112 年 國立臺灣大學海洋研究所物理與化學與地物組（3組聯招）《物理海洋學（A）》

本題考驗對海洋垂直溫度結構的認識。海洋的垂直溫度分布大致可分為三層：混合層（Mixed Layer）、溫躍層（Thermocline）或稱躍變層，以及深層水（Deep Water）。

1. 混合層 (Mixed Layer)：位於海表，厚度約幾十到幾百公尺不等，受風力攪拌和太陽輻射加熱影響，溫度大致均勻且較高。圖中的 ② 區域代表此層。

本題考驗對流體連續性方程式的理解以及其在體積通量上的應用。

首先，數學微分式 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$ 代表在一個不可壓縮流體中，體積的守恆。在流體力學中，這個方程式稱為連續性方程式 (Continuity Equation)。

接著，對於一個邊長為 $a$ 的立方體，其體積為 $a^3$。題目要求計算「進出 6 個面的水量總和」。這裡的水量總和，實際上是指通過立方體所有表面的體積流量的淨值（Net Volume Flux）。

根據連續性方程式，對於一個閉合的體積（在此為立方體），體積流量的淨值必須為零。這表示進入該體積的流體總量必定等於離開該體積的流體總量。

我們可以從每個面來思考：

• x 方向：通過左側面（$x=0$）的流量為 $-u(0,y,z) \cdot a \cdot a = -ua^2$ （假設 $u$ 是進入的流速），通過右側面（$x=a$）的流量為 $u(a,y,z) \cdot a \cdot a = ua^2$。

本題考驗對風浪傳播特性、波浪回復力以及風浪生成條件的理解。

1. 為什麼長浪先到？
   長週期、長波長的風浪（長浪）之所以會先抵達海岸，是因為波浪的傳播速度（相速度）與其波長（或週期）有關。在水深遠大於波浪波長的情況下（深水波），波浪的相速度 $c$ 與波長 $\lambda$ 或週期 $T$ 的關係為：
   $c = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}} = \frac{gT}{2\pi}$
   其中 $g$ 是重力加速度。從這個公式可以看出，波長越長（週期越長）的波浪，其傳播速度越快。颱風在海上激起的風浪是一個頻譜，包含各種波長和週期的波浪。當這些波浪離開颱風區向外傳播時，長波浪會以較快的速度傳播，因此會比短波浪更早到達較遠的海岸。這種現象稱為波浪色散 (Wave Dispersion)。

2. 波浪的回復力 (Restoring Force) 是什麼？
   對於大多數海洋中的波浪，其回復力主要是由重力 (Gravity) 所提供。

本題考驗對 Ekman 輸送和反氣旋風場下 Ekman 渦旋流的理解，以及其對海面高度的影響。

理論上海流的流動

Ekman 理論描述了風作用在海面後，如何在表層海水中產生一稱為 Ekman 層的運動。在北半球，由於科氏力 (Coriolis force) 的影響，表層海水受風力推動向右偏，而 Ekman 層內的平均水流（Ekman 輸送）會與風向成 90 度角向右偏。

在這個題目中，我們有一個「反氣旋 (anticyclonic) 環流風場」。反氣旋風場的特徵是風向是順時針方向旋轉的（在北半球）。

• 風向：順時針。

• Ekman 輸送：根據 Ekman 理論，在北半球，Ekman 輸送（平均水流）會與風向成 90 度角向右偏。

  • 如果風是向北吹，Ekman 輸送是向東。
  • 如果風是向東吹，Ekman 輸送是向南。
  • 如果風是向南吹，Ekman 輸送是向西。
  • 如果風是向西吹，Ekman 輸送是向北。

  綜合來看，在反氣旋風場的中心，風向是向外輻射的（從中心向外吹），而在邊緣，風向是向內輻合的。對於一個反氣旋環流風場，其風向是順時針的。想像一個圓形區域，風在順時針方向吹。在圓的左側，風向北；在圓的頂部，風向東；在圓的右側，風向南；

本題考驗對地轉流的定義、平衡力以及其在地轉流動量平衡方程式中的應用。

1. 地轉流是哪些力平衡的結果？
   大尺度海洋中的長週期、大尺度的洋流，如灣流、黑潮等，其運動在很大程度上受到地球自轉（科氏力）的影響，並趨於與壓力梯度力達到平衡，形成地轉流。因此，地轉流是壓力梯度力 (Pressure Gradient Force) 與科氏力 (Coriolis Force) 平衡的結果。

   在某些情況下，如果流速變化較大或尺度較小，還需要考慮慣性力 (Inertial Force) 和離心力 (Centrifugal Force)。但對於典型的大尺度地轉流，主要平衡力是壓力梯度力和科氏力。

2. 地轉流動量平衡方程式及海面高低分布
   在地轉平衡條件下，動量方程式（簡化版）可以寫為：
   $0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + f v$ （x 方向）
   $0 = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} - f u$ （y 方向）
   其中：

   • $\rho$ 是海水密度。
   • $\frac{\partial p}{\partial x}, \frac{\partial p}{\partial y}$ 是壓力梯度。
   • $f$ 是科氏參數 ($f = 2\Omega \sin\phi$，$\Omega$ 是地球自轉角速度，$\phi$ 是緯度)。
   • $u, v$ 分別是 x 和 y 方向的流速。

   我們假設流速 $u$ 是向東（前進方向），流速 $v$ 是向北。在北半球，$f > 0$。
   考慮一個觀察者在地轉流中前進（例如，沿著 $u$ 方向前進，假設 $u>0$）。

   • x 方向（前進方向）的動量方程式：
     $-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + f v = 0$
     $\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} = f v$

本題考驗對 Rossby number 的理解及其在海洋動力學中代表的物理意義。Rossby number ($R_o$) 是用來衡量慣性力 (Inertial Force) 與科氏力 (Coriolis Force) 的相對大小的無因次參數。

$R_o = \frac{U}{fL}$

其中：

• $U$：流速的特徵尺度 (Characteristic velocity scale)
• $f$：科氏參數 (Coriolis parameter, $f = 2\Omega \sin\phi$)
• $L$：空間的特徵尺度 (Characteristic length scale)

慣性力的大小通常與 $U^2/L$ 成正比，而科氏力的大小與 $fU$ 成正比。因此，$R_o$ 可以看作是慣性力與科氏力之比的尺度。

以下是不同 $R_o$ 值所代表的意義：

1. $R_o \gg 1$ (Rossby number 遠大於 1)
   • 意義：這表示慣性力遠大於科氏力。
   • 物理現象：在這種情況下，地球自轉（科氏力）對流動的影響可以忽略不計。流動主要由慣性主導，或者說，流動的行為更接近於在一個不旋轉的參考系中的運動。
   • 海洋動力學中的例子：在較小的尺度（如渦旋、局部湍流）或流速非常快的情況下，可能出現 $R_o \gg 1$。例如，一些小尺度的渦旋運動，或者在某些短時間尺度的流動事件中。

本題考驗對潮汐產生原因（引潮力）和平衡潮理論中大潮、小潮的理解。

1. 造成海洋潮汐現象的「引潮力」是哪兩種力的合成力？
   海洋潮汐主要是由月球和太陽對地球的引力 (Gravitational Force) 以及地球和月球（及太陽）系統的慣性力 (Inertial Force)（或稱離心力，相對於質心運動而言）的合成力所引起，這個合力稱為引潮力 (Tidal Generating Force)。

   具體來說，地球上各點受到月球和太陽的引力不同，這取決於該點與月球/太陽之間的距離。同時，地球和月球（及太陽）繞著共同的質心旋轉，這個旋轉會產生一個慣性力。引潮力的本質是月球（或太陽）對地球不同部位的引力與慣性力之間的差值。這個差值在朝向月球（或太陽）的一側是朝外（指向月球/太陽）的，在背向月球（或太陽）的一側也是朝外（遠離月球/太陽）的，而在地球的側面（垂直於月球/太陽方向）則是朝向地球中心。這種差值導致海水在面向和背向月球（或太陽）的一側被拉伸，形成潮汐隆起。

2. 平衡潮理論下大潮和小潮的地球、月球、太陽排列
   平衡潮理論是一個簡化的模型，它假設海水能夠自由地響應引潮力，並且地球表面是均勻的。

   • 大潮 (Spring Tide)：
     大潮發生在太陽、地球和月球大致排列成直線時，通常發生在新月和滿月期間。此時，太陽和月球的引潮力方向大致相同（或相反，但作用在同一條軸線上），兩者的合力最大，導致潮差最大。
     • 排列：

本題考驗對 Stommel 西岸邊界流理論的理解，特別是行星渦度的緯度變化如何導致此現象。

Stommel 西岸邊界流現象的主因

Henry Stommel 在 1948 年的研究中，利用簡化的動量平衡方程式，證明了大尺度海洋環流中存在西方邊界強流（如灣流、黑潮）的現象。其主要原因是地球自轉引起的行星渦度 (Planetary Vorticity) 隨緯度而變化。

行星渦度，也稱為科氏參數 (Coriolis parameter)，表示為 $f = 2\Omega \sin\phi$，其中 $\Omega$ 是地球自轉角速度，$\phi$ 是緯度。

• 在赤道 ($\phi=0$)，$f=0$。
• 隨著緯度升高（向兩極），$\sin\phi$ 增加，因此 $f$ 增加。

本題考驗對物理海洋學常用現場測量儀器的了解。CTD 和 ADCP 是兩種非常重要的觀測儀器。

1. CTD (Conductivity, Temperature, Depth)
   • 功能：CTD 是一種用於測量海水基本物理性質的儀器。它在一個探頭上集成了三個主要的傳感器：
     • Conductivity (電導度)：用於測量海水的電導度，進而可以計算出海水的鹽度 (Salinity)。
     • Temperature (溫度)：直接測量海水的溫度。
     • Depth (深度)：通常通過測量靜水壓力 (Hydrostatic Pressure) 來推算深度。
   • 測量數據：CTD 主要測量的是溫度 (Temperature)、鹽度 (Salinity)，以及壓力 (Pressure)（用於推算深度）。從這三個基本量，還可以進一步計算出許多其他重要的海水物理參數，如密度 (Density)、聲速 (Sound Speed) 等。

本題考驗對「有義波高 (Significant Wave Height, $H_{1/3}$)」的定義以及如何從波浪時間序列資料中計算出來的理解。

什麼是有義波高 ($H_{1/3}$)?

有義波高 ($H_{1/3}$) 是指在一段觀測時間內，將所有波浪浪高由大到小排列後，取其中最高的三分之一的波浪浪高的平均值。它是一個衡量波浪「大小」的常用統計參數，能夠較好地反映海況的劇烈程度。

如何從時間序列資料算出 $H_{1/3}$？

假設我們有一段時間序列的波浪浪高觀測資料，例如，每秒記錄一次波面高度隨時間的變化，得到一系列的波浪訊號。從這個訊號中，我們可以識別出每一個單獨的波浪（波浪的定義通常是從波谷到下一個波谷，或從波峰到下一個波峰）。

計算 $H_{1/3}$ 的步驟如下：

1. 識別單獨的波浪並測量其浪高：
   • 從時間序列訊號中，識別出每一個波浪的波峰 (crest) 和波谷 (trough)。
   • 每個波浪的浪高 (wave height) 是其對應波峰高度與波谷高度之差。
   • 這樣，我們就得到了一系列單獨波浪的浪高數值。