111 年 國立臺灣大學海洋研究所物理與化學與地物組（3組聯招）《流體力學（D）》

這題主要考驗對流體力學基本概念的掌握，包含物質導數、梯度、散度、旋度以及向量微積分的恆等式。

(a) 物質導數的定義與各項解釋

流體質點在空間中的運動軌跡會隨時間變化，物質導數（Material Derivative）描述了流體質點上某物理量（例如速度）隨時間的變化率。對於速度場 $\vec{V}(x,y,z,t)$，其物質導數 $D\vec{V}/Dt$ 定義為：

$\frac{D\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V}$

各項的意義如下：

• $\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}$: 局部變化率 (Local Rate of Change)。表示在空間固定一點 $(x,y,z)$ 上，速度場隨時間的變化。這代表了流場的瞬時變化，例如流速的突然增加或減少。
• $(\vec{V} \cdot \nabla) \vec{V}$: 對流變化率 (Convective Rate of Change)。表示流體質點因為在空間中移動，而經歷的速度變化。因為速度場本身是空間變數，當流體質點移動到速度不同的位置時，其速度也會改變。這項的計算是將速度向量 $\vec{V}$ 作為算子作用在速度向量 $\vec{V}$ 上。

物質導數 $D\vec{V}/Dt$ 代表了流體質點本身的速度變化率，它包含了局部時間變化以及因空間移動而造成的變化。

【答案】

(b) $\nabla P$, $\vec{V}\cdot\vec{V}$, 和 $\nabla\times\vec{V}$ 的物理意義

• $\nabla P$: 壓力梯度 (Pressure Gradient)。

  • $\nabla$ 是梯度算子，$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}$。
  • $P(x,y,z,t)$ 是壓力場。
  • $\nabla P$ 是一個向量，其方向指向壓力增加最快的方向，其大小則表示壓力變化的劇烈程度。
  • 物理意義： $\nabla P$ 表示在空間中，壓力隨位置變化的空間變率。它直接影響流體受力的大小與方向。例如，在流體靜力學中，重力與壓力梯度的平衡是流體保持靜止的關鍵。在流體運動中，壓力梯度是驅動流體流動的重要因素之一，流體傾向於從高壓區流向低壓區。

• $\vec{V}\cdot\vec{V}$: 速度的平方 (Square of Velocity Magnitude)。

  • $\vec{V}$ 是速度向量。
  • $\vec{V}\cdot\vec{V}$ 是速度向量與自身的內積，其值等於速度大小的平方 $|\vec{V}|^2$。
  • 物理意義： $\vec{V}\cdot\vec{V}$ 表示流體質點運動速率的平方。它在能量守恆的考量中很重要，例如動能與速度的平方成正比。在某些流體力學方程中（如伯努利方程），速度的平方項代表了動壓（dynamic pressure）或動能密度。

• $\nabla\times\vec{V}$: 速度場的旋度 (Curl of Velocity Field)。

  • $\nabla\times$ 是旋度算子。
  • $\vec{V}$ 是速度向量場。
  • $\nabla\times\vec{V}$ 是一個向量，其大小表示在某一點附近流體微團的平均旋轉速率，其方向則表示旋轉軸的方向（根據右手定則）。
  • 物理意義： $\nabla\times\vec{V}$ 衡量了流體質點的渦度 (Vorticity)。如果 $\nabla\times\vec{V} = 0$，則該流體區域是無旋的 (irrotational)，流體微團在其中運動時不會發生整體旋轉。如果 $\nabla\times\vec{V} \neq 0$，則該區域是有旋的 (rotational)，流體微團會發生旋轉，形成渦流。

【答案】

(c) 證明 $\nabla\times(\nabla P)=0$

我們要證明一個純量場（壓力 $P$）的梯度向量的旋度為零。
令 $\vec{A} = \nabla P$。我們需要證明 $\nabla\times\vec{A} = 0$。
$\vec{A}$ 的分量為 $A_x = \frac{\partial P}{\partial x}$, $A_y = \frac{\partial P}{\partial y}$, $A_z = \frac{\partial P}{\partial z}$。

旋度向量 $\nabla\times\vec{A}$ 的計算如下：
$\nabla\times\vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\hat{j} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\hat{k}$

將 $A_x, A_y, A_z$ 代入：
$\nabla\times(\nabla P) = \left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial P}{\partial z}\right) - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)\right)\hat{i} + \left(\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial P}{\partial x}\right) - \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial P}{\partial z}\right)\right)\hat{j} + \left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial P}{\partial y}\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial P}{\partial x}\right)\right)\hat{k}$

在數學上，如果二階偏導數是連續的（這在物理學中通常假設成立，因為壓力函數通常是光滑的），則偏導數的次序可以交換。也就是說：
$\frac{\partial^2 P}{\partial y \partial z} = \frac{\partial^2 P}{\partial z \partial y}$
$\frac{\partial^2 P}{\partial z \partial x} = \frac{\partial^2 P}{\partial x \partial z}$
$\frac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 P}{\partial y \partial x}$

這題主要在考察二維不可壓縮流體中，渦量（vorticity）為零的流場（無旋流）所具備的兩種重要數學描述工具：流函數（streamfunction）與速度勢函數（velocity potential function），以及它們各自的物理意義。

2. 證明二維流函數與速度勢函數並解釋其物理意義。

本題要求推導二維流函數與速度勢函數，並解釋其物理意義。這兩種函數都是描述二維不可壓縮流場的有效工具，尤其是在流場無旋（vorticity is zero）的情況下。

2.1 流函數 (Streamfunction)

在二維不可壓縮流體中，速度場 $\vec{v} = (u(x,y), v(x,y))$ 必須滿足連續性方程式：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
為了自動滿足這個條件，我們可以引入一個稱為流函數 $\psi(x,y)$ 的函數，並定義速度分量與流函數的關係如下：
$u = \frac{\partial \psi}{\partial y}$
$v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$
我們來驗證這個定義是否滿足連續性方程式：
$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)$
$= \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial y \partial x}$
由於二階偏導數的順序可以交換（假設 $\psi$ 具有足夠的光滑性），所以上式等於零。這表示只要我們定義速度分量與流函數如上，連續性方程式就自動滿足了。

物理意義：
流函數 $\psi$ 的物理意義與流線（streamline）有關。流線是瞬時速度向量的切線。在二維流場中，流線的方程式可以表示為 $\psi(x,y) = \text{constant}$。

證明：
考慮一條流線，其斜率為 $\frac{dy}{dx}$。在流場中，流線的斜率等於速度分量的比值，即 $\frac{v}{u}$。
$\frac{dy}{dx} = \frac{v}{u}$
將流函數的定義代入：
$\frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{\partial \psi}{\partial x}}{\frac{\partial \psi}{\partial y}}$
重新整理上式：
$\frac{\partial \psi}{\partial y} dy = -\frac{\partial \psi}{\partial x} dx$
$\frac{\partial \psi}{\partial x} dx + \frac{\partial \psi}{\partial y} dy = 0$
根據全微分的定義，這表示 $d\psi = 0$。因此，沿著流線，流函數 $\psi$ 的值保持不變，即 $\psi(x,y) = \text{constant}$。

此外，流函數的差值代表了兩條流線之間的流量。考慮兩條流線 $\psi_1$ 和 $\psi_2$（其中 $\psi_2 > \psi_1$），它們之間的流量 $Q$ 可以表示為：
$Q = \int_{S} \vec{v} \cdot \hat{n} \, dS$
其中 $S$ 是連接這兩條流線的任意一個曲面，$\hat{n}$ 是該曲面的外法向量。若我們選擇一個垂直於 x-y 平面的曲面，並積分通過該曲面的流量，可以證明：
$\psi_2 - \psi_1 = \int_{x_1}^{x_2} u \, dy - v \, dx$
在流函數的定義下，這積分結果會等於 $\psi_2 - \psi_1$。因此，流函數的等值線是流線，而流函數的差值代表了兩條流線之間的流量。

2.2 速度勢函數 (Velocity Potential Function)

速度勢函數 $\phi(x,y)$ 是用來描述無旋流場（irrotational flow）的。無旋流場的條件是渦量為零，即：
$\nabla \times \vec{v} = \vec{0}$
在二維情況下，這意味著：

這題主要考驗考生對流體力學基本概念的理解與定義，涵蓋了流體運動的近似方法、流體種類、流動特性、描述方法以及紊流的相關概念。

3. Explain the following terms (20%). (a) Boussinesq approximation; (b) Inviscid flow; (c) Newtonian fluid (d) Reynolds number; (e) Richardson number; (f) Lagrangian method; (g) Eulerian method; (h) Laminar flow; (i) Turbulent flow; (j) Reynolds stress.

(a) Boussinesq approximation

Boussinesq approximation 是一種在處理浮力驅動流動（buoyancy-driven flows）時常用的簡化假設。在許多自然現象中，例如大氣對流、海洋環流、熱傳輸等，溫度的微小變化會導致密度的微小變化，進而產生浮力。Boussinesq approximation 假設：

1. 密度變化僅影響浮力項： 在流體運動方程式（如 Navier-Stokes 方程式）中，密度 $\rho$ 的變化只會顯現在重力項（浮力項）中，其他所有項（如慣性項、壓力項）中的密度都視為常數，通常取為參考密度 $\rho_0$。
2. 密度變化微小： 密度 $\rho$ 與參考密度 $\rho_0$ 的差異非常小，即 $\frac{|\rho - \rho_0|}{\rho_0} \ll 1$。

數學上，若重力向量為 $\mathbf{g} = (0, 0, -g)$，則浮力項可以寫成 $(\rho - \rho_0)\mathbf{g}$。在 Boussinesq approximation 下，這個項近似為 $-\rho_0 \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0} \mathbf{g}$。如果我們定義一個密度偏差 $\delta \rho = \rho - \rho_0$，則浮力項近似為 $-\delta \rho \mathbf{g}$。

這種近似的優點在於，它大大簡化了流體運動方程式，使得在許多涉及微小密度變化的問題中，可以進行有效的分析和數值模擬，同時保留了浮力效應的核心物理意義。

【答案】

(b) Inviscid flow

Inviscid flow（無黏性流）是指流體在流動過程中，其黏滯性（viscosity）效應可以忽略不計的流動狀態。在這種流動中，流體質點之間的剪應力（shear stress）為零。

數學上，這意味著流體的速度梯度所產生的黏滯力可以被忽略。對於牛頓流體，應力張量 $\tau_{ij}$ 與速度梯度張量 $S_{ij} = \frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i})$ 的關係為 $\tau_{ij} = 2\mu S_{ij}$，其中 $\mu$ 是動力黏滯係數。在無黏性流的假設下，黏滯係數 $\mu$ 趨近於零，因此應力張量中的黏滯應力項為零。

Inviscid flow 的概念在許多流體力學問題的分析中非常有用，特別是當流體黏滯性較低（例如空氣在高亞音速流動時）或流動區域遠離固體邊界時。例如，在分析翼型周圍的流動時，可以先假設為無黏性流來計算壓力分佈，然後再考慮黏滯性效應（如邊界層）來修正結果。無黏性流的運動方程式是 Euler 方程式。

【答案】

(c) Newtonian fluid

Newtonian fluid（牛頓流體）是指其剪應力與剪應率（rate of shear strain）之間呈線性關係的流體。換句話說，流體抵抗剪切變形的程度（黏滯性）不隨施加剪應力的變化而改變。

對於一維剪切流動，牛頓流體的剪應力 $\tau$ 與速度梯度 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 的關係可以表示為：
$\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}$
其中 $\mu$ 是流體的動力黏滯係數（dynamic viscosity），它是一個常數，僅取決於流體的溫度和壓力，與速度梯度無關。

常見的牛頓流體包括水、空氣、酒精、大多數油類等。非牛頓流體則包括血液、油漆、番茄醬、聚合物溶液等，它們的黏滯性會隨剪應率的變化而改變。

【答案】

(d) Reynolds number

Reynolds number（雷諾數），符號為 $Re$，是一個無因次的物理量，用來描述流體慣性力與黏滯力之間的相對大小。它在判斷流動是層流（laminar flow）還是紊流（turbulent flow）時扮演著關鍵角色。

Reynolds number 的定義為：
$Re = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu}$
其中：

• $\rho$ 是流體的密度。
• $V$ 是流體的特徵速度（characteristic velocity）。
• $L$ 是流體的特徵長度（characteristic length）。
• $\mu$ 是流體的動力黏滯係數。
• $\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 是流體的運動黏滯係數（kinematic viscosity）。

慣性力（$\rho V^2 L^2$）與黏滯力（$\mu V L$）的比值約為 $\frac{\rho V^2 L^2}{\mu V L} = \frac{\rho V L}{\mu} = Re$。

• 當 Reynolds number 較小時，黏滯力佔主導地位，流動傾向於穩定、有序的層流。
• 當 Reynolds number 較大時，慣性力佔主導地位，流動傾向於不穩定、無序的紊流。

具體的臨界 Reynolds number 值取決於流動的幾何形狀和邊界條件（例如，圓管內流動的臨界 Reynolds number 約為 2300，平板上的流動約為 $5 \times 10^5$）。

【答案】

(e) Richardson number

Richardson number（理查森數），符號為 $Ri$，是一個無因次的量，用來衡量浮力對流動的影響與慣性力對流動的影響之間的相對大小。它常用於描述分層流體（stratified fluids）中的穩定性，例如大氣和海洋中的流動。

Richardson number 的定義為：
$Ri = \frac{N^2}{S^2}$
其中：

• $N$ 是 Brunt-Väisälä 頻率（Brunt-Väisälä frequency），代表在靜止的分層流體中，一個被垂直擾動的質點在恢復力作用下振盪的頻率。對於一個密度隨高度 $z$ 變化的流體，其定義為：

好的，這是一題關於二維穩定不可壓縮流體運動的題目，核心觀念是利用連續方程式（Continuity Equation）來求解速度分量。

解題過程：

題目要求我們找出一個可能的 $x$ 方向速度分量 $u$，使得給定的 $y$ 方向速度分量 $v = x^2 - 2x + 2y$ 能夠滿足二維、穩定、不可壓縮流體的條件。

1. 核心觀念：連續方程式 (Continuity Equation)
   對於穩定（steady）且不可壓縮（incompressible）的流體，其連續方程式在笛卡爾座標系下的形式為：
   $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
   這個方程式代表了質量守恆的原理：在沒有質量源或質量匯的情況下，進入一個控制體積的流體質量必須等於離開的流體質量。對於不可壓縮流體，體積守恆等同於質量守恆。

2. 應用連續方程式求解 $u$
   我們已知 $v = x^2 - 2x + 2y$。首先，我們需要計算 $v$ 對 $y$ 的偏導數：
   $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - 2x + 2y)$
   由於 $x^2$ 和 $-2x$ 是常數對 $y$ 而言，它們的導數為零。因此：
   $\frac{\partial v}{\partial y} = 0 - 0 + 2 = 2$

   現在，我們將 $\frac{\partial v}{\partial y}$ 代入連續方程式：
   $\frac{\partial u}{\partial x} + 2 = 0$
   移項後得到：

核心觀念

本題考兩種不同的波流現象：

1. 表面波增幅與破碎：以波作用量輸運描述水流對波的調制。波作用量通量取決於波相對於地面的群速度 $U+c_g$。
2. 內部水躍：兩層流體跨越突變地形時，密度界面受地形與流速變化影響；內部 Froude 數可用來判斷流況是否由超臨界轉為亞臨界。

解題方法：先讀圖

圖中上層密度標為 $\rho_1$、下層標為 $\rho_2$；箭頭顯示水流由左向右，底床向右側突然下降。密度界面先隨地形下沉，之後在下游急升，並伴有渦旋；水面則標示波浪增幅及破碎。圖中沒有標示表面波的傳播方向，也沒有流速或層厚數值，因此以下以常見的逆流波阻滯情形解釋表面波增幅，並以典型的超臨界轉為亞臨界解釋內部水躍。

（1）表面波增幅與破碎

令 $U$ 為平均流速在水平 $x$ 方向的分量，$c_g$ 為相對於水體的群速度，並以正負號表示方向；$\sigma$ 為波的內在角頻率，$E$ 為波能量密度。波作用量密度為

$$N=\frac{E}{\sigma}.$$

在穩態一維、無耗散的波作用量輸運中，沿波射線的波作用量通量守恆：

$$(U+c_g)\frac{E}{\sigma}=\text{常數}.$$

若表面波逆著圖示的右向水流傳播，則波的群速度方向與水流相反。當逆向水流增強，使 $U+c_g$ 的大小逐漸趨近於零，波作用量密度便會上升。波長縮短、波形變陡，波幅隨之增大；非線性效應使波峰變尖並發生破碎，能量再由湍流與耗散帶走。接近阻波時，無耗散的波作用量通量關係會預測作用量大幅累積；實際流場則會在此之前發生破碎與耗散。