109 年 國立臺灣大學海洋研究所物理與化學與地物組（3組聯招）《應用數學（B）》

本題考查一階線性微分方程式與 Bernoulli 方程式的求解。

(a) 此為一階線性微分方程式，形式為 $y' + P(x)y = Q(x)$。
我們首先計算積分因子 (integrating factor) $\mu(x)$：
$P(x) = \frac{1}{x}$
$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln|x|} = |x|$
我們取 $\mu(x) = x$ (假設 $x>0$)。
將原方程式兩邊同乘以積分因子 $x$：
$x(y' + \frac{1}{x}y) = x(x^2 + 2)$
$xy' + y = x^3 + 2x$
左式為 $(xy)'$。
$\frac{d}{dx}(xy) = x^3 + 2x$
兩邊對 $x$ 積分：
$xy = \int (x^3 + 2x) dx$
$xy = \frac{1}{4}x^4 + x^2 + C$
$y = \frac{1}{4}x^3 + x + \frac{C}{x}$
其中 $C$ 為任意常數。

(b) 此為 Bernoulli 方程式，形式為 $y' + P(x)y = Q(x)y^n$，其中 $n \neq 0, 1$。
原方程式為 $xy' + y = y^2$。
將 $x$ 除過去，得到 $y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}y^2$。
此為 Bernoulli 方程式，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{1}{x}$，$n=2$。
令 $v = y^{1-n} = y^{1-2} = y^{-1}$。

核心觀念

線性系統

$$X'=AX$$

的解法建立在矩陣特徵值與特徵向量上。若

$$Av=\lambda v,$$

則

$$X(t)=e^{\lambda t}v$$

是線性系統的一組解。當矩陣 $A$ 有三個相異特徵值時，對應的特徵向量線性獨立，因此一般解為各組解的線性組合。

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解題方法

令

$$A= \begin{pmatrix} 2&0&1\\ 0&-2&-2\\ 2&0&0 \end{pmatrix}.$$

先求特徵方程

$$\det(\lambda I-A)=0.$$

其中

$$\lambda I-A= \begin{pmatrix} \lambda-2&0&-1\\ 0&\lambda+2&2\\ -2&0&\lambda \end{pmatrix}.$$

沿第一列展開：

$$\begin{aligned} \det(\lambda I-A) &=(\lambda-2) \begin{vmatrix} \lambda+2&2\\ 0&\lambda \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 0&\lambda+2\\ -2&0 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)\lambda(\lambda+2)-2(\lambda+2)\\ &=(\lambda+2)(\lambda^2-2\lambda-2). \end{aligned}$$

因此特徵方程為

$$(\lambda+2)(\lambda^2-2\lambda-2)=0.$$

所以三個特徵值為

$$\lambda_1=-2,\qquad \lambda_2=1+\sqrt{3},\qquad \lambda_3=1-\sqrt{3}.$$

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（a）特徵向量

設特徵向量為

$$v= \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}.$$

由 $(A-\lambda I)v=0$ 得

$$\begin{cases} (2-\lambda)x+z=0,\\ (-2-\lambda)y-2z=0,\\ 2x-\lambda z=0. \end{cases}$$

當 $\lambda\neq -2$ 時，可取 $z=2$。由第三式得到

$$x=\lambda,$$

由第二式得到

$$y=-\frac{2}{\lambda+2}.$$

因此，對於 $\lambda=1\pm\sqrt{3}$，可取特徵向量

$$v(\lambda)= \begin{pmatrix} \lambda\\[2pt] -\dfrac{2}{\lambda+2}\\[4pt] 2 \end{pmatrix}.$$

故

$$\lambda_2=1+\sqrt{3}$$

所對應的特徵向量可取為

$$v_2= \begin{pmatrix} 1+\sqrt{3}\\[2pt] -\dfrac{2}{3+\sqrt{3}}\\[4pt] 2 \end{pmatrix}.$$

而

$$\lambda_3=1-\sqrt{3}$$

所對應的特徵向量可取為

$$v_3= \begin{pmatrix} 1-\sqrt{3}\\[2pt] -\dfrac{2}{3-\sqrt{3}}\\[4pt] 2 \end{pmatrix}.$$

當 $\lambda_1=-2$ 時，代入 $(A+2I)v=0$：

核心觀念

設

$$F=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j}+R\,\mathbf{k},$$

其中

$$P=\sinh x,\qquad Q=\cosh(xyz),\qquad R=-(x+y+z).$$

本題使用：

• 散度：

$$\nabla\cdot F =\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z}$$

• 旋度：

$$\nabla\times F = \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)$$

• 向量微積分恆等式：

$$\nabla\cdot(\nabla\times F)=0$$

只要 $F$ 的分量具有連續二階偏導數即可。本題中的雙曲函數與多項式皆光滑，因此可直接使用。

解題方法

先將向量場分量寫清楚：

$$F=\sinh(x)\mathbf{i}+\cosh(xyz)\mathbf{j}-(x+y+z)\mathbf{k}.$$

令

$$u=xyz.$$

(a) 計算 $\nabla\cdot F$ 與 $\nabla\times F$

1. 散度

各偏導數為

$$\frac{\partial P}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\sinh x =\cosh x,$$ $$\frac{\partial Q}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\cosh(xyz) =\sinh(xyz)\frac{\partial(xyz)}{\partial y} =xz\sinh(xyz),$$ $$\frac{\partial R}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}[-(x+y+z)] =-1.$$

因此

$$\boxed{ \nabla\cdot F =\cosh x+xz\sinh(xyz)-1 }$$

2. 旋度

第一分量：

$$\frac{\partial R}{\partial y}=-1,$$

且

$$\frac{\partial Q}{\partial z} =\sinh(xyz)\frac{\partial(xyz)}{\partial z} =xy\sinh(xyz).$$

所以

$$(\nabla\times F)_1 =-1-xy\sinh(xyz).$$

第二分量：

$$\frac{\partial P}{\partial z}=0, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=-1,$$

因此

$$(\nabla\times F)_2=0-(-1)=1.$$

第三分量：

$$\frac{\partial Q}{\partial x} =\sinh(xyz)\frac{\partial(xyz)}{\partial x} =yz\sinh(xyz),$$

且

$$\frac{\partial P}{\partial y}=0.$$

因此

$$(\nabla\times F)_3=yz\sinh(xyz).$$

綜合得到

本題考查一維波動方程式的齊次邊界條件下的達朗貝爾解法 (d'Alembert's solution)。

波動方程式為：
$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$
$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - a^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0$
令 $\xi = x - at$ 和 $\eta = x + at$ 為新的座標。
則 $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta}$
$\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial t} = -a\frac{\partial}{\partial \xi} + a\frac{\partial}{\partial \eta}$

$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = (\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta})(\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta})y = (\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2})y$
$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = (-a\frac{\partial}{\partial \xi} + a\frac{\partial}{\partial \eta})(-a\frac{\partial}{\partial \xi} + a\frac{\partial}{\partial \eta})y = a^2(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2})y$

將這些代入波動方程式：
$a^2(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} - 2\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2})y = a^2(\frac{\partial^2}{\partial \xi^2} + 2\frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta} + \frac{\partial^2}{\partial \eta^2})y$