115 年國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》考古題與詳解

Question 1

A researcher wants to know the average height of all adult males in Taiwan. She randomly selects 500
adult males and calculates their average height. What terms are used to describe the "average height of all
adult males in Taiwan" and the "average height of the 500 selected adult males" respectively?
(A) Parameter and Statistic
(B) Independent variable and Dependent variable
(C) Continuous variable and Discrete variable
(D) Population and Sample
(E) Statistic and Parameter

Accepted Answer

本題主要在釐清「母體參數」與「樣本統計量」這兩個基本統計學概念。

題目提到「所有台灣成年男性的平均身高」，這指的是一個完整群體的特徵，在統計學上稱為「母體」（Population）。而母體的數值特徵，例如平均數、標準差等，稱為「母體參數」（Parameter）。

Question 2

A university uses a 5-point Likert scale to measure student satisfaction with a new dormitory, where
1=Very Dissatisfied, 2=Dissatisfied, 3=Neutral, 4=Satisfied, 5=Very Satisfied. Which scale of measurement
is most appropriate for these satisfaction ratings?
(A) Nominal scale
(B) Ordinal scale
(C) Interval scale
(D) Ratio scale
(E) Continuous scale

Accepted Answer

核心觀念 本題考測量尺度的分類。常見的四種測量尺度如下： 1. 名義尺度（Nominal scale）：只能分類，數值沒有大小順序。 2. 順序尺度（Ordinal scale）：具有高低順序，但相鄰等級之間的差距不一定相等。 3. 等距尺度（Interval scale）：具有順序，且各單位間距相等，但沒有真正的零點。 4. 比率尺度（Ratio scale）：具有順序、等距，並且具有真正零點，因此可進行倍數比較。 本題以 1 至 5 分表示學生對宿舍的滿意程度： - 1：非常不滿意 - 2：不滿意 - 3：中立 - 4：滿意 - 5：非常滿意 這些數字主要代表滿意程度的順序。題目沒有保證「非常不滿意」到「不滿意」的心理距離，與「滿意」到「非常滿意」的心理距離完全相等，因此最適合視為順序尺度。 解題方法 判斷測量尺度時，依序檢查三件事： 1. 數值是否只是分類？ 2. 數值是否具有高低順序？ 3. 各級之間的差距是否能確定相等，且是否存在真正零點？ 本題的滿意度分數具有明確順序： $$ 5 4 3 2 1 $$ 因此不是單純分類，排除名義尺度。 但是，分數從 1 分增加到 2 分，並不表示滿意度增加的幅度，必定與從 4 分增加到 5 分相同。Likert 題的數字通常只是等級標記，無法由題目直接證明各級之間具有相等距離。 所以本題符合： - 有順序； - 無法確定間距相等； - 沒有真正零點。 因此屬於順序尺度。 選項分析 (A) Nominal scale：錯誤 名義尺度只能區分類別，例如學院、性別或居住地區。其數值不代表高低順序。

Question 3

The mean (average) is a measure of central tendency with many useful statistical properties. However, it
also has a significant disadvantage compared to the mode and median. Which of the following best describes
a major disadvantage of using the mean?
(A) It can only be used with nominal scale data.
(B) It ignores extreme values completely.
(C) It is too easily influenced by extreme scores (outliers).
(D) It is less efficient than the median as an estimator.
(E) The sum of deviation scores around the mean does not equal zero.

Accepted Answer

本題考驗對集中量數（Measures of Central Tendency）的理解，特別是平均數（Mean）的優缺點。

集中量數用來描述資料的中心位置。常見的集中量數有平均數（Mean）、中位數（Median）和眾數（Mode）。題目指出平均數雖然有很多優點，但相較於中位數和眾數，它有一個顯著的缺點。

我們來分析各選項：

(A) It can only be used with nominal scale data. 這是不正確的。平均數需要數值資料，且通常是等距或比例尺度，最適合用於連續變數，絕對不能用於名目尺度（Nominal scale）。
(B) It ignores extreme values completely. 這是不正確的。平均數的計算包含了所有數值，包括極端值。
(C) It is too easily influenced by extreme scores (outliers). 這正是平均數最主要的缺點。平均數的計算方式是將所有數值加總再除以數值個數。

Question 4

Which set below exclusively lists statistics that measure the variability (spread) of a dataset?
(A) Mean, Median, Mode
(B) Range, Interquartile Range, Standard Deviation, Variance
(C) Skewness, Central Tendency, Percentile
(D) Parameter, Statistic, Estimator
(E) Sufficiency, Unbiasedness, Efficiency

Accepted Answer

本題旨在辨識哪些統計量是用來衡量資料的離散程度（Variability 或 Spread）。

離散程度是衡量資料點相對於中心點分散的程度。

我們來分析各選項：

(A) Mean, Median, Mode：這三個都是集中量數（Measures of Central Tendency），用來描述資料的中心位置，而非離散程度。
(B) Range, Interquartile Range, Standard Deviation, Variance：
* Range (全距)：最大值與最小值之差，是最簡單的離散指標。
* Interquartile Range (四分位距)：第三四分位數與第一四分位數之差，衡量中間 50% 資料的散佈範圍，較不易受極端值影響。
* Standard Deviation (標準差)：資料點與平均數偏差平方和的平均數的平方根，是最常用的離散指標。
* Variance (變異數)：標準差的平方，也是衡量離散程度的指標。

Question 5

In probability theory, two events are considered independent if the (non-) occurrence of one event does
not affect the (non-) occurrence of the other event. Which of the following scenarios describes a pair of
independent events?
(A) Drawing two cards from a deck without replacement.
(B) The probability of it raining today and the probability of carrying an umbrella today.
(C) A person's gender and whether they are vegetarian.
(D) Rolling a standard six-sided die twice and getting a '4' on the first roll and a '6' on the second roll.
(E) Picking two marbles from a bag without replacement.

Accepted Answer

本題考驗對「獨立事件」（Independent Events）概念的理解。兩個事件 A 和 B 是獨立的，如果 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)，也就是一個事件的發生與否不影響另一個事件發生的機率。

我們逐一分析各選項：

(A) Drawing two cards from a deck without replacement. 這兩個事件是「相依事件」（Dependent Events）。抽第一張牌後，牌堆的牌減少了，且第一張牌的種類會影響第二張牌抽到特定種類的機率。例如，抽到一張 A 後，牌堆中 A 的機率就降低了。
(B) The probability of it raining today and the probability of carrying an umbrella today. 這兩個事件很可能是「相依事件」。如果今天下雨，人們更有可能攜帶雨傘；如果天氣晴朗，人們攜帶雨傘的可能性就較低。因此，下雨與否會影響攜帶雨傘的機率。
(C) A person's gender and whether they are vegetarian. 這兩個事件很可能是「獨立事件」。性別通常不會影響一個人是否選擇成為素食者（排除某些特定文化或宗教因素，但一般情況下是如此）。也就是說，男性和女性選擇成為素食者的機率大致相同。

Question 6

A continuous variable has a limitless number of possible values, and we speak about the probability of
falling within an interval, but not the probability of a specific outcome. Which of the following is an
example of a continuous variable?
(A) The number of students who score above 90 on a test.
(B) The outcome of a single Bernoulli trial (e.g., yes/no).
(C) The number of "yes" trials in N total trials (Binomial distribution).
(D) The score on a 5-point Likert scale (1=Strongly Disagree to 5=Strongly Agree).
(E) The exact height of an adult male in centimeters.

Accepted Answer

本題考驗對「連續變數」（Continuous Variable）與「離散變數」（Discrete Variable）的區別。

連續變數：可以在兩個數值之間取無限多個值，通常是通過測量得到。它的機率分布是通過機率密度函數（PDF）來描述，我們計算的是變數落入某個區間的機率。
離散變數：只能取有限個或可數無限個值，通常是通過計數得到。它的機率分布是通過機率質量函數（PMF）來描述，我們可以計算取到某個特定值的機率。

我們來分析各選項：

(A) The number of students who score above 90 on a test. 這是計數得到的，例如，可能是 10 位、11 位學生，不能是 10.5 位。這是一個離散變數。

Question 7

Inferential statistics primarily involves which of the following activities?
(A) Summarizing known information about a sample.
(B) Creating visual representations like histograms for populations.
(C) Making inferences about populations based on information from samples.
(D) Calculating descriptive statistics like the mean and standard deviation of a known population.
(E) Collecting data from every single member of a population.

Accepted Answer

本題考驗對「推論統計」（Inferential Statistics）與「描述統計」（Descriptive Statistics）的區別。

描述統計：主要目的是整理、摘要和呈現資料的特性，例如計算平均數、標準差、製作圖表等。
推論統計：主要目的是利用從樣本（Sample）獲得的資訊，來推論母體（Population）的特性。這包括估計母體參數、檢定母體假設等。

我們來分析各選項：

(A) Summarizing known information about a sample. 這是描述統計的主要功能，用來描述樣本的特性。
(B) Creating visual representations like histograms for populations. 雖然可以為母體創建圖表，但若有母體的全部資料，這更偏向描述統計；若沒有母體全部資料，則無法直接繪製母體圖表。

Question 8

A Type I error occurs in hypothesis testing when a researcher makes which of the following decisions?
(A) Rejecting the null hypothesis when it is actually correct.
(B) Rejecting the alternative hypothesis when it is actually false.
(C) Retaining the null hypothesis when the alternative hypothesis is true.
(D) Retaining the null hypothesis when it is actually true.
(E) Failing to obtain a random sample from the population.

Accepted Answer

核心觀念 假設檢定通常設定： - 虛無假設：$H0$ - 對立假設：$H1$ 或 $Ha$ 兩種錯誤定義如下： | 真實情況／決策 | 拒絕 $H0$ | 不拒絕 $H0$ | |---|---|---| | $H0$ 為真 | 第一類錯誤（Type I error） | 正確決策 | | $H0$ 為假 | 正確決策 | 第二類錯誤（Type II error） | 第一類錯誤是「$H0$ 實際上為真，研究者卻拒絕 $H0$」，其發生機率記為顯著水準： $$ \alpha=P(	ext{拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為真}) $$ 第二類錯誤是「$H0$ 實際上為假，研究者卻未拒絕 $H0$」，其發生機率記為： $$ \beta=P(	ext{不拒絕 }H0\mid H0	ext{ 為假}) $$ 解題方法 本題直接比對第一類錯誤的定義： 1. 找出研究者的決策：是否拒絕 $H0$。 2. 找出真實狀態：$H0$ 是否實際為真。 3. 第一類錯誤必須同時符合： - 實際上 $H0$ 為真； - 卻拒絕了 $H0$。 符合此條件的選項為 (A)。 選項分析 (A) Rejecting the null hypothesis when it is actually correct. 當 $H0$ 實際正確，也就是 $H0$ 為真，研究者卻拒絕 $H0$，完全符合第一類錯誤的定義。 因此 (A) 正確。

Question 9

What is the primary difference in the hypotheses tested by a one-tailed versus a two-tailed test?
(A) A one-tailed test uses alpha =.05 while a two-tailed test uses alpha =.01.
(B) A two-tailed test follows a directional hypothesis, while a one-tailed test does not.
(C) A one-tailed test predicts the exact mean of the population, while a two-tailed test predicts a range.
(D) A two-tailed test looks for an extreme result at just one end of the distribution.
(E) A one-tailed test is used for a directional hypothesis, while a two-tailed test is for a nondirectional
hypothesis.

Accepted Answer

本題考驗對單尾檢定（One-tailed Test）與雙尾檢定（Two-tailed Test）的理解。

假設檢定的核心是比較樣本統計量與母體參數（在虛無假設下）的差異，並判斷此差異是否大到足以拒絕虛無假設。這個差異是朝特定方向（單尾）還是朝任何方向（雙尾）都可能發生，決定了我們使用單尾或雙尾檢定。

單尾檢定 (One-tailed Test)：用於當研究者預期或感興趣的差異只發生在某一個特定方向時。例如，研究者預期某種新療法會「提高」學生的分數，或某種藥物會「降低」血壓。檢定統計量的顯著性（critical region）只在分布的一個尾部。
雙尾檢定 (Two-tailed Test)：用於當研究者預期差異可能發生在任何一個方向時，或者不確定差異的方向。例如，研究者想知道某種新療法是否會「改變」學生的分數（可能是提高或降低）。檢定統計量的顯著性（critical region）分布在分布的兩個尾部。

我們來分析各選項：

(A) A one-tailed test uses alpha =.05 while a two-tailed test uses alpha =.01. 顯著水準 $\alpha$ 是由研究者事先設定的，與單尾或雙尾檢定無關。

Question 10

According to the Central Limit Theorem, what happens to the sampling distribution of the mean as the
sample size (n) increases (specifically when n>=30)?
(A) The standard deviation of the sampling distribution increases.
(B) The mean of the sampling distribution shifts away from the population mean (mu).
(C) The distribution becomes positively skewed, regardless of the original population shape.
(D) The distribution approaches a normal distribution, regardless of the population's original shape.
(E) The population standard deviation (sigma) becomes unknown.

Accepted Answer

本題考驗對「中央極限定理」（Central Limit Theorem, CLT）的理解。

中央極限定理是統計學中最重要的定理之一。它指出，無論母體（Population）的分布形態為何，只要從該母體中抽取足夠大（通常指 $n \ge 30$ ）的隨機樣本，這些樣本平均數的抽樣分布（Sampling Distribution of the Mean）將近似於常態分布（Normal Distribution）。

此外，中央極限定理也說明：

抽樣分布的平均數 ( $\mu_{\bar{X}}$ ) 等於母體平均數 ( $\mu$ )。
抽樣分布的標準差（稱為標準誤, Standard Error, $SE$ 或 $\sigma_{\bar{X}}$ ）等於母體標準差 ( $\sigma$ ) 除以樣本大小的平方根 ( $\sqrt{n}$ )，即 $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 。

我們來分析各選項：

(A) The standard deviation of the sampling distribution increases. 這是錯誤的。根據 CLT， $SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 。當樣本大小 $n$ 增加時， $\sqrt{n}$ 增加，因此標準誤 $SE$ 會減少。標準誤是抽樣分布的標準差，它衡量樣本平均數的變異程度。

Question 11

The Student's t distribution is used instead of the z distribution primarily when which of the following is
true?
(A) The sample size is exactly 30.
(B) The population mean is unknown.
(C) The data in the population are not normally distributed.
(D) The observed test statistic falls into the rejection region.
(E) The population standard deviation is unknown and must be estimated from the sample standard
deviation.

Accepted Answer

本題考驗何時應使用 Student's t 分布（t 分布）而非標準常態分布（z 分布）。

z 分布和 t 分布都用於假設檢定和信賴區間的計算。它們的主要區別在於，z 分布假設母體標準差 ( $\sigma$ ) 是已知的，而 t 分布則是在母體標準差未知，且必須用樣本標準差 ( $s$ ) 來估計時使用。

另外，t 分布的形狀會隨著自由度（degree of freedom, df）而變化，而 z 分布是一個固定的標準常態分布。自由度通常與樣本大小有關，例如，單樣本 t 檢定的自由度是 $n-1$ 。

當樣本大小 $n$ 較大（例如 $n \ge 30$ ），且母體標準差未知時，t 分布會非常接近 z 分布。但嚴格來說，只要母體標準差未知，就應該使用 t 分布。

我們來分析各選項：

(A) The sample size is exactly 30. 當樣本大小恰好為 30 時，如果母體標準差已知，我們可以使用 z 分布；如果母體標準差未知，我們可以使用 t 分布，此時自由度為 29。所以樣本大小是 30 本身並不是決定使用 t 分布的絕對條件。

Question 12

Effect size, such as Cohen's d, is used in statistics for what purpose?
(A) To determine if the result is statistically significant at a specific alpha level.
(B) To calculate the exact probability (p-value) of obtaining an observed mean if the null hypothesis is true.
(C) To express the magnitude of the difference between means in terms of standard deviations, indicating
practical importance.
(D) To establish a 95% confidence interval for the population mean.
(E) To determine the required sample size to achieve a specific power (e.g., 0.85).

Accepted Answer

本題考驗對「效果量」（Effect Size）的理解。

效果量是用來衡量兩個或多個變數之間關係的強度，或不同群體之間差異的大小。它與統計顯著性（Statistical Significance）不同，統計顯著性只告訴我們觀察到的差異是否可能由隨機因素引起，而效果量則告訴我們差異的實際大小和重要性。

常見的效果量指標包括：

Cohen's d：用於比較兩組平均數的差異，表示兩個平均數之間相差多少個標準差。
Pearson's r：用於衡量兩個連續變數之間的線性相關強度。
$\eta^2$ (eta-squared)：用於 ANOVA，表示自變數解釋了依變數變異的比例。

我們來分析各選項：

(A) To determine if the result is statistically significant at a specific alpha level. 這是統計顯著性檢定的目的，與效果量無關。統計顯著性檢定（p-value）和效果量是互補的資訊。

Question 13

Statistical power is defined as which of the following?
(A) The probability of rejecting a false null hypothesis.
(B) The probability of retaining the null hypothesis when it is true.
(C) The probability of making a Type II error.
(D) The probability of making a Type I error.
(E) The significance level used for the test.

Accepted Answer

本題考驗對「統計檢定力」（Statistical Power）的定義。

統計檢定力是指在虛無假設（ $H_0$ ）為偽時，我們能夠正確地拒絕虛無假設的機率。換句話說，它是避免第二類錯誤（Type II Error）的機率。

我們可以將假設檢定的四種可能結果列出：

實際情況	決策	結果	機率
$H_0$ 為真	拒絕 $H_0$	第一類錯誤 (Type I Error)	$\alpha$
$H_0$ 為真	不拒絕 $H_0$	正確決策	$1 - \alpha$
$H_0$ 為偽	拒絕 $H_0$	正確決策 (Power)	$1 - \beta$
$H_0$ 為偽	不拒絕 $H_0$	第二類錯誤 (Type II Error)	$\beta$

其中，Power = $1 - \beta$ 。

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Question 14

What factors typically leads to an increase in the power of a statistical test?
(A) A decrease in the sample size.
(B) An increase in the population variance.
(C) A decrease in the significance level.
(D) A decrease in the effect size.
(E) An increase in the true difference between the null and alternative hypotheses.

Accepted Answer

本題考驗影響統計檢定力（Statistical Power）的因素。統計檢定力（Power = $1 - \beta$ ）是指在虛無假設（ $H_0$ ）為偽時，正確地拒絕虛無假設的機率。

影響檢定力的主要因素有四個：

樣本大小 (Sample Size, n)：樣本越大，檢定力越高。
顯著水準 (Significance Level, $\alpha$ )： $\alpha$ 越大（例如從 .01 提高到 .05），檢定力越高（但第一類錯誤機率也增加）。
效果量 (Effect Size)：效果量越大（即真實差異越大或關係越強），檢定力越高。
母體變異數 (Population Variance, $\sigma^2$ )：母體變異數越小，檢定力越高。

我們來分析各選項：

(A) A decrease in the sample size. 樣本大小減少會導致檢定力降低，而不是增加。

Question 15

Which of the following is a key advantage of using related samples (or repeated measures) design
compared to an independent samples design?
(A) It eliminates order effects and carry-over effects.
(B) It makes the population standard deviation known.
(C) It requires a larger overall number of subjects/participants.
(D) It makes the data normally distributed automatically.
(E) It helps to eliminate subject-to-subject variability and control extraneous variables.

Accepted Answer

本題考驗對「相依樣本設計」（Related Samples Design，又稱重複測量設計 Repeated Measures Design）相較於「獨立樣本設計」（Independent Samples Design）的優勢。

獨立樣本設計：將研究對象隨機分配到不同的實驗組別，各組之間的研究對象是獨立的。
相依樣本設計：同一組研究對象接受不同的處理（條件），或者研究對象之間存在配對關係（例如，配對樣本、前後測）。

相依樣本設計的主要優勢在於能夠控制「參與者間的變異」（Subject-to-subject variability），也稱為個體差異。由於同一組受試者接受所有條件的處理，或配對的受試者在特徵上相似，因此，相較於獨立樣本設計，它減少了由於參與者本身固有的差異所造成的變異。這使得研究者能更清晰地觀察到處理效果（Treatment Effect），從而提高統計檢定力（Power）。

我們來分析各選項：

(A) It eliminates order effects and carry-over effects. 這是錯誤的。

Question 16

When performing an F test to check for the homogeneity of variance, what is the decision rule if the
calculated F statistic is used with a one-tailed critical region F.025 (df1,df2)?
(A) If F statistic falls into the critical region, conclude heterogeneity of variance.
(B) If F statistic is less than one-tailed critical region, retain the null hypothesis and use Welch's solution.
(C) If F statistic does not fall into the critical region, do not pool variances.
(D) If F statistic is greater than the critical region, retain the null hypothesis.
(E) The F statistic is calculated by dividing the smaller sample variance by the larger one.

Accepted Answer

本題考驗對變異數同質性檢定（Homogeneity of Variance Test，通常使用 Levene's Test 或 F-test for Equality of Variances）的決策規則，特別是當使用單尾臨界值時。

檢定變異數同質性的虛無假設 ( $H_0$ ) 通常是：所有母體變異數相等 ( $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \dots = \sigma_k^2$ )。對立假設 ( $H_1$ ) 是：至少有一個母體變異數不相等。

在進行 F 檢定時，我們計算一個 F 統計量，然後將其與臨界值進行比較。

F 檢定計算：通常是將最大的樣本變異數除以最小的樣本變異數（Max $s^2$ / Min $s^2$ ）。
決策規則：
* 如果計算出的 F 統計量「大於」臨界值，則拒絕虛無假設，認為變異數「不」同質。
* 如果計算出的 F 統計量「小於或等於」臨界值，則不拒絕虛無假設，認為變異數「同質」。

題目特別提到「one-tailed critical region F.025」。這意味著我們關心的是變異數「不」同質（即某個變異數遠大於其他變異數）的情況，所以我們將 $\alpha$ 分配到一側，以檢測這種極端情況。通常，F 檢定變異數同質性時，計算出的 F 值會是「最大變異數 / 最小變異數」，因此 F 值傾向於大於 1。如果 F 值遠大於 1，就傾向於拒絕 $H_0$ 。

我們來分析各選項：

(A) If F statistic falls into the critical region, conclude heterogeneity of variance. 當 F 統計量落入臨界區（critical region）時，表示觀察到的變異程度比隨機性預期的要大得多，我們應該拒絕 $H_0$ （變異數同質），從而得出變異數「不」同質（heterogeneity）的結論。這句話是正確的。

Question 17

Which of the following best describes the primary purpose of a correlation analysis?
(A) To determine cause-and-effect relationships between two variables.
(B) To calculate the difference between the mean of two samples.
(C) To measure the degree of linear relationship between two variables.
(D) To create visual representations of data for a single population.
(E) To test a hypothesis that the population mean is zero.

Accepted Answer

本題考驗對「相關分析」（Correlation Analysis）主要目的的理解。

相關分析是用來衡量兩個變數之間線性關係的強度和方向。相關係數（如 Pearson's r）的值介於 -1 和 +1 之間，其中：

+1 表示完全正相關。
-1 表示完全負相關。
0 表示沒有線性相關。
值越接近 +1 或 -1，表示線性關係越強。

我們來分析各選項：

(A) To determine cause-and-effect relationships between two variables. 相關分析「不能」確定因果關係。相關性僅表示兩個變數一起變化的趨勢，但不能說明哪個變數是因，哪個是果，或者是否存在第三個潛在變數同時影響這兩個變數。要確定因果關係，通常需要實驗設計。

Question 18

In a negative correlation between variable X and variable Y, which pattern typically occurs?
(A) High scores on X go with high scores on Y, and vice versa.
(B) All data points are clustered around the mean of both variables.
(C) The pattern of dots on a scatterplot goes up from left to right.
(D) High scores on X tend to go with low scores on Y, and vice versa.
(E) There is no discernible pattern in the data points.

Accepted Answer

本題考驗對「負相關」（Negative Correlation）在散佈圖（Scatterplot）上呈現的模式的理解。

相關係數（Correlation Coefficient）衡量兩個變數之間線性關係的強度和方向。

正相關 (Positive Correlation)：當一個變數的值增加時，另一個變數的值也傾向於增加。在散佈圖上，點的趨勢是從左下到右上（斜率為正）。
負相關 (Negative Correlation)：當一個變數的值增加時，另一個變數的值傾向於減少。在散佈圖上，點的趨勢是從左上到右下（斜率為負）。
零相關 (Zero Correlation)：兩個變數之間沒有線性關係。在散佈圖上，點沒有明顯的趨勢，或者呈圓形散佈。

我們來分析各選項：

(A) High scores on X go with high scores on Y, and vice versa. 這是正相關的描述。

Question 19

When constructing a scatterplot, which variable is conventionally plotted on the X-axis?
(A) The dependent variable.
(B) The criterion variable.
(C) The population parameter.
(D) The independent/predictor variable.
(E) The total sample size.

Accepted Answer

本題考驗在繪製散佈圖（Scatterplot）時，變數配置的慣例。

散佈圖是用來視覺化兩個變數之間關係的圖形。在大多數情況下，我們將「自變數」（Independent Variable）或「預測變數」（Predictor Variable）繪製在水平軸（X 軸），而將「依變數」（Dependent Variable）或「效標變數」（Criterion Variable）繪製在垂直軸（Y 軸）。這是因為我們通常認為自變數影響或預測依變數。

Question 20

Which of the following factors is potentially affecting or distorting the value of the correlation
coefficient?
(A) The use of a Student's t-distribution.
(B) Homogeneous subsamples (all data from one uniform group).
(C) A perfectly linear relationship.
(D) A wide range of data for both variables.
(E) Range restrictions (limiting the variability of the data).

Accepted Answer

本題考驗哪些因素會影響或扭曲相關係數（Correlation Coefficient）的值。

相關係數（例如 Pearson's r）衡量的是兩個變數之間「線性」關係的強度。

我們來分析各選項：

(A) The use of a Student's t-distribution. t 分布用於假設檢定或信賴區間，與計算相關係數本身無關，不會扭曲相關係數的值。
(B) Homogeneous subsamples (all data from one uniform group). 如果將數據分成多個同質性高的子樣本，每個子樣本內的變異可能很小。當我們計算一個異質性較低的子樣本的相關係數時，它可能比整個數據集的相關係數要低。然而，如果「所有」數據都來自一個同質的群體，這就不是「子樣本」的問題，而是整個數據集的變異性問題。
(C) A perfectly linear relationship. 如果變數之間的關係是完美的線性關係，這會導致相關係數趨近於 +1 或 -1，這是一種「最大化」相關係數的情況，而不是扭曲。

Question 21

What is the primary purpose of regression analysis?
(A) To determine the degree of relationship between two variables.
(B) To summarize known information about a sample using descriptive statistics.
(C) To predict a dependent variable based on one or more predictor variables.
(D) To establish a cause-and-effect relationship between smoking and heart disease.
(E) To identify the correlation constant and slope.

Accepted Answer

本題考驗對「迴歸分析」（Regression Analysis）主要目的的理解。

迴歸分析是用來建立一個模型，以預測一個依變數（Dependent Variable）的值，基於一個或多個自變數（Independent Variables 或 Predictor Variables）的值。它不僅衡量變數之間的關係，更重要的是建立這種關係的數學形式，以便進行預測。

我們來分析各選項：

(A) To determine the degree of relationship between two variables. 這是相關分析（Correlation Analysis）的主要目的，而不是迴歸分析。雖然迴歸分析也涉及變數間的關係，但其重點在於預測。
(B) To summarize known information about a sample using descriptive statistics. 這是描述統計（Descriptive Statistics）的目的。

Question 22

Which principle is used to determine the one best regression line among many lines that pass through the
mean of X and Y?
(A) The Central Limit Theorem.
(B) The principle that the sum of predicted errors equals zero.
(C) The principle that the best line has the smallest sum of squared errors.
(D) The F-test for homogeneity of variance.
(E) The calculation of the correlation coefficient.

Accepted Answer

本題考驗確定最佳迴歸線（Best Regression Line）的原則，特別是最小平方法（Least Squares Method）。

在線性迴歸中，我們試圖找到一條直線來最好地擬合數據點。有許多直線可以穿過數據點的平均值 $(\bar{X}, \bar{Y})$ ，但我們需要一個標準來選擇「最好」的那一條。

最小平方法（Least Squares Method） 是最常用的方法。它定義「最好」的直線為，使所有觀測值與迴歸線預測值之間差異的平方和（Sum of Squared Errors, SSE）最小的直線。
數學上，對於迴歸模型 $\hat{Y} = a + bX$ ，我們尋找參數 $a$ 和 $b$ ，使得 $\sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{Y}_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} (Y_i - (a + bX_i))^2$ 最小。

我們來分析各選項：

(A) The Central Limit Theorem. 中央極限定理與抽樣分布的常態性有關，與確定最佳迴歸線的原則無關。

Question 23

In the linear regression equation $\hat{Y} = a + bX$ , how is the regression coefficient b interpreted?
(A) The predicted score on Y when the score on X is zero.
(B) The total variability in Y scores.
(C) The proportion of variance in Y accounted for by X.
(D) The sample mean of the X variable.
(E) How much the predicted Y variable increases for every increase of 1 unit on the X variable.

Accepted Answer

本題考驗對線性迴歸方程式中迴歸係數 $b$ 的解釋。

線性迴歸方程式通常寫成 $\hat{Y} = a + bX$ ，其中：

$\hat{Y}$ 是依變數 Y 的預測值。
$X$ 是自變數。
$a$ 是截距（Intercept），表示當自變數 $X$ 為 0 時，依變數 $\hat{Y}$ 的預測值。
$b$ 是斜率（Slope），也稱為迴歸係數（Regression Coefficient）。

迴歸係數 $b$ 的解釋是：當自變數 $X$ 每增加一個單位時，依變數 $\hat{Y}$ 的預測值會改變多少。

我們來分析各選項：

(A) The predicted score on Y when the score on X is zero. 這是截距 $a$ 的解釋。

Question 24

What does the coefficient of determination represent in a simple linear regression model?
(A) The residual error.
(B) The total sum of squares.
(C) The population correlation parameter.
(D) The proportion of variance in the dependent variable (Y) that is accounted for by the
prediction/regression model.
(E) The degrees of freedom for the model.

Accepted Answer

本題考驗對「決定係數」（Coefficient of Determination, $R^2$ ）的理解。

在簡單線性迴歸中，決定係數 $R^2$ 用來衡量迴歸模型對依變數（Dependent Variable, Y）變異的解釋程度。它表示依變數的總變異中，有多少比例可以被自變數（Independent Variable, X）所解釋。

$R^2$ 的計算方式是：
$R^2 = \frac{\text{Explained Sum of Squares (ESS) / Regression Sum of Squares (RSS)}}{\text{Total Sum of Squares (SST)}}$
或者
$R^2 = 1 - \frac{\text{Residual Sum of Squares (SSE) / Error Sum of Squares (ESS)}}{\text{Total Sum of Squares (SST)}}$

$R^2$ 的值介於 0 和 1 之間。值越接近 1，表示迴歸模型對依變數變異的解釋能力越強。

Question 25

Which of the following is listed as a limitation or circumstance where linear regression might be
inaccurate?
(A) When the correlation is perfectly linear.
(B) When the cases are independent.
(C) When the error scores are normally distributed.
(D) When the data display range restrictions or a curvilinear relationship.
(E) When using a standardized regression coefficient.

Accepted Answer

本題考驗線性迴歸（Linear Regression）的限制或不適用情況。線性迴歸假設變數之間存在線性關係，並且滿足一系列其他假設。當這些假設不被滿足時，線性迴歸的結果可能不準確。

我們來分析各選項：

(A) When the correlation is perfectly linear. 當變數之間是完美的線性關係時，線性迴歸模型通常會非常準確，這不是一個限制。
(B) When the cases are independent. 獨立性（Independence of cases）是線性迴歸的一個重要假設。如果樣本點之間不獨立（例如，時間序列數據中的自我相關），迴歸結果會受到影響。但「獨立」本身是迴歸的假設，不是限制。
(C) When the error scores are normally distributed. 誤差項（Error scores）服從常態分布是線性迴歸的一個假設，通常有助於進行統計推論。如果誤差項服從常態，這也不是限制。

Question 26

The following statement is for question 26 to question 32.
A research article reported that people's likelihood of pre-judging others was inversely proportionate to their
knowledge of those they were judging. Student subjects (N = 120) were randomly assigned to receive no
information, basic demographic information, or extensive life history information about ten target people.
They were then told that the target people had all lost their jobs. Subjects were then asked to evaluate the
target people's mental abilities and moral character. Subjects gave more uniform and lower ratings to people
they had no knowledge about than to people about whom they had received some life history information.

It is an experimental design research. Which of the following statement(s) is (are) right?
(A) This study used random samples to control extraneous variables;
(B) With random assignments, we are able to know that the independent variable caused the dependent
variable;
(C) Actually, this is not an experimental design;
(D) A and B are correct;
(E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「實驗研究設計」、隨機分派與因果推論。 - 自變項：受試者獲得的目標人物資訊量，包括： 1. 無資訊 2. 基本人口統計資訊 3. 詳細生命史資訊 - 依變項：受試者對目標人物的心理能力與道德品格評分。 - 隨機分派（random assignment）：將受試者以隨機方式分配到不同實驗條件，使各組在個人特質、背景與其他干擾變項上平均相當，有助於建立自變項與依變項之間的因果關係。 - 隨機抽樣（random sampling）：從母群體中隨機抽取樣本，主要用於提升樣本對母群體的代表性與研究結果的推論性，與隨機分派功能不同。 解題方法 判斷本研究是否為實驗設計，須檢查兩項條件： 1. 研究者是否操弄自變項； 2. 受試者是否被隨機分派至不同條件。 本題中，研究者主動提供三種不同程度的資訊，這是對「資訊量」自變項的操弄；同時，學生受試者被隨機分派到不同資訊條件。因此，本研究符合實驗設計。 由於隨機分派能使各組在其他條件上具有可比性，若三組受試者的評分出現差異，便能較合理地推論：評分差異是由資訊量造成，而非由受試者原本的能力、人格或背景差異造成。 選項分析 (A) This study used random samples to control extraneous variables. 錯誤。 題幹只說受試者被「randomly assigned」，也就是隨機分派到不同實驗組別，並未表示研究使用隨機抽樣。

Question 27

The following statement is for question 26 to question 32.
A research article reported that people's likelihood of pre-judging others was inversely proportionate to their
knowledge of those they were judging. Student subjects (N = 120) were randomly assigned to receive no
information, basic demographic information, or extensive life history information about ten target people.
They were then told that the target people had all lost their jobs. Subjects were then asked to evaluate the
target people's mental abilities and moral character. Subjects gave more uniform and lower ratings to people
they had no knowledge about than to people about whom they had received some life history information.

It is an experimental design research. Which of the following statement(s) is (are) right?
(A) This study used random samples to control extraneous variables;
(B) With random assignments, we are able to know that the independent variable caused the dependent
variable;
(C) Actually, this is not an experimental design;
(D) A and B are correct;
(E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

本題要求辨識研究中的自變數（Independent Variable）。

自變數是研究者操弄或改變的變數，用來觀察它對依變數（Dependent Variable）的影響。

在本研究中，研究者將學生隨機分配到三種不同的條件，這些條件代表了學生對目標人物的「知識量」程度：

無資訊 (no information)
基本人口統計資訊 (basic demographic information)
詳盡生活史資訊 (extensive life history information)

這三種不同的資訊量，就是研究者操弄的自變數。因此，「知識量」（Knowledge of others）是自變數。

我們來分析選項：

(A) judgment about others; 這是研究者測量的結果，是對目標人物的評價，屬於依變數。

Question 28

The following statement is for question 26 to question 32.
A research article reported that people's likelihood of pre-judging others was inversely proportionate to their
knowledge of those they were judging. Student subjects (N = 120) were randomly assigned to receive no
information, basic demographic information, or extensive life history information about ten target people.
They were then told that the target people had all lost their jobs. Subjects were then asked to evaluate the
target people's mental abilities and moral character. Subjects gave more uniform and lower ratings to people
they had no knowledge about than to people about whom they had received some life history information.

It is an experimental design research. Which of the following statement(s) is (are) right?
(A) This study used random samples to control extraneous variables;
(B) With random assignments, we are able to know that the independent variable caused the dependent
variable;
(C) Actually, this is not an experimental design;
(D) A and B are correct;
(E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

本題要求判斷研究中自變數（Independent Variable）的「層次」（Levels）。

自變數的層次是指自變數所包含的不同類別或條件的數量。

在本研究中，自變數是「對目標人物的知識量」（Knowledge of others）。研究者將學生隨機分配到以下三種不同的資訊接收條件：

Question 29

The following statement is for question 26 to question 32.
A research article reported that people's likelihood of pre-judging others was inversely proportionate to their
knowledge of those they were judging. Student subjects (N = 120) were randomly assigned to receive no
information, basic demographic information, or extensive life history information about ten target people.
They were then told that the target people had all lost their jobs. Subjects were then asked to evaluate the
target people's mental abilities and moral character. Subjects gave more uniform and lower ratings to people
they had no knowledge about than to people about whom they had received some life history information.

It is an experimental design research. Which of the following statement(s) is (are) right?
(A) This study used random samples to control extraneous variables;
(B) With random assignments, we are able to know that the independent variable caused the dependent
variable;
(C) Actually, this is not an experimental design;
(D) A and B are correct;
(E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

本題要求判斷最適合用來分析此研究結果的統計方法。

這是一個實驗設計，自變數是「知識量」（有三個層次：無、基本、詳盡），依變數是「對目標人物的評價」（例如，心理能力和道德品質的評分）。研究者想知道不同知識量水平是否會影響評價。

由於自變數是類別型的（三個層次），依變數是連續型的（評分），並且我們要比較三個組別的平均數是否存在差異，最適合的方法是使用變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）。在 ANOVA 中，F 檢定（F-test）是用來判斷各組平均數之間是否存在顯著差異。

我們來分析選項：

(A) F-test. F 檢定是 ANOVA 的核心，用於比較三個或更多組別的平均數。這與本研究的設計非常吻合。

Question 30

The following statement is for question 26 to question 32.
A research article reported that people's likelihood of pre-judging others was inversely proportionate to their
knowledge of those they were judging. Student subjects (N = 120) were randomly assigned to receive no
information, basic demographic information, or extensive life history information about ten target people.
They were then told that the target people had all lost their jobs. Subjects were then asked to evaluate the
target people's mental abilities and moral character. Subjects gave more uniform and lower ratings to people
they had no knowledge about than to people about whom they had received some life history information.

It is an experimental design research. Which of the following statement(s) is (are) right?
(A) This study used random samples to control extraneous variables;
(B) With random assignments, we are able to know that the independent variable caused the dependent
variable;
(C) Actually, this is not an experimental design;
(D) A and B are correct;
(E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

本題要求判斷該研究類型所能得出的結論種類。

如前所述，該研究是一個實驗設計，具有以下特徵：

操弄（Manipulation）：研究者操弄了「知識量」。
隨機分配（Random Assignment）：受試者被隨機分配到不同的資訊處理組。
測量（Measurement）：測量了「評價」。

實驗設計（Experimental Design）最大的優勢在於能夠建立「因果關係」（Cause-Effect Relationship）。由於研究者能夠控制自變數（知識量），並隨機分配受試者，因此當觀察到依變數（評價）的差異時，我們可以較有信心地推論是自變數的操弄導致了依變數的變化。

Question 31

The following statement is for question 26 to question 32.
A research article reported that people's likelihood of pre-judging others was inversely proportionate to their
knowledge of those they were judging. Student subjects (N = 120) were randomly assigned to receive no
information, basic demographic information, or extensive life history information about ten target people.
They were then told that the target people had all lost their jobs. Subjects were then asked to evaluate the
target people's mental abilities and moral character. Subjects gave more uniform and lower ratings to people
they had no knowledge about than to people about whom they had received some life history information.

It is an experimental design research. Which of the following statement(s) is (are) right?
(A) This study used random samples to control extraneous variables;
(B) With random assignments, we are able to know that the independent variable caused the dependent
variable;
(C) Actually, this is not an experimental design;
(D) A and B are correct;
(E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

本題考驗樣本大小（N）增加對研究結果的影響。

增加樣本大小（N）通常會對統計分析產生以下影響：

增加統計檢定力（Statistical Power）：更大的樣本意味著我們更有可能偵測到真實存在的效應（即使是較小的效應）。
減少標準誤（Standard Error）：標準誤是抽樣分布的標準差，其公式通常包含樣本大小的平方根在分母中（例如 $SE = \sigma/\sqrt{N}$ ）。因此，N 越大，SE 越小，這意味著樣本平均數對母體平均數的估計越精確。
使抽樣分布更趨近常態：根據中央極限定理，隨著樣本大小的增加，樣本平均數的抽樣分布會越來越接近常態分布。

我們來分析各選項：

(A) Bigger effect size. 效果量（Effect Size）衡量的是真實的效應大小，它與樣本大小無關。增加樣本大小不會改變真實世界中變數之間的關係強度。

Question 32

The following statement is for question 26 to question 32.
A research article reported that people's likelihood of pre-judging others was inversely proportionate to their
knowledge of those they were judging. Student subjects (N = 120) were randomly assigned to receive no
information, basic demographic information, or extensive life history information about ten target people.
They were then told that the target people had all lost their jobs. Subjects were then asked to evaluate the
target people's mental abilities and moral character. Subjects gave more uniform and lower ratings to people
they had no knowledge about than to people about whom they had received some life history information.

It is an experimental design research. Which of the following statement(s) is (are) right?
(A) This study used random samples to control extraneous variables;
(B) With random assignments, we are able to know that the independent variable caused the dependent
variable;
(C) Actually, this is not an experimental design;
(D) A and B are correct;
(E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

本題要求在研究發現顯著效應（significant effects）的情況下，選擇最恰當的解釋。

研究設計是一個實驗研究，自變數是「知識量」（Knowledge of others，有三個層次：無、基本、詳盡），依變數是「對目標人物的評價」（Subject gave ratings to people）。研究發現，知道越多的人，評價越趨於一致（uniform）和較低（lower）。

由於這是一個實驗研究，我們能夠推論因果關係。知識量的增加（自變數的操弄）導致了評價的改變（依變數的結果）。

我們來分析選項：

(A) Prejudices influence the understanding of others; 這句話的邏輯方向是「偏見」影響「理解」，與研究的自變數（知識量）和依變數（評價）的直接對應關係不夠精確。研究探討的是知識量對評價（是否預先判斷）的影響。
(B) Knowledge of others influences the tendency to rely on prejudice; 這句話精確地描述了研究的發現。

Question 33

33. About statisticians: (A) Ronald R. Fisher invented analysis of variance; (B) William Gosset invented developed t tests; (C) Karl Pearson found that most psychological and biological measurement showed a normal distribution; (D) A and B are correct; (E) A, B, and C are accurate.

Accepted Answer

本題考驗對統計學史上重要人物及其貢獻的了解。 我們逐一檢視各選項： (A) Ronald R. Fisher invented analysis of variance; 羅納德·費雪（Ronald Fisher）是現代統計學的奠基人之一，他確實發展了變異數分析（Analysis of Variance, ANOVA）的方法，並將其廣泛應用於實驗設計中。此說法正確。 (B) William Gosset invented developed t tests; 威廉·高賽特（William Gosset）以筆名「Student」發表了 t 檢定（t-test），他是第一位提出母體標準差未知時，使用樣本標準差估計，並推導出 t 分布的統計學家。此說法正確。 (C) Karl Pearson found that most psychological and biological measurement showed a normal distribution; 卡爾·皮爾森（Karl Pearson）是另一位重要的統計學家，他發展了許多統計方法，包括卡方檢定、相關係數等。然而，關於「大多數心理學和生物學測量顯示常態分布」的發現，更常歸功於弗朗西斯·高爾頓（Francis Galton）和後來的統計學家們對常態分布在自然現象中普遍性的觀察，以及中央極限定理的應用。皮爾森在推廣和應用統計方法上貢獻卓著，但這個特定的發現並非他最主要的貢獻或廣為人知的結論。 更準確地說，高爾頓（Galton）在其關於人類特徵（如身高）的研究中，觀察到很多數據呈現鐘形曲線，並稱之為「正態曲線」。皮爾森後來在數學上嚴謹地發展了常態分布及其相關統計方法。但是「發現」大多數測量是常態分布，這個說法比較模糊。 查閱資料，關於「Karl Pearson 發現大多數心理學和生物學測量顯示常態分布」的說法，並不常見或被視為他最核心的貢獻。通常，常態分布的普遍性是許多科學家觀察和中央極限定理共同確立的。 重新檢視：有些資料提及皮爾森對常態分布在生物學和心理學中的應用和推廣做出了重要貢獻。但「發現」這個詞可能不夠精確。

Question 34

34. For a one-way ANOVA, an effect size (d) that is considered large is (A) 0.8; (B) 1.0; (C) 1.5; (D) All of the other alternatives are correct; (E) None of the other alternatives are correct.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Cohen 的效果量 $d$ 判準。效果量用來描述差異的實質大小，不同於 $p$ 值所判斷的統計顯著性。 Cohen’s $d$ 的常用判準為： $$ d=0.2 	ext{：小效果} $$ $$ d=0.5 	ext{：中效果} $$ $$ d=0.8 	ext{ 以上：大效果} $$ 因此，只要 $d\geq 0.8$，通常即可判定為大效果。 解題方法 逐一將各選項的數值與「大效果」的臨界值 $0.8$ 比較： - $d=0.8$：達到大效果的標準。 - $d=1.0$：大於 $0.8$，屬於大效果。 - $d=1.5$：大於 $0.8$，也屬於大效果。 所以，選項 A、B、C 皆為正確的「大效果」數值，應選擇「其他選項皆正確」。 選項分析 - (A) 0.8：正確。 依 Cohen 的判準，$d=0.8$ 已達大效果的下限。 - (B) 1.0：正確。 $d=1.00.8$，屬於大效果。 - (C) 1.5：正確。 $d=1.50.8$，屬於大效果，且效果量大於 $1.0$。

Question 35

35. t-distributions (A) are empirical distributions; (B) change depending on sample size; (C) use β; (D) are not affected by sample size; (E) None of the above is accurate.

Accepted Answer

本題考驗對 t 分布（t-distributions）性質的理解。

t 分布，也稱為 Student's t distribution，是在母體標準差未知時，用於假設檢定和信賴區間的機率分布。

我們來分析各選項：

(A) are empirical distributions; 經驗分布（Empirical distributions）是從實際數據集計算出來的分布。t 分布是一個理論上的機率分布，由數學公式定義，而不是直接從數據計算出來的。所以這是不正確的。
(B) change depending on sample size; t 分布的形狀確實會隨著自由度（degree of freedom, df）而變化。在統計推論中，自由度通常與樣本大小有關（例如，單樣本 t 檢定的自由度是 $n-1$ ）。

Question 36

Table 1 is used to answer question 36 to question 42.
Table 1. Walking is valuable exercise. The following data (in kilometers per day) are entirely hypothetical,
but represent a reasonable guess.
CCU
Haoshou
Minxiong
Downtown
ΣΧ
12
12
24
ΣΧ^2
50
56
224
N
4
4
8

The number of levels of the independent variable is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
(E) 4.

Accepted Answer

本題要求判斷研究中自變數（Independent Variable）的層次（Levels）數量。

此研究的背景是「步行是一種有價值的運動」。Table 1 呈現了不同地點的步行數據（每日公里數）。
數據分為三組：CCU、Haoshou、Minxiong Downtown。

Question 37

Table 1 is used to answer question 36 to question 42.
Table 1. Walking is valuable exercise. The following data (in kilometers per day) are entirely hypothetical,
but represent a reasonable guess.
CCU
Haoshou
Minxiong
Downtown
ΣΧ
12
12
24
ΣΧ^2
50
56
224
N
4
4
8

The alternative hypothesis is
(A) Ho: μCCU = μHaoshou = μMinxiong downtown
(B) Hο: μCCU≠ μHaoshou ≠ μMinxiong downtown.
(C) H1: Not all population means are equal.
(D) H1: Not all sample means are equal.
(E) None of the other alternatives are correct.

Accepted Answer

本題要求寫出此研究適用的對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$ ）。

此研究比較了三個不同地點（CCU, Haoshou, Minxiong Downtown）的步行距離的平均數。這是一個單因子變異數分析（One-way ANOVA）的情境。

在 ANOVA 中，虛無假設（Null Hypothesis, $H_0$ ）通常是所有組別的母體平均數都相等。
對立假設（Alternative Hypothesis, $H_1$ ）則是至少有一個組別的母體平均數與其他組別不同。

我們來分析選項：

(A) Ho: μCCU = μHaoshou = μMinxiong downtown 這是一個正確的虛無假設 ( $H_0$ ) 表達方式，但題目問的是對立假設 ( $H_1$ )。

Question 38

38. The appropriate test for this study is (A) one-way ANOVA; (B) one-factor repeated measures ANOVA; (C) two-sample t test; (D) one-sample t test; (E) two-way ANOVA.

Accepted Answer

本題要求判斷最適合此研究的統計檢定方法。 研究設計的特徵： 1. 自變數：地點（Location），有三個層次：CCU、Haoshou、Minxiong Downtown。 2. 依變數：每日步行公里數（kilometers per day）。 3. 樣本：來自三個不同地點的受試者。數據是獨立的（假設不同地點的受試者是相互獨立的）。 由於我們有 一個類別型的自變數（地點，有三個層次）和 一個連續型的依變數（步行公里數），並且我們要比較 三個獨立組別 的平均數是否存在顯著差異，最適合的方法是 單因子變異數分析（One-way ANOVA）。

Question 39

Table 1 is used to answer question 36 to question 42.
Table 1. Walking is valuable exercise. The following data (in kilometers per day) are entirely hypothetical,
but represent a reasonable guess.
CCU
Haoshou
Minxiong
Downtown
ΣΧ
12
12
24
ΣΧ^2
50
56
224
N
4
4
8

The number of levels of the independent variable is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
(E) 4.

Accepted Answer

核心觀念 本題屬於單因子變異數分析 (One‑Way ANOVA) 中「處理（treatment）變異」的計算。 處理變異的平方和（SS\{Treatment））衡量不同處理（或組）之平均值與整體平均值之差異程度，公式為 $$ SS{	ext{Treatment}}=\sum{i=1}^{k}\frac{(\sum X{i})^{2}}{n{i}}-\frac{(\sum\sum X{ij})^{2}}{N}, $$ 其中 $k$ = 處理數（組別數） $n{i}$ = 第 $i$ 組的樣本數 $\sum X{i}$ = 第 $i$ 組的觀測總和 $N=\sum n{i}$ = 全部樣本數 $\sum\sum X{ij}$ = 所有觀測值的總和 --- (a) 依題目資料列出所需數值 | 組別 | $\sum X{i}$ | $n{i}$ | $\displaystyle\frac{(\sum X{i})^{2}}{n{i}}$ | |------|---------------|----------|-------------------------------------------| | CCU | 12 | 4 | $\displaystyle\frac{12^{2}}{4}=36$ | | Haoshou | 12 | 4 | $\displaystyle\frac{12^{2}}{4}=36$ |

Question 40

Table 1 is used to answer question 36 to question 42.
Table 1. Walking is valuable exercise. The following data (in kilometers per day) are entirely hypothetical,
but represent a reasonable guess.
CCU
Haoshou
Minxiong
Downtown
ΣΧ
12
12
24
ΣΧ^2
50
56
224
N
4
4
8

The number of levels of the independent variable is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
(E) 4.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查單因子變異數分析中誤差均方（$MS{	ext{error}}$）的計算： $$ MS{	ext{error}}=\frac{SS{	ext{error}}}{df{	ext{error}}} $$ 其中： $$ SS{	ext{error}} =\sum X^2-\sum\frac{(\sum X)^2}{n} $$ $$ df{	ext{error}}=N-k $$ $N$ 為總樣本數，$k$ 為組別數。 解題方法 表中前兩欄的樣本數分別為 $4$、$4$，第三欄的樣本數為 $8$，且： $$ 4+4=8 $$ 因此第三欄應是前兩組的總計，而非第三個獨立組別。依此解讀，兩組資料為： - 第一組：$\sum X=12$、$\sum X^2=50$、$n=4$ - 第二組：$\sum X=12$、$\sum X^2=56$、$n=4$ 第一組的組內平方和： $$ SS1=50-\frac{12^2}{4} =50-36 =14 $$ 第二組的組內平方和： $$ SS2=56-\frac{12^2}{4} =56-36 =20 $$ 所以： $$ SS{	ext{error}}=14+20=34 $$ 兩組共有 $N=8$ 個觀察值，組別數為 $k=2$，因此： $$ df{	ext{error}}=8-2=6 $$ 故： $$ MS{	ext{error}} =\frac{34}{6} =\frac{17}{3} \approx 5.67 $$ 表格資料的矛盾 前兩組的平方和總計應為： $$ 50+56=106 $$

Question 41

Table 1 is used to answer question 36 to question 42.
Table 1. Walking is valuable exercise. The following data (in kilometers per day) are entirely hypothetical,
but represent a reasonable guess.
CCU
Haoshou
Minxiong
Downtown
ΣΧ
12
12
24
ΣΧ^2
50
56
224
N
4
4
8

The number of levels of the independent variable is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 0
(E) 4.

Accepted Answer

核心觀念 本題考兩獨立樣本平均數差異的 $t$ 檢定。檢定統計量為 $$ t=\frac{\bar X1-\bar X2}{\sqrt{sp^2\left(\frac{1}{n1}+\frac{1}{n2}\right)}} $$ 其中合併變異數為 $$ sp^2=\frac{SS1+SS2}{n1+n2-2}, \qquad SSj=\sum Xj^2-\frac{(\sum Xj)^2}{nj} $$ 解題方法 表中兩組各有 $4$ 人，兩組的總分皆為 $12$，因此兩組平均數相同： $$ \bar X1=\frac{12}{4}=3, \qquad \bar X2=\frac{12}{4}=3 $$ 依摘要統計量計算兩組的組內平方和： $$ SS1=50-\frac{12^2}{4}=14, \qquad SS2=56-\frac{12^2}{4}=20 $$ 合併變異數為

Question 42

Table 1 is used to answer question 36 to question 42.
Table 1. Walking is valuable exercise. The following data (in kilometers per day) are entirely hypothetical,
but represent a reasonable guess.
CCU
Haoshou
Minxiong
Downtown
ΣΧ
12
12
24
ΣΧ^2
50
56
224
N
4
4
8

The alternative hypothesis is
(A) Ho: μCCU = μHaoshou = μMinxiong downtown
(B) Hο: μCCU≠ μHaoshou ≠ μMinxiong downtown.
(C) H1: Not all population means are equal.
(D) H1: Not all sample means are equal.
(E) None of the other alternatives are correct.

Accepted Answer

本題要求根據 F 檢定統計量和臨界值，做出統計決策。 我們已經計算出： F 統計量 (Test Value) = 0.00 (來自 Q41)。 顯著水準 $\alpha = 0.05$。 臨界值 (Critical Value) = 5.14。 決策規則： 在 ANOVA 中，我們比較計算出的 F 統計量與臨界值。 如果 F 統計量 臨界值，則拒絕虛無假設 ($H0$)，得出有顯著差異的結論。 如果 F 統計量 $\le$ 臨界值，則不拒絕（保留）虛無假設 ($H0$)，得出沒有顯著差異的結論。 進行比較： 計算出的 F 統計量 = 0.00 臨界值 = 5.14 由於 $0.00 \le 5.14$，我們不拒絕虛無假設。 統計決策： 我們不拒絕虛無假設。這意味著我們沒有足夠的證據來斷定三個地點的平均步行距離之間存在顯著差異。因此，結論是「沒有顯著差異」。 虛無假設 ($H0$) 是：所有母體平均數都相等。 對立假設 ($H1$) 是：至少有一個母體平均數不相等。 當我們不拒絕 $H0$ 時，我們保留虛無假設。

Question 43

43. A t test value that is larger than the tabled value of t (A) leads to rejection of the null hypothesis; (B) has a probability less than a, if the null hypothesis is true; (C) has a probability higher than a, if the null hypothesis is true; (D) A and B are correct; (E) A, B, and C are correct.

Accepted Answer

本題考驗 t 檢定中，當計算出的 t 值大於表格（臨界）值時，其涵義。 在假設檢定中，我們將計算出的檢定統計量（例如 t 值）與理論上的臨界值（tabulated value）進行比較。 單尾檢定：如果計算出的檢定統計量（絕對值）大於臨界值，則拒絕虛無假設 ($H0$)。 雙尾檢定：如果計算出的檢定統計量（絕對值）大於臨界值，則拒絕虛無假設 ($H0$)。 涵義： 當計算出的 t 值（或其絕對值）大於臨界值時，這意味著我們觀察到的樣本數據與虛無假設所預測的情況之間的差異，比我們在顯著水準 $\alpha$ 下願意接受的隨機變異性還要大。換句話說，在虛無假設為真的情況下，獲得這樣極端（或更極端）的樣本數據的機率（即 p-value）會小於顯著水準 $\alpha$。 我們來分析各選項： (A) leads to rejection of the null hypothesis; 這完全正確。當檢定統計量（在此為 t 值）大於臨界值時，我們拒絕虛無假設。

Question 44

44. Differences that fall into the rejection region are considered to be (A) significant; (B) not significant; (C) errors; (D) unfortunate because the experiment will have to be run again; (E) treatments.

Accepted Answer

本題考驗當統計檢定結果落在拒絕區（Rejection Region）時，該結果的性質。 拒絕區是指在假設檢定中，虛無假設 ($H0$) 被拒絕的檢定統計量數值範圍。這個範圍是根據顯著水準 $\alpha$ 和檢定的類型（單尾或雙尾）來定義的。 當計算出的檢定統計量（例如 t 值、F 值、z 值等）落入拒絕區時，我們就拒絕虛無假設。這意味著我們認為觀察到的樣本數據與虛無假設所預測的情況之間存在足夠大的差異，以至於這種差異不太可能是由隨機因素造成的。因此，我們將這種差異視為「統計上顯著」（Statistically Significant）。 我們來分析選項： (A) significant; 這完全正確。「顯著」（Significant）在統計學中就意味著觀察到的效應（差異、關係）不太可能是由隨機變異引起的，有足夠的證據拒絕虛無假設。

Question 45

45. A sampling distribution has one portion that represents differences that the investigator considers to be not due to chance. That part is called the (A) significance region; (B) rejection region; (C) acceptance region; (D) retention region; (E) None of the above.

Accepted Answer

本題考驗抽樣分布（Sampling Distribution）中，代表「非機率」或「非隨機」差異的部分的名稱。 抽樣分布描繪了在虛無假設（Null Hypothesis, $H0$）為真的情況下，統計量（例如樣本平均數、t 值、F 值等）的可能取值及其機率。 在假設檢定中，抽樣分布被劃分為兩個區域： 1. 拒絕區（Rejection Region）：這是抽樣分布中機率值較小（通常由顯著水準 $\alpha$ 設定）的區域。如果計算出的檢定統計量落入這個區域，我們就拒絕虛無假設。這個區域代表了在 $H0$ 為真時，不太可能通過隨機抽樣獲得的極端結果。因此，如果觀察到的結果落在這個區域，我們認為它「不是由於機率（chance）」造成的。 2. 接受區（Acceptance Region）或保留區（Retention Region）：這是抽樣分布中機率值較大（通常是 $1-\alpha$）的區域。如果計算出的檢定統計量落入這個區域，我們就不拒絕虛無假設。這代表了在 $H0$ 為真時，可能通過隨機抽樣獲得的結果。 題目中提到「not due to chance」，這正是拒絕區所代表的涵義。如果一個結果不是由於隨機機率造成的，那麼它就應該落在拒絕區。

Question 46

46. Which of the following is a correct pairing? (A) Type I error, α; (B) Type I error, β; (C) Type II error, β; (D) Power, β; (E) Type II error, a.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查假設檢定中的兩類錯誤與統計考驗力： - 型一錯誤（Type I error）：虛無假設 $H0$ 其實為真，卻錯誤拒絕 $H0$。其發生機率記為 $\alpha$，也稱為顯著水準。 - 型二錯誤（Type II error）：虛無假設 $H0$ 其實為假，卻未拒絕 $H0$。其發生機率記為 $\beta$。 - 統計考驗力（Power）：當 $H0$ 為假時，正確拒絕 $H0$ 的機率，等於型二錯誤的補數： $$ 	ext{Power}=1-\beta $$ 因此，標準配對為： $$ 	ext{Type I error}\leftrightarrow \alpha $$ $$ 	ext{Type II error}\leftrightarrow \beta $$ 解題方法 直接依照各統計概念的標準符號逐一比對： 1. 型一錯誤的符號是 $\alpha$。 2. 型二錯誤的符號是 $\beta$。 3. 考驗力不是 $\beta$，而是 $1-\beta$。 4. 型二錯誤不能配對 $\alpha$。 選項分析

Question 47

47. The statistical technique of null hypothesis statistical testing (NHST) is designed to test a hypothesis about (A) a sample statistic; (B) a population parameter; (C) the T distribution; (D) the F distribution; (E) any sampling distribution.

Accepted Answer

本題考驗「虛無假設統計檢定」（Null Hypothesis Statistical Testing, NHST）的核心目的。 NHST 的基本流程是： 1. 提出虛無假設 ($H0$) 和對立假設 ($H1$)。 2. 收集樣本數據。 3. 根據樣本數據計算檢定統計量。 4. 根據檢定統計量和其抽樣分布，判斷樣本結果是否足夠極端，以拒絕虛無假設。 NHST 的目的是利用樣本數據來對「母體參數」（Population Parameter）做出推論，而不是對樣本統計量本身進行檢定。樣本統計量是我們用來推論母體參數的證據。 我們來分析選項： (A) a sample statistic; NHST 的目標不是檢定樣本統計量本身，而是基於樣本統計量來推論母體參數。

Question 48

48. Under which of the following conditions would you not use null hypothesis statistical testing (NHST)? (A) samples are not randomly chosen from the population; (B) population data are available; (C) sample sizes are less than 12; (D) sample sizes are larger than 100; (E) All of the above are correct.

Accepted Answer

本題考驗在何種情況下不應使用虛無假設統計檢定（NHST）。 NHST 的核心是從樣本推論母體。它依賴於樣本能夠在某種程度上代表母體，並且能夠計算出統計量在虛無假設下的抽樣分布。 我們來分析各選項： (A) samples are not randomly chosen from the population; 如果樣本不是隨機抽取的，那麼樣本可能無法代表母體，這會嚴重影響推論的有效性。嚴格來說，NHST 的理論基礎（如抽樣分布的性質）是建立在隨機抽樣的基礎上的。如果樣本不是隨機的，NHST 的結果可能不可靠，但這並不意味著「不能」使用 NHST，只是結果的解釋需要非常謹慎。然而，在許多情況下，非隨機樣本可能導致無法進行標準的 NHST。 (B) population data are available; 如果我們擁有母體的全部數據（Population data），那麼我們就不需要進行統計推論了。我們可以直接計算母體參數（例如母體平均數 $\mu$），而不需要從樣本去估計或檢定。此時，NHST 就變得沒有必要，甚至不適用。這是 NHST 最根本的「不適用」情況。

Question 49

49. Unplanned individual mean comparisons done after an overall F-test are called (A) Post hoc (B) A priori (C) Tukeys (D) Alpha tests (E) Scheffe.

Accepted Answer

本題考驗對事後比較（Post hoc Comparisons）的理解。 在進行變異數分析（ANOVA）後，如果 F 檢定結果顯示至少有一個組別的平均數與其他組別有顯著差異（即虛無假設 $H0$ 被拒絕），我們通常會想進一步找出是哪些具體組別之間存在差異。 事後比較（Post hoc Comparisons）：這些是當 F 檢定顯著後，為了找出具體是哪些組別之間有差異而進行的一系列成對比較。事後比較是在數據分析「之後」才進行的，並且通常會對多重比較進行調整（例如 Bonferroni 校正），以控制整體第一類錯誤率。 先驗比較（A priori Comparisons）：這些是研究者在收集數據之前，基於理論預期而預先設定好的特定組別間的比較。先驗比較不進行多重比較校正（或進行不同的校正）。

Question 50

50. In ANOVA, when one variable significantly influences another differently depending upon the existence of a third variable, there is said to be a(n) (A) main effect; (B) interaction effect; (C) non-factorial design; (D) repeated measures; (E) All of the above.

Accepted Answer

本題考驗在變異數分析（ANOVA）中，關於「交互作用」（Interaction Effect）的概念。 交互作用發生在一個自變數（因子）對依變數的影響，會因另一個自變數（因子）的水平不同而有所改變時。換句話說，兩個（或多個）自變數對依變數的聯合效應，不同於它們各自獨立效應的總和。 題目描述為：「當一個變數顯著影響另一個變數，且這種影響的程度或方式，會隨著第三個變數（實際上應該是另一個自變數）的存在而不同」。這正是交互作用的定義。 我們來分析選項： (A) main effect; 主要效應（Main Effect）是指單一自變數對依變數的獨立影響，不考慮其他自變數。

115 年 國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) Nominal scale：錯誤

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題

第 21 題

第 22 題

第 23 題

第 24 題

第 25 題

第 26 題

第 27 題

第 28 題

第 29 題

第 30 題

第 31 題

第 32 題

第 33 題

第 34 題

第 35 題

第 36 題

第 37 題

第 38 題

第 39 題

(a) 依題目資料列出所需數值

第 40 題

第 41 題

第 42 題

第 43 題

第 44 題

第 45 題

第 46 題

第 47 題

第 48 題

第 49 題

第 50 題

其他考古題

115 年中正大學的其他科目

中正大學《心理與教育統計學》其他年度

其他學校的工程科學與其他考古題

115 年國立中正大學心理學系碩士班《心理與教育統計學》