109 年 國立臺灣大學海洋研究所物理與化學與地物組（3組聯招）《流體力學（H）》

此題考查的是流體靜力學中的壓力概念。

在水中，由於水的重力作用，水深越深，壓力越大。任何試圖在水中形成的空洞，其周圍的水都會因為壓力差而迅速填補。具體來說，空洞的邊界會承受來自四周水的壓力。如果空洞內部是真空（壓力為零），那麼外部水的壓力就會推動水來填滿這個空洞。

此題考查的是流體力學中的連續性方程式（Continuity Equation）和動量方程式（Navier-Stokes Equations）在笛卡爾座標系下的表達形式及其各項的物理意義。

在三維笛卡爾座標系 $(x, y, z)$ 下，假設流體密度為 $\rho$，速度向量為 $\mathbf{v} = (u, v, w)$，其中 $u, v, w$ 分別為沿 $x, y, z$ 方向的速度分量。

a) 連續性方程式 (Continuity Equation)

連續性方程式是基於質量守恆原理。對於任意控制體積，進入的質量率減去出去的質量率等於控制體積內質量的累積變化率。

在笛卡爾座標系下，連續性方程式的微分形式為：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} = 0$
或寫成向量形式：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$

各項意義：

• $\frac{\partial \rho}{\partial t}$: 體積內單位時間內密度的變化率。描述了流體密度隨時間的變化。
• $\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}$: 沿 $x$ 方向流體質量通量的變化率。
• $\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}$: 沿 $y$ 方向流體質量通量的變化率。
• $\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}$: 沿 $z$ 方向流體質量通量的變化率。
• $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})$: 質量通量的散度，表示單位體積內質量淨流出的速率。

若流體為不可壓縮流體，則 $\rho$ 為常數，連續性方程式簡化為：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$
或
$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$
這表示不可壓縮流體的流場是無散度的。

b) 動量方程式 (Navier-Stokes Equations)

Navier-Stokes 方程式是基於牛頓第二運動定律（$\mathbf{F}=m\mathbf{a}$），描述了流體微團的動量變化。它是一個向量方程式，包含三個分量方程式，分別對應 $x, y, z$ 方向的動量守恆。

在笛卡爾座標系下，考慮單位體積的動量方程式為：
$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{g}$
其中：

• $\rho$: 流體密度。
• $\mathbf{v}$: 流體速度向量 $(u, v, w)$。
• $t$: 時間。
• $p$: 熱力學壓力。
• $\boldsymbol{\tau}$: 黏性應力張量 (viscous stress tensor)。
• $\mathbf{g}$: 重力加速度向量。

展開後，其 $x$ 方向的分量方程式為：
$\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + \rho g_x$

此題考查的是向量微積分中的梯度（gradient）和散度（divergence）概念，以及它們在流體力學中的應用。

a) 梯度 (Gradient)

梯度是一個向量算子，它作用在一個純量場上，產生一個向量場。這個向量場的方向指向純量場增加最快的方向，而其量值則表示該方向上的變化率。

在三維空間中，對於一個純量場 $\phi(x, y, z)$，其梯度定義為：
$\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k}$
其中 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 是沿 $x, y, z$ 方向的單位向量。

b) 散度 (Divergence)

散度是一個向量算子，它作用在一個向量場上，產生一個純量場。這個純量場表示向量場在某一點的「源強度」或「匯強度」，即單位體積內向量場的淨流出量。如果散度為正，表示該點是向量場的「源」；如果為負，表示該點是向量場的「匯」；如果為零，則表示該點既不是源也不是匯，向量場在此處是無散度的。

在三維空間中，對於一個向量場 $\mathbf{F} = F_x \mathbf{i} + F_y \mathbf{j} + F_z \mathbf{k}$，其散度定義為：
$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$

c) 在流體力學中的應用

• 梯度的應用：
  1. 壓力梯度：在流體靜力學和動力學中，壓力梯度 $(-\nabla p)$ 是驅動流體流動的重要因素。壓力梯度力是單位體積流體受到的壓力作用的淨力。例如，在水平管道中，如果壓力隨長度減小，則壓力梯度為負，流體會從高壓區流向低壓區。在重力作用下，壓力隨深度增加，即 $\nabla p$ 沿深度方向（通常是 $z$ 軸負方向）有分量。

此題考查的是流體靜力學中的壓力分佈與總壓力計算，特別是對於非平面底部的物體，需要運用壓力積分或壓力中心的概念，或者更簡便地利用壓力在液體表面投影的壓力來計算。

已知條件：

• 半球直徑 $D = 0.4$ m，故半徑 $R = D/2 = 0.2$ m。
• 水深 $H = 1.2$ m。
• 水密度 $\rho = 1000$ kg/m³。
• 重力加速度 $g \approx 9.8$ m/s² (題目未給定，一般取此值或 10 m/s²。為求精確，我們使用 9.8 m/s²)。

核心觀念：

1. 靜壓力：在靜止流體中，深度為 $h$ 處的壓力為 $p = \rho g h$ (相對於大氣壓力，若考慮大氣壓力則為 $p = p_{atm} + \rho g h$)。
2. 總壓力：作用在一個平面上的總壓力是壓力乘以面積的積分。對於曲面，總壓力是壓力在曲面上積分的結果。
3. 壓力合力：作用在一個封閉曲面上的壓力合力，其水平分量為零（因為壓力方向沿法線，各方向分量相互抵消），其鉛垂分量等於物體上方被該曲面所截取的流體柱的重量（阿基米德原理的推廣）。

解題步驟：

a) 水平分量 ($F_x$)

由於水箱是靜止的，且半球是完全對稱的，對於半球而言，在任何水平方向上，它所受到的壓力分量都會被對向方向的分量抵消。換句話說，由於半球的對稱性，作用在半球表面的壓力在水平方向上的合力為零。

或者，我們可以考慮作用在半球上的壓力：
壓力 $p(z) = \rho g (H - z)$，其中 $z$ 是從半球底部（或水箱底部）算起的座標，半球頂部的高度為 $R=0.2$ m，水箱底部為 $z=0$，水面為 $z=1.2$ m。
半球表面的法線方向與水平方向的夾角為 $\theta$。
水平壓力分量 $dF_x = p(z) dA \cos\theta$。
由於半球的旋轉對稱性，對於任一水平方向，其壓力分量都會被對面的壓力分量抵消。因此，總的水平合力為零。

b) 鉛垂分量 ($F_z$)

對於作用在半球表面的鉛垂壓力合力，我們可以考慮兩種方法：

方法一：直接積分壓力

將半球的鉛垂表面分成無數個微小面積 $dA$。壓力 $p$ 在該點處垂直於表面。鉛垂分量為 $dF_z = p dA \cos\alpha$，其中 $\alpha$ 是壓力方向與鉛垂方向的夾角。
考慮半球的上半部分（暴露在水中），其表面可以用極座標表示。設半球頂部為 $z=R$ (相對於半球中心)，底部為 $z=-R$。水的深度是 $H=1.2$ m。
半球的頂部是在水面下 $1.2 - 0.2 = 1.0$ m 處。
半球的底部是接觸水箱底部。
這裡我們需要明確半球是「向上」突出的還是「向下」突出的。從圖示來看，半球是從水箱底部「向上」突出的。
設水箱底部為 $z=0$，水面為 $z=1.2$ m。半球底部在 $z=0$ 處，半球頂部在 $z=R=0.2$ m 處。
在半球表面某一點，其深度為 $h = H - z = 1.2 - z$。
壓力為 $p(z) = \rho g (1.2 - z)$。
考慮半球的表面微元 $dA$。其鉛垂方向的面積投影為 $dA_z = dA \cos\phi$，其中 $\phi$ 是 $dA$ 的法線與鉛垂方向的夾角。
則 $dF_z = p(z) dA_z = p(z) dA \cos\phi$。
對於半球，我們可以將其視為由無數個水平圓盤組成。
或者，更簡便的方法是考慮物體上方被截取的流體體的重量。

方法二：利用浮力原理推廣 (壓力合力的鉛垂分量)

作用在一個封閉曲面上的壓力合力的鉛垂分量，等於該曲面上方被該曲面所截取的流體體積的重量。
在這個問題中，半球是從水箱底部向上突出的。因此，我們需要考慮半球「上方」的流體。
半球的頂部高度為 $R=0.2$ m，水深為 $H=1.2$ m。
因此，半球「上方」被半球截取的流體體積，是從水箱底部 (z=0) 到半球頂部 (z=0.2 m) 之間的這部分水。
這個體積就是一個直徑為 $D=0.4$ m，高度為 $R=0.2$ m 的圓柱體體積，減去半球的體積。
然而，題目問的是「半球所受的靜壓總力」，這通常是指作用在半球「表面」上的壓力合力。

正確理解鉛垂分量計算：
作用在曲面上的壓力合力的鉛垂分量，等於該曲面在鉛垂方向上的投影所承受的壓力。
對於向上突出的半球，我們需要計算「半球頂部」到「水面」這段水柱的重量。
半球的頂部高度為 $z=R=0.2$ m。水面高度為 $z=H=1.2$ m。
因此，半球頂部上方的水柱高度是 $H_{effective} = H - R = 1.2 - 0.2 = 1.0$ m。
這個水柱的截面積是半球頂部的截面積，即一個圓的面積，$A_{top} = \pi R^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi$ m²。
這個水柱的重量為 $W_{column} = \rho g A_{top} H_{effective} = 1000 \times 9.8 \times (0.04\pi) \times 1.0 = 392\pi$ N。
這個重量是向下作用的。

但是，這不是作用在半球「表面」上的總鉛垂力。
作用在半球「表面」的鉛垂壓力合力，等於該半球「上方」被半球截取的流體體積的重量。
考慮半球的上方，即從半球的頂部（高度 $z=0.2$ m）到水面（高度 $z=1.2$ m）這段水。
半球本身佔據了從 $z=0$ 到 $z=0.2$ m 的空間。
我們需要計算的是，在半球頂部的高度 $z=0.2$ m 處，其上方到水面 $z=1.2$ m 處，這部分水的「重量」。
這部分水構成一個圓柱體，其底部是半球頂部的圓形截面，高度為 $1.2 - 0.2 = 1.0$ m。
圓柱體的體積 $V_{column} = A_{top} \times H_{effective} = (\pi R^2) \times (H-R) = \pi (0.2)^2 \times (1.2-0.2) = 0.04\pi \times 1.0 = 0.04\pi$ m³。
這個圓柱體的重量為 $W = \rho g V_{column} = 1000 \times 9.8 \times 0.04\pi = 392\pi$ N。
這個重量是向下作用的。

另一種理解鉛垂分量：
作用在半球「表面」的壓力合力的鉛垂分量，可以通過積分計算。
考慮半球的表面微元 $dA$。其法線向量 $\mathbf{n}$ 與鉛垂方向的夾角為 $\phi$。
壓力 $p$ 作用在 $dA$ 上，壓力合力的鉛垂分量為 $dF_z = p dA \cos\phi$。
對於半球，我們可以考慮從半球頂部到底部進行積分。
設半球頂部為 $z=R$，底部為 $z=-R$ (以半球中心為原點)。
或者，以水箱底部為 $z=0$，半球頂部為 $z=R=0.2$。
則深度為 $h = H - z = 1.2 - z$。壓力 $p(z) = \rho g (1.2 - z)$。
考慮半球的赤道面（即 $z=0$ 處）的面積為 $\pi R^2$。
考慮一個微小的圓環，其高度為 $dz$，半徑為 $r = \sqrt{R^2 - z^2}$ (若以半球中心為原點，則 $z$ 從 $-R$ 到 $R$)。
或者，若以半球底部為 $z=0$，則 $z$ 從 $0$ 到 $R$。半球的表面由 $r = \sqrt{R^2 - (z-R)^2}$ 描述。
更方便的是，考慮半球的表面由角度 $\theta$ 參數化，其中 $\theta$ 是從鉛垂軸的夾角，$\theta$ 從 $0$ (頂部) 到 $\pi/2$ (赤道)。
半球的半徑為 $R$。
一個微元的面積 $dA = R^2 \sin\theta d\theta d\phi$ (其中 $\phi$ 是方位角)。
該微元的鉛垂位置 $z = R \cos\theta$ (如果鉛垂向上為正，且原點在半球中心)。
如果以水箱底部為 $z=0$，$R=0.2$。則半球中心在 $z=0.2$。
鉛垂位置 $z_{center} = 0.2 + R \cos\theta = 0.2 + 0.2 \cos\theta$。
深度 $h = H - z_{center} = 1.2 - (0.2 + 0.2 \cos\theta) = 1.0 - 0.2 \cos\theta$。
壓力 $p(\theta) = \rho g h = \rho g (1.0 - 0.2 \cos\theta)$。
壓力作用在 $dA$ 上，鉛垂分量 $dF_z = p dA \cos\theta = p (R^2 \sin\theta d\theta d\phi) \cos\theta$。
總鉛垂力 $F_z = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi/2} p(\theta) R^2 \sin\theta \cos\theta d\theta d\phi$