108 年 國立臺灣大學海洋研究所物理與化學與地物組（3組聯招）《流體力學（H）》

雷諾數 (Reynolds number, Re) 是流體力學中一個重要的無因次參數，用來描述流體流動的慣性力與黏滯力之間的相對比例。它的大小可以幫助判斷流動是層流 (laminar flow) 還是紊流 (turbulent flow)。

其定義式為：
$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$
其中：

• $\rho$ 是流體的密度 (density)
• $v$ 是流體的平均速度 (average velocity)
• $L$ 是某個代表性的長度尺度 (characteristic length scale)，例如管道的直徑、物體的尺寸等。
• $\mu$ 是流體的動力黏度 (dynamic viscosity)
• $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 是流體的運動黏度 (kinematic viscosity)

意義說明：

1. 很大的雷諾數 (Large Reynolds number, $Re \gg 1$)：
   當雷諾數很大時，表示流體的慣性力遠大於黏滯力。

伯努利定律 (Bernoulli's principle) 是描述理想流體在穩定流動時，壓力、速度和高度之間關係的一個基本定律。它源自於對流體質點運動的能量守恆分析。

推導過程：

我們從 Navier-Stokes 方程式的一個簡化形式開始，假設流體是不可壓縮 (incompressible) 且無黏性 (inviscid) 的，並且沒有外力作用（或將重力項整合到壓力梯度中）。考慮一個沿著流線 (streamline) 的運動。

給定的方程式是：
$\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p - \vec{g}$
這裡假設 $\vec{g}$ 是重力加速度向量，方向向下。

為了推導伯努利定律，我們通常考慮兩種情況：
a) 定常流 (Steady flow): $\frac{\partial \vec{u}}{\partial t} = 0$
b) 無黏性流 (Inviscid flow): 這裡方程式已經假設了。
c) 不可壓縮流 (Incompressible flow): $\rho$ 是常數。
d) 沿著流線 (Along a streamline):

在定常流下，方程式簡化為：
$(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p - \vec{g}$

考慮流線的方向，定義一個單位向量 $\hat{s}$ 沿著流線的方向。則 $(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}$ 在流線方向的分量可以寫成 $u \frac{\partial u}{\partial s}$，其中 $u = |\vec{u}|$ 是流速。
重力向量 $\vec{g}$ 的方向是向下的。如果我們定義一個垂直向上的座標 $z$，則 $\vec{g} = -g \hat{k}$，其中 $\hat{k}$ 是垂直向上的單位向量。那麼 $\vec{g}$ 在流線方向 $\hat{s}$ 的分量為 $\vec{g} \cdot \hat{s}$。
壓力梯度 $\nabla p$ 在流線方向的分量為 $\frac{\partial p}{\partial s}$。

將方程式投影到流線方向 $\hat{s}$：
$\vec{u} \cdot \nabla \vec{u} \cdot \hat{s} = -\frac{1}{\rho} \nabla p \cdot \hat{s} - \vec{g} \cdot \hat{s}$
$u \frac{\partial u}{\partial s} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial s} - g \cos \theta$
其中 $\theta$ 是 $\vec{g}$ 和 $\hat{s}$ 的夾角。如果 $z$ 軸是垂直向上的，那麼 $\hat{s}$ 與 $z$ 軸的夾角是 $90^\circ - \phi$，其中 $\phi$ 是流線與水平面的夾角。
更直接地，我們可以將 $\vec{g}$ 的影響寫成 $-\nabla(gz)$，如果 $z$ 是垂直向上的高度。

那麼，方程式變為：
$(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nabla(gz)$
$(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla(gz) + \frac{1}{\rho} \nabla p = 0$

這三個概念都與流體流動的旋轉運動有關，是描述流體運動特徵的重要物理量。

1. 旋度 (Curl)
   旋度是向量微積分中的一個概念，用來描述一個向量場在某一點的「旋轉」程度和方向。對於一個向量場 $\vec{F}$，其旋度記為 $\nabla \times \vec{F}$，它本身也是一個向量。

   • 數學定義：
     在笛卡兒座標系 $(x, y, z)$ 下，對於向量場 $\vec{F} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k}$，其旋度為：
     $\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k}$
   • 物理意義：
     旋度的值越大，表示該點附近的向量場的「旋轉」越劇烈。旋度的方向則表示該旋轉的軸心方向（遵循右手定則）。如果一個向量場的旋度為零 ($\nabla \times \vec{F} = 0$)，則該向量場稱為無旋場 (irrotational field)。

2. 渦度 (Vorticity)
   渦度是流體力學中專門用來描述流體微小塊體旋轉運動的物理量。它就是速度向量場 $\vec{u}$ 的旋度。

   • 數學定義：
     渦度 $\vec{\omega} = \nabla \times \vec{u}$。
   • 物理意義：
     渦度 $\vec{\omega}$ 是一個向量，其大小表示流體微團旋轉的角速度的兩倍，其方向表示該旋轉的軸心方向。
     • 如果 $\vec{\omega} = 0$，則該處流動是無旋流 (irrotational flow)，流體微團不會旋轉。
     • 如果 $\vec{\omega} \neq 0$，則該處流動是有旋流 (rotational flow)，流體微團會發生旋轉。
       渦度是描述流體動態行為，特別是渦流和湍流現象的關鍵參數。

3. 位渦 (Potential Vorticity)
   位渦是一個在某些特定條件下，可以用來描述流體運動的另一種重要物理量，尤其是在大尺度流動（如大氣科學和海洋學）中。

本題考驗對靜態流體壓力分佈的理解，以及壓力在牆面上的積分計算。

核心觀念：
靜態流體中，某一點的壓力僅取決於其上方液體的總重量（高度、密度）以及該點的深度。壓力隨深度線性增加。牆壁承受的壓力是垂直於牆壁的。

給定參數：

• 重力加速度 $g = 10 \text{ m/s}^2$
• 水的密度 (用於計算比重) $\rho_{water} = 1000 \text{ kg/m}^3$
• 液體 1：深度 $h_1 = 1 \text{ m}$，比重 $S_1 = 0.8$。因此密度 $\rho_1 = S_1 \rho_{water} = 0.8 \times 1000 = 800 \text{ kg/m}^3$。
• 液體 2：深度 $h_2 = 1.5 \text{ m}$，比重 $S_2 = 0.9$。因此密度 $\rho_2 = S_2 \rho_{water} = 0.9 \times 1000 = 900 \text{ kg/m}^3$。
• 液體 3：深度 $h_3 = 2 \text{ m}$，比重 $S_3 = 1.0$。因此密度 $\rho_3 = S_3 \rho_{water} = 1.0 \times 1000 = 1000 \text{ kg/m}^3$。
• 容器單位寬度 $W = 1 \text{ m}$。

解題步驟：

(a) 容器壁側壓力之分佈 (可用圖示法)

容器壁側的壓力分佈是線性的。我們需要確定每個液體層在牆壁上的壓力分佈，並考慮它們的起始壓力（頂層液體在表面上的壓力，通常為零，除非有額外載荷）。

我們可以從容器頂部開始，定義深度 $z$ 從頂部算起。

• 液體 1 (頂層):

  • 深度範圍：$0 \le z \le h_1 = 1 \text{ m}$。
  • 液體密度：$\rho_1 = 800 \text{ kg/m}^3$。
  • 壓力 $p_1(z)$ 在深度 $z$ 處為：
    $p_1(z) = p_{surface} + \rho_1 g z$
    假設容器頂部表面壓力 $p_{surface} = 0$ (大氣壓力已考慮在相對壓力中)。
    $p_1(z) = 0 + 800 \times 10 \times z = 8000z \text{ Pa}$
  • 在液體 1 的底部（即 $z = 1 \text{ m}$ 處），壓力為：
    $p_{1,bottom} = 8000 \times 1 = 8000 \text{ Pa}$

• 液體 2 (中間層):

  • 深度範圍：$h_1 \le z \le h_1 + h_2 = 1 + 1.5 = 2.5 \text{ m}$。
  • 液體密度：$\rho_2 = 900 \text{ kg/m}^3$。
  • 壓力 $p_2(z)$ 在深度 $z$ 處為：
    $p_2(z) = p_{1,bottom} + \rho_2 g (z - h_1)$
    $p_2(z) = 8000 + 900 \times 10 \times (z - 1) = 8000 + 9000(z - 1) \text{ Pa}$
  • 在液體 2 的底部（即 $z = 2.5 \text{ m}$ 處），壓力為：
    $p_{2,bottom} = 8000 + 9000(2.5 - 1) = 8000 + 9000 \times 1.5 = 8000 + 13500 = 21500 \text{ Pa}$

• 液體 3 (底層):

  • 深度範圍：$h_1 + h_2 \le z \le h_1 + h_2 + h_3 = 2.5 + 2 = 4.5 \text{ m}$。
  • 液體密度：$\rho_3 = 1000 \text{ kg/m}^3$。
  • 壓力 $p_3(z)$ 在深度 $z$ 處為：
    $p_3(z) = p_{2,bottom} + \rho_3 g (z - (h_1+h_2))$
    $p_3(z) = 21500 + 1000 \times 10 \times (z - 2.5) = 21500 + 10000(z - 2.5) \text{ Pa}$
  • 在容器的最底部（即 $z = 4.5 \text{ m}$ 處），總壓力為：
    $p_{3,bottom} = 21500 + 10000(4.5 - 2.5) = 21500 + 10000 \times 2 = 21500 + 20000 = 41500 \text{ Pa}$

圖示法：
壓力分佈可以畫成一個壓力-深度圖。橫軸為壓力 (Pa)，縱軸為深度 (m)，從頂部算起。

• 從 $z=0$ 到 $z=1 \text{ m}$，壓力從 $0 \text{ Pa}$ 線性增加到 $8000 \text{ Pa}$。
• 從 $z=1 \text{ m}$ 到 $z=2.5 \text{ m}$，壓力從 $8000 \text{ Pa}$ 線性增加到 $21500 \text{ Pa}$。
• 從 $z=2.5 \text{ m}$ 到 $z=4.5 \text{ m}$，壓力從 $21500 \text{ Pa}$ 線性增加到 $41500 \text{ Pa}$。

這個壓力分佈圖是一個梯形（或多個連接的梯形）。

【答案】(a) 壓力分佈為：
液體 1 (0-1m): $p(z) = 8000z$ Pa
液體 2 (1-2.5m): $p(z) = 8000 + 9000(z-1)$ Pa
液體 3 (2.5-4.5m): $p(z) = 21500 + 10000(z-2.5)$ Pa