本題考驗對卡方檢定(Chi-square test)的應用。當我們想探討兩個類別變項之間是否存在關聯性時，卡方檢定是一個常用的統計方法。在此題中，兩個類別變項分別是「政黨」(A、B、C)與「萊豬進口態度」(贊成、反對、無意見)。

步驟一：設定虛無假設與對立假設

• $H_0$：政黨與萊豬進口態度之間沒有關聯性。
• $H_1$：政黨與萊豬進口態度之間有關聯性。

步驟二：計算預期次數 (Expected Frequencies)
首先，我們需要計算各類別的總計人數，以及欄位與列的總計。

	A政黨	B政黨	C政黨	列總計
贊成	30	10	5	45
反對	15	15	5	35
無意見	10	5	5	20
欄總計	55	30	15	100

接著，計算預期次數。預期次數的公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{列 } i \text{ 的總計}) \times (\text{欄 } j \text{ 的總計})}{\text{總計人數}}$

• 預期贊成A政黨：$E_{11} = \frac{45 \times 55}{100} = 24.75$
• 預期贊成B政黨：$E_{12} = \frac{45 \times 30}{100} = 13.5$
• 預期贊成C政黨：$E_{13} = \frac{45 \times 15}{100} = 6.75$
• 預期反對A政黨：$E_{21} = \frac{35 \times 55}{100} = 19.25$
• 預期反對B政黨：$E_{22} = \frac{35 \times 30}{100} = 10.5$
• 預期反對C政黨：$E_{23} = \frac{35 \times 15}{100} = 5.25$
• 預期無意見A政黨：$E_{31} = \frac{20 \times 55}{100} = 11$
• 預期無意見B政黨：$E_{32} = \frac{20 \times 30}{100} = 6$
• 預期無意見C政黨：$E_{33} = \frac{20 \times 15}{100} = 3$

步驟三：計算卡方統計量 ($\chi^2$)
卡方統計量的公式為：
$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
其中 $O_{ij}$ 是觀察次數，$E_{ij}$ 是預期次數。

• 贊成A：$\frac{(30 - 24.75)^2}{24.75} = \frac{5.25^2}{24.75} = \frac{27.5625}{24.75} \approx 1.1136$

本題考驗計算 Pearson 相關係數、建立簡單線性迴歸方程式，以及解讀迴歸分析的 ANOVA 表。

首先，我們需要整理數據。
自變項 (X)：期中考成績 (連續變項)
依變項 (Y)：是否及格 (0=不及格, 1=及格) (類別變項，但在此迴歸分析中視為連續變項處理)

數據：
X: [50, 60, 60, 70, 100, 80, 90, 80, 70, 90]
Y: [0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
樣本數 $n = 10$

步驟一：計算平均數、標準差、SSX、SSY、SPxy

• $\bar{X} = \frac{50+60+60+70+100+80+90+80+70+90}{10} = \frac{750}{10} = 75$
• $\bar{Y} = \frac{0+0+1+1+1+1+1+1+1+1}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$

為了計算相關係數和迴歸方程式，我們需要計算 $SS_X$, $SS_Y$, 和 $SP_{XY}$。

$SS_X = \sum (X_i - \bar{X})^2$
$SS_Y = \sum (Y_i - \bar{Y})^2$
$SP_{XY} = \sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$

計算各項：

$X_i$	$Y_i$	$X_i - \bar{X}$	$Y_i - \bar{Y}$	$(X_i - \bar{X})^2$	$(Y_i - \bar{Y})^2$	$(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$
50	0	-25	-0.8	625	0.64	20
60	0	-15	-0.8	225	0.64	12
60	1	-15	0.2	225	0.04	-3
70	1	-5	0.2	25	0.04	-1
100	1	25	0.2	625	0.04	5
80	1	5	0.2	25	0.04	1
90	1	15	0.2	225	0.04	3
80	1	5	0.2	25	0.04	1
70	1	-5	0.2	25	0.04	-1
90	1	15	0.2	225	0.04	3
總計				2250	0.8	40

• $SS_X = 2250$
• $SS_Y = 0.8$
• $SP_{XY} = 40$

(1) 兩變項間相關係數(correlation coefficient)為多少?(4%)
Pearson 相關係數 $r$ 的計算公式為：
$r = \frac{SP_{XY}}{\sqrt{SS_X \times SS_Y}}$

$r = \frac{40}{\sqrt{2250 \times 0.8}} = \frac{40}{\sqrt{1800}} = \frac{40}{30\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$r \approx \frac{2 \times 1.414}{3} \approx \frac{2.828}{3} \approx 0.9428$

【答案】(1) 相關係數約為 0.9428。

核心觀念

本題是 $3\times 4$ 的混合設計 ANOVA：

• 疫苗：3 組，為受試者間因子（between-subjects factor）。
• 時間：每週測量 4 次，為受試者內因子（within-subjects factor）。
• 每組有 $15/3=5$ 位受試者。
• 總受試者數 $N=15$，總觀察值為 $15\times 4=60$。

混合設計的平方和分解為：

$$SS_T=SS_{\text{疫苗}}+SS_{\text{受試者(疫苗內)}}+SS_{\text{時間}} +SS_{\text{交互作用}}+SS_{\text{誤差}}$$

題目給定：

$$SS_T=300,\quad SS_A=16,\quad SS_B=60,\quad SS_{AB}=30, \quad SS_{\text{within subjects}}=260$$

其中受試者內平方和包含：

$$SS_{\text{within subjects}} =SS_B+SS_{AB}+SS_E$$

因此：

$$SS_E=260-60-30=170$$

受試者間的誤差平方和為：

$$SS_{S(A)}=300-16-260=24$$

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解題方法

設：

• $A$：疫苗，水準數 $a=3$
• $B$：時間，水準數 $b=4$
• 每個疫苗組受試者數 $n=5$

自由度公式如下：

$$df_A=a-1=3-1=2$$ $$df_{S(A)}=a(n-1)=3(5-1)=12$$ $$df_B=b-1=4-1=3$$ $$df_{AB}=(a-1)(b-1)=2\times 3=6$$ $$df_E=a(n-1)(b-1)=3\times4\times3=36$$ $$df_T=N b-1=15\times4-1=59$$

均方為：

$$MS=\frac{SS}{df}$$

混合設計中，不同效果使用不同誤差項：

• 疫苗效果以 $MS_{S(A)}$ 為誤差項。
• 時間與交互作用以 $MS_E$ 為誤差項。

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（1）混合設計 ANOVA 表

先計算各均方與 $F$ 值：

$$MS_A=\frac{16}{2}=8$$ $$MS_{S(A)}=\frac{24}{12}=2$$ $$F_A=\frac{8}{2}=4$$ $$MS_B=\frac{60}{3}=20$$ $$MS_{AB}=\frac{30}{6}=5$$ $$MS_E=\frac{170}{36}=4.722$$ $$F_B=\frac{20}{4.722}=4.235$$ $$F_{AB}=\frac{5}{4.722}=1.059$$

在 $\alpha=0.05$ 下，臨界值為：

$$F_{0.05}(2,12)=3.885$$ $$F_{0.05}(3,36)=2.866$$ $$F_{0.05}(6,36)=2.363$$

變異來源	$df$	$SS$	$MS$	$F$	臨界值
疫苗 $A$	2	16	8.000	4.000	$F(2,12)=3.885$
受試者（疫苗內）$S(A)$	12	24	2.000	—	—
時間 $B$	3	60	20.000	4.235	$F(3,36)=2.866$
疫苗 $\times$ 時間 $AB$	6	30	5.000	1.059	$F(6,36)=2.363$
誤差 $E$	36	170	4.722	—	—
總和	59	300	—	—	—

統計判斷

疫苗效果：

$$F_A=4.000>3.885$$

因此拒絕疫苗效果為零的虛無假設，表示三種疫苗的平均病毒數量存在顯著差異。

時間效果：

$$F_B=4.235>2.866$$

因此拒絕虛無假設，表示四個時間點的平均病毒數量存在顯著差異。

交互作用：

$$F_{AB}=1.059<2.363$$

因此不拒絕虛無假設，表示沒有足夠證據認為不同疫苗的效果會隨時間而改變。

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（2）改為兩因子皆為受試者間因子

實驗重新設計

仍採用：

• 疫苗因子：3 個水準。
• 時間因子：4 個水準。
• 每一個細格維持 5 位受試者。

因此需要建立 $3\times4=12$ 個細格：

$$3\times4\times5=60$$

共需 60 位受試者。

每位受試者只被隨機分配到一種疫苗與一個時間條件，並且只接受一次病毒數量測量。例如：

本題考驗對統計學中重要概念 alpha (顯著水準)、p 值，以及統計檢力 (Power) 的理解。

核心觀念：

• Alpha ($\alpha$)： 顯著水準，代表我們願意接受的型一錯誤 (Type I error) 的機率。型一錯誤是指當虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$) 為真時，卻拒絕了它。
• p 值： 在虛無假設為真的情況下，觀察到現有數據或更極端數據的機率。p 值越小，越有證據支持拒絕虛無假設。
• 統計檢力 (Power)： 代表當對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_1$) 為真時，正確拒絕虛無假設的機率，即 $1 - \beta$。$\beta$ 是型二錯誤 (Type II error) 的機率，指當對立假設為真時，卻未能拒絕虛無假設。
• 型一錯誤 (Type I Error)： 誤判為有顯著差異或關聯，而實際上沒有。
• 型二錯誤 (Type II Error)： 誤判為沒有顯著差異或關聯，而實際上存在。

第 1 題市調研究背景：
研究目的：瞭解政黨與萊豬進口態度是否有關係。
檢定方法：卡方檢定 ($\chi^2$)。
顯著水準：$\alpha = 0.05$。
計算結果：$\chi^2 \approx 6.9444$, $df = 4$, 臨界值 = 9.488。
結論：$\chi^2_{\text{calculated}} < \chi^2_{\text{critical}}$，無法拒絕 $H_0$ (政黨與萊豬進口態度沒有關聯)。

(1) 定義 alpha。該研究的p值範圍?(10%)

定義 alpha：
Alpha ($\alpha$) 是統計學中預設的顯著水準 (Significance Level)。它代表了研究者願意承擔的「型一錯誤」的風險機率。換句話說，如果虛無假設 ($H_0$) 實際上是真的，但我們因為樣本結果而錯誤地拒絕了它，這種錯誤的機率就是 $\alpha$。在科學研究中，常見的 $\alpha$ 值有 0.05 (5%)、0.01 (1%) 或 0.10 (10%)。題目中已設定 $\alpha = 0.05$。

該研究的 p 值範圍：
在第 1 題的卡方檢定中，我們計算出的卡方統計量 $\chi^2 \approx 6.9444$，自由度 $df = 4$。
我們需要找到對應於 $\chi^2 = 6.9444$ 和 $df = 4$ 的 p 值。
p 值是指在 $H_0$ 為真時，得到當前樣本結果或更極端結果的機率。

我們知道，當 $\chi^2 = 9.488$ (臨界值) 時，p 值等於 $\alpha = 0.05$。
由於我們計算出的卡方統計量 $\chi^2 = 6.9444$ 小於 臨界值 9.488，這表示我們的 p 值會 大於 0.05。
也就是說，如果 $H_0$ 為真，我們觀察到 $\chi^2 = 6.9444$ 或更極端（即更大的 $\chi^2$ 值）的機率，大於 0.05。

本題考驗對實驗設計限制、獨立樣本 t 檢定，以及事後檢定 (Post-hoc tests) 的理解。

第 3 題實驗背景：

• 研究主題：新冠疫苗對冠狀病毒效果。
• 設計：混合設計 (Mixed Design)，疫苗 (Vaccine) 是受試者間因子 (Between-Subjects, 3 水準：A, B, C)，時間 (Time) 是受試者內因子 (Within-Subjects, 4 次測量)。
• 總受試者數：$N=15$。
• (根據前一題的推論) 假設每組疫苗有 $n=5$ 人。

(1) 若參與研究的15位受試者包括9位女性、6位男性,年齡介於25-40歲,請說明該研究結果的應用限制。(10%)

限制的來源：
研究結果的推論效度 (External Validity) 會受到樣本代表性 (Representativeness) 的影響。如果樣本特徵與目標母群體 (Target Population) 之間存在顯著差異，則研究結果的推論範圍就會受到限制。

分析樣本特徵：

• 性別比例： 9 位女性，6 位男性。女性比例較高 (60%)。
• 年齡範圍： 25-40 歲。這是一個相對年輕且健康的成年人群體。

限制說明：

1. 性別代表性不足： 樣本中女性佔比較高。因此，該研究結果可能更適用於女性族群。對於男性族群，疫苗的效果可能有所不同，研究結果的推論到男性母群體時應謹慎。如果目標母群體是男女比例相當的成人，則此樣本的性別分佈會限制推論的普適性。
2. 年齡代表性限制： 樣本年齡集中在 25-40 歲，屬於青壯年。這意味著研究結果可能無法直接推論到其他年齡層，特別是：
   • 老年人： 老年人免疫系統功能可能較弱，對疫苗的反應可能與年輕人不同。
   • 兒童/青少年： 疫苗在兒童和青少年身上的效果和安全性可能與成人不同。
3. 其他未知的樣本特徵： 題幹中未提及其他可能影響疫苗效果的因素，例如：
   • 健康狀況： 是否有慢性病史？免疫力高低？
   • 種族/族裔： 不同族裔對疫苗的反應可能存在差異。
   • 地理區域： 實驗地點的病毒流行情況、生活習慣等。
   • 疫苗接種史： 是否曾接種過其他疫苗？

結論：
由於樣本在性別比例和年齡分佈上存在偏頗，且未提及其他可能影響結果的因素，因此該研究結果的應用範圍受到限制。研究結果可能更準確地反映了 25-40 歲女性對該疫苗的反應，而對於男性、老年人、兒童或具有特定健康狀況的族群，其推論效度會降低。

【答案】(1) 研究結果的應用限制包括：樣本性別比例偏向女性，可能導致結果對男性族群的推論效度降低；樣本年齡集中於 25-40 歲，研究結果可能無法直接推論至老年人、兒童或青少年族群；未提及其他可能影響疫苗效果的因素（如健康狀況、種族等），也限制了研究結果的普適性。

(2) 當研究者先完成了A疫苗和C疫苗實驗後,獲得病毒樣本平均量(sample mean)各為3.6單位和6.1單位,且病毒樣本變異數(variance)各為1.5和2,即先進行兩疫苗組的病毒平均值差異統計分析。請完成此統計分析並說明結果。(10%)

分析方法：
由於是比較兩組獨立樣本 (A 疫苗組 vs. C 疫苗組) 的平均數差異，且題目提供了樣本平均數、變異數，我們可以使用獨立樣本 t 檢定 (Independent Samples t-test)。

已知資訊：

• A 疫苗組：$\bar{X}_A = 3.6$, $s_A^2 = 1.5$
• C 疫苗組：$\bar{X}_C = 6.1$, $s_C^2 = 2$
• 根據第 3 題描述，總受試者 15 人，分三組，每組 5 人。因此，兩組的樣本數皆為 $n_A = 5$, $n_C = 5$。

步驟一：設定虛無假設與對立假設

• $H_0$: $\mu_A = \mu_C$ (A 疫苗組與 C 疫苗組的平均病毒量沒有差異)
• $H_1$: $\mu_A \neq \mu_C$ (A 疫苗組與 C 疫苗組的平均病毒量有差異)

步驟二：計算統計量
首先，計算合併變異數 (pooled variance, $s_p^2$)，因為兩組樣本數相同，此步驟可簡化。
合併變異數公式：$s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_C-1)s_C^2}{(n_A-1) + (n_C-1)}$
$s_p^2 = \frac{(5-1)(1.5) + (5-1)(2)}{(5-1) + (5-1)} = \frac{4 \times 1.5 + 4 \times 2}{4 + 4} = \frac{6 + 8}{8} = \frac{14}{8} = 1.75$

t 統計量公式：$t = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_C}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_C}}}$
$s_p = \sqrt{1.75} \approx 1.3229$
$t = \frac{3.6 - 6.1}{1.3229 \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}} = \frac{-2.5}{1.3229 \sqrt{0.4}} = \frac{-2.5}{1.3229 \times 0.6325} = \frac{-2.5}{0.8367} \approx -2.9877$

步驟三：決定自由度 (df)
$df = (n_A-1) + (n_C-1) = (5-1) + (5-1) = 4 + 4 = 8$

步驟四：判斷統計顯著性
假設顯著水準 $\alpha = 0.05$ (題目未給定，通常預設)。
查 t 分配表，自由度為 8，雙尾檢定 $\alpha = 0.05$ 的臨界值約為 $\pm 2.306$。
將計算出的 t 值與臨界值比較：
$|t_{\text{calculated}}| \approx |-2.9877| = 2.9877$
$t_{\text{critical}} \approx 2.306$

由於 $|t_{\text{calculated}}| > t_{\text{critical}}$ (2.9877 > 2.306)，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：
在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，A 疫苗組與 C 疫苗組的平均病毒量有統計上顯著的差異。具體來說，C 疫苗組 (平均 6.1 單位) 的病毒量顯著高於 A 疫苗組 (平均 3.6 單位)。這初步顯示 C 疫苗的效果可能不如 A 疫苗。

【答案】(2) 統計分析方法為獨立樣本 t 檢定。
虛無假設 $H_0: \mu_A = \mu_C$，對立假設 $H_1: \mu_A \neq \mu_C$。
合併變異數 $s_p^2 = 1.75$。
t 統計量 $t \approx -2.99$。
自由度 $df = 8$。
在 $\alpha = 0.05$ 下，臨界值為 $\pm 2.306$。
由於 $|t| > 2.306$，拒絕 $H_0$。
結果：A 疫苗組與 C 疫苗組的平均病毒量有顯著差異，C 疫苗組的平均病毒量顯著高於 A 疫苗組。

(3) 呈(2),當研究者等三種疫苗實驗完成後才進行統計分析,並獲得第3題(1)的ANOVA分析結果,以及三組疫苗的病毒樣本平均量分別為A疫苗3.6單位、B疫苗4.5單位、C疫苗6.1單位,且病毒樣本變異數(variance)各為1.5,2.5,2。若欲評估A疫苗和C疫苗的病毒平均值差異,該如何進行?請完成此統計分析並說明其和(2)結果意義的異同。(10%)

分析方法：
當有多於兩組進行比較時，我們首先進行變異數分析 (ANOVA) 來檢定整體是否有顯著差異。如果 ANOVA 結果顯著，則進行事後檢定 (Post-hoc tests) 來找出具體哪些組別之間存在差異。
題目已經提供了第 3 題 (1) 的 ANOVA 分析結果（假設其是顯著的），並且給出了三組的平均數和變異數。現在要比較 A 和 C 兩組的差異。

已知資訊：

• A 疫苗組：$\bar{X}_A = 3.6$, $s_A^2 = 1.5$, $n_A = 5$
• B 疫苗組：$\bar{X}_B = 4.5$, $s_B^2 = 2.5$, $n_B = 5$
• C 疫苗組：$\bar{X}_C = 6.1$, $s_C^2 = 2$, $n_C = 5$
• 假設 ANOVA 總檢定是顯著的。

評估 A 和 C 疫苗差異的兩種方式：

1. 僅比較 A 和 C： 採用獨立樣本 t 檢定，如同問題 (2) 的方法。
2. 利用 ANOVA 的事後檢定： 在 ANOVA 框架下，進行事後檢定來比較 A 和 C。

方法一：獨立樣本 t 檢定 (同問題 (2) 的計算)

• $H_0: \mu_A = \mu_C$
• $H_1: \mu_A \neq \mu_C$
• $\bar{X}_A = 3.6$, $s_A^2 = 1.5$
• $\bar{X}_C = 6.1$, $s_C^2 = 2$
• $n_A = 5$, $n_C = 5$
• 合併變異數 $s_p^2 = \frac{(5-1)(1.5) + (5-1)(2)}{(5-1) + (5-1)} = \frac{4 \times 1.5 + 4 \times 2}{8} = \frac{6 + 8}{8} = 1.75$
• $t = \frac{3.6 - 6.1}{\sqrt{1.75} \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}} = \frac{-2.5}{\sqrt{1.75} \sqrt{0.4}} = \frac{-2.5}{\sqrt{0.7}} \approx \frac{-2.5}{0.8367} \approx -2.9877$
• $df = (5-1) + (5-1) = 8$
• 臨界值 ($\alpha=0.05$, 雙尾) $\approx \pm 2.306$
• 結果：$|t| \approx 2.99 > 2.306$，拒絕 $H_0$。A 和 C 兩組平均病毒量有顯著差異。

方法二：事後檢定 (Post-hoc Test)
在 ANOVA 框架下，進行事後檢定（例如 Tukey's HSD, Bonferroni 校正等）來比較 A 和 C。
由於我們已經知道 A 和 C 的平均數和變異數，並且樣本數相同，事後檢定的計算通常會基於 ANOVA 的誤差項 (Mean Square Error, MSE)。
在 ANOVA 中，MSE 是所有誤差項的合併平均數。