112 年 國立臺灣大學海洋研究所物理與化學與地物組（3組聯招）《流體力學（D）》

本題主要在考察學生對流體基本性質的理解，包括黏滯性、擴散性以及分子尺度與宏觀尺度下的黏滯性概念。

核心觀念：

• 黏滯係數 (Viscosity Coefficient): 量化流體抵抗剪應力（或說流動）的能力。
• 擴散係數 (Diffusion Coefficient): 量化物質在流體中因濃度梯度而混合的速率。
• 分子黏滯性 (Molecular Viscosity): 由分子間作用力導致的內摩擦。
• 紊流黏滯性 (Turbulent Viscosity): 在紊流中，由於流體質點的隨機運動和渦流混合，表現出的宏觀上的額外動量交換，類似於一種「有效黏滯性」。

詳解：

黏滯係數 (Viscosity Coefficient)
黏滯係數是描述流體內摩擦力大小的物理量。當流體受到剪應力作用而發生流動時，相鄰流體層之間會產生相對運動。黏滯係數衡量了這種相對運動所受到的阻力。對於牛頓流體，剪應力 $\tau$ 與剪應變率 $\frac{du}{dy}$ 之間存在線性關係：
$\tau = \mu \frac{du}{dy}$
其中，$\mu$ 即為動力黏滯係數 (dynamic viscosity coefficient)。其單位通常為 Pa·s 或 kg/(m·s)。運動黏滯係數 (kinematic viscosity) $\nu$ 則定義為 $\nu = \frac{\mu}{\rho}$，其中 $\rho$ 是流體密度。

擴散係數 (Diffusion Coefficient)
擴散係數 $D$ 是描述物質（如溶質、熱量）在流體中由於濃度梯度或溫度梯度而產生的傳輸速率的物理量。它反映了物質粒子隨機運動（布朗運動）混合的效率。根據菲克定律 (Fick's Law)，物質通量 $J$ 與濃度梯度 $\frac{dc}{dx}$ 的關係為：

本題旨在考察學生對描述流體運動兩種基本座標系的理解。

核心觀念：

• 歐拉座標系 (Eulerian Coordinate System): 在固定空間點上觀察流體性質。
• 拉格朗日座標系 (Lagrangian Coordinate System): 跟隨特定的流體質點觀察其運動軌跡。

詳解：

歐拉 (Eulerian) 座標
在歐拉座標系中，我們固定觀察點在空間中，然後觀察流經該固定點的流體性質（如速度、壓力、密度等）如何隨時間變化。想像您站在橋上，觀察河水流經您腳下的固定位置，記錄下水流的速度。您關心的是空間某一點的流體行為。
在歐拉描述中，流體性質是空間位置 $\mathbf{x}$ 和時間 $t$ 的函數，例如速度場 $\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)$，壓力場 $p(\mathbf{x}, t)$。
對歐拉描述而言，一個流體質點的運動可以透過觀察它在不同時間經過不同空間點來推斷，但分析的重點在於「空間中的每一個點」的流體狀態。

拉格朗日 (Lagrangian) 座標
在拉格朗日座標系中，我們選擇一個特定的流體質點，並跟隨該質點一起運動，觀察它在運動過程中的所有性質如何隨時間變化。想像您坐在一艘小船上，隨著河水一起漂流，並記錄下您所在位置的水流速度。您關心的是「特定流體質點」的運動軌跡和歷史。

本題要求學生運用流體力學原理，結合馬格納斯效應 (Magnus effect) 和流體繞行物體時的流場特性，繪製高爾夫球在空氣和水中運動時的流場示意圖。

核心觀念：

• 空氣動力學 (Aerodynamics): 物體在氣體中運動時受到的力。
• 流體繞行物體 (Flow past a body): 物體在流體中運動時，流體會繞過物體，產生壓力分佈和流場變化。
• 馬格納斯效應 (Magnus Effect): 旋轉物體在流體中運動時，由於表面與流體相對運動速度不同，導致物體兩側壓力差，從而產生一側向的力。高爾夫球的旋轉是其飛行軌跡變化（如後旋增加升力）的關鍵。
• 流場分離 (Flow Separation): 當流體繞過一個圓滑的表面（如球體）時，在物體後方，流體會從表面脫離，形成一個低壓的尾流區。
• 黏滯性 (Viscosity): 影響流場分離點和尾流區大小的關鍵因素。

詳解：

(a) 高爾夫球在空中飛躍時的流場變化

高爾夫球在飛行時通常帶有後旋 (backspin)。這種旋轉在高爾夫球的飛行中扮演著至關重要的角色，產生了馬格納斯效應，進而影響流場。

圖示說明：

1. 球體前方 (Upstream of the ball):

   • 當球體迎向來流（相對於球的空氣流動）時，空氣會被阻擋，在球體正前方會形成一個高壓區域，空氣流速在此處減為零（或接近零）。
   • 由於球體是圓滑的，空氣會盡量貼著球體表面流動，直到流動分離點。

2. 球體後方 (Downstream of the ball):

   • 由於球體的阻礙，以及流體黏滯性的作用，在球體後方會形成一個低壓的尾流區 (wake region)。
   • 在沒有旋轉的情況下，對於一個光滑球體，流動分離點會比較靠前，尾流區會比較寬且不穩定，其中充滿了渦流。
   • 考慮後旋 (Backspin): 高爾夫球通常有後旋。後旋使得球體上表面（迎向來流的上方）與空氣的相對速度增加，下表面（迎向來流的下方）與空氣的相對速度減小。根據白努利原理 (Bernoulli's principle) 的應用，上方速度較快，壓力較低；下方速度較慢，壓力較高。這種壓力差產生了向上的升力 (lift force)，抵消部分重力，使球飛得更遠。
   • 後旋也會影響流動分離點。後旋通常會使流動分離點向後移動，縮小尾流區的寬度，使得流動更靠近球體表面。

示意圖 (文字描述)：
想像一個圓球。

• 前方： 在球的正前方，空氣被壓縮，形成一個靜止或慢速流動的區域。箭頭表示空氣從前方流向球體兩側。
• 上方： 由於後旋，空氣流速加快，壓力降低。箭頭表示空氣沿著球體上方表面向上流動，並稍微被向上彎曲。

本題主要考察對浮力、流體靜力平衡概念的理解，以及如何運用這些概念解釋巨型生物在水中生存的現象。

核心觀念：

• 浮力 (Buoyancy): 物體浸入流體中所受到的向上合力。
• 流體靜力平衡 (Hydrostatic Equilibrium): 流體處於靜止狀態時，各點所受的壓力平衡。
• 阿基米德原理 (Archimedes' Principle): 浮力的大小等於物體排開流體所受的重力。
• 巨型生物的適應： 體積龐大的生物如何在水中克服重力並保持穩定。

詳解：

(a) 浮力與流體靜力平衡

• 浮力 (Buoyancy):
  浮力是任何浸入（部分或全部）流體（液體或氣體）的物體所受到的向上淨壓力。根據阿基米德原理，浮力的大小等於物體所排開流體的重量。
  若一個物體浸入密度為 $\rho_f$ 的流體中，排開的體積為 $V_{submerged}$，則物體所受的浮力 $F_B$ 為：
  $F_B = \rho_f g V_{submerged}$
  其中，$g$ 是重力加速度。

• 流體靜力平衡 (Hydrostatic Equilibrium):
  流體靜力平衡是指流體處於靜止狀態，沒有宏觀流動。在此狀態下，作用在流體內部的所有力都達到平衡。最主要的力是重力（或浮力）和壓力梯度力。
  在流體靜力平衡的條件下，作用在流體任一微小體積上的淨力為零。這意味著，在垂直方向上，向下的重力被向上的壓力差所平衡。
  考慮一個垂直於重力的平面，該平面上的壓力分佈由流體靜力學定律描述。

• 對應靜力平衡的方程式：
  在流體靜力平衡的條件下，作用在流體中的任意一點上的力達到平衡。考慮一個垂直於重力方向（假設為 $z$ 方向，向上為正）的流體微元。作用在該微元上的力包括：

  1. 向下的重力：$dm \cdot g = (\rho dV) g = (\rho A dz) g$
  2. 向上的壓力：$P(z+dz) A$
  3. 向下的壓力：$P(z) A$

  由於流體靜止，淨力為零：
  $P(z+dz) A - P(z) A - (\rho A dz) g = 0$
  $(P(z+dz) - P(z)) A = (\rho A dz) g$
  $\frac{dP}{dz} dz \approx dP$
  $dP = \rho g dz$
  或者，如果我們定義 $z$ 軸向上為正，重力方向向下，則：
  $\frac{dP}{dz} = -\rho g$
  這個方程式描述了在流體靜力平衡下，壓力隨深度的變化率。
  積分此方程式，我們可以得到壓力與深度的關係：
  $P(z) = P_{ref} - \int_{z_{ref}}^{z} \rho g dz'$
  如果密度 $\rho$ 是常數（例如對於不可壓縮流體，或在較小的深度範圍內），則：

本題分為兩部分：第一部分要求解釋伯努利方程式及其推導基礎；第二部分則要求運用伯努利方程式分析文氏管流量測量，並計算壓力差範圍。

核心觀念：

• 伯努利方程式 (Bernoulli's Equation): 描述理想流體沿著一條流線的壓力、速度和高度之間的關係。
• 能量守恆 (Energy Conservation): 伯努利方程式是基於能量守恆原理推導出來的。
• 文氏管 (Venturi Meter): 一種利用流體通過縮放管道時速度和壓力變化來測量流量的裝置。
• 理想流體假設： 伯努利方程式通常基於無黏性 (inviscid)、不可壓縮 (incompressible) 和穩態 (steady) 流動。

詳解：

(a) 伯努利方程式

定義：
伯努利方程式是流體力學中的一個基本定律，它描述了在穩態、無黏性、不可壓縮流動中，沿著一條流線的壓力能、動能和位能之間的關係。其基本形式為：
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$
其中：

• $P$：流體在該點的靜壓力 (static pressure)，代表壓力能的密度。
• $\rho$：流體的密度 (density)。
• $v$：流體的平均速度 (velocity)，代表動能的密度。
• $g$：重力加速度 (acceleration due to gravity)。
• $h$：參考平面以上的高度 (elevation)，代表位能的密度。
• $\frac{1}{2} \rho v^2$：動壓 (dynamic pressure)。
• $\rho g h$：靜水壓力頭 (hydrostatic pressure head) 或位能壓力 (potential energy pressure)。
• $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h$：總壓 (total pressure) 或滯壓 (stagnation pressure)。

各項代表意義：

1. $P$ (靜壓力)： 代表流體單位體積所擁有的壓力能。它是在流體靜止時作用在單位面積上的力。
2. $\frac{1}{2} \rho v^2$ (動壓)： 代表流體單位體積所擁有的動能。它與流體速度的平方成正比。
3. $\rho g h$ (位能壓力)： 代表流體單位體積所擁有的重力位能。它與流體的高度和密度成正比。

推導基礎：
伯努利方程式可以從幾個不同的基礎理論推導而來：

1. 能量守恆 (Energy Conservation)：
   這是最常見的推導方式。考慮沿著一條流線移動的流體微團。在微團移動過程中，它會受到來自前後流體的作用力（壓力能）、自身的重力（位能）以及自身的動能。根據功-能定理 (Work-Energy Theorem)，外界對流體微團所做的總功等於其動能的變化。

   • 壓力所做的功： 前方的流體對微團做正功，後方的流體對微團做負功。
   • 重力所做的功： 當微團升高時，重力做負功；當微團下降時，重力做正功。
   • 動能變化： 由於流動是穩態的，流體微團的質量和速度在流線上保持不變，因此其動能的「變化」可以被理解為在不同位置的動能密度。
     將這些功加總並等於動能的「變化」或「分佈」，經過整理後即可得到伯努利方程式。

2. 動量守恆 (Momentum Conservation) / 納維-斯托克斯方程式 (Navier-Stokes Equations)：
   伯努利方程式是納維-斯托克斯方程式在特定條件下的簡化形式。當假設流體無黏性 ($\mu=0$)、不可壓縮 ($\rho=\text{constant}$) 且流動為穩態 ($\frac{\partial}{\partial t}=0$) 時，納維-斯托克斯方程式沿著流線積分（或通過歐拉方程式，即無黏性納維-斯托克斯方程式）可以得到伯努利方程式。
   對於無黏性、穩態流動，歐拉方程式在沿流線方向為：
   $\rho \left( v \frac{\partial v}{\partial s} \right) = -\frac{\partial P}{\partial s} - \rho g \frac{\partial h}{\partial s}$
   其中 $s$ 是沿流線的方向。將此式整理並積分，即可得到伯努利方程式。

3. 牛頓第二運動定律 (Newton's Second Law of Motion)：
   同樣可以從牛頓第二定律在流體微元上的應用來推導。

注意事項：
伯努利方程式的應用前提是：

• 穩態流動 (Steady flow)： 流體性質在空間某點不隨時間變化。
• 不可壓縮流體 (Incompressible flow)： 流體密度 $\rho$ 為常數。
• 無黏性流體 (Inviscid flow)： 忽略流體黏滯性所造成的能量損失。
• 沿著同一條流線 (Along the same streamline)： 該方程式中的常數對不同的流線可能不同。

(b) 文氏管壓力差計算

文氏管利用伯努利方程式來測量流量。它包含一個變化的截面積，當流體流經縮窄段時，速度會增加，壓力會降低。

已知條件：

• 燃油比重 $SG = 0.85$。
• 水的密度 $\rho_{water} = 1000 \, \text{kg/m}^3$。
• 燃油密度 $\rho_{fuel} = SG \times \rho_{water} = 0.85 \times 1000 \, \text{kg/m}^3 = 850 \, \text{kg/m}^3$。
• 流量範圍：$0.005 \, \text{m}^3/\text{s} \le Q \le 0.050 \, \text{m}^3/\text{s}$。
• 位置(1)直徑 $D_1 = 0.1 \, \text{m}$。
• 位置(2)直徑 $D_2 = 0.06 \, \text{m}$。
• 假設流動是穩態、不可壓縮且無黏性的，並且可以沿著兩點之間的流線應用伯努利方程式。
• 假設位置(1)和位置(2)的高度相同，即 $h_1 = h_2$。

步驟：

1. 計算截面積：