113 年 國立臺灣大學海洋研究所物理化學組《物理海洋學》

此題主要在考察學生對於地球物理流體動力學基本概念的理解，特別是 Navier-Stokes 方程式的組成要素、幾種常見的流動類型（地轉流、艾克曼流、慣性流）及其形成機制，以及兩個重要的無因次參數：羅士培數 (Roosby number) 和雷諾數 (Reynolds number) 的物理意義。

核心觀念： Navier-Stokes 方程式是描述流體運動的基本方程式，其中包含了各種作用力。不同的流動狀態是這些作用力平衡或主導的結果。無因次參數則是用來比較不同尺度或不同類型力之間相對重要性的指標。

解題步驟：

(a) Navier-Stokes equations 內考慮了那些作用力？
Navier-Stokes 方程式是牛頓第二運動定律在連續介質上的應用。其基本形式為：
$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{T} + \mathbf{f}$
其中：

• $\rho$ 是流體密度。
• $\mathbf{u}$ 是流體速度向量。
• $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ 是局部加速度（local acceleration），表示速度隨時間的變化。
• $\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$ 是對流加速度（convective acceleration），表示速度隨空間位置的變化。
• $-\nabla p$ 是壓力梯度力（pressure gradient force），由壓力差引起。
• $\nabla \cdot \mathbf{T}$ 是黏滯力（viscous force），由流體內部的摩擦力引起。$\mathbf{T}$ 是應力張量 (stress tensor)。
• $\mathbf{f}$ 是外力（external forces），在地球物理流體力學中，最常見的是科氏力 (Coriolis force) 和重力 (gravity)。

因此，Navier-Stokes 方程式考慮的作用力包括：

1. 慣性力 (Inertial force)：包含局部加速度項 $\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$ 和對流加速度項 $\mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}$。
2. 壓力梯度力 (Pressure gradient force)。
3. 黏滯力 (Viscous force)。
4. 外力 (External forces)：在地球物理流體力學中，主要指科氏力 (Coriolis force) 和重力 (gravity)。

【答案】慣性力（包含局部加速度與對流加速度）、壓力梯度力、黏滯力、科氏力、重力。

(b) 對於地轉流 (Geotrophic current)，請問是哪兩個力相互作用下產生的海流？
地轉流是一種理想化的流動，在水平方向上，它是由壓力梯度力與科氏力平衡而產生。
$-\nabla p + \mathbf{f}_c \times \mathbf{u} = 0$
其中 $\mathbf{f}_c$ 是科氏力向量。

【答案】壓力梯度力與科氏力。

此題為名詞解釋題，共包含 (a) 到 (f) 六個物理海洋學的專有名詞。每題解釋需精準且涵蓋其核心意義，並給出適當的公式或物理圖像輔助說明。

核心觀念： 物理海洋學中的基本概念、參數及現象。

解題步驟：

(a) Potential temperature (位勢溫度)
位勢溫度是指將某一點的海水，在原處所含的鹽量，通過絕熱壓縮或膨脹，移動到參考壓力面（通常是海平面，即 $p=0$ 或 $p=1$ atm）時所具有的溫度。它消除了由海水深度引起（即壓力變化）的絕熱壓縮或膨脹效應，使不同深度的海水溫度可以在同一參考壓力下進行比較，更能反映海水的熱力學特性和其來源。

【答案】位勢溫度是指將海水絕熱地移動到參考壓力面（通常是海平面）時所具有的溫度。它消除了壓力變化引起的絕熱效應，更能反映海水的熱力學特性。

(b) Vorticity (渦度)
渦度是描述流體旋轉程度的向量。在二維平面流動中，渦度通常指垂直於該平面的向量分量，其大小代表旋轉的強度，方向代表旋轉的趨勢（順時針或逆時針）。在三維流體中，渦度是一個向量，其方向沿著旋轉軸，大小表示旋轉的角速度。
水平渦度 (horizontal vorticity) $\mathbf{\zeta}_h = \nabla \times \mathbf{u}_h$
垂直渦度 (vertical vorticity) $\zeta = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}$，其中 $\mathbf{u} = (u, v, w)$ 是速度向量。

【答案】渦度是描述流體旋轉程度的向量。在二維流動中，它通常指垂直於流動平面的分量，表示旋轉的強度和方向。在三維流體中，渦度是一個向量，其方向沿著旋轉軸，大小表示旋轉的角速度。

(c) Richardson number (理查森數)
理查森數 (Ri) 是無因次參數，用來衡量浮力（或穩定性）對動量混合的相對重要性。它通常定義為：
$Ri = \frac{N^2}{S^2} = \frac{g/\rho_0 (\partial \rho / \partial z)}{(\partial u / \partial z)^2}$

此題主要考察學生對西方邊界流（Western Boundary Currents, WBCs）的成因、代表性例子及其重要性的理解。

核心觀念： 西方邊界流是海洋環流中的重要組成部分，其形成與地球自轉、風場、海洋盆地形狀以及行星渦度梯度等因素有關。

解題步驟：

(a) 西方邊界流的成因有哪些？
西方邊界流的形成主要可以歸因於以下幾個因素：

1. 行星渦度梯度效應 (Planetary vorticity gradient effect)：這是最主要的成因。由於地球自轉，科氏參數 $f$ 隨緯度變化 ($f = 2\Omega \sin\theta$)。在開放大洋中，風應力驅動的環流會將海水從東向西輸運。當海水輸運到盆地西側時，由於科氏力隨緯度變化（西側變化梯度大），會導致海水在西側匯聚和增強，形成一個狹窄而強勁的西向邊界流。這個效應可以通過 Sverdrup 關係和 Munk 模型來解釋。
2. 風應力 (Wind stress)：雖然行星渦度梯度是主要原因，但風應力是驅動大洋環流的初始動力。持續的風場（尤其是信風和西風）通過應力將動量傳遞給海水，驅動表層洋流。
3. 海洋盆地的邊界效應 (Ocean basin boundary effects)：大陸邊界的存在限制了洋流的擴散，迫使流動在邊界處變得集中。
4. 密度梯度 (Density gradients)：雖然不如行星渦度梯度關鍵，但密度差異形成的壓力梯度也會影響流動的強度和方向。

【答案】行星渦度梯度效應、風應力、海洋盆地的邊界效應、密度梯度。

(b) 請列舉三個西方邊界流？
西方邊界流是全球主要大洋環流系統（副熱帶和副極地環流）的一部分，它們都位於大洋的西側，通常是狹窄、深邃、流速快且溫度較高的洋流。

此題主要考察學生對重力波基本物理概念的理解，包括波速、群速度、波高定義，以及影響波浪大小的因素和淺水波與深水波的區別。

核心觀念： 重力波是受重力作用而產生的表面波，其傳播特性（如波速、群速度）與波長、深度及其他物理參數有關。波浪的大小和特性受多種因素影響。

解題步驟：

(a) 假設波浪的頻率 (frequency) 為 $f$、波數 (wave number) 為 $k$，請以 $f$ 與 $k$ 表示波速度 (phase velocity) 與群速度 (group velocity) 分別為何？

• 波速度 (Phase velocity, $c_p$)：定義為波浪一個波峰或波谷傳播的速度，即波浪的相位傳播速度。它等於角頻率 ($\omega$) 除以波數 ($k$)。
  $c_p = \frac{\omega}{k}$
  題目中給定的頻率 $f$ 通常是指週期 $T$ 的倒數，即 $f = 1/T$。而角頻率 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$。因此，若題目中的 $f$ 是指頻率（單位 Hz），則角頻率為 $2\pi f$。若題目中的 $f$ 是指角頻率（單位 rad/s），則直接使用 $f$。根據標準物理海洋學的習慣，頻率 $f$ 通常指每秒發生的週期數（Hz），而角頻率 $\omega = 2\pi f$。假設題目中的 $f$ 是指角頻率 $\omega$。
  $c_p = \frac{\omega}{k}$
  若題目中的 $f$ 是指一般頻率（Hz），則 $\omega = 2\pi f$。
  $c_p = \frac{2\pi f}{k}$
  假設題目中的 $f$ 指的是角頻率 $\omega$，則：
  $c_p = \frac{f}{k}$

• 群速度 (Group velocity, $c_g$)：定義為一組波浪（波包）的能量傳播速度。對於色散介質（波速隨波長變化），群速度通常不等於波速。群速度是波速對波數的導數。
  $c_g = \frac{d\omega}{dk}$
  若 $\omega = 2\pi f$，則 $c_g = \frac{d(2\pi f)}{dk} = 2\pi \frac{df}{dk}$。
  若題目中的 $f$ 是指角頻率 $\omega$，則 $c_g = \frac{df}{dk}$。
  假設題目中的 $f$ 指的是角頻率 $\omega$，則：
  $c_g = \frac{df}{dk}$

  重要提示： 題目中只給了 $f$ 和 $k$，但沒有給出它們之間的關係（即色散關係 $\omega(k)$）。因此，我們只能給出通用的定義式。若題目預設了某種色散關係（例如淺水波或深水波），則可以進一步計算。但根據題目敘述，僅能給出定義。
  標準定義：
  波速度 $c_p = \omega / k$。
  群速度 $c_g = d\omega / dk$。
  如果題目中的 $f$ 就是角頻率 $\omega$，則：
  波速度 $c_p = f / k$。
  群速度 $c_g = df / dk$。

【答案】波速度 $c_p = f/k$；群速度 $c_g = df/dk$。（假設 $f$ 為角頻率 $\omega$）

(b) 請問何謂示性波高 (significant wave height)？
示性波高 (Significant Wave Height, $H_s$) 是指在給定的波浪條件下，將所有波浪按高度由高到低排序，取其中最高的三分之一波浪的平均波高。它是一個統計量，用來描述海況的「平均」或「典型」波浪大小，常用於海況預報和工程設計。

此題旨在考察學生對海洋學中兩個基本單位和概念的掌握程度：Sverdrup 流量單位以及海水鹽度的單位。

核心觀念： 海洋學研究中常用的流量單位和鹽度測量單位。

解題步驟：

(a) 請問流量 1Sv (Sverdrup) 相當於多少 m³/sec？
Sverdrup (Sv) 是海洋學中用來衡量大尺度海洋環流流量的單位。1 Sverdrup 被定義為每秒輸運 10⁶ 立方米的體積流量。
$1 \text{ Sv} = 10^6 \text{ m}^3/\text{sec}$

【答案】1 Sv (Sverdrup) 相當於 $10^6$ m³/sec。

此題考察學生對颱風（熱帶氣旋）如何影響海面溫度，特別是產生「冷尾跡」的物理過程及其相關的海洋環境因素的理解。

核心觀念： 颱風的強風和低壓會引起海水混合和蒸發冷卻，導致海面溫度下降，形成冷尾跡。

解題步驟：

冷尾跡的形成機制與相關海洋環境：

颱風經過海面後，海面溫度會出現一個暫時性的下降區域，稱為「冷尾跡」。其形成主要與以下作用和海洋環境有關：

1. 垂直混合 (Vertical mixing)：

   • 作用：颱風強烈的風應力會劇烈攪動表層海水，將較冷、密度較大的深層海水（通常在溫躍層以下）攪拌到海面。這個過程稱為「湧升」(upwelling) 或「混合」(mixing)。
   • 海洋環境：冷尾跡的強度很大程度上取決於上層海洋的結構。如果海洋上層有明顯的溫躍層 (thermocline) 和鹽躍層 (halocline)，深層海水與表層海水溫鹽度差異較大，那麼混合後造成的溫度下降就會更顯著。溫躍層越淺、越不穩定，冷尾跡就越明顯。

2. 蒸發冷卻 (Evaporative cooling)：

   • 作用：颱風期間，強風會顯著增加海面的蒸發速率。蒸發是一個吸熱過程，海水通過蒸發損失熱量，導致海面溫度下降。