111 年 國立臺灣大學海洋研究所物理與化學與地物組（3組聯招）《物理海洋學（A）》

本題主要在考察 Navier-Stokes 方程式的組成及其在物理海洋學中的應用。

Navier-Stokes momentum equation 是描述不可壓縮牛頓流體運動的基本方程式，其向量形式通常寫為：
$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{g}$
其中：

• $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$：非線性慣性項 (local acceleration term)，描述流體質點速度隨時間的變化率。
• $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$：對流項 (convective term)，描述由於流體質點的空間移動導致的速度變化。這個項是非線性的。
• $-\frac{1}{\rho}\nabla p$：壓力梯度項 (pressure gradient term)，描述壓力分佈不均所產生的力，驅動流體從高壓區流向低壓區。
• $\nu \nabla^2 \mathbf{u}$：黏滯項 (viscous term)，描述流體內部的黏滯力，將動量從高速區域傳遞到低速區域，有耗散能量的作用。
• $\mathbf{g}$：重力項 (gravity term)，描述重力作用。

在解決物理海洋學問題時，我們常會額外考慮的項是科氏力項 (Coriolis force term)。這是由於地球自轉所導致的慣性力，在旋轉座標系（如地球表面）下運動的物體會感受到一個看似向右（北半球）或向左（南半球）的偏向力。其向量形式為 $-2\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u}$，其中 $\boldsymbol{\Omega}$ 是地球自轉角速度向量，$\mathbf{u}$ 是流體速度向量。

核心觀念

本題使用三個關係：

1. 科氏參數
   $f=2\Omega\sin\phi,\qquad \Omega=\frac{2\pi}{T}$

2. 相對渦度
   $\zeta=\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial U}{\partial y}$

3. 淺水層位渦守恆
   $q=\frac{f+\zeta}{H}=\text{常數}$

其中 $H$ 為水團厚度，$f+\zeta$ 為絕對渦度。

一、北緯 $30^\circ$ 的科氏參數

地球自轉週期 $T=86400\ \mathrm{s}$，故

在北緯 $30^\circ$：

因此

若題目係數寫成 $a.b\times10^{-4}$，則取一位小數時 $a=0,\ b=7$；若轉錄中的第二個字母記為 $c$，則對應為 $c=7$。

二、計算 eddy 的相對渦度

由圖中速度差分：

所以

本題主要考察海水密度的影響因素、CTD儀器的應用、混合層深度、海水鹽度的影響因素以及海洋的垂直分層穩定性。

1. 海水密度的主要影響參數：
海水的密度 ($\rho$) 主要受到兩個物理參數的影響：溫度 ($T$) 和鹽度 ($S$)。此外，壓力 ($P$) 也是一個影響因素，但對於表層海水而言，溫度和鹽度的影響遠大於壓力。
密度與溫度和鹽度的關係大致為：
$\rho = \rho(T, S, P)$
在給定的壓力下，密度隨溫度降低而增加，隨鹽度升高而增加。海水的最大密度出現在約 $-3.8^\circ$C (淡水最大密度在 $4^\circ$C)。

2. CTD 儀器與表面混合層深度推估：
CTD 是Conductivity (導電度), Temperature (溫度), Depth (深度) 的縮寫。

• 導電度 (Conductivity)：與海水的鹽度密切相關。導電度越高，鹽度通常越高。
• 溫度 (Temperature)：直接測量。
• 深度 (Depth)：通過測量壓力來推算。

CTD 儀器可以同時測量不同深度的溫度、鹽度和壓力。海水的密度是溫鹽壓的函數。
表面混合層 (Surface Mixed Layer, SML) 是指海洋表層受風力、波浪和熱通量混合而成的均勻或近似均勻的水層。其特徵是溫度、鹽度和密度在垂直方向上的變化較小。
在CTD測量剖面上，混合層的底部通常被定義為密度急劇增加的深度，即密度梯度最大的地方。當密度從表層到一定深度變化不大，然後突然顯著增加時，這個密度增加點的深度即為混合層深度 (Mixed Layer Depth, MLD)。
因此，CTD 測量得到的密度（或由溫鹽壓計算出的密度）剖面，可以清晰地顯示出混合層的底界。

3. 冬夏混合層深度的差異：

• 冬天混合層較深：
  • 冷卻效應： 冬季海洋表面海水溫度降低。當海水冷卻時，其密度增加。較冷、較密的水會下沉，加深混合層。
  • 風力效應： 冬季風力通常較強，更強的風力攪拌能更有效地將表層水混合到更深的深度。
  • 熱通量： 冬季海洋向大氣散熱，導致表層水冷卻，增加密度梯度，有利於混合。
• 夏天混合層較淺：
  • 加熱效應： 夏季太陽輻射增強，海洋表面海水溫度升高。較暖、較輕的水會停留在表層，形成一個較強的溫度梯度（或密度梯度），抑制了垂直混合，使得混合層變淺。
  • 風力效應： 夏季風力可能較弱，垂直混合作用減小。

4. CTD 量測推算鹽度：
CTD 儀器通過量測海水的導電度 (Conductivity)、溫度和壓力來推算鹽度。
導電度是海水鹽度的主要指標，但它也受溫度和壓力的影響。

本題主要考察造成海水運動的來源、風應力作用下的海水運動（包括 Ekman 輸送和垂直運動），以及在不同風場變化情況下的海水運動方向。

1. 造成海水運動的主要來源：
海水運動的來源主要有以下幾種：

• 風力 (Wind Stress)： 海表面風的摩擦力（風應力）是驅動表層海洋環流和波浪的主要動力。
• 密度差異 (Density Differences)： 海水因溫度和鹽度的變化而產生密度差異，形成溫鹽環流 (thermohaline circulation)。密度較大的水下沉，密度較小的水上浮，驅動深層洋流。
• 潮汐 (Tides)： 月球和太陽對地球的引力引起海水週期性的漲落和流動。
• 地球自轉 (Earth's Rotation)： 科氏力影響了海水運動的方向，使得大規模運動（如 Ekman 輸送和地轉流）發生偏轉。
• 地形影響 (Topography)： 海底地形（如海脊、海溝、大陸架）會影響洋流的流動路徑和速度。
• 大氣壓力變化 (Atmospheric Pressure Variations)： 雖然影響相對較小，但大氣壓力的變化也會對海水產生一定的推動力。

2. 風力驅動下的海水運動（南半球）：
題目假設在南半球，風力作用於海面，並要求繪製點的垂直運動。在南半球，科氏力會使運動向左偏轉。

情況 (1)：沿岸風吹流（西風）

• 風向： 西風吹拂海面。
• 風應力方向： 沿著風向，即向東。
• Ekman 輸送： 在南半球，風應力向東，科氏力使表層海水向左偏轉，即向南偏轉。因此，表層海水的淨輸送方向大致與風向垂直，即向南。
• 垂直運動： 如果風是沿岸吹拂，例如西風吹向東岸（海岸線南北向），則 Ekman 輸送是向南。
  • 如果風是從西向東吹，吹向一個南北走向的海岸線，則 Ekman 輸送（淨水體移動）是垂直於風向且向左（南）的。
  • 但是，題目圖示的風向是「西風」，且海岸線位置不明。
  • 最常見的沿岸風吹流情境是：風平行於海岸線吹。
  • 假設海岸線是南北向，風是從西向東吹（西風），那麼風應力向東。
  • 在南半球，科氏力使表層水向左（南）偏轉。
  • 如果風是從西向東吹，且海岸線在南側（即風吹向海岸），則 Ekman 輸送將水體推向海岸，導致海岸附近水體堆積，海水上湧（湧升）。
  • 如果風是從東向西吹（東風），則 Ekman 輸送將水體推離海岸，導致海岸附近水體下沉（下沉）。
  • 題目圖示為「西風」，且點的位置在立方體內部。
  • 假設風是從西向東吹，吹向一個南北向的海岸線。
  • 在南半球，風應力向東，科氏力使表層水向南偏轉。
  • 如果海岸線在東側，風吹向海岸，則 Ekman 輸送將水體推向海岸，導致湧升。
  • 如果海岸線在西側，風吹離海岸，則 Ekman 輸送將水體推離海岸，導致下沉。
  • 圖中標示的風是「西風」，箭頭指向東。
  • 假設圖示的立方體位於海岸附近，並且風吹向海岸。
  • 在南半球，西風（向東）產生向南的 Ekman 輸送。
  • 如果海岸線是南北向，並且風吹向海岸，例如風吹向東海岸，則 Ekman 輸送（向南）會使水體在海岸附近堆積，導致湧升。
  • 所以，點會往上移動。

情況 (2)：西風隨著緯度增加變成東風

• 風向變化： 在較低緯度是西風（吹向東），隨著緯度增加（向極地移動），風向變為東風（吹向西）。
• Ekman 輸送：
  • 在低緯度（西風）：風應力向東，科氏力使表層水向左（南）偏轉。Ekman 輸送方向大致向南。
  • 在高緯度（東風）：風應力向西，科氏力使表層水向左（北）偏轉。Ekman 輸送方向大致向北。
• 垂直運動： 題目圖示的點位於一個緯度範圍內，其上方是西風，下方是東風。
  • 西風區域 (上方)： 風應力向東，Ekman 輸送向南。
  • 東風區域 (下方)： 風應力向西，Ekman 輸送向北。
  • 如果我們考慮一個垂直剖面，並且風從西向東（西風）在上方，從東向西（東風）在下方。
  • 這意味著從上方進入的 Ekman 輸送是向南，從下方進入的 Ekman 輸送是向北。
  • 這兩個方向的輸送在垂直方向上會產生匯聚或發散。
  • 如果上面的 Ekman 輸送（向南）和下面的 Ekman 輸送（向北）在某個區域匯聚，則會導致湧升。
  • 在南半球，西風（向東）導致向南的 Ekman 輸送。東風（向西）導致向北的 Ekman 輸送。
  • 如果風從西向東（西風）吹拂海面， Ekman 輸送向南。
  • 如果風從東向西（東風）吹拂海面， Ekman 輸送向北。

本題主要考察地球自轉速度變化對 Ekman 層、 Ekman 輸送、西方邊界流以及 Kelvin wave 的影響。

核心概念： 地球自轉速度的變化主要影響科氏參數 $f = 2\Omega \sin\phi$，其中 $\Omega$ 是地球自轉角速度。若 $\Omega$ 增加，則 $f$ 增加。

1. Ekman layer 深度變化：
Ekman 層的深度（Ekman 螺旋的有效混合深度）與科氏參數 $f$ 和黏滯係數 $\nu$ 有關。Ekman 層的典型深度 $h_E$ 大致與 $\sqrt{\nu/f}$ 成正比。

• 物理推想： 若地球自轉速度加快，則 $\Omega$ 增加，科氏參數 $f$ 隨之增加。由於 $h_E \propto 1/\sqrt{f}$，當 $f$ 增加時，Ekman 層的深度會變淺。
• 結論： Ekman layer 會變成只存在較淺的深度。

2. Ekman transport 變化：
Ekman transport 的大小與風應力 $\tau$ 和科氏參數 $f$ 成反比。其大小大致為 $|\mathbf{T}_{Ekman}| = |\tau| / f$。

• 物理推想： 若地球自轉速度加快，則科氏參數 $f$ 增加。由於 Ekman transport 與 $f$ 成反比，當 $f$ 增加時，Ekman transport 的大小會減弱。
• 結論： Ekman transport 會變弱。

3. 西方邊界流（如黑潮）流速變化：
西方邊界流（如黑潮）的形成與地球自轉（科氏力）和風應力有關，遵循 Sverdrup 關係和 Munk 模型等。

• Sverdrup 關係： $\beta v_y = \frac{\partial \tau_x}{\partial y} - \frac{\partial \tau_y}{\partial x}$，其中 $\beta = \frac{df}{dy}$ 是行星渦度梯度。
• 西方邊界流的增強： 在西方邊界，由於 $\beta$ 效應和科氏力的共同作用，會形成強勁的、向極地方向的西方邊界流。

本題主要考察物理公式與數值模擬的關係，以及如何利用給定的微分方程和離散化方法進行數值計算。

1. 物理公式與數值模擬的關係：

• 物理公式 (或稱數學模型)： 是用數學語言描述自然現象或物理過程的規律。例如，微分方程描述了物理量隨時間或空間的變化率。
• 數值模擬 (Numerical Simulation)： 當物理公式無法解析求解，或需要模擬複雜系統時，數值模擬成為重要工具。它利用數值方法（如有限差分法、有限體積法等）將連續的微分方程離散化，在計算機上進行迭代計算，從而近似求解物理問題。
• 關係： 物理公式是數值模擬的基礎和指導。數值模擬的目的是為了在計算機上近似地重現物理公式所描述的過程。數值模擬的準確性取決於離散化方法的精度、時間步長、空間網格大小以及初始和邊界條件的設定。

2. 數值計算：
給定的微分方程為：
$\frac{\partial T}{\partial t} = \text{Gain} - \text{Loss}$
其中：

• $T(t)$ 是平均溫度。
• 初始條件：$T(0) = 28^\circ$C。
• Gain (能量輸入)：每 100 秒增加 3 度。這表示 Gain 的單位是 度/秒。
  Gain $= \frac{3 \text{ 度}}{100 \text{ 秒}} = 0.03 \text{ 度/秒}$。
• Loss (能量損失)：每 100 秒損失 $0.1 \times T$ 度。這表示 Loss 的單位也是 度/秒。
  Loss $= 0.1 \times T \text{ 度} / 100 \text{ 秒} = 0.001 \times T \text{ 度/秒}$。

所以，微分方程可以寫成：
$\frac{dT}{dt} = 0.03 - 0.001 T$
我們使用有限差分法進行數值求解。題目要求每個 time step 為 100 秒。
使用向前差分法 (Forward Euler method)：
$T(t + \Delta t) \approx T(t) + \frac{dT}{dt} \times \Delta t$
其中 $\Delta t = 100$ 秒。
$T(t + 100) \approx T(t) + (0.03 - 0.001 T(t)) \times 100$
$T(t + 100) \approx T(t) + 3 - 0.1 T(t)$
$T(t + 100) \approx 0.9 T(t) + 3$

計算步驟：

• t = 0 秒：
  $T(0) = 28^\circ$C。

• t = 100 秒 (第 1 個 time step)：
  $T(100) \approx 0.9 T(0) + 3$
  $T(100) \approx 0.9 \times 28 + 3$
  $T(100) \approx 25.2 + 3 = 28.2^\circ$C。
  （四捨五入到小數點後一位：28.2）

• t = 200 秒 (第 2 個 time step)：
  $T(200) \approx 0.9 T(100) + 3$
  $T(200) \approx 0.9 \times 28.2 + 3$
  $T(200) \approx 25.38 + 3 = 28.38^\circ$C。
  （四捨五入到小數點後一位：28.4）

• t = 300 秒 (第 3 個 time step)：
  $T(300) \approx 0.9 T(200) + 3$
  $T(300) \approx 0.9 \times 28.4 + 3$
  $T(300) \approx 25.56 + 3 = 28.56^\circ$C。
  （四捨五入到小數點後一位：28.6）

• t = 400 秒 (第 4 個 time step)：
  $T(400) \approx 0.9 T(300) + 3$
  $T(400) \approx 0.9 \times 28.6 + 3$
  $T(400) \approx 25.74 + 3 = 28.74^\circ$C。
  （四捨五入到小數點後一位：28.7）

• t = 500 秒 (第 5 個 time step)：
  $T(500) \approx 0.9 T(400) + 3$
  $T(500) \approx 0.9 \times 28.7 + 3$
  $T(500) \approx 25.83 + 3 = 28.83^\circ$C。
  （四捨五入到小數點後一位：28.8）
  【答案：500秒時平均溫度為 28.8 度】