6.0\ \mathrm{rad/s^2}$。因此所需力矩為 $$ 	au=I\alpha =(15)(6.0) =90\ \mathrm{N\,m} $$ 施力的力臂為 $d1=0.30\ \mathrm{m}$，所以 $$ F=\frac{	au}{d1} =\frac{90}{0.30} =300\ \mathrm{N} $$ 將對手的質心移到髖部，表示重力對髖部轉軸的力矩不造成額外影響；本題依給定的轉動慣量與施力力臂求所需力。 選項分析

111 年 國立成功大學綠色應用材料碩士班《物理》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 9 題

第 10 題

第 11 題

核心觀念

解題方法

第 12 題

第 13 題

核心觀念

解題方法

第 14 題

核心觀念

解題方法

第 15 題

核心觀念

解題方法

第 16 題

第 17 題

第 18 題

核心觀念

解題方法

第 19 題

第 20 題

核心觀念

解題方法

第 21 題

第 22 題

第 23 題

核心觀念

解題方法

第 24 題

第 25 題

第 26 題

第 27 題

核心觀念

解題方法

第 28 題

第 29 題

第 30 題

第 31 題

核心觀念

解題方法

第 32 題

核心觀念

解題方法

第 33 題

第 34 題

第 35 題

核心觀念

解題方法

第 36 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 37 題

第 38 題

第 39 題

核心觀念

解題方法

第 40 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 41 題

第 42 題

第 43 題

核心觀念

解題方法

第 44 題

111 年國立成功大學綠色應用材料碩士班《物理》