113 年 國立臺灣大學海洋研究所物理化學組《流體力學（D）》

本題為基本名詞解釋題，旨在測試考生對流體力學核心概念的理解程度。

(1) 牛頓流體 (Newtonian fluid)：
牛頓流體是指其剪應力 (shear stress, $\tau$) 與剪應變率 (shear strain rate, $\dot{\gamma}$) 成正比的流體。比例常數即為流體的動力黏度 ($\mu$)。數學表示式為 $\tau = \mu \frac{du}{dy}$，其中 $\frac{du}{dy}$ 是速度梯度。大多數常見的流體，如水、空氣、酒精等，在一般情況下都屬於牛頓流體。

(2) 雷諾數 (Reynolds number, Re)：
雷諾數是一個無因次量，用來描述流體流動時慣性力與黏滯力之比。它對於判斷流動是屬於層流 (laminar flow) 還是紊流 (turbulent flow) 至關重要。其定義式為 $Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$，其中 $\rho$ 為流體密度，$v$ 為流體平均速度，$L$ 為特徵長度，$\mu$ 為動力黏度，$\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 為運動黏度。一般而言，在管流中，當 $Re < 2300$ 時為層流，當 $Re > 4000$ 時為紊流，介於兩者之間為過渡區。

(3) 無旋性流 (Irrotational flow)：
無旋性流是指流體質點在流動過程中，其微小體積的平均角速度為零的流動。換句話說，流體質點沒有發生旋轉。在數學上，無旋性流的條件是流體速度向量的旋度為零，即 $\nabla \times \vec{v} = 0$。對於不可壓縮流體，無旋性流意味著速度場可以由一個速度勢函數 ($\phi$) 來表示，即 $\vec{v} = \nabla \phi$。

本題考查不可壓縮流的連續性方程式，以及如何應用其概念到一個封閉的立方體體積上。

首先，我們寫出卡氏座標下不可壓縮流的連續性方程式。連續性方程式是基於質量守恆原理。對於不可壓縮流體，密度 $\rho$ 為常數。連續性方程式的一般形式為：
$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0$
由於流體不可壓縮，$\rho$ 是常數，所以 $\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0$ 且 $\rho$ 可以提出散度運算子。因此，不可壓縮流的連續性方程式為：
$\nabla \cdot \vec{v} = 0$
在卡氏座標 $(x, y, z)$ 下，速度向量 $\vec{v} = u\hat{i} + v\hat{j} + w\hat{k}$，其中 $u, v, w$ 分別是速度在 $x, y, z$ 方向的分量。因此，連續性方程式展開為：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

接著，我們考慮圖中所示的立方體。這個立方體位於空間中的某處，其邊長假設為 $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ (雖然題目圖示為立方體，但為一般化考量，我們使用不同邊長；若嚴格視為立方體，則 $\Delta x = \Delta y = \Delta z$)。我們關注的是通過立方體六個面的垂直速度的關係。

假設在立方體的中心位置，速度分量為 $u, v, w$。在 $x$ 方向上，我們考慮通過立方體前後兩個面的速度。
左側面 (x=常數)：速度分量為 $u$。
右側面 (x=常數+$\Delta x$)：速度分量為 $u + \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x$。
通過左側面的流出速度為 $u$。
通過右側面的流出速度為 $u + \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x$。
在 $x$ 方向上，進入立方體的速度（從左面）為 $u$，離開立方體的速度（從右面）為 $u + \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x$。
因此，在 $x$ 方向上的淨流出量（假設面積為 $\Delta y \Delta z$）為 $(u + \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x) \Delta y \Delta z - u \Delta y \Delta z = \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z$。

同理，對於 $y$ 方向：
底側面 (y=常數)：速度分量為 $v$。
頂側面 (y=常數+$\Delta y$)：速度分量為 $v + \frac{\partial v}{\partial y} \Delta y$。
在 $y$ 方向上的淨流出量（假設面積為 $\Delta x \Delta z$）為 $(v + \frac{\partial v}{\partial y} \Delta y) \Delta x \Delta z - v \Delta x \Delta z = \frac{\partial v}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z$。

對於 $z$ 方向：
後側面 (z=常數)：速度分量為 $w$。
前側面 (z=常數+$\Delta z$)：速度分量為 $w + \frac{\partial w}{\partial z} \Delta z$。
在 $z$ 方向上的淨流出量（假設面積為 $\Delta x \Delta y$）為 $(w + \frac{\partial w}{\partial z} \Delta z) \Delta x \Delta y - w \Delta x \Delta y = \frac{\partial w}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z$。

由於流體是不可壓縮的，因此在任何時間內，進入這個控制體積的總質量（或體積，因為密度恆定）必須等於離開的總質量（或體積）。對於一個封閉的控制體積，淨質量流出率必須為零。
總淨流出率 = (x方向淨流出) + (y方向淨流出) + (z方向淨流出) = 0
$\frac{\partial u}{\partial x} \Delta x \Delta y \Delta z + \frac{\partial v}{\partial y} \Delta x \Delta y \Delta z + \frac{\partial w}{\partial z} \Delta x \Delta y \Delta z = 0$
將 $\Delta x \Delta y \Delta z$ 除掉，我們就得到了不可壓縮流的連續性方程式：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$

現在，我們要根據圖示，列出立方體六個面上的垂直速度彼此關係式。
圖示中，立方體頂點的標示為 $u_1, v_1, w_1$ 和 $u_2, v_2, w_2$。這通常表示在特定位置（例如頂點或面上）的速度分量。然而，題目要求的是「6個面上的垂直速度彼此關係式」，這應該是指通過每個面的平均速度或者在該面上的速度。

根據圖示的標示，我們可以推斷：
立方體在 $x$ 方向上的速度分量為 $u$。
立方體在 $y$ 方向上的速度分量為 $v$。
立方體在 $z$ 方向上的速度分量為 $w$。

圖中標示了 $u_1, v_1, w_1$ 和 $u_2, v_2, w_2$。
假設 $u_1$ 是左側面的 $x$ 方向速度，而 $u_2$ 是右側面的 $x$ 方向速度。
假設 $v_1$ 是底面的 $y$ 方向速度，而 $v_2$ 是頂面的 $y$ 方向速度。
假設 $w_1$ 是後面的 $z$ 方向速度，而 $w_2$ 是前面的 $z$ 方向速度。
(注意：圖中 $v_1$ 和 $v_2$ 的箭頭指向 $y$ 軸正方向，而 $u_1$ 和 $u_2$ 箭頭指向 $x$ 軸正方向，$w_1$ 和 $w_2$ 箭頭指向 $z$ 軸正方向，這與標準右手座標系一致。但圖中 $v_1$ 和 $v_2$ 的位置標示有點模糊，一般會標示在面上。我們假設 $v_1$ 是底面的速度， $v_2$ 是頂面的速度。)

根據連續性方程式的推導，我們知道速度分量在空間中是連續變化的。如果我們假設立方體的尺寸足夠小，那麼我們可以近似認為：
左側面 (x方向速度) $\approx u_1$
右側面 (x方向速度) $\approx u_2$
底側面 (y方向速度) $\approx v_1$
頂側面 (y方向速度) $\approx v_2$
後側面 (z方向速度) $\approx w_1$
前面 (z方向速度) $\approx w_2$

為了使連續性方程式成立，我們需要考慮通過每個面的淨體積流量。
在 $x$ 方向：通過左面的流出速度為 $u_1$，通過右面的流出速度為 $u_2$。
在 $y$ 方向：通過底面的流出速度為 $v_1$，通過頂面的流出速度為 $v_2$。
在 $z$ 方向：通過後面的流出速度為 $w_1$，通過前面的流出速度為 $w_2$。

如果我們將立方體視為一個控制體積，那麼通過體積的總體積流量（淨流出）必須為零。
考慮通過左面的流出速度為 $u_1$，通過右面的流出速度為 $u_2$。
考慮通過底面的流出速度為 $v_1$，通過頂面的流出速度為 $v_2$。
考慮通過後面的流出速度為 $w_1$，通過前面的流出速度為 $w_2$。

題目要求的是「6個面上的垂直速度彼此關係式」。這通常是指通過該面的速度分量。
根據圖示，我們可以假設：

• $u_1$ 是左側面的 $x$ 方向速度。
• $u_2$ 是右側面的 $x$ 方向速度。
• $v_1$ 是底面的 $y$ 方向速度。
• $v_2$ 是頂面的 $y$ 方向速度。
• $w_1$ 是後面的 $z$ 方向速度。
• $w_2$ 是前面的 $z$ 方向速度。

對於不可壓縮流，通過這個立方體控制體積的總體積流量為零。
體積流量的計算需要乘以通過的面積。假設立方體的邊長為 $\Delta x, \Delta y, \Delta z$。
x方向通過左面的體積流量 (流出) $= u_1 \Delta y \Delta z$
x方向通過右面的體積流量 (流入，假設 $u_2$ 是流入) $= -u_2 \Delta y \Delta z$
然而，圖中箭頭 $u_1$ 和 $u_2$ 都指向 $x$ 軸正方向，這表示它們都是在 $x$ 方向上的速度。通常，我們需要考慮進入和離開的。

更清晰的表達方式是：
對於 $x$ 方向，左側面（假設為 $x=x_0$）的速度為 $u(x_0, y, z)$，右側面（假設為 $x=x_0+\Delta x$）的速度為 $u(x_0+\Delta x, y, z)$。
連續性方程式的離散形式是：
$u(x_0+\Delta x, y, z) - u(x_0, y, z) + v(x, y_0+\Delta y, z) - v(x, y_0, z) + w(x, y, z_0+\Delta z) - w(x, y, z_0) = 0$

如果圖中的 $u_1, u_2, v_1, v_2, w_1, w_2$ 代表的是通過對應面的平均速度，並且我們假設 $u_1$ 是左面的速度，$u_2$ 是右面的速度，以此類推，那麼：
通過左面的體積流量 (假設面積為 $A_x$) = $u_1 A_x$
通過右面的體積流量 (假設面積為 $A_x$) = $u_2 A_x$
通過底面的體積流量 (假設面積為 $A_y$) = $v_1 A_y$
通過頂面的體積流量 (假設面積為 $A_y$) = $v_2 A_y$
通過後面的體積流量 (假設面積為 $A_z$) = $w_1 A_z$
通過前面的體積流量 (假設面積為 $A_z$) = $w_2 A_z$

對於一個封閉的立方體，所有通過面的體積流量之和必須為零。
也就是說，進入的總流量必須等於出去的總流量。
我們需要仔細定義哪個是進入，哪個是出去。
通常，我們將 $x$ 軸正向定義為流出方向。
那麼，左面的速度 $u_1$ 是流入，右面的速度 $u_2$ 是流出。
底面的速度 $v_1$ 是流入，頂面的速度 $v_2$ 是流出。
後面的速度 $w_1$ 是流入，前面的速度 $w_2$ 是流出。

因此，根據質量守恆（體積守恆因為不可壓縮）：
(流入左面的體積流量) + (流入底面的體積流量) + (流入後面的體積流量) = (流出右面的體積流量) + (流出頂面的體積流量) + (流出前面的體積流量)

如果 $u_1, v_1, w_1$ 是流入速度，$u_2, v_2, w_2$ 是流出速度，並且假設立方體的邊長為 $\Delta x, \Delta y, \Delta z$。
那麼：
$u_1 \Delta y \Delta z + v_1 \Delta x \Delta z + w_1 \Delta x \Delta y$ (流入總體積流量)
$= u_2 \Delta y \Delta z + v_2 \Delta x \Delta z + w_2 \Delta x \Delta y$ (流出總體積流量)

核心觀念

本題考查向量形式運動方程式在卡式座標中的分量展開，核心定義包括：

1. 物質導數：描述隨著流體微團移動所觀察到的物理量變化。
2. 壓力梯度：產生單位質量流體所受的壓力作用力。
3. 重力項：單位質量流體所受的體積力。
4. 速度的拉普拉斯算子：描述黏滯作用造成的動量擴散。

給定速度向量為

$$\vec{u}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k}$$

其中 $u$、$v$、$w$ 分別為 $x$、$y$、$z$ 方向的速度分量。

---

解題方法

將原式左右兩側分別寫成 $x$、$y$、$z$ 三個方向的分量，再逐項展開即可。

原方程式為

$$\frac{D\vec{u}}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\nabla p+\vec{g}+\mu\nabla^2\vec{u}$$

令重力加速度向量為

$$\vec{g}=g_x\hat{i}+g_y\hat{j}+g_z\hat{k}$$

---

左側：速度的物質導數

物質導數定義為

$$\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} +\vec{u}\cdot\nabla$$

其中

$$\vec{u}\cdot\nabla = u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + w\frac{\partial}{\partial z}$$

因此

$$\frac{D\vec{u}}{Dt} = \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} + u\frac{\partial\vec{u}}{\partial x} + v\frac{\partial\vec{u}}{\partial y} + w\frac{\partial\vec{u}}{\partial z}$$

代入速度向量後，可得

$$\frac{D\vec{u}}{Dt} = \left( \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} \right)\hat{i}$$ $$+ \left( \frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z} \right)\hat{j}$$ $$+ \left( \frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x} +v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z} \right)\hat{k}$$

其中每一方向的加速度都包含兩部分：

• $\partial\vec{u}/\partial t$：局部加速度，表示固定空間位置上的速度隨時間變化。
• $\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}$：對流加速度，表示流體微團移動到不同位置時，因速度場空間分布不均勻所產生的加速度。

---

右側第一項：壓力梯度力

壓力梯度為

$$\nabla p = \frac{\partial p}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial p}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial p}{\partial z}\hat{k}$$

因此

$$-\frac{1}{\rho}\nabla p = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}\hat{i} -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}\hat{j} -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}\hat{k}$$

負號表示流體受到的壓力作用力方向，是由高壓區指向低壓區。

各分量意義為：

• $-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}$：$x$ 方向的單位質量壓力作用力。
• $-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}$：$y$ 方向的單位質量壓力作用力。
• $-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}$：$z$ 方向的單位質量壓力作用力。

---

右側第二項：重力

重力向量寫為

$$\vec{g}=g_x\hat{i}+g_y\hat{j}+g_z\hat{k}$$

它代表單位質量流體所受到的重力加速度。

在一般 $z$ 軸向上為正的情況下，重力向下，因此

$$\vec{g}=-g\hat{k}$$

此時

$$g_x=0,\qquad g_y=0,\qquad g_z=-g$$

---

右側第三項：黏滯項

速度向量的拉普拉斯算子為

$$\nabla^2\vec{u} = \nabla^2u\,\hat{i} + \nabla^2v\,\hat{j} + \nabla^2w\,\hat{k}$$

其中

$$\nabla^2u = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2}$$ $$\nabla^2v = \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2v}{\partial z^2}$$ $$\nabla^2w = \frac{\partial^2w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2w}{\partial z^2}$$

因此

$$\mu\nabla^2\vec{u} = \mu \left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2} \right)\hat{i}$$ $$+ \mu \left( \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2v}{\partial z^2} \right)\hat{j}$$

本題考查白努利方程式 (Bernoulli's equation) 的應用，以及皮托管 (Pitot tube) 的原理。我們需要針對管路中間的流體，在 $x_1$ 和 $x_2$ 位置寫出白努利方程式，並解釋皮托管的測量原理。

首先，我們寫出白努利方程式。對於穩定、不可壓縮、無黏滯流體，沿著一條流線，白努利方程式的形式為：
$p + \frac{1}{2}\rho u^2 + \rho g h = \text{constant}$
其中 $p$ 是靜壓力，$\frac{1}{2}\rho u^2$ 是動壓力，$\rho g h$ 是靜水壓力。

題目要求的是「管子中間等密度流體」，這表示我們考慮的是沿著管子中心線的流動。同時，題目也給定了 $Q_1=Q_2$，這意味著流量守恆。由於流體密度 $\rho$ 是恆定的，根據流量定義 $Q = A u$，其中 $A$ 是截面積，$u$ 是平均速度。

我們假設管子是水平的，即 $h_1 = h_2$ (如果垂直，則需要考慮高度差)。從圖中看，管子是水平的。因此，白努利方程式可以簡化為：
$p + \frac{1}{2}\rho u^2 = \text{constant}$
應用於 $x_1$ 和 $x_2$ 位置：
$p_1 + \frac{1}{2}\rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2}\rho u_2^2$

現在我們來分析皮托管的原理。皮托管是測量流體動壓的儀器。當皮托管的尖端對準流動方向時，它會使流體在尖端處減速至零（停滯點, stagnation point）。在停滯點，流體速度 $u=0$。
因此，在皮托管尖端處的總壓 (total pressure) 為：
$p_{total} = p_{stagnation} + \frac{1}{2}\rho (0)^2 = p_{stagnation}$
其中 $p_{stagnation}$ 是停滯點的壓力。
白努利方程式告訴我們，沿著流線，總壓是守恆的。如果我們將停滯點的壓力與自由流 (free stream) 的壓力進行比較：
自由流中的總壓 = 自由流靜壓力 + 自由流動壓力
$p_{total, free stream} = p_{static} + \frac{1}{2}\rho u_{free stream}^2$
在停滯點，總壓等於自由流總壓，即 $p_{stagnation} = p_{total, free stream}$。
所以，
$p_{stagnation} = p_{static} + \frac{1}{2}\rho u_{free stream}^2$
因此，動壓 $\frac{1}{2}\rho u_{free stream}^2 = p_{stagnation} - p_{static}$。
皮托管測量到的壓力就是停滯壓力 $p_{stagnation}$。另一根導管（通常是側孔）測量到的是自由流靜壓力 $p_{static}$。通過兩者之差，就可以計算出流體速度 $u$。

在圖中，我們有兩個皮托管，分別在 $x_1$ 和 $x_2$ 位置。
在 $x_1$ 位置，皮托管測量到的液面高度為 $h_1'$。這個高度與停滯壓力 $p_{stagnation, 1}$ 成正比。
在 $x_2$ 位置，皮托管測量到的液面高度為 $h_2'$。這個高度與停滯壓力 $p_{stagnation, 2}$ 成正比。
假設皮托管內部充滿與管內流體相同的流體，並且高度差反映了壓力差。
則 $p_{stagnation, 1} \propto h_1'$ 且 $p_{stagnation, 2} \propto h_2'$。

我們需要比較 $x_1$ 和 $x_2$ 位置的流體速度。
從圖中可以看出，在 $x_1$ 位置，管子的截面積 $A_1$ 較大，而在 $x_2$ 位置，管子的截面積 $A_2$ 較小。
由於流量守恆 $Q_1 = Q_2 = Q$，且 $Q = A u$，所以 $A_1 u_1 = A_2 u_2$。
由於 $A_1 > A_2$，因此 $u_1 < u_2$。

現在我們來看皮托管中的液面高度關係。
在 $x_1$ 位置，停滯壓力為 $p_{stagnation, 1}$。
在 $x_2$ 位置，停滯壓力為 $p_{stagnation, 2}$。

我們將白努利方程式寫在 $x_1$ 和 $x_2$ 位置的流線上，並考慮停滯點。
在 $x_1$ 位置，流體速度為 $u_1$，靜壓力為 $p_1$。皮托管尖端處的停滯壓力為 $p_{stagnation, 1}$。
根據白努利方程式（假設水平管）：
$p_1 + \frac{1}{2}\rho u_1^2 = p_{stagnation, 1}$

在 $x_2$ 位置，流體速度為 $u_2$，靜壓力為 $p_2$。皮托管尖端處的停滯壓力為 $p_{stagnation, 2}$。
根據白努利方程式（假設水平管）：
$p_2 + \frac{1}{2}\rho u_2^2 = p_{stagnation, 2}$

我們知道 $u_1 < u_2$。
根據連續性方程式，如果 $u_1 < u_2$，則 $p_1 > p_2$。

本題考查拉格朗日 (Lagrangian) 與歐拉 (Eulerian) 兩種描述流體運動的觀點。這兩種方法都是分析流體運動的有效工具，但它們著眼於不同的角度。

1. 拉格朗日 (Lagrangian) 描述法：

   • 觀點： 這種方法跟踪單獨的流體質點（或稱為「粒子」）的運動軌跡。想像我們給每一個流體質點一個標籤，然後觀察這些被標籤的質點在空間中的位置如何隨時間變化。
   • 變數： 物理量（如位置、速度、壓力、溫度等）被表示為初始位置（或標籤）和時間的函數。通常用 $\vec{r}_0$ 或 $a, b, c$ 等來標記初始位置，用 $t$ 表示時間。
     • 位置：$\vec{r} = \vec{r}( \vec{r}_0, t )$
     • 速度：$\vec{v} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial t} \Big|_{\vec{r}_0}$ (速度是初始位置和時間的函數)
     • 加速度：$\vec{a} = \frac{\partial^2 \vec{r}}{\partial t^2} \Big|_{\vec{r}_0}$
   • 優點： 非常直觀，可以直接描述流體質點的歷史，適用於分析流體質點的運動軌跡、分離、混合等問題。在處理可壓縮性、化學反應、或需要追蹤特定質點（如污染物擴散）時很有用。
   • 缺點： 對於複雜流動，要同時跟踪大量質點的軌跡非常困難，數學上求解也更複雜，特別是當需要計算空間中的場（如壓力場、速度場）時。

2. 歐拉 (Eulerian) 描述法：

   • 觀點： 這種方法固定一個觀察點在空間中，然後觀察流經該點的流體質點的性質如何隨時間變化。我們不關心哪個質點流過，只關心某個空間點上的流體性質。
   • 變數： 物理量被表示為空間座標和時間的函數。
     • 位置：$(x, y, z)$ (空間中的固定點)
     • 速度：$\vec{v} = \vec{v}(x, y, z, t)$ (速度是空間位置和時間的函數)
     • 壓力：$p = p(x, y, z, t)$
     • 密度：$\rho = \rho(x, y, z, t)$
   • 優點： 在大多數流體力學問題中更常用，因為它直接描述了空間中的速度場、壓力場等。物理定律（如連續性方程式、納維-斯托克斯方程式）通常以歐拉形式表述，更容易應用到連續介質力學。
   • 缺點： 難以直接描述流體質點的運動軌跡。要獲得拉格朗日軌跡，需要對歐拉速度場進行積分，這可能很複雜。

主要差別總結：

特徵	拉格朗日 (Lagrangian) 描述法	歐拉 (Eulerian) 描述法
觀察對象	單獨的流體質點 (Lagrangian particle)	固定的空間點 (Spatial point)