112 年 國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》

第 1 題

核心觀念

本題為 $2\times 2$ 獨立樣本二因子變異數分析：

• 因子一：授課教師，A1、A2
• 因子二：性別，男、女
• 依變項：學期成績
• 每一個細格均有 $n=10$ 人，共 $N=40$ 人

需檢定：

1. 授課教師的主要效果
2. 性別的主要效果
3. 授課教師與性別的交互作用

因為每位學生只修一班課程，A1 與 A2 為不同學生，因此採用二因子獨立樣本變異數分析，而非重複量數分析。

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解題方法與基本統計量

四個細格的資料如下：

授課教師	性別	人數	總分	平均數
A1	男	10	622	62.2
A1	女	10	578	57.8
A2	男	10	703	70.3
A2	女	10	667	66.7

邊際平均數為：

$$\bar X_{\text{A1}}=\frac{1200}{20}=60$$ $$\bar X_{\text{A2}}=\frac{1370}{20}=68.5$$ $$\bar X_{\text{男}}=\frac{622+703}{20} =\frac{1325}{20}=66.25$$ $$\bar X_{\text{女}}=\frac{578+667}{20} =\frac{1245}{20}=62.25$$

總平均數為：

$$\bar X=\frac{1200+1370}{40} =\frac{2570}{40}=64.25$$

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變異數分析計算

依據公式：

$$SS_T=\sum X^2-\frac{G^2}{N}$$

其中，成績平方和為：

$$\sum X^2=75072+96310=171382$$

總分為 $G=2570$，因此：

$$SS_T=171382-\frac{2570^2}{40}$$ $$SS_T=171382-165122.5=6259.5$$

1. 授課教師主要效果

$$SS_A= \frac{1200^2}{20} +\frac{1370^2}{20} -\frac{2570^2}{40}$$ $$SS_A=72000+93845-165122.5=722.5$$

2. 性別主要效果

男性總分為 $1325$，女性總分為 $1245$：

$$SS_B= \frac{1325^2}{20} +\frac{1245^2}{20} -\frac{2570^2}{40}$$ $$SS_B=87781.25+77501.25-165122.5=160$$

3. 細格間平方和

$$SS_{\text{cells}} = \frac{622^2}{10} +\frac{578^2}{10} +\frac{703^2}{10} +\frac{667^2}{10} -\frac{2570^2}{40}$$ $$SS_{\text{cells}} =166006.6-165122.5=884.1$$

交互作用平方和為：

$$SS_{AB}=SS_{\text{cells}}-SS_A-SS_B$$ $$SS_{AB}=884.1-722.5-160=1.6$$

4. 誤差平方和

$$SS_E=SS_T-SS_{\text{cells}}$$ $$SS_E=6259.5-884.1=5375.4$$

自由度為：

• $df_A=2-1=1$
• $df_B=2-1=1$
• $df_{AB}=(2-1)(2-1)=1$
• $df_E=40-4=36$
• $df_T=40-1=39$

誤差均方為：

$$MS_E=\frac{5375.4}{36}=149.317$$

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二因子變異數分析摘要表

變異來源	$SS$	$df$	$MS$	$F$
授課教師 $A$	722.5	1	722.5	4.84
性別 $B$	160.0	1	160.0	1.07
$A\times B$	1.6	1	1.6	0.01
誤差	5375.4	36	149.317
總和	6259.5	39

在 $\alpha=.05$、分子自由度 $1$、分母自由度 $36$ 下：

$$F_{.05}(1,36)\approx 4.11$$

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假設檢定一：授課教師主要效果

假設：

$$H_0:\mu_{\text{A1}}=\mu_{\text{A2}}$$ $$H_1:\mu_{\text{A1}}\ne\mu_{\text{A2}}$$

檢定統計量：

$$F=\frac{MS_A}{MS_E} =\frac{722.5}{149.317}=4.84$$

這是右尾檢定。由於：

$$F=4.84>4.11$$

拒絕 $H_0$。

結論：在控制性別因素後，A1 與 A2 兩位授課教師的平均學期成績有顯著差異。A2 班平均數 $68.5$ 高於 A1 班的 $60$，因此 A2 教師的授課班級成績顯著較高。

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假設檢定二：性別主要效果

假設：

$$H_0:\mu_{\text{男}}=\mu_{\text{女}}$$ $$H_1:\mu_{\text{男}}\ne\mu_{\text{女}}$$

檢定統計量：

$$F=\frac{MS_B}{MS_E} =\frac{160}{149.317}=1.07$$

由於：

$$F=1.07<4.11$$

不拒絕 $H_0$。

核心觀念

• 兩變項關聯檢定：當一個變項為類別（性別：男／女），另一變項為連續量（智力測驗得分），常用 兩樣本獨立 $t$ 檢定 來檢驗兩群體平均值是否相同。
• 假設設定
  • $H_0$: 男、女兩組的智力平均值相等，$\mu_{\text{男}}=\mu_{\text{女}}$。
  • $H_1$: 兩組的智力平均值不相等，$\mu_{\text{男}}\neq\mu_{\text{女}}$（雙尾檢定）。
• 檢定前提
  1. 每組樣本獨立抽樣。
  2. 智力得分近似常態分布（可用 Shapiro‑Wilk、Kolmogorov‑Smirnov 等檢驗）。
  3. 兩組變異數相等（可用 Levene 或 Bartlett 測試）。若變異數不等，改用 Welch $t$ 檢定。

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解題方法

1. 資料整理
   記 $n_1,n_2$ 為男、女樣本數；$\bar{x}_1,\bar{x}_2$ 為各組樣本平均；$s_1^2,s_2^2$ 為樣本變異數。

2. 檢查變異數同質性

   • 若 $H_0^{(V)}$: $\sigma_1^2=\sigma_2^2$，使用 Levene 檢定。
   • 若 $p_{V}>0.05$，接受等變異數假設，採用 合併變異數 $t$ 檢定；否則採用 Welch $t$ 檢定。

3. 合併變異數 $t$ 統計量
   $s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
   $t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{s_p^2\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)}}$

   • 自由度 $df=n_1+n_2-2$。

4. Welch $t$ 統計量（變異數不等時）
   $t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

$$df=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2} {\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$$

5. 決策規則
   • 設顯著水準 $\alpha=0.05$。
   • 由 $t$ 分布取得臨界值 $t_{\,\alpha/2,\,df}$（雙尾）。

核心觀念

本題包含兩個統計主題：

• 第 3 題：配對樣本設計與配對樣本 $t$ 檢定。
• 第 4 題：以兩個預測變項預測一個效標變項的多元線性迴歸。

題幹提到「表一」，但目前未提供表一中的 20 筆智力、數學與物理成績，因此第 3a 的數值統計量與第 4 題的實際迴歸結果無法由現有資料計算。以下先完整列出標準解法；第 4d 的臨界值則可直接由樣本數與預測變項數決定。

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3a. 性別差異的分析方法、計算過程與結果

分析方法

10 位男士與 10 位女士是以夫妻為配對單位，且每位男士與其配偶共同接受相同訓練。因此，男、女智力成績不是兩組彼此獨立的資料，而是 10 組相關配對資料。

適合採用「配對樣本 $t$ 檢定」。

令第 $i$ 對夫妻的差異分數為：

$$D_i=X_{Mi}-X_{Fi}$$

其中：

• $X_{Mi}$：第 $i$ 位男士的智力成績；
• $X_{Fi}$：第 $i$ 位女士的智力成績；
• $D_i$：第 $i$ 對夫妻的男士分數減女士分數。

若研究目的只在檢驗男女是否不同，採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_D=0$$ $$H_1:\mu_D\neq 0$$

若業者事先明確主張男、女應接受不同課程，也可依照事前方向提出單尾假設；但在題目未指定方向時，應採雙尾檢定。

計算步驟

首先依照表一逐對計算差異分數：

$$D_1=X_{M1}-X_{F1},\quad D_2=X_{M2}-X_{F2},\quad \ldots,\quad D_{10}=X_{M10}-X_{F10}$$

差異分數平均數為：

$$\bar D=\frac{\sum_{i=1}^{10}D_i}{10}$$

差異分數的樣本標準差為：

$$s_D= \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{10}(D_i-\bar D)^2}{10-1} }$$

配對樣本 $t$ 統計量為：

$$t= \frac{\bar D-0}{s_D/\sqrt{10}}$$

自由度為：

$$df=n-1=10-1=9$$

在顯著水準 $\alpha=.05$ 的雙尾檢定下：

$$t_{.025,9}=2.262$$

因此判斷規則為：

$$|t|>2.262$$

則拒絕 $H_0$，表示男女智力平均成績有統計上顯著差異；若

$$|t|\leq 2.262$$

則不拒絕 $H_0$，表示沒有足夠證據認定男女智力平均成績不同。

結果解讀

若表一計算所得的配對樣本 $t$ 檢定達顯著，業者可依男女平均成績差異，主張男、女在訓練後的智力表現不同，進而提出分性別設計課程的構想。

但「男女平均成績不同」只代表訓練後存在性別差異，不能直接證明男、女需要不同的訓練內容，也不能證明分性別課程一定能提升訓練效果。

由於表一未附上，現階段無法填入 $\bar D$、$s_D$、$t$ 值與 $p$ 值，因此無法對實際資料做出顯著或不顯著的數值判定。

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3b. 前提假設與應用限制

配對樣本 $t$ 檢定的前提假設

1. 配對關係正確

   第 1 位男士必須與第 11 位女士配對，第 2 位男士與第 12 位女士配對，依此類推。配對錯誤會使差異分數失去意義。

2. 差異分數彼此獨立

   10 對夫妻之間的差異分數應互相獨立。夫妻內部的兩個分數可以相關，但不同夫妻之間不應有系統性的相互影響。

3. 差異分數近似常態分配

   配對樣本 $t$ 檢定要求的是 $D_i$ 的分配近似常態，而不是男士分數與女士分數各自必須完全常態。

4. 測量尺度適當

   智力測驗分數應至少具有近似等距尺度，使平均數、標準差與差異分數具有合理解釋。

5. 沒有極端離群值

   若某一對夫妻的差異分數極端異常，會嚴重影響 $\bar D$、$s_D$ 與 $t$ 值。

分析結果的應用限制

• 本研究沒有未接受訓練的控制組，因此無法判斷男女差異是訓練造成，還是訓練前原本就存在。
• 樣本只有 10 對夫妻，統計檢定力有限，結果不宜直接推論至所有男性與女性。
• 夫妻在教育程度、年齡、社經地位與生活經驗上可能相似，樣本不代表一般男女群體。
• 智力測驗總分差異不代表不同性別在所有智力面向上都有差異。
• 統計顯著不等於實務差異重要，仍須報告效果量，例如配對樣本效果量：

$$d_z=\frac{\bar D}{s_D}$$

• 若要決定課程是否應分性別，應進一步比較不同課程對男女的改善量，檢驗「性別 × 課程」交互作用，而不是只比較訓練結束後的男女平均分數。

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4a. 預測前的資料檢視與轉換

本題的變項為：

核心觀念

本題包含兩個統計主題：

• 第 3 題：配對樣本設計與配對樣本 $t$ 檢定。
• 第 4 題：以兩個預測變項預測一個效標變項的多元線性迴歸。

題幹提到「表一」，但目前未提供表一中的 20 筆智力、數學與物理成績，因此第 3a 的數值統計量與第 4 題的實際迴歸結果無法由現有資料計算。以下先完整列出標準解法；第 4d 的臨界值則可直接由樣本數與預測變項數決定。

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3a. 性別差異的分析方法、計算過程與結果

分析方法

10 位男士與 10 位女士是以夫妻為配對單位，且每位男士與其配偶共同接受相同訓練。因此，男、女智力成績不是兩組彼此獨立的資料，而是 10 組相關配對資料。

適合採用「配對樣本 $t$ 檢定」。

令第 $i$ 對夫妻的差異分數為：

$$D_i=X_{Mi}-X_{Fi}$$

其中：

• $X_{Mi}$：第 $i$ 位男士的智力成績；
• $X_{Fi}$：第 $i$ 位女士的智力成績；
• $D_i$：第 $i$ 對夫妻的男士分數減女士分數。

若研究目的只在檢驗男女是否不同，採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_D=0$$ $$H_1:\mu_D\neq 0$$

若業者事先明確主張男、女應接受不同課程，也可依照事前方向提出單尾假設；但在題目未指定方向時，應採雙尾檢定。

計算步驟

首先依照表一逐對計算差異分數：

$$D_1=X_{M1}-X_{F1},\quad D_2=X_{M2}-X_{F2},\quad \ldots,\quad D_{10}=X_{M10}-X_{F10}$$

差異分數平均數為：

$$\bar D=\frac{\sum_{i=1}^{10}D_i}{10}$$

差異分數的樣本標準差為：

$$s_D= \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{10}(D_i-\bar D)^2}{10-1} }$$

配對樣本 $t$ 統計量為：

$$t= \frac{\bar D-0}{s_D/\sqrt{10}}$$

自由度為：

$$df=n-1=10-1=9$$

在顯著水準 $\alpha=.05$ 的雙尾檢定下：

$$t_{.025,9}=2.262$$

因此判斷規則為：

$$|t|>2.262$$

則拒絕 $H_0$，表示男女智力平均成績有統計上顯著差異；若

$$|t|\leq 2.262$$

則不拒絕 $H_0$，表示沒有足夠證據認定男女智力平均成績不同。

結果解讀

若表一計算所得的配對樣本 $t$ 檢定達顯著，業者可依男女平均成績差異，主張男、女在訓練後的智力表現不同，進而提出分性別設計課程的構想。

但「男女平均成績不同」只代表訓練後存在性別差異，不能直接證明男、女需要不同的訓練內容，也不能證明分性別課程一定能提升訓練效果。

由於表一未附上，現階段無法填入 $\bar D$、$s_D$、$t$ 值與 $p$ 值，因此無法對實際資料做出顯著或不顯著的數值判定。

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3b. 前提假設與應用限制

配對樣本 $t$ 檢定的前提假設

1. 配對關係正確

   第 1 位男士必須與第 11 位女士配對，第 2 位男士與第 12 位女士配對，依此類推。配對錯誤會使差異分數失去意義。

2. 差異分數彼此獨立

   10 對夫妻之間的差異分數應互相獨立。夫妻內部的兩個分數可以相關，但不同夫妻之間不應有系統性的相互影響。

3. 差異分數近似常態分配

   配對樣本 $t$ 檢定要求的是 $D_i$ 的分配近似常態，而不是男士分數與女士分數各自必須完全常態。

4. 測量尺度適當

   智力測驗分數應至少具有近似等距尺度，使平均數、標準差與差異分數具有合理解釋。

5. 沒有極端離群值

   若某一對夫妻的差異分數極端異常，會嚴重影響 $\bar D$、$s_D$ 與 $t$ 值。

分析結果的應用限制

• 本研究沒有未接受訓練的控制組，因此無法判斷男女差異是訓練造成，還是訓練前原本就存在。
• 樣本只有 10 對夫妻，統計檢定力有限，結果不宜直接推論至所有男性與女性。
• 夫妻在教育程度、年齡、社經地位與生活經驗上可能相似，樣本不代表一般男女群體。
• 智力測驗總分差異不代表不同性別在所有智力面向上都有差異。
• 統計顯著不等於實務差異重要，仍須報告效果量，例如配對樣本效果量：

$$d_z=\frac{\bar D}{s_D}$$

• 若要決定課程是否應分性別，應進一步比較不同課程對男女的改善量，檢驗「性別 × 課程」交互作用，而不是只比較訓練結束後的男女平均分數。

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4a. 預測前的資料檢視與轉換

本題的變項為：

本題由兩個獨立的問題組成，分別考驗變異數分析 (ANOVA) 與卡方檢定 (Chi-square test) 的應用。

問題 1：探討授課教師 (A1/A2) 與性別 (男/女) 對學期成績 (A1/A2) 的影響。

此問題要求分析兩個類別自變項（教師、性別）對一個連續依變項（學期成績）的影響。最適合的統計方法是 雙因子獨立樣本變異數分析 (Two-way Independent Samples ANOVA)。

資料結構與假設：

• 因子一：教師 (Teacher)，有兩個水準：教師 A1 (課程 1) 和教師 A2 (課程 2)。
• 因子二：性別 (Gender)，有兩個水準：男性 (Male) 和女性 (Female)。
• 依變項：學期成績 (Score)。
• 設計： 2x2 的獨立樣本設計。
• 樣本數： 題目敘述「隨機從兩個班級各抽 20 名學生且男女各半」，這暗示總樣本數為 40 人。然而，提供的「原始資料表」只有 20 位學生的資料。
  • 若依據題目敘述 (40人)： 則每個組別 (男-A1, 女-A1, 男-A2, 女-A2) 應有 10 人。
  • 若依據提供的資料 (20人)： 且男女各半 (10男, 10女)。那麼，這 20 位學生如何分配到 A1 和 A2 班？
    • 最常見的考題設定： 提供的 20 位學生，其中 10 位修 A1 班，10 位修 A2 班。並且這 20 位學生中男女各半。
    • 另一種可能： 20 位學生，男女各半。A1 和 A2 是這 20 位學生的兩次成績（重複測量）。但這與「學生僅能修某一班級」矛盾。
    • 最符合雙因子 ANOVA 設定的解釋： 題目提供的 20 位學生，實際上是 5 位男性修 A1 班、5 位女性修 A1 班、5 位男性修 A2 班、5 位女性修 A2 班，總共 20 人。這樣每個組別 n=5，總樣本數 N=20。這也與題目提供的「加總」和「平方加總」數據吻合，因為 A1 的總計 1200 和 A2 的總計 1370 意味著 A1 組和 A2 組各有 10 人。

分析步驟與假設檢定：

1. 計算各組平均數、總和、平方和：

   • 由於題目提供的「加總」和「平方加總」與根據原始數據計算出的結果不符，我們必須假設題目提供的加總和平方加總數據是正確的，並以此進行分析。
   • 假設： 每個組別 (男-A1, 女-A1, 男-A2, 女-A2) 的樣本數 n=5，總樣本數 N=20。
   • 因子一 (教師)： A1, A2 (k_T = 2)
   • 因子二 (性別)： 男, 女 (k_S = 2)
   • 自由度：
     • 教師主效果 df_T = k_T - 1 = 1
     • 性別主效果 df_S = k_S - 1 = 1
     • 交互作用 df_TG = (k_T - 1)(k_S - 1) = 1
     • 誤差 df_E = N - k_T * k_S = 20 - (2 * 2) = 16
     • 總計 df_Total = N - 1 = 19

2. 進行雙因子變異數分析 (Two-way ANOVA)：

   • 虛無假設 (Null Hypotheses):

     • $H_{0T}$: 教師對學期成績無顯著影響 ($\mu_{A1} = \mu_{A2}$)。
     • $H_{0S}$: 性別對學期成績無顯著影響 ($\mu_{Male} = \mu_{Female}$)。
     • $H_{0TG}$: 教師與性別對學期成績的交互作用不顯著。

   • 對立假設 (Alternative Hypotheses):

     • $H_{1T}$: 教師對學期成績有顯著影響。
     • $H_{1S}$: 性別對學期成績有顯著影響。
     • $H_{1TG}$: 教師與性別對學期成績的交互作用顯著。

   • 顯著水準： $\alpha = 0.05$。

   • 計算：

     • 總平均數： $\bar{X}_{Grand} = (\sum X_{A1} + \sum X_{A2}) / N = (1200 + 1370) / 20 = 2570 / 20 = 128.5$。
     • 總平方和 ($SS_{Total}$)： $SS_{Total} = (\sum X^2_{A1} + \sum X^2_{A2}) - \frac{(\sum X_{Total})^2}{N}$
       $SS_{Total} = (75072 + 96310) - \frac{(1200+1370)^2}{20} = 171382 - \frac{2570^2}{20} = 171382 - 330245 = -158863$
       （重要提示：由於計算出的 $SS_{Total}$ 為負值，表示題目提供的數據（加總或平方加總）存在嚴重錯誤，無法進行實際計算。以下分析僅為說明方法。）

   • ANOVA 表（假設數據正確）：

     變異來源 (Source)	自由度 (df)	平方和 (SS)	平均平方 (MS)	F 值	P 值
     教師 (Teacher)	1	$SS_T$	$MS_T = SS_T / 1$	$F_T = MS_T / MS_E$
     性別 (Gender)	1	$SS_S$	$MS_S = SS_S / 1$	$F_S = MS_S / MS_E$
     交互作用 (T x S)	1	$SS_{TS}$	$MS_{TS} = SS_{TS} / 1$	$F_{TS} = MS_{TS} / MS_E$
     誤差 (Error)	16	$SS_E$	$MS_E = SS_E / 16$
     總計 (Total)	19	$SS_{Total}$

   • 決策與解釋：

     1. 檢定交互作用： 首先檢定交互作用項 $F_{TS}$。若 $F_{TS}$ 顯著 (P < 0.05)，則表示教師效果因性別而異，或性別效果因教師而異。此時，應主要關注交互作用，並進行事後檢定（如 Tukey's HSD）比較四個組別 (男-A1, 女-A1, 男-A2, 女-A2) 的平均數差異。
     2. 檢定主效果： 若交互作用不顯著 (P ≥ 0.05)，則可獨立解釋主效果。
        • 教師主效果： 檢定 $F_T$。若顯著，表示兩位教師的教學成績平均而言有差異。
        • 性別主效果： 檢定 $F_S$。若顯著，表示男性和女性的平均成績有差異。

問題 2：探討性別 (男/女) 與智力 (Intelligence Score) 是否有關係。

此問題要求檢定兩個變項之間的關係。其中，「性別」是類別變項 (Categorical Variable)，而「智力成績」是連續變項 (Continuous Variable)。要檢定兩者關係，通常需要將連續變項轉換為類別變項，然後進行卡方檢定 (Chi-square Test)。

分析步驟與假設檢定：

核心觀念

本題包含兩個統計主題：

• 第 3 題：配對樣本設計與配對樣本 $t$ 檢定。
• 第 4 題：以兩個預測變項預測一個效標變項的多元線性迴歸。

題幹提到「表一」，但目前未提供表一中的 20 筆智力、數學與物理成績，因此第 3a 的數值統計量與第 4 題的實際迴歸結果無法由現有資料計算。以下先完整列出標準解法；第 4d 的臨界值則可直接由樣本數與預測變項數決定。

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3a. 性別差異的分析方法、計算過程與結果

分析方法

10 位男士與 10 位女士是以夫妻為配對單位，且每位男士與其配偶共同接受相同訓練。因此，男、女智力成績不是兩組彼此獨立的資料，而是 10 組相關配對資料。

適合採用「配對樣本 $t$ 檢定」。

令第 $i$ 對夫妻的差異分數為：

$$D_i=X_{Mi}-X_{Fi}$$

其中：

• $X_{Mi}$：第 $i$ 位男士的智力成績；
• $X_{Fi}$：第 $i$ 位女士的智力成績；
• $D_i$：第 $i$ 對夫妻的男士分數減女士分數。

若研究目的只在檢驗男女是否不同，採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_D=0$$ $$H_1:\mu_D\neq 0$$

若業者事先明確主張男、女應接受不同課程，也可依照事前方向提出單尾假設；但在題目未指定方向時，應採雙尾檢定。

計算步驟

首先依照表一逐對計算差異分數：

$$D_1=X_{M1}-X_{F1},\quad D_2=X_{M2}-X_{F2},\quad \ldots,\quad D_{10}=X_{M10}-X_{F10}$$

差異分數平均數為：

$$\bar D=\frac{\sum_{i=1}^{10}D_i}{10}$$

差異分數的樣本標準差為：

$$s_D= \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{10}(D_i-\bar D)^2}{10-1} }$$

配對樣本 $t$ 統計量為：

$$t= \frac{\bar D-0}{s_D/\sqrt{10}}$$

自由度為：

$$df=n-1=10-1=9$$

在顯著水準 $\alpha=.05$ 的雙尾檢定下：

$$t_{.025,9}=2.262$$

因此判斷規則為：

$$|t|>2.262$$

則拒絕 $H_0$，表示男女智力平均成績有統計上顯著差異；若

$$|t|\leq 2.262$$

則不拒絕 $H_0$，表示沒有足夠證據認定男女智力平均成績不同。

結果解讀

若表一計算所得的配對樣本 $t$ 檢定達顯著，業者可依男女平均成績差異，主張男、女在訓練後的智力表現不同，進而提出分性別設計課程的構想。

但「男女平均成績不同」只代表訓練後存在性別差異，不能直接證明男、女需要不同的訓練內容，也不能證明分性別課程一定能提升訓練效果。

由於表一未附上，現階段無法填入 $\bar D$、$s_D$、$t$ 值與 $p$ 值，因此無法對實際資料做出顯著或不顯著的數值判定。

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3b. 前提假設與應用限制

配對樣本 $t$ 檢定的前提假設

1. 配對關係正確

   第 1 位男士必須與第 11 位女士配對，第 2 位男士與第 12 位女士配對，依此類推。配對錯誤會使差異分數失去意義。

2. 差異分數彼此獨立

   10 對夫妻之間的差異分數應互相獨立。夫妻內部的兩個分數可以相關，但不同夫妻之間不應有系統性的相互影響。

3. 差異分數近似常態分配

   配對樣本 $t$ 檢定要求的是 $D_i$ 的分配近似常態，而不是男士分數與女士分數各自必須完全常態。

4. 測量尺度適當

   智力測驗分數應至少具有近似等距尺度，使平均數、標準差與差異分數具有合理解釋。

5. 沒有極端離群值

   若某一對夫妻的差異分數極端異常，會嚴重影響 $\bar D$、$s_D$ 與 $t$ 值。

分析結果的應用限制

• 本研究沒有未接受訓練的控制組，因此無法判斷男女差異是訓練造成，還是訓練前原本就存在。
• 樣本只有 10 對夫妻，統計檢定力有限，結果不宜直接推論至所有男性與女性。
• 夫妻在教育程度、年齡、社經地位與生活經驗上可能相似，樣本不代表一般男女群體。
• 智力測驗總分差異不代表不同性別在所有智力面向上都有差異。
• 統計顯著不等於實務差異重要，仍須報告效果量，例如配對樣本效果量：

$$d_z=\frac{\bar D}{s_D}$$

• 若要決定課程是否應分性別，應進一步比較不同課程對男女的改善量，檢驗「性別 × 課程」交互作用，而不是只比較訓練結束後的男女平均分數。

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4a. 預測前的資料檢視與轉換

本題的變項為：

核心觀念

本題包含兩個統計主題：

• 第 3 題：配對樣本設計與配對樣本 $t$ 檢定。
• 第 4 題：以兩個預測變項預測一個效標變項的多元線性迴歸。

題幹提到「表一」，但目前未提供表一中的 20 筆智力、數學與物理成績，因此第 3a 的數值統計量與第 4 題的實際迴歸結果無法由現有資料計算。以下先完整列出標準解法；第 4d 的臨界值則可直接由樣本數與預測變項數決定。

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3a. 性別差異的分析方法、計算過程與結果

分析方法

10 位男士與 10 位女士是以夫妻為配對單位，且每位男士與其配偶共同接受相同訓練。因此，男、女智力成績不是兩組彼此獨立的資料，而是 10 組相關配對資料。

適合採用「配對樣本 $t$ 檢定」。

令第 $i$ 對夫妻的差異分數為：

$$D_i=X_{Mi}-X_{Fi}$$

其中：

• $X_{Mi}$：第 $i$ 位男士的智力成績；
• $X_{Fi}$：第 $i$ 位女士的智力成績；
• $D_i$：第 $i$ 對夫妻的男士分數減女士分數。

若研究目的只在檢驗男女是否不同，採雙尾檢定：

$$H_0:\mu_D=0$$ $$H_1:\mu_D\neq 0$$

若業者事先明確主張男、女應接受不同課程，也可依照事前方向提出單尾假設；但在題目未指定方向時，應採雙尾檢定。

計算步驟

首先依照表一逐對計算差異分數：

$$D_1=X_{M1}-X_{F1},\quad D_2=X_{M2}-X_{F2},\quad \ldots,\quad D_{10}=X_{M10}-X_{F10}$$

差異分數平均數為：

$$\bar D=\frac{\sum_{i=1}^{10}D_i}{10}$$

差異分數的樣本標準差為：

$$s_D= \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{10}(D_i-\bar D)^2}{10-1} }$$

配對樣本 $t$ 統計量為：

$$t= \frac{\bar D-0}{s_D/\sqrt{10}}$$

自由度為：

$$df=n-1=10-1=9$$

在顯著水準 $\alpha=.05$ 的雙尾檢定下：

$$t_{.025,9}=2.262$$

因此判斷規則為：

$$|t|>2.262$$

則拒絕 $H_0$，表示男女智力平均成績有統計上顯著差異；若

$$|t|\leq 2.262$$

則不拒絕 $H_0$，表示沒有足夠證據認定男女智力平均成績不同。

結果解讀

若表一計算所得的配對樣本 $t$ 檢定達顯著，業者可依男女平均成績差異，主張男、女在訓練後的智力表現不同，進而提出分性別設計課程的構想。

但「男女平均成績不同」只代表訓練後存在性別差異，不能直接證明男、女需要不同的訓練內容，也不能證明分性別課程一定能提升訓練效果。

由於表一未附上，現階段無法填入 $\bar D$、$s_D$、$t$ 值與 $p$ 值，因此無法對實際資料做出顯著或不顯著的數值判定。

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3b. 前提假設與應用限制

配對樣本 $t$ 檢定的前提假設

1. 配對關係正確

   第 1 位男士必須與第 11 位女士配對，第 2 位男士與第 12 位女士配對，依此類推。配對錯誤會使差異分數失去意義。

2. 差異分數彼此獨立

   10 對夫妻之間的差異分數應互相獨立。夫妻內部的兩個分數可以相關，但不同夫妻之間不應有系統性的相互影響。

3. 差異分數近似常態分配

   配對樣本 $t$ 檢定要求的是 $D_i$ 的分配近似常態，而不是男士分數與女士分數各自必須完全常態。

4. 測量尺度適當

   智力測驗分數應至少具有近似等距尺度，使平均數、標準差與差異分數具有合理解釋。

5. 沒有極端離群值

   若某一對夫妻的差異分數極端異常，會嚴重影響 $\bar D$、$s_D$ 與 $t$ 值。

分析結果的應用限制

• 本研究沒有未接受訓練的控制組，因此無法判斷男女差異是訓練造成，還是訓練前原本就存在。
• 樣本只有 10 對夫妻，統計檢定力有限，結果不宜直接推論至所有男性與女性。
• 夫妻在教育程度、年齡、社經地位與生活經驗上可能相似，樣本不代表一般男女群體。
• 智力測驗總分差異不代表不同性別在所有智力面向上都有差異。
• 統計顯著不等於實務差異重要，仍須報告效果量，例如配對樣本效果量：

$$d_z=\frac{\bar D}{s_D}$$

• 若要決定課程是否應分性別，應進一步比較不同課程對男女的改善量，檢驗「性別 × 課程」交互作用，而不是只比較訓練結束後的男女平均分數。

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4a. 預測前的資料檢視與轉換

本題的變項為：